质心运动定理
第十章-质心运动定理-动量定理
m1下降h时，假设m4向左水平移动S:
xC1
m1 x1
S
m2 x2
h m1
S m3 x3 hcos
m2 m3 m4
S
m4 x4
S
由
xC1
xC0
得
S
m2h m3hcos
m1 m2 m3 m4
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
（二）质心运动定理
对每个质点
mi
d 2ri dt 2
Fi
1
求和
左边
mi
d2 dt 2
d 2ri dt 2
mi ri
Fi
d2 dt 2
2
mrC
m
d 2rC dt 2
maC
右边
FiE FiI FiE FiI
系统外部对i质 点的合力
系统内部其它所有质 点对i质点的合力
vCx 0
又
dxC dt
vCx
0
xC const
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问
m1下降h时，m4水平移动多少？
y
记四个物块的质心初始时刻坐标
分别为x1、 x2、 x3、 x4。
m3
m2
m4
m1
初x1 m2 x2 m1 m2
m3 x3 m4 x4 m3 m4
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：
maCx miaCix
aC3
W2 g
aC 2
s in t
W3 g
aC 3
s in t
aC2
W2 2W3 l2 sin t
质心运动定理
质心运动定理
质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式,可由质点系动量定理直接导出。
即将P＝Mvc代入质点系动量定理dP/dt＝∑Fe，得：Mdvc/dt＝∑Fe或Mac ＝∑Fe——称为质心运动定理.(∵ac＝dvc/dt)
即：质点系的质量M与质心加速度ac的乘积等于作用于质点系所有外力的矢量和(外力主矢量)。
可见：只有外力才能改变质点系质心的运动。
定理的推论
根据这个定理可推知：
①质点系的内力不能影响它的质心的运动；例如跳水运动员自跳板起跳后，不论他在空中再做何种动作，采取何种姿势，由于外力(重力)并未改变，所以运动员的质心在入水前仍沿抛物线轨迹运动；
②如果作用于质点系上外力的矢量和始终为零，则质点系的质心作匀速直线运动或保持静止；
③若作用于质点系上外力的矢量和在某轴上的投影始终为零，则质点系质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
高二物理竞赛课件：质心(center of mass) 质心运动定理
一、质点对定点的角动量
说角动量时，
t 时刻， 如图 ，
必须指明是对 哪个固定点的
定义 L r P 为质点对固定点o 的角动量
大小：L rP 方向：垂直于
sri，nP
rmv sin
组成的平面
[SI] kgm 2/s
o r
L
P
m
力对定点的力矩
说力矩时，也
t 时 刻,如图,
必须指明是对 哪个固定点的
例 已知1/4圆M, m由静止下滑,求
t1→t2 过程中M移动的距离 S。 解： 选（M+m）为体系
水平方向: 合外力=0，质心静止
t1时刻
m
t2时刻
Mபைடு நூலகம்
M
m
x -R O
体系质心
X1
MxmR Mm
x-S -S O
体系质心
X
2
M
x
M
SmS
m
质心静止 X1 X 2
M
移动的距离
S
m Mm
R
思路:与处理动量定理 动量守恒问题相同
等于质点角动量的增量。
M 和L 是对惯性系中的同一固定点的。
角动量定理 Mdt dL
t2
Mdt ΔL
t1
若 M 0 则 L 0 角动量守恒定律
讨论
1）动量守恒与角动量守恒
是相互独立的定律。 如行星运动
2）有心力—力始终指向一点
直升飞机
动量不守恒 角动量守恒
质点在有心力作用下运动时角动量守恒
M r F 0 角动量守恒
o
F
mi
ri c质心
rc
o
重心是指各质点所受重力的合力作用点。
质心运动守恒定理
质心运动守恒定理
质心运动守恒定理，也称为质心运动定理，是物理学中的一个重要定理，用于描述系统总质量的质心在不受外力作用时的运动特性。
质心是一个系统的所有质点的质量加权平均位置。
在不受外力作用的情况下，质心的运动有一个重要的特性：系统的质心以恒定的速度直线运动。
质心运动守恒定理的表述如下：
在一个封闭系统中，如果系统内部没有外力作用，那么系统的质心将以恒定的速度沿着直线运动。
这意味着，如果一个系统内部没有物体离开或进入，系统的总质量保持不变，而且系统的质心在运动过程中不会改变速度或方向。
质心运动守恒定理是一个非常有用的工具，特别在研究大规模物体组成的系统时，如行星运动、天体运动等。
需要注意的是，如果系统受到外力作用，那么质心运动守恒定理将不再适用，质心的运动将会受到外力的影响。
因此，在具体问题中，需要根据情况来判断是否可以应用质心运动守恒定理。
1/ 1。
第十章 质心运动定理
这两个结论称为质心运动守恒定理。 这两个结论称为质心运动守恒定理。 质心运动守恒定理
问题1 两个相同均质圆盘， 问题1：两个相同均质圆盘，初始时刻皆静止于光 滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用， 滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用 位置不同（如图示），哪个圆盘跑得更快？ ），哪个圆盘跑得更快 位置不同（如图示），哪个圆盘跑得更快？
maC = ∑miaCi = ∑F i
E
dr E C maC = m 2 = ∑F i dt
－－质心运动定理 －－质心运动定理
2
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自然表示法： 自然表示法：
dvC E maCt = m = ∑F it dt 2 vC E maCn = m = ∑F in
ρ
maCb = 0 = ∑FE ib
特殊情形： 特殊情形：
dr E C maC = m 2 = ∑F i dt
2
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2
