质心运动定理动量定理
第十章-质心运动定理-动量定理
m1下降h时，假设m4向左水平移动S:
xC1
m1 x1
S
m2 x2
h m1
S m3 x3 hcos
m2 m3 m4
S
m4 x4
S
由
xC1
xC0
得
S
m2h m3hcos
m1 m2 m3 m4
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
（二）质心运动定理
对每个质点
mi
d 2ri dt 2
Fi
1
求和
左边
mi
d2 dt 2
d 2ri dt 2
mi ri
Fi
d2 dt 2
2
mrC
m
d 2rC dt 2
maC
右边
FiE FiI FiE FiI
系统外部对i质 点的合力
系统内部其它所有质 点对i质点的合力
vCx 0
又
dxC dt
vCx
0
xC const
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问
m1下降h时，m4水平移动多少？
y
记四个物块的质心初始时刻坐标
分别为x1、 x2、 x3、 x4。
m3
m2
m4
m1
初x1 m2 x2 m1 m2
m3 x3 m4 x4 m3 m4
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：
maCx miaCix
aC3
W2 g
aC 2
s in t
W3 g
aC 3
s in t
aC2
W2 2W3 l2 sin t
质心系动量定理
质心系动量定理
质心系动量定理，是在物理学中常常使用的一个定理，它是描述一个系统动量守恒的定理。
在物理学中，质心系是一个非常有用的概念，它可以帮助我们更好地理解物体的运动状态。
首先，让我们来了解一下什么是质心。
质心是一个物体所有质点的平均位置，它是一个重要的物理量。
在物理学中，我们经常使用质心来描述一个物体的运动状态。
接下来，我们来了解一下什么是动量。
动量是一个物体的运动状态的量度，它是一个矢量量。
在物理学中，我们使用动量来描述一个物体的运动状态。
在物理学中，质心系动量定理是指：在一个封闭系统中，系统质心的速度等于系统所有质点动量之和除以系统总质量。
这个定理可以用来证明一个系统的动量守恒。
举个例子来说，假设有两个质点A和B，它们的质量分别为m1和m2，速度分别为v1和v2。
那么这个系统的总质量为
m1+m2，总动量为m1v1+m2v2。
根据质心系动量定理，这个系统的质心速度为(m1v1+m2v2)/(m1+m2)。
当然，在实际应用中，我们可能会遇到更加复杂的系统，但是质心系动量定理的原理是一样的：系统质心的速度等于系统所有质点动量之和除以系统总质量。
总之，质心系动量定理是一个非常重要的物理定理，在物理学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们更好地理解物体的运动状态，并且可以用来证明一个系统的动量守恒。
第十一章 质心运动定理动量定理
第十一章 质心运动定理 动量定理一、目的要求1．质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚体、刚体系）动力学问题的主要方法有三类：（1）达朗伯原理；（2）动力学基本定理；（3）动力学普遍方程和拉格朗日方程。
2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量，能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。
二、基本内容1．基本概念质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量、2．主要公式（1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算 1）矢径形式 M r m r i i c 或 Mr m r ic i c 2）直角坐标形式Mx m x i i c ，M y m y i i c ，M z m z i i c 其中 k z j y i x r i i i i 为第i 个质点到固定点O 的矢径。
k z j y i x r c c c c 为质点系的质心到固定点O 的矢径。
ic r 为第i 个刚体的质心到固定点O 的矢径。
m i 为第i 个质点的质量，i m M 为质点系（刚体、刚体系）的质量。
（2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算1）矢径形式 c i i v M v m P2）投影形式ix i x v m p ，iy i y v m p ，iz i z v m p ，222z y x P P P P注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。
（3）动量定理（质心运动定理）n i (e)i F dt p d 1 )(1n i (e)i c F a M 式中 n i c i i v M v M p 1 ，是质点系某瞬时的动量， n i e i F 1)( 是质点系所受外力的主矢量。
c a 为质点系心的加速度。
三、重点和难点1．重点：（1）质点系（刚体、刚体系）质心、动量的计算。
（2）质点系动量定理、质心运动定理。
2．难点：质点系动量定理、质心运动定理的应用。
06-6质心力学定理
V M
C O
