2-3 动量 动量守恒定律 质心运动定理

3
二、质点系的动量定理
质点系
∫
t2
t1
v v v v ( Fi外 + F ji )dt = mi vi 2 − mi vi1
n n−1 v r t2 (∑F外)dt + ∫ (∑∑ f ji )dt i n i=1 t1 i=1 j =1 n
∫
t2
v Fi外
v F ji
i
v Fij
v F j外
j
t1
Fdt = (m + dm) v − (mv + dm ⋅ 0) = vdm = kdt v
∴ F = k v = 200 × 4 = 8 ×10
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2
N
2–3 动量 动量守恒定律 *质心运动定理 3
12
*四、质心和质心运动定理 四 1.问题的提出 问题的提出 其余质点的运动 质心的平动 质心的概念 质心可看作整个质点 系的代表点， 系的代表点，系统的全部 质量 m，动量 在它上面. 在它上面
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14
个质点组成的质点系，其质心的位置： 有 n 个质点组成的质点系，其质心的位置：
v v v v m 1 r1 + m 1 r2 + …… + m i ri + …… rc = = m 1 + m 2 + …… + m i + ……
2.质心运动定理 质心运动定理
n v v = ∑mi vi 2 − ∑mi vi1 i=1
n
i=1
Q ∑∑
i =1 j =1
n −1
r f ji = 0 ∴
∫
t2
t1
n n r v v (∑ Fi外 )dt = ∑ mi vi 2 − ∑ mi v i1 n i =1 i =1 i =1
质点系总动量的增量等于作用于该系统上合外力的冲量
v mv2
越大 . 例如人从高处跳下 人从高处跳下、 例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、 机与鸟相撞、打桩等碰撞事 件中，作用时间很短， 件中，作用时间很短，冲力 很大 .
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∆t 越小，则 F 越小，
v 在 ∆ p 一定时
F Fm
F
∫t
t2
1
Fdt = F (t 2 − t1 )
∴ f x =0 fN 2mv cos α 2 × 0.2 × 5 × 0.5 = = = 20 N ∆t 0.05
按牛顿第三定律， 按牛顿第三定律，球对墙的平均作用力和 f N 的方向相反而等值，即垂直于墙面向里. 的方向相反而等值，即垂直于墙面向里.
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如图所示， m/s的速 例2.6 如图所示，一辆装矿砂的车厢以 v＝4m/s的速 矿砂为k 率从漏 斗下通 过 ， 每 秒落入 车厢的 矿砂为 ＝ 200 kg/s， 如欲使车厢保持速率不变， kg/s ， 如欲使车厢保持速率不变 ， 须施与车厢多大 的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦) 的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦). 解 设 t时刻已落入车厢的矿砂 时刻已落入车厢的矿砂 质量为m，经过d 后又有 质量为 ，经过dt后又有 的矿砂落入车厢. dm＝kdt的矿砂落入车厢. 取m ＝ d 的矿砂落入车厢 为研究对象， 和 dm为研究对象， 则系统沿 为研究对象 则系统沿x 方向的动量定理为
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t0
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2
∫
t 0
v v v v v F dt = p − p0 = m v − m v0
在给定的时间内， 动量定理 在给定的时间内，外力作用在质点上的 冲量， 冲量，等于质点在此时间内动量的增量 . 问：冲量是矢量，它的方向就是力的方向吗 ？ 冲量是矢量， 分量形式
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三、质点系的动量守恒定律
r 若质点系所受的合外力为零 若质点系所受的合外力为零 ∑ Fi外 = 0
n
则系统的总动量守恒， 则系统的总动量守恒，即 总动量守恒
∑mv
i =1 i
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i =1
i2
=
∑mv
i =1 i
n
i1
定义：一个孤立的力学系统 系统不受外力作用 系统不受外力作用)或 定义：一个孤立的力学系统(系统不受外力作用 或 合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换， 合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换， 但系统的总动量保持不变。 但系统的总动量保持不变。
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力的累积效应 累积效应 一、质点的动量定理 动量
v v v F (t ) 对 t 积累 → p , I v v 积累 F 对r →W, E
v v p = mv
v v v dp d (m v) v v v F = = Fdt = dp = d (m v ) dt dt t v v v v v F dt = p − p0 = m v − m v0 ∫0 v t v 力对时间的积分（矢量） 冲量 力对时间的积分（矢量） I = ∫ Fdt
o
t
t1
t2
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问：为什么迅速地把盖在杯上的薄板从侧面打去， 为什么迅速地把盖在杯上的薄板从侧面打去， 鸡蛋就掉在杯中；慢慢地将薄板拉开， 鸡蛋就掉在杯中；慢慢地将薄板拉开，鸡蛋就会和薄 板一起移动？ 板一起移动？
答：因为鸡蛋和薄板间的摩擦力有限，若棒打击 因为鸡蛋和薄板间的摩擦力有限， v v 时间很短， 时间很短，Q F ∆ t → 0, ∴ ∆ P → 0 所以鸡蛋就 f 蛋 掉在杯中. 掉在杯中
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∫t
t2
1
v v v F (t )dt = mv 2 − mv1
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动量定理常应用于碰撞问题
v v v ∫t1 mv2 − mv1 F= = t 2 − t1 t 2 − t1
注意
t2
v Fdt
v ∆mv
v m v1
v F
+
y yc
绕质心的转动
v r3
m2
O
m3
v p
都集中
v r2
zc
z
v rc
c
m1
v r1
xc x
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质心的位置
v m rc =
∑
n
i =1
v m i ri
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v v n d rc d ri m = ∑ mi dt dt i =1
I x = ∫ Fx dt = mv2 x − mv1x
t1
2 1
t2
t v v v v I = Ixi + I y j + Izk I y = ∫t Fy dt = mv2 y − mv1 y
I z = ∫ Fz dt = mv2 z − mv1z
t1
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t2
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2–3 动量 动量守恒定律 *质心运动定理 3
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讨论
动量的相 动量的相 对性和动量定 对性和动量定 理的不变性 理的不变性 参考系 t1 时刻
S
S′
v F(t)
t1
m
光滑
v v1
m
v u v v2
t2
t2 时刻
动量定理
v v mv1 mv2 S系 系 v v v v S’系 m( v1 − u ) m( v2 − u ) 系
说明
ydm yc = ∫ m
zdm zc = ∫ m
对密度均匀、形状对称的物体， 对密度均匀、形状对称的物体，其质心在 其几何中心． 其几何中心．
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v ∑ m i ri
i =1
n
m
系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度 乘以系统的质量 u r
v dP ∑ Fi外 = dt i =1
n
质心运动定理: 质心运动定理 作用在系统上的合外力等于系统的 总质量乘以质心的加速度
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一弹性球，质量m＝0.20kg， 5m/s， 例2.5 一弹性球，质量 ＝0.20kg，速度 v＝5m/s， 与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变， 与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变，碰撞前后 的运动方向和墙的法线所夹的角都是α，设球和墙碰 撞的时间Δ 0.05s， 60° 求在碰撞时间内， 撞的时间Δt＝0.05s，α＝60°，求在碰撞时间内， 球和墙的平均相互作用力. 球和墙的平均相互作用力. 解 以球为研究对象.设墙 以球为研究对象. 对球的平均作用力为f， 对球的平均作用力为 ，球 在碰撞前后的速度为 v1 和 v2 ，由动量定理可得
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注意
内力不改变质点系的动量
初始速度
v g 0 =vb0 = 0
mb = 2mg
且方向相反
则 则