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大学物理质心质心运动定律ppt课件
3-9 质心 质心运动定律
➢ 圆环的面积 ds 2πRsin Rd
y
Rsinθ Rdθ
R θ dθ O
Rcosθ
x
➢ 圆环的质量 dm 2πR2 sin d
由于球壳关于y 轴对称，故xc= 0
第三章 动量守恒和能量守恒
7
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
y
Rsinθ Rdθ
R θ dθ O
n n
m'vC mivi pi
n
再对时间
t
i 1
i 1
求一阶导数，得
m'aC
d( pi )
i 1
dt
第三章 动量守恒和能量守恒
11
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
根据质点系动量定理
n
n
dpi
i1 dt
n Fi e x
i 1
（因质点系内 Fiin 0 ）
F ex
i 1 m' dvC
Rcosθ
x
yC
1 m'
ydm
y 2πR2 sind 2πR2
第三章 动量守恒和能量守恒
8
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
而 y R cosθ
y
Rsin θ Rdθ
R θ dθ O
Rcosθ
x
π
其所质以心yC位矢R：r0C2
cos
R
sin
2j
d
R
2
第三章 动量守恒和能量守恒
9
物理学
dt
m'aC
作用在系统上的合外力等于系统的总
3-3 质心 质心运动定律
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点: r 连续分布的质点 r = c
∫
r rdm m
质点系的 动
：
v v P = m vC
质心运动定律
dv v ex vd C v F =m = maC t
13
v m ri i
m
m
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
mi r r rc = ∑ ri m i
z
x
mi m : 总质量， 权重 m
r r 即：质心位矢 rc 是各质点位矢 ri
的加权平均。 的加权平均。
3
质心在直角系的计算公式 r r r r r N ∑ m r ri = xi i + yi j + zi k r i =1 i i rc = N u N r r N r M r r r ∑ mi xi i + ∑ mi yi j + ∑ mi yi k r i =1 i =1 rc = xc i + yc j + zc k = i =1 m
xc =
∑
N
i =1
m i xi m
z
r r1
m1
m2
yc =
∑ ∑
N
i =1
m i yi m
O x
r r2
r r c
C (xc, yc, zc )
r mN rN
y
zc =
i =1
m i zi m
4
离散质点系： 离散质点系：
v rC =
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点 r rc =
大学物理-质心质心运动定律
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
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质心运动定理
选择题：
题号：00511001
分值：3分
难度系数等级：
一长度为L的翘翘板的两端分别做了一个小孩和一个大人，大人的质量是小孩的2倍，忽略跷跷板的质量，则有两人和跷跷板组成的质点系的质心，在跷跷板上的何处。
(A) 在距离大人L/3处(B) 在距离大人2L/3处
(C) 在距离大人L/2处(D) 由于不知道小孩的质量，无法判断
[ ]
答案：（A）
题号：00512002
分值：3分
难度系数等级：
质心运动定律描述的是：
(A) 质点系的质心所遵循的定律(B) 质点系中所有质点所遵循的规律
(C) 质心和所有质点遵循的规律(D) 是关于质心的动量守恒定理
[ ]
答案：（A）
题号：00512003
分值：3分
难度系数等级：
一长度为L、质量为m，且质量沿长度方向均匀分布的翘翘板，两端分别坐了一个小孩和一个大人，大人的质量为2m，小孩质量为m。
则有两人和跷跷板组成的质点系的质心，在跷跷板上的何处。
(A) 在距离大人L/3处(B) 在距离大人3L/8处
(C) 在距离大人L/2处(D) 在距离大人2L/3处
[ ]
答案：（B）
题号：00513004
分值：3分
难度系数等级：
如图，质量分别为m A=10.0kg和m B=6.0kg的两小球A和Array B，用质量可略去的刚性细杆连接，则系统质心的位置：
(A) 在（0，0）处
(B) 在AB的中部处
(C) 在（1.5m，1.9m）处
(D) 在三角形ABO的内心处
[ ]
答案：（C）
题号：00514005
分值：3分
难度系数等级：
已知地球的质量约为月亮质量的81倍，地月距离是地球半径的60倍。
忽略月亮的半径，则地月系统质心的位置：
(A) 在地球和月亮的中心处 (B) 在地月连线上距离地球E 6082
R 处 (C) 在地球半径以外 (D) 在地球的中心
[ ]
答案：（B ）
判断题：
题号：00521001
分值：2分
难度系数等级：
刚体的一般运动可以看作由质心的平动和绕质心的转动组成。
答案：正确
题号：00521002
分值：2分
难度系数等级：
由若干个质点组成的质点系的质心一定是质点系的几何中心。
答案：错误（和质量分布有关）
题号：00522003
分值：2分
难度系数等级：
两人在光滑的冰面上，初始时刻两人静止，突然其中一人推动另一人，后两人向相反的方向做匀速直线运动运动。
假设人作为质点，则在运动过程中，由两人组成的质点系的质心的位置将不断变化。
答案：错误（合外力为0，质心位置不变）
题号：00523004
分值：2分
难度系数等级：
质点系的一对内力不能改变质心的运动状态。
答案：正确（质心运动定律）
题号：00524005
分值：2分
难度系数等级：
如果质点系的质心加速度不等于零，则不能用质心运动定律描述质心的运动。
答案：错误（质心运动定律）。