的速度) 对 的速度 又 ∵ v ≈ v ′ ( v ′是m对M的速度 1 ∴ m υ ′ 2 + ∆E引 = 0 2 地球参考系不是惯性系⇒ • 地球参考系不是惯性系⇒ 动量守恒不成立 地球参考系仍可正确表示系统的功能 功能关系 • 地球参考系仍可正确表示系统的功能关系
03/2006 S.H.Deng
12
质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. 质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. S.H.Deng
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
二.重力势能与质心势能
定义： 定义：E C = Mgh C
E =
i i i
——质心重力势能 质心重力势能
质点组重力势能 ∑ m gh ——质点组重力势能 M =∑m ∑m h E = ∑ m gh = g ∑ m h = g ∑m ∑m
× m i v iC ) + ∑ (riC × m i v C )
i
S.H.Deng
i
OiBiblioteka C03/200614
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
L = rC × ∑ m i v C + ∑ (riC × m i v iC ) + rC × ∑ (m i v iC ) i i i + ∑ (m i riC ) × v C
质心动量的改变量等于和外力的冲量. 质心动量的改变量等于和外力的冲量.
dv C = 又：M dt
∑F
i
i
即 M aC =
∑F
i
i
——质心运动定理 质心运动定理
质点组总质量与质心加速度的乘 积等于质点组所受到的合外力. 积等于质点组所受到的合外力. S.H.Deng 03/2006
3.2质点系的动量定理
v0
dm 时间内的火箭受喷射燃料的 火箭受喷射燃料的推进力 dt 时间内的火箭受喷射燃料的推进力 F = u dt
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号点火升空
要增大v 需要提高火箭的质量比 要增大v：需要提高火箭的质量比 或增大喷气速度u 推动力：以喷出的燃料d 2 推动力：以喷出的燃料dm为研究对象 时间内的动量变化率为燃料受火箭力 dt 时间内的动量变化率为燃料受火箭力
dm[(υ − u ) − υ ] dm F= = −u dt dt
m0 火箭速度v v m dm ∫v0 d v = − u ∫m0 m
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
6.当质点之间有相对运动时， 6.当质点之间有相对运动时，应运用伽利 当质点之间有相对运动时 略速度变换建立相对于同一惯性系的动量 定理。 定理。 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 质点系的动量守恒定律是 过程的基本定律， 最普遍、 过程的基本定律，是最普遍、最基本的定律 之一．在宏观和微观领域均适用。 之一．在宏观和微观领域均适用。
v v t′ 所以： 所以：I = ∫ ( ∑ Fi )dt = ∑
t i i
∫
t′
t
v v Fi dt = ∑ I i
i
质点所受外力的总冲量等于各分力冲量之和
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
t2 r r 再看内力冲量之和 ∑∫ Fint,tdt = ∫ (∑Fint,t )dt i t1 t1 i r 因为内力之和为零： 因为内力之和为零：∑ Fint,t = 0 i t2 r 结论 内力的冲量之和为零 ∑ ∫ Fint,t dt = 0 t2
刚体质心运动的动量定理
刚体质心运动的动量定理
一、定义和概述
刚体质心运动是指刚体绕其质心进行的运动。
刚体质心运动的研究是刚体动力学中的重要部分，其研究的主要内容包括质心的位移、速度和加速度等。
而动量定理则是质心运动的基本定理之一，用于描述质心运动的动量变化和力矩之间的关系。
二、刚体质心运动的特点
刚体质心运动具有以下特点：
1.刚体的质心始终在同一直线上运动，即质心轨迹是一条直线或一个点。
2.刚体的角动量等于零，因为刚体绕质心的运动可以分解为质心的平动和相对于质心的旋转运动，而旋转运动的角动量为零。
3.刚体的动量等于质心的动量，因为刚体中任意一点的动量都与质心的动量相同。
三、动量定理在刚体质心运动中的应用
在刚体质心运动中，动量定理可以表述为：对于刚体绕其质心的运动，其动量的变化率等于作用在刚体上的外力对质心的力矩。
这个定理可以用来描述刚体在力矩作用下的质心运动规律。
具体来说，假设刚体的质量为m，质心的位置为r(t)，则刚体的动量为p=m*r(t)。
设外力F作用于刚体上，其作用点相对于质心的位置为f(t)，则外力对质心的力矩为M=F*f(t)。
根据动量定理，有dp/dt=M，即m*dr(t)/dt=M。
这个公式可以用来求解刚体在力矩作用
下的质心运动规律。
四、结论
综上所述，动量定理是刚体质心运动的基本定理之一，它可以用来描述刚体在力矩作用下的质心运动规律。
在具体的应用中，可以通过对动量定理进行变换和化简，求解出刚体在给定外力矩作用下的质心运动轨迹、速度和加速度等物理量。
质心运动定理
