碰撞和质心运动定律

F
O
t1
t2
t3
t
1、完全弹性碰撞 2、非弹性碰撞
—— 碰撞前后系统动能守恒 —— 碰撞前后系统动能不守恒
3、完全非弹性碰撞 ——碰撞后系统以相同的速度运动
3-7-2 完全弹性碰撞
m (v1 − v10 ) = m2 (v2 − v20 ) 1
v1
m 1
v10
m 1
v20
m2
v10 > v20
v1< v2
3-7-4 一般非弹性碰撞
m v1 + m2v2 = m v10 + m2v20 1 1
牛顿定义了恢复系数
m 1 m2 m 1 m2
v10 > v20
v1< v2
v10
v20
v1
v2
v2 − v1 e= v10 − v20
e =1 —— 完全弹性碰撞
e = 0 —— 完全非弹性碰撞 0 <e <1 —— 非完全弹性碰撞
3-7-2 完全弹性碰撞
（ 五 个 小 球 质 量 全 同 ）
3-7-3 完全非弹性碰撞
动量守恒
v10 > v20 v10
m 1
v1= v2 = v
(m + m2 )v = m v10 + m2v20 1 1
m v10 + m2v20 v= 1 m + m2 1
v20
m2
v
m + m2 1
1 1 1 2 2 动能损失为 ∆E = m v10 + m2v20 − (m + m2 )v2 1 1 2 2 2 2m m2 1 = (v10 − v20 )2 2(m + m2 ) 1
f23 f13
F2
F3
F 1
d2 F + F2 + F3 = 2 (m1 r + m2 r2 + m3 r3 ) 1 1 dt
等效思想 F = m a
f31
f32
m3
d2 F + F2 + F3 = (m1 + m2 + m3 ) 2 1 dt
m1r + m2 r2 + m3 r3 1 m +m +m 1 2 3
yc =
∑m y
i =1
n
m′
不同坐标系，质心坐标不同
例题：计算质心的位置 质量连续分布时，求和变为积分（和式的极限）
1 xc = ∫ x d m, m′
1 1 yc = ∫ y d m, zc = m′ ∫ z d m m′
已知：单位长度的质量（线密度）为 λ ( x) = 2 x 求：杆的质心 解：任取小质元 d m ， m = λ ( x) d x d
第三章 动量守恒和能量守恒定律
3-9 质心 质心运动定理
物理教研室 李克轩
多质点系统的运动 多质点系统的运动
系统运动情况复杂，但系统中有一点的运动是斜抛运动
多质点系统的运动 多质点系统的运动
d F + f12+ f13 = m1 a1 = m1 2 r 1 dt 1
2
f12 f21 m2 m 1
O
h
v1 = 2gh
⑵ A与B碰撞过程动量守恒
x1 x2
B
k
m
m m
m m
mv1 = (m+ m)v2
X
⑶碰撞后弹簧继续被压缩，机械能守恒
1 1 2 1 2 2 (m+ m)v2 + (m + m)g(x2 − x1) + kx = kx2 1 2 2 2
⑷重力跟所受弹力平衡 m gh = kx 1 1
碰撞现象 • 物体之间的相互作用 • 突发性，接触时间极短 • 作用力变化极快 • 作用力峰值极大 • 过程中伴随形变
第三章 动量守恒和能量守恒定律
3-7 完全弹性碰撞与非完全弹性碰撞
物理教研室 李克轩
3-7-1 碰撞过程
v10
m 1
• 接触阶段
v1
m 1
v20
m2
v2
m2
• 形变产生阶段 • 形变恢复阶段 • 分离阶段
2m
m
m
例题：质心运动定律
2m
m
m
1
Ox
xc
x2
x
m1 x 1 + m 2 x 2 m × 0 + mx 2 x 2 xc = = = m1 + m 2 2 m+m
x 2 = 2 xc
例题：质心运动定律
已知：匀质绳长为l，线密度为 λ 求：力的大小 解： 质心位置坐标
Y
F
y m1
v
m2
y y m1 + m2 × 0 λy y2 2 2 = yc= = m1 + m2 λl 2l
⑵碰撞过程动量和动能守恒
1 2 1 2 1 mv0 = mv + MV mv0 = mv + M V 2 (2) 2 2 2 1 2 mv = mgh (4) ⑶上升过程机械能守恒 2
m− M 解得 h = l m+ M
