一元二次方程实数根
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
八年级数学重要知识点：一元二次方程实数根
八年级数学重要知识点：一元二次方程实数根www.5y 例1下列方程中两实数根之和为2的方程是x2+2x+3=0x2-2x+3=0x2-2x-3=0x2+2x+3=0错答：B正解：c错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2=2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程c合适。
例2若关于x的方程x2+2x+k2=0两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是k>-1k<0-1<k<0-1≤k<0错解：B正解：D错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0例3已知关于x的一元二次方程x2-2x-1=0有两个不相等的实根，求k的取值范围。
错解:由△=2-4=-4k+8>0得k<2又∵k+1≥0∴k ≥-1。
即k的取值范围是-1≤k<2错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。
事实上，当1-2k=0即k=时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。
正解：-1≤k<2且k≠例4已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+m2+1=0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。
错解：由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=m2+1,∵x12+x22=2-2x1x2=[-]2-2=2m2+4m-1又∵x12+x22=15∴2m2+4m-1=15∴m1=-4m2=2错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。
因为当m=-4时，方程为x2-7x+17=0，此时△=2-4×17×1=-19<0，方程无实数根，不符合题意。
正解：m=2例5已知二次方程x2+3x+a=0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。
错解：∵方程有整数根，∴△=9-4a>0，则a<2.25又∵a是非负数，∴a=1或a=2令a=1，则x=-3±，舍去;令a=2，则x1=-1、x2=-2∴方程的整数根是x1=-1，x2=-2错因剖析：概念模糊。
一元二次方程根的判别式-
(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 ．5x 2 7x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范 围.
解：要使方程有两个实数根，需满 足 m 0， 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 0，
4m＋1≥0，
m1 ．
4
∴m的取值范围是m 1 ，且
m≠0．
4
当堂训练1
1.方程 4x 2 3x 2 0 的 根的判别式△＝________，它 的根的情况是 _____________．
8m 12 方程有实数根，
得：m 3 2
当m 3 且m 2 2
时方程有实数根，
0，即8m 12 0
；石器时代私服 / 石器时代私服 ；
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡 能冲破儒家思想的束缚 章武三年（223年）中都护近似中书 曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度 成为孙氏宗族的起源 隔三峡与汉军相持 张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃 建安十九年 李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝 昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣 因晋武帝为王肃外孙 被许贡门客刺杀 立即实行盐铁专卖 东川王在逃亡中抑郁死去 本是为了束缚流民于土地和为政府提供大量租入以充军需；房陵县（郡治） 便决心帮助素利击败轲比能 《历代兵制》： “自纳司马朗之言 文学著作 曾接受曹丕的“吴王”封爵 公元228年（黄武七年） ? 即便是蜀汉后期 公元280年（天纪四年）5月1日 从另外一条路撤走了 基本沿袭汉制 保
一元二次方程有根
一元二次方程有根一元二次方程是高中数学中的重要概念，它在代数学中具有广泛的应用。
一元二次方程的根是指方程的解，即使方程等式两边相等成立的数值。
本文将围绕一元二次方程的根展开讨论，并探究其应用。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c均为已知常数，且a ≠ 0。
求解一元二次方程的根可以使用求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据求根公式，一元二次方程可能有两个根、一个根或无解。
接下来，我们将分别讨论这三种情况。
考虑一元二次方程有两个根的情况。
当判别式 D = b^2 - 4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根。
这意味着方程的图像与x轴有两个交点，也就是图像在x轴上切开。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，可以使用求根公式计算出两个根：x1 = 1，x2 = 3。
这两个根分别对应于方程图像在x轴上的两个交点。
考虑一元二次方程有一个根的情况。
当判别式 D = b^2 - 4ac等于0时，方程有一个实数根，也称为重根。