质心运动定理3、质心运动定理质心运动定理问题：内力是否影响质心的运动？(e)1d ()d n C ii mv F t==∑由(e)1d d n C ii v m F t ==∑得(e)1nC ii ma F ==∑或质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和.－－质心运动定理质心运动定理与动力学基本方程有何相似与不同之处？质心运动定理常量质心运动定理质心运动定理内力不能改变质心的运动汽车发动机的气体压力是原动力通过传动机构使主动轮转动地面摩擦力(e)1nC ii ma F ==∑ma F=质点系质心的运动可看成质点的运动，此质点集中了质点系的质量及其所受的力爆破山石通过质心运动轨迹， 确定石块堆落地点 ma F=是公理，描述质点运动状态变化规律(e)1nC ii ma F ==∑是导出定理，描述质心运动状态变化规律质心运动守恒定律(e)Cx xma F=∑(e)Cy yma F=∑(e)Cz zma F=∑2(e)Cnv m F ρ=∑(e)C t v m F t =∑d d (e)0bF=∑在直角坐标轴上的投影式为:在自然轴上的投影式为:(e)F ∑≡若 则 常矢量 C v =(e)0xF∑≡若 则 常量 =Cxv若初始静止，质心位置不变 若初始速度投影等于0， 质心在该轴坐标不变质心运动定理均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D ,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C .在活塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx .例1t m m m m r t x a C Cxωωcos 2d d 2121222⎪⎭⎫⎝⎛++-==tm m r F F x ωωcos 2212⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛++=212m ax2m m r F F ω最大水平约束力为应用质心运动定理()FF a m m x Cx -=+21()21211cos cos 2m m b r m r m x C +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ϕϕ分析整体，受力如图所示。
动量定理 质心运动定理
动量定理质心运动定理动量定理质心运动定理质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。
用公式d(mv),Fdt表达为 (17-7)d(mv),Fdt (17-8)tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区tt21间为从到，得t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9)t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。
式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
(e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。
如果质点的质量不dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得ndm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1iinn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于零。
上式中是质点dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10)1这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。
(e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 Rtptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积分，得t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11)p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
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2. 质心的速度如何确定？ mvC mivCi
2
3. 质心的加速度如何确定？ maC miaCi
3
（二）质心运动定理
对每个质点
mi
d 2ri dt 2
Fi
1
求和
mi
d 2ri dt 2
Fi
2
左边
d2 dt 2
miri
d2 dt 2
mrC
m
d 2rC dt 2
maC
右边
垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速ω转
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解： 1.取坐标系oxy
2.任意时刻质心坐标
xc
W2
l 2
sint
W3 l
sint
W1 W2 W3
yc
W2
l 2
cos
t
W3l
cos
t
W1 W2 W3
Fy
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
