高中数学北师大版必修四第二章：§5 从力做的功到向量的数量积(一)

学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一 两向量的夹角思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？思考2 △ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？梳理 (1)夹角：已知两个____________a 和b ，作OA →＝a ， OB →＝b ，则__________＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角 (如图所示)．当θ＝0°时，a 与b ________； 当θ＝180°时，a 与b ________.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定零向量可与任一向量垂直．知识点二 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力F 的作用下产生位移s ，如图．思考1如何计算这个力所做的功？思考2力做功的大小与哪些量有关？梳理(1)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把______________叫作a 与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________.(2)数量积的特殊情况当两个向量相等时，a·a＝__________.当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝________________________.知识点三平面向量数量积的几何意义思考1什么叫作向量b在向量a上的射影？什么叫作向量a在向量b上的射影？思考2向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？梳理(1)射影：若非零向量a，b的夹角为θ，则________叫作向量b在a方向上的射影(简称为投影)．(2)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影____________的乘积．知识点四平面向量数量积的性质思考1向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？梳理 向量的数量积的性质(1)若e 是单位向量，则e ·a ＝____________＝____________. (2)a ⊥b ⇔____________. (3)________＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b |a ||b |(|a ||b |≠0)．(5)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |____|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．类型一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．反思与感悟 求平面向量数量积的步骤：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．跟踪训练1 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2类型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． 跟踪训练2 已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值．类型三 求向量的夹角例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．反思与感悟 当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的射影为－3，b 在a 方向上的射影为－32，求a 与b 的夹角θ.1．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的射影为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－22．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．53．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________. 4．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________． 5．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)． 2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．在a·b ＝|a||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫作b 在a 方向上的射影和a 在b 方向上的射影，要结合图形严格区分． 4．求射影有两种方法(1)b 在a 方向上的射影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的射影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的射影为a ·b |a|，a 在b 方向上的射影为a ·b |b |.5．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.答案精析问题导学 知识点一思考1 存在夹角，不一样．思考2 如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ， ∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°， 故向量a 与b 的夹角为120°.梳理 (1)非零向量 ∠AOB 同向 反向 知识点二思考1 W ＝|F ||s |cos θ.思考2 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关． 梳理 (1)|a ||b |cos θ |a ||b |cos θ (2)|a |2 |e 1||e 2|cos θ＝cos θ 知识点三思考1 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ.|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的射影，|a |cos θ叫作向量a 在b 方向上的射影．思考2 由射影的定义知，二者不一定相同． 梳理 (1)|b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ 知识点四思考1 向量的线性运算的结果是向量，而向量的数量积运算的结果是数量． 思考2 由两个非零向量的夹角决定． 当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数． 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零． 当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数． 梳理 (1)a ·e |a |cos θ (2)a ·b ＝0 (3)|a | (5)≤ 题型探究例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°， a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a ⊥b 时，θ＝90°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时， a ·b ＝|a ||b |cos 30° ＝4×5×32＝10 3. 跟踪训练1 D例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2 ＝25－2×252＋25＝5.引申探究解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝4×25＋4×252＋25＝57.|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2 ＝25－4×252＋4×25＝5 3. 跟踪训练2 20例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 的夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m ) ＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.跟踪训练3 θ＝120° 当堂训练1．D 2.A 3.11 4.－25 5．(1)12 (2)－12 (3)12。