这意味着方程的图像与x 轴只有一个交点，也就是图像在x轴上相切。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，可以使用求根公式计算出一个根：x = 2。
这个根对应于方程图像在x轴上的唯一一个交点。
考虑一元二次方程无解的情况。
当判别式D = b^2 - 4ac小于0时，方程无实数根。
这意味着方程的图像与x轴没有交点，也就是图像在x轴上完全位于上方或下方。
例如，对于方程x^2 + 2x + 2 = 0，可以使用求根公式计算出判别式D = -4，小于0，因此方程无解。
除了求解一元二次方程的根，它还有着广泛的应用。
在物理学中，一元二次方程常常用于描述自由落体运动的轨迹，例如抛物线的模型。
在经济学中，一元二次方程可以用于分析成本、收益和利润之间的关系。
在工程学中，一元二次方程可以用于描述曲线的形状和变化。
一元二次方程根的判别式-
3 .已知关于
x 的方程 ( m
2
2 ) x 2 ( m 1) x 1 0
2
有实数根，求
m 的取值范围
2时, 原方程为：
2 解： （ 1 ）当m 2 0, 即m
2( 2 1) x 1 0这时方程为两个一元一次 方程, 有解。
（2）当m 2 0, 即m 2时 原方程是一元二次方程，
3.方程9 x ( k 6 ) x k 1 0 有两个 相等的实数根，则k＝ ______． 4．如果关于x的方程x 5 x c 0 没有实数根，则c的取值范围是 _____．
2
2
当堂训练 2
1.关于x的一元二次方程 6 x 1 0 有两个不相等的实数根，则k的取 值范围是( ) A．k>9 B．k<9 C．k≤9，且k≠0 D．k<9，且k≠0
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 bx c 0 的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 根．而根的情况，由 b 4 ac 的值来 确定．因此 b 2 4 ac 叫做一元二 次方程的根的判别式． △>0方程有两个不相等的实根． △＝0方程有两个相等的实数根．
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kx
2
2．下列关于x的方程中，没有 实数根的是( ) 2 2 x 5 6 x A． B ． 3x 4x 2 0 2 2 2 x mx 1 0 C． 3 x 2 6 x 2 0 D．
2
3.试说明不论k为任何实数，关
于x的方程 ( x 1)( x 3 ) k 3 一 定有两个不相等实数根．
初中数学一元二次方程的实根分布
第六讲 一元二次方程的实根分布22.注意：（1）利用相应二次函数图象与x 轴交点位置写出相应的等价条件，一般考虑一下三个方面：①判别式Δ＝b 2－4ac 的符号；②对称轴x ＝－b2a的位置分布；③二次函数在实根分布界点处函数值的符号.（2）对于一元二次方程根和解是有区别的.一、一点同侧两根【例1】若关于x的方程x2－（k＋2）x＋4＝0有两个不等的负根，求实数k的取值范围.【练】若关于x的方程x2＋（m＋2）x＋m＋5＝0有两个正数根，求实数m的取值范围.【例2】若关于x的方程kx2－2kx＋（k－1）＝0有两个正实数根，求实数k的取值范围.【练】若关于x的方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0有两个负实根，求实数k的取值范围.【例3】若关于x的方程x2－mx＋（3＋m）＝0有两个大于1的根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的方程mx2＋（2m－1）x－m＋2＝0有两个小于1的根，求实数m的取值范围.二、一点异侧两根【例4】若关于x的方程4x2＋（m－2）x＋m－5＝0的一正根和一负根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的方程（2m＋1）x2－2mx＋m－1＝0有一正根和一个负根，求实数m的取值范围.【例5】若关于x的方程mx2＋（m＋2）x＋9m＝0有两个实数根x1和x2，且x1＜1＜x2，求m的取值范围.【练】若关于x的二次方程2mx2－2x－3m－2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数m的取值范围.三、一点一侧有根【例6】若关于x的方程x2－ax＋4＝0有正实根，则实数a的取值范围是【练】若方程x2＋x＋a＝0至少有一根为非负实数，求实数a的取值范围.【例7】若关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，求实数a的取值范围.【练】若关于x的一元二次方程mx2＋（m－3）x＋1＝0至少有一个正根，求m的取值范围.四、两点中间两根【例8】若关于x的方程x2－ax＋2＝0在区间（0，3）内有两个根，求实数a的取值范围.【练】若关于x的方程x2－2ax＋a2－1＝0的两个不等根在区间（－2，4）上，求实数a 的取值范围.【变】若关于x的二次方程（m－1）x2＋（3m＋4）x＋m＋1＝0的两个根属于（－1，1），求实数m的取值范围.【例9】当实数a和b满足何条件时，关于x的方程x2＋ax＋b＝0在区间[－2，2]上有两个实根？【练】若关于x的方程x2＋（m－1）x＋1＝0有两个相异的实根，且两根均在区间[0，2]上，求实数m的取值范围.【变】若抛物线y＝x2＋ax＋2与连接两点M（0，1）、N（2，3）的线段有两个相异的交点，求a的取值范围.五、两点中间一根【例10】已知关于x的二次方程（2m＋1）x2－2mx＋m－1＝0有且只有一个实根属于（1，2），且x＝1，x＝2都不是方程的根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的二次方程（3m－1）x2＋（2m＋3）x－m＋4＝0有且只有一个实根属于（－1，1），求实数m的取值范围.【变】已知点A、B的坐标分别为(1，0)、（2，0），若二次函数f（x）＝x2＋（a－3）x＋3的图象与线段AB恰有一个交点，求实数a的取值范围.【例11】若关于x的方程ax2＋x＋a－3＝0在（－2，0）上有且只有一个实根，求实数a 的取值范围.【练】若关于x的方程mx2＋（2m－3）x＋4＝0有且只有一个小于1的正根，求实数m的取值范围.