第一节 质心运动定理
质点系在力的作用下，其运动状态不但与各 质点的质量有关，而且与质量的分布情况有关。
质量中心是反映质点系质量分布特征的物理量之一。
（一）质量中心（质心）
rC
mi ri mi
问题：
xC
mi xi mi
yC
mi yi mi
zC
mi zi mi
1系.系统统质由心几如个何刚确体定构？成，每个m刚rC体质心位m置irC已i 知，1
2maA F
A
C
F
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问
m1下降h时，m4水平移动多少？
解： 1.建立坐标系
记四个物块的质心初始时刻坐标 分别为x1、 x2、 x3、 x4。
2.质心运动定理
y
m3
oθ
m2
m4
m1
x
由
maCx
m dvCx dt
FixE 0
得vCx const 而初始时刻系统静止
t1
t2
t2
Ix Fxdt ; I y Fydt
t1
t1
Ii
例4：已知力F1＝5kN，F2＝2sin(t)kN，
求二力在4s内的合冲量。
y x
第三节 动量（冲量）定理
质点 质点系
d mv
dt i
F
dmivi
dt
mv2 mv1 Fi FiE FiI
t2 t1
Fdt
FiE FiI FiE FiI
系统外部对i质 点的合力
系统内部其它所有质 点对i质点的合力
maC
m
d 2rC dt 2
Fi E
结论：
maC
m
d 2rC dt 2
Fi E
－－质心运动定理
1. 质心“像一个质点一样遵循牛顿第二定理”。
2. 无论刚体（系）、质点系做何形式的运动，此 定理成立。
vCx 0
又
dxC dt
vCx
0
xC const
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问
m1下降h时，m4水平移动多少？
y
记四个物块的质心初始时刻坐标
分别为x1、 x2、 x3、 x4。
m3
m2
m4
m1
初始时刻质心坐标：
oθ
x
xC 0
m1 x1 m2 x2 m1 m2
m3 x3 m4 x4 m3 m4
m1下降h时，假设m4向左水平移动S:
xC1
m1 x1
S
m2 x2
h m1
S m3 x3 hcos
m2 m3 m4
S
m4 x4
S
由
xC1 xC0
得
S m2h m3hcos
m1 m2 m3 m4
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
质点系动量
p mivi mvC
问：刚体系统的动量？
p mvC mivCi
px mvCx mivCix py mvCy mivCiy pz mvCz mivCiz
例3：均质丁字杆重W，AB＝OD＝2a，
已知，求杆在图示瞬时的动量。
解：解法一
OC = a/2
p
mvC
W 2g
a
dmivi
dt
FiE
Fi I
dP dt
Fi E
P2 P1
垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速ω转
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：3. 质心加速度
d 2 xc (W2 2W3 )l 2 sint
dt 2
2(W1 W2 W3 )
d 2 yc dt 2
(W2 2W3 )l 2 cost
2(W1 W2 W3 )
maCx
m
d 2 xC dt 2
FixE
maCy
m
d 2 yC dt 2
FiyE
maCz
m
d 2zC dt 2
FizE
问题1：两个相同均质圆盘，初始时刻皆水平静止于
光滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用 位置不同（如图示），哪个圆盘跑得更快？
F
F
问题2：AB、AC为两相
同的均质杆，每根质量为 B m。系统初始时刻静止于 光滑的水平桌面，受大小 为F的水平力作用如图示。 问A点的加速度等于多少？
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：
maCx miaCix
aC3
W2 g
aC 2
s in t
W3 g
aC 3
s in t
aC2
W2 2W3 l2 sin t
2g
Fx
Fy
同理，求得
Fy
W1
W2
W3
W2
2W3 2g
l2
cost
பைடு நூலகம்
第二节 质点系动量、冲量
质点动量
p mv
4. 质心运动定理
W1 W2 W3 g
d 2 xc dt 2
Fx
Fy
W1 W2 W3 g
d 2 yc dt 2
Fy
W1 W2 W3
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速ω转
px
W 2g
a
sin
C
vC
py
W 2g
解法二
a cos
p pAB
pOD
p
pOD
W 2g
a
第二节 质点系动量、冲量
质点动量 质点系动量 常力的冲量 元冲量
p mv
P
mivi mvC
I Ft
dI F dt
t2 t2
t2
变力的冲量 I dI F dt Fi dt
t1
t1
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：
Fx
W2
2W3 2g
l 2
sint
Fy
W1
W2
W3
W2
2W3 2g
l 2
cos t
静反力
Fy
附加动反力
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速ω转