质心运动定理.
第十章-质心运动定理-动量定理
m1下降h时，假设m4向左水平移动S:
xC1
m1 x1
S
m2 x2
h m1
S m3 x3 hcos
m2 m3 m4
S
m4 x4
S
由
xC1
xC0
得
S
m2h m3hcos
m1 m2 m3 m4
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
（二）质心运动定理
对每个质点
mi
d 2ri dt 2
Fi
1
求和
左边
mi
d2 dt 2
d 2ri dt 2
mi ri
Fi
d2 dt 2
2
mrC
m
d 2rC dt 2
maC
右边
FiE FiI FiE FiI
系统外部对i质 点的合力
系统内部其它所有质 点对i质点的合力
vCx 0
又
dxC dt
vCx
0
xC const
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问
m1下降h时，m4水平移动多少？
y
记四个物块的质心初始时刻坐标
分别为x1、 x2、 x3、 x4。
m3
m2
m4
m1
初x1 m2 x2 m1 m2
m3 x3 m4 x4 m3 m4
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：
maCx miaCix
aC3
W2 g
aC 2
s in t
W3 g
aC 3
s in t
aC2
W2 2W3 l2 sin t
质心运动定理
质心运动定理
质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式,可由质点系动量定理直接导出。
即将P＝Mvc代入质点系动量定理dP/dt＝∑Fe，得：Mdvc/dt＝∑Fe或Mac ＝∑Fe——称为质心运动定理.(∵ac＝dvc/dt)
即：质点系的质量M与质心加速度ac的乘积等于作用于质点系所有外力的矢量和(外力主矢量)。
可见：只有外力才能改变质点系质心的运动。
定理的推论
根据这个定理可推知：
①质点系的内力不能影响它的质心的运动；例如跳水运动员自跳板起跳后，不论他在空中再做何种动作，采取何种姿势，由于外力(重力)并未改变，所以运动员的质心在入水前仍沿抛物线轨迹运动；
②如果作用于质点系上外力的矢量和始终为零，则质点系的质心作匀速直线运动或保持静止；
③若作用于质点系上外力的矢量和在某轴上的投影始终为零，则质点系质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
2 质心 质心运动定理
将质心的位置矢量 rC 对时间t求导，可得出
质心运动的速度为
dri m drC i dt vC dt m
mi v i m
由此可得
mvC mi vi
上式等号右边就是质点系的总动量
p mv C
即：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动 速度的乘积。
质心、质心运动定理
质心 质心运动定理
一．质心
当我们把一匀质薄三角板斜 向抛出时，它的空间运动很 复杂，但实际观测表明，在 薄板上有一点C仍然在作抛 物线运动。C点的运动规律 就象把薄板的质量都集中在 C点，全部的外力也象时作 用在C点一样。这个特殊点C 就是质点系统的质心。
2
质心运动定理 证明： 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的动速度的乘积。
根据牛顿第二定律的微分形式
dp dv C F m ma C dt dt
上式表明无论质点怎样运动，质点系的总质量与质心加速 度的乘积总等于质点系所受全部外力的矢量和，这就是质 心运动定理。它对刚体同样适用。
4
质心运动守恒定理
质心运动守恒定理
质心运动守恒定理，也称为质心运动定理，是物理学中的一个重要定理，用于描述系统总质量的质心在不受外力作用时的运动特性。
质心是一个系统的所有质点的质量加权平均位置。
在不受外力作用的情况下，质心的运动有一个重要的特性：系统的质心以恒定的速度直线运动。
质心运动守恒定理的表述如下：
在一个封闭系统中，如果系统内部没有外力作用，那么系统的质心将以恒定的速度沿着直线运动。
这意味着，如果一个系统内部没有物体离开或进入，系统的总质量保持不变，而且系统的质心在运动过程中不会改变速度或方向。
质心运动守恒定理是一个非常有用的工具，特别在研究大规模物体组成的系统时，如行星运动、天体运动等。
需要注意的是，如果系统受到外力作用，那么质心运动守恒定理将不再适用，质心的运动将会受到外力的影响。
因此，在具体问题中，需要根据情况来判断是否可以应用质心运动守恒定理。
1/ 1。
3-4质心 质心运动定理 动量守恒定律
设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量
火箭飞行
设火箭开始飞行的速度为零， 设火箭开始飞行的速度为零，质量为 M0 ，燃 料烧尽时， 料烧尽时，火箭剩下的质量为 M ，此时火箭能达 到的速度是
M0 dm v = ∫M0 u = u ln m M
M
火箭的 质量比
多级火箭
vn = ∑ ui ln Ni
上述结果表明，两小孩在纯内力作用下， 上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们 共同的质心相遇。 共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定 律求出
动量守恒定律