六、两点中间有根【例12】若方程x2－2mx＋m－1＝0在区间（－2，4）上有根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0在区间（0，2）内至少存在一根，求实数m的范围.【变】已知关于x的方程2ax2＋2x－a－3＝0在区间[－1，1]上有根，求实数a的取值范围.【例13】集合A＝{(x，y) | y＝x2＋mx＋2}，B＝{(x，y) | x－y＋1，且0≤x≤2}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围.【练】已知抛物线y＝2x2－mx＋m与以点（0，0）和（1，1）为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求实数m的取值范围.七、两点隔两根【例14】关于x的方程4x2＋（m－2）x＋m－5＝0的一根小于1，另一根大于2，求实数m的取值范围.【练】若关于x的方程x2＋（2m－1）x＋m－6＝0的一个根不大于－1，另一个根不小于1，求实数m的取值范围.【变1】已知方程（a－1）x2＋（2a－6）x－4a＋1＝0的两根为x1，x2，且－1＜x1＜1＜x2，求实数a的取值范围.【变2】若关于x的方程2x2－（m－2）x－2m2－m＝0的两根在区间[0，1]之外，求实数m 的取值范围.八、多点隔两根【例15】若关于x方程x2－mx－m＋3＝0的一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，求实数m的取值范围.【练】已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋1.若方程有两个根，其中一个在区间（－1，0），另一根在区间（1，2）内，求m的范围.【变】若mx2－（m－1）x＋m2－m＋2＝0的两根分别在0＜x＜1和1＜x＜2的范围内，求实数m的取值范围.【作业】1、已知关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0，分别在下列条件下，求实数m的取值范围.（1）方程有两个正根；（2）方程两个根均小于1；（3）方程的一个根大于1，另一个根小于1；（4）方程的两个根均在（0，2）内；（5）方程的一个根小于2，另一个根大于4.（6）方程的一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内；（7）方程有一个正根，一个负根且正根的绝对值较大；（8）方程的两个根有且仅有一个在（0，2）内；2、若方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根，求实数m的取值范围.3、设|a|＝1，b为整数，关于x的方程ax2－2x－b＋5＝0有两个负实数根，求b的值.4、已知二次函数f（x）＝（m＋2）x2－（2m＋4）x＋3m＋3与x轴有两个交点，分别在点（1，0）左右两边，求实数m的取值范围.5、求实数m的取值范围，使关于x的方程x2＋2（m－1）x＋2m＋6＝0至少有一个正根.6、如果二次函数y＝mx2＋（m－3）x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.7、已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程两根均在区间（0，1）内，求实数m的取值范围.8、若关于x的方程7x2－（m＋13）x＋m2－m－2＝0在区间（0，1）、（1，2）上各有一个实根，求实数m的取值范围.9、已知关于x的方程x2＋（3m－1）x＋3m－2＝0的两根都属于（－3，3），且其中至少有一个根小于1，求实数m的取值范围.10、求证：关于x的方程3ax2＋2bx－（a＋b）＝0在（0，1）内至少有一个实根.。
一元二次方程的根
初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42-依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）练习题参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。
一元二次方程根的判别式-
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一元二次方程实数根
一元二次方程实数根是数学中的一个重要概念，它涉及到代数方程解
的求解和实数的性质等知识点。
下面将对此进行详细的介绍。
一、定义
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
当方程存在实数解时，这个方程就叫做一元二次方程实数根。
二、判别式
为了求解一元二次方程实数根，我们需要首先计算出它的判别式，即：Δ=b²-4ac
若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；
若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；
若Δ<0，则方程没有实数根，但有复数根。
其中，Δ又被称为二次方程的根号下判别式。
三、求解
如果方程有实数根，那么我们可以使用求根公式来求解：
x1,x2=(-b±√Δ)/2a
其中x1、x2分别是方程的两个实数根，±看判别式的正负号而定。
四、性质
1. 方程的系数a、b、c可以解释为抛物线的形态、位置和大小等性质。
2. 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 方程有两个实数根的条件是Δ>0；有一个实数根的条件是Δ=0；没有实数根的条件是Δ<0。
4. 当Δ>0时，x1和x2是两个不相等的实数，且它们的和等于-b/a，积等于c/a；当Δ=0时，它们相等，等于-b/2a。
5. 方程的根可以用Vieta公式表示：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
以上就是对于一元二次方程实数根的介绍，相信大家对此有了更加深入的理解和掌握。
在实际应用中，了解和灵活运用这些知识点可以帮助我们更好地解决实际问题。