2
(3)
例题：求完全非弹性碰撞后弹簧的最大压缩量
A m
解：⑴A物自由下落过程
m′ = ∫ d m = ∫ 2 x d x = l 2 0
l
x
O
dx
x
l
1 1 xc = ∫ x d m = 2 m′ l
1 2 3 2 ∫0 2 x d x = l 2 3 l = 3 l
l 2
例题：质心运动定律
设有一个质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它飞行 到最高点处爆炸成质量相等的两块碎片。其中一块碎片竖 直自由下落，另块个碎片水平抛出，它们同时落地。试问 第二块碎片落地点在何处？
3-8-2 守恒的意义
• 19世纪最伟大科学发现：能量守恒、进化论、细胞 • 自然界一切已经实现的过程都遵守能量守恒定律 • 守恒律可避开过程细节而对系统始、末态下结论 • 守恒律适用性广（微观、宏观、高速、低速） • 守恒定律是认识世界的有力武器 • 守恒定律揭示了自然界普遍的属性 —— 对称性
2mg mg mgh + 解得：x2 = + k k k
2
第三章 动量守恒和能量守恒定律
3-8 能量守恒定律
物理教研室 李克轩
3-8-1 能量转化和守恒定律
• 能量是物理学一个极为普遍、重要、发展的物理量。 • 能量的形式 ： 机械能——动能和势能。 热能、电磁能、辐射能、化学能、生物能、核能等。 • 各种形式的能量可以相互转换, 并且转换守恒。 • 相互作用力做功是传递能量或改变能态的手段。 只有在系统能量变化中才有做功问题。 • 能量守恒定律是自然科学中最具普遍性的定律之一。
∑m y
i =1
n
m′
O
x
3-9-2 质心运动定律
d2 d ′ 2 rc = m′ ac = m′ vc F= m dt dt
系统所受合外力等于系统的总质量与其质心加速度的乘积 • 等效于系统的质量全部集中于系统的质心的一个质点 —— 均匀、形状对称的物体的几何中心是质心 • 系统的动量 p = m′ vc = ∑ mi vi
质心运动定律
O
F = λv 2 + λyg
d2 yc d y d y d y 2 d2 y 2 F − λyg = λl = λl = λ + λy 2 = λv dt 2 dt l dt dt dt
小结和课后作业
碰撞规律 能量守恒和转换定律 质心运动定律 阅读教材相关内容 问题P92：19，21 习题P96：29，35，36，37 预习4-1，4-2
v2
m2
2 2 2 2 m1(v1 − v10 ) = m2 (v2 − v20 )
v10 − v20 = v2 − v1
m v1 + m2v2 = m v10 + m2v20 1 1
(1)
1 1 1 1 2 2 2 2 m v1 + m2v2 = m v10 + m2v20− em2 )v10 + (1+ e)m2v20 (m2 − em )v20 + (1+ e)m v10 1 1 1 v1 = , v2 = m + m2 m + m2 1 1
例题：求完全弹性碰撞后钢球升高的高度。
解：分为下落、碰撞、上升三个过程
1 2 mgl = m v0 (1) ⑴下落过程机械能守恒 2
(m − m2 )v10 + 2m2v20 (m2 − m )v20 + 2m v10 1 1 1 v1 = , v2 = m + m2 m + m2 1 1
3-7-2 完全弹性碰撞
(m − m2 )v10 + 2m2v20 (m2 − m )v20 + 2m v10 1 1 1 v1 = , v2 = m + m2 m + m2 1 1
i =1 n
• 质心和重心不同 • 质心不一定在物体上
例题：计算质心的位置 已知： m1的坐标（1，5） m2的坐标（4，6） m3的坐标（3，1）
y
m = 2kg 1
m2 = 4kg
m3 =10kg
xc =
∑m x
i =1
n
O
x
i i
m′
i i
m1 x1 + m2 x 2 + m3 x 3 2 ×1 + 4 × 4 + 10 × 3 = = =3 m 2 + 4 + 10 m1 + m2 + m3 m1 y1+ m2 y 2 + m3 y 3 11 = m = m1 + m2 + m3 4