例 一质量m = 50kg 的人站在一条质量为 m2 = 200kg， 1 的船的船头上。开始时船静止， 长度 l = 4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 。（假定水的阻力不计 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 解： 设 cb 表示 船本身的质心
α = 1800 θ
v2 0 因 tgθ = =1,θ = 45 , 所以 v1
α =1350
v3及 v2都成 1350 且三者都在同一平面内 即 v1和
动量守恒定律
例题3-10 质量为 1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 质量为m 的两个小孩， 例题 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为 。问他们将 在何处相遇？ 在何处相遇？
(d m)(v u)
火箭飞行
由于火箭不受外力的作用， 由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不 变。根据动量受恒定律
mv = (m + d m)(v + d v) + (d m)(v u)
化简
dm d v = u m dm ∫v1 d v = ∫m1 u m m v2 v1 = u ln 1 m2
大学物理-质心质心运动定律
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
质心运动定理
质心运动定理3、质心运动定理质心运动定理问题：内力是否影响质心的运动？(e)1d ()d n C ii mv F t==∑由(e)1d d n C ii v m F t ==∑得(e)1nC ii ma F ==∑或质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和.－－质心运动定理质心运动定理与动力学基本方程有何相似与不同之处？质心运动定理常量质心运动定理质心运动定理内力不能改变质心的运动汽车发动机的气体压力是原动力通过传动机构使主动轮转动地面摩擦力(e)1nC ii ma F ==∑ma F=质点系质心的运动可看成质点的运动，此质点集中了质点系的质量及其所受的力爆破山石通过质心运动轨迹， 确定石块堆落地点 ma F=是公理，描述质点运动状态变化规律(e)1nC ii ma F ==∑是导出定理，描述质心运动状态变化规律质心运动守恒定律(e)Cx xma F=∑(e)Cy yma F=∑(e)Cz zma F=∑2(e)Cnv m F ρ=∑(e)C t v m F t =∑d d (e)0bF=∑在直角坐标轴上的投影式为:在自然轴上的投影式为:(e)F ∑≡若 则 常矢量 C v =(e)0xF∑≡若 则 常量 =Cxv若初始静止，质心位置不变 若初始速度投影等于0， 质心在该轴坐标不变质心运动定理均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D ,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C .在活塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx .例1t m m m m r t x a C Cxωωcos 2d d 2121222⎪⎭⎫⎝⎛++-==tm m r F F x ωωcos 2212⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛++=212m ax2m m r F F ω最大水平约束力为应用质心运动定理()FF a m m x Cx -=+21()21211cos cos 2m m b r m r m x C +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ϕϕ分析整体，受力如图所示。
123质心运动定理理论力学
y A
A, Co
, C
, B
B mg
x
FN
解：以均质杆AB为研究对象，并以杆AB铅直时的 轴线为 y轴，建立图示坐标系。AB杆倒下过程中所受外力 有：重力mg，光滑水平面的法向反力FN， 杆在倒下的过程中有：
? FRex ? Fixe ? 0
即质点系动量在 x方向上守恒，
又：t=0时杆处于静止 故质心运动在x方向上守 恒，有：
§12.3 质心运动定理
一、质量中心
质点系在力的作用下，其运动状 态与各质点的质量及其相互的位 置都有关系，即与质点系的质量 分布状况有关。
1.定义：
? rc ?
mi ri m
（12.10）
由式 (12.10)所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种
特征质心的概念及其运动在质点系（ 特别是刚体）动力学中
具有重要地位。
? mi ri
rc ? 2.质心的力学意义
m
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
rc
?
m r1 ? m r2 ? ......? m m? m? ......? m
rn
? ? r1 ? r2 ? ......? rn ? n
1 n ri
1/n 与 i 无关，为公因子。
（12.11）
式中: ri系数 1/n 表示第 i个质点的质量在质点系质量中 所占的比例，质心的矢径rc即为各质点的平均矢径。
（1）
x2 ? ecos? t y2 ? esin? t （2）
(3) 代入质心坐标公式得 质心 c 的运动方程：
? ??
xc
?
m2 m1 ? m2
e cos?
t
?
? ??
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d
d
M
d dt
vc
d m
dt
v
d dt
K
F(e)
Mac
ma
F(e)
M
dt
rc
m dt
r
Mvc
mv
K
(1)
or
M
d
2
rc
dt 2
F ( e ) (1)
• 把质点系的质量集中在
质点系的质量与质心
质心，则质心的动量等于
mx
xc M
Mi
my z
C
yc M
ri
mz
rc
y
zc M
O
x
质心与重心
1、在均匀重力 场中，可由重心 求质心
2、重心与受力有关 质心与受力无关 3、质心更广泛
A 质心
B 质心运动定理
质心的动量
质心运动定理
mr
把(1)式关于时间求导
rc M
Mrc
mr
P2 P1 P2
r sint
Mxc N x
Nx
P2 2r cost
g Myc N y ( P1 P2 )
Ny
( P1
P2
)பைடு நூலகம்
P2 g
2r sint
F 船和小孩 •小船长2a。
•金发小孩重为P
•船和棕色头发小孩 重为Q。
当金发小孩从前
到了后，问船的
描述
坐标系O1 xy 任意瞬时转子的位置
x2 r cost
和定子重 螺栓和基础
y2 r sint
对电机的反力 对定子和机壳
解∶Nx Ny
x1 0, y1 0
xc
mx m
P1x1 P2 x2 P1 P2
P2 x2 P1 P2
P2 r cost
P1 P2
人靠内力行走?
D 质心运动定理评价
在实际工程中有许多用处
– 炮弹弹道 – 定向爆破
是动量定理的一种形式 理论上用于研究刚体的运动
– 刚体的运动被分为
随质心的平动 相对于质心的转动
– 确定刚体随质心的平动
转子偏心
r
y
E 偏心电机的反力
O2 t
O1 P2 P1
偏心电机
x 匀速转动 电机转子重 电机外壳
位移b为多少?
不计水的阻力。
解∶静坐标为oxy 因为在x方向无外力， 所以
Mvc C
x x
vc0 0
y
xc C *
y
xc x'c (1)
oo
设金发小孩移动前，船和棕发小孩的
质心坐标为 x1 = b + l
金发小孩的坐标为
x
x2 =b
y
金发小孩移动后， 船和棕发小孩的质 心坐标为∶
12-4 质心运动定理
A 质心 B 质心运动定理 C 质心运动守恒 D 质心运动定理的评价 E 偏心电机的反力
F 船和人
质点系
•质点系有n个质点
•第i个质点M i∶
m 质量为 i
向径为 ri
•质点系的总质量M
M m
质点系质心
质心向径为mrrc
rc M
是质点系的质量中心
质心的直角坐标形式
yc
my m
P1 y1 P2 y2 P1 P2
P2 y2 P1 P2
P2 r sint
P1 P2
xc
P2 r sint
P1 P2
yc
P2 P1 P2
r cost
xc 2
P2 P1 P2
r cost yc 2
加速度的乘积等于质点系
质点系的动量。
的所有外力的主矢。
•为计算刚体的动量提供了方便
质心运动定理的直角坐标形式
Macz =
M
d 2zc dt 2
Z(e)
Macy = M
d 2 yc dt 2
Y(e)
Macx = M
d 2xc dt 2
X(e)
C 质心运动守恒
条件∶ 质点系不受外力作用
质心在 x轴方向上运动守恒
或质点系的外力主矢为零。
F(e) 0
vc 常量
结果∶
1、质心会处于静止或匀速直线
条件∶质点系受的外力在x轴上 投影的代数和为零
X ( e ) 0 vcx 常量
质心沿x轴方向的运动是云速的
运动的状态。
问题∶汽车在内力的运动下运动?
2、只有外力能改变质心的运动。 3、内力不能改变质心的运动。
x '1 = b + l - b = l
金发小孩的坐标为
x x '2 = 2a
∴x c
=
∑mx ∑m
=
Q(b
+ l) + P +Q
Pb
o
y
∴x'
c=
∑mx' ∑m
=
Ql + P2a Q+P
x c = x 'c
∴Q(b + l o) + Pb Q+P
=
Ql + P2a Q+P
∴b
= 2a
P Q+P