2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题(平行班) (含答案)
江苏省天一中学2020-2021学年第二学期期末考试高一数学学科（平行班）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设向量()1,0a =，11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A.a b = B.22a b ⋅= C.()a b b -⊥ D.//a b2.已知复数531i z i+=-，则下列说法正确的是（ ） A.z 的虚部为4iB.z 在复平面内对应的点在第二象限C.5z =D.z 的共轭复数为14i -3.从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是（ ）A.至少有一名男同学与都是男同学B.至少有一名男同学与都是女同学C.恰有一名男同学与恰有两名男同学D.至少有一名男同学与至少有一名女同学4.在ABC △中，80a =，100b =，45A =°，则此三角形解的情况是（ ）A.一解B.两解C.一解或两解D.无解5.如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A.310B.15C.110D.3206.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）A.若//m α，//m β，则//αβB.若//m α，//m n ，则//n αC.若m α⊥，//m β，则αβ⊥D.若//m α，n α⊂，则//m n7.如图，点M 是正方体1111ABCD A BC D -的棱CD 的中点，则异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值是（ ）A.5B.5C.5D.108.若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ）2 4 C.1:2 4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）A.平均数为3B.标准差为85C.众数为2和3D.85%分位数为4.510.下列说法正确的是（ ）A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125B.若A ，B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B =+，()0P AB =C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是23 11.下列结论正确的是（ ）A.在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >B.在ABC △中，若2220b c a +->，则ABC △是锐角三角形C.若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D.在锐角三角形ABC 中，sin sin cos cos A B A B +>+12.对于给定的ABC △，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的有（ ） A.212AO AB AB ⋅= B.OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C.过点G 的直线l 交AB ，AC 于E ，F ，若AB AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D.AH 与cos cos ABACAB B AC C +共线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在ABC △中，2AB =，3AC =，2cos 3A =，则其外接圆的面积为______. 14.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，1AD =，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______.15.某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >，则m n +的值是______. 16.如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=°，90BAD ∠=°，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列判断正确的是______（写出所有正确的序号）①平面ABD ⊥平面ABC②直线BC 与平面ABD 所成角是45°③平面ACD ⊥平面ABC④二面角C AB D --四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC x y =-+，()4,1OD =--.（1）若四边形ABCD 是平行四边形，求x ，y 的值（2）若ABC △为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求x ，y 的值.18.（12分）已知复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，且满足2240ωω++=. （1）求复数ω；（2）设复数z x yi =+（,x y R ∈）满足：z ω⋅为纯虚数，2z =，求x y ⋅的值.19.（12分）在ABC △中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知()cos23cos 1A B C -+=.（1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.20.（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200kW h ⋅的部分按0.5元/kW h ⋅收费，超过200kW h ⋅但不超过400kW h ⋅的部分按0.8元/kW h ⋅收费，超过400kW h ⋅的部分按1.0元/kW h ⋅收费.（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：kW h ⋅）的函数解析式（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75百分位数.21.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点.（1）求证：11//B C 平面1A DE ；（2）若平面1A DE ⊥平面11ABB A ，求证：AB DE ⊥. 22.（12分）夜晚，在侨中D 栋5楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事.完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑.某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度，如图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点A ，B ，其中AB 指向正西方向.首先利用百度地图测距功能测出AB 长度为2km ，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的C ，D 两点，测得30BCA ∠=°，45ACD ∠=°，60BDC ∠=°，30ADB ∠=°，学习小组根据上述条件计算出CD 长度，并将其与CD 的实际长度284km 进行比较，若误差介于20-米~20米之间，则认为百度地图测距是准确的.（1 1.414≈）（2）如图（2），小组在A 处测得完美大厦主楼楼顶M 在西偏北θ方向上，在B 处测得楼顶M 在西偏北ϕ方向上，且仰角45MBN ∠=°；通过计算得sin 3sin 4θϕ=，cos 11cos 4θϕ=，tan 450.0793≈°，若百度地图测出的2km AB =是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到1米）.江苏省天一中学2020-2021学年第二学期期末考试高一数学学科（平行班）答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】C解：对于A ，1a =，11442b +==，故A 选项错误； 对于B ，12a b ⋅=，故B 选项错误；对于C ，()1111,,02222a b b ⎛⎫⎛⎫=-⋅= ⎪ -⋅⎪⎝⎭⎝⎭，所以()a b b -⊥，故C 选项正确； 对于D ，111022⨯≠⨯，所以两个向量()1,0a =，11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭不平行，故D 选项错误， 故选C.2.【答案】D 解：∵()()()()5315328141112i i i i z i i i i ++++====+--+， A.z 的虚部为4，故A 错误；B.14z i =+对应的点为()1,4，在第一象限，故B 错误；C.z ==C 错误；D.z 的共轭复数为14i -，故D 正确；故选D.3.【答案】C解：从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，在A 中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故A 错误；在B 中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故B 错误；在C 中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥面不对立的事件，故C 正确；在D 中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故D 错误.故选：C.4.【答案】B 解：由正弦定理得：sin sin a b A B =，则2002sin 808B ==sin A >=，且b a >，所以B 可以为锐角也可以为钝角， 因此三角形解的情况是两解.故选B.5.【答案】B解：由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为2606-=.从1，2，3，4，5中任取两个数字，基本事件总数为：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，共10个，设事件A =“取出的两个数字之和为6”，则事件A 包含的基本事件有：()1,5，()2,4，共2个， 因此该图形为“和谐图形”的概率为21105=，故选B. 6.【答案】C 解：A.若//m α，//m β，则//αβ；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故A 不正确；B.若//m α，//m n ，则//n α或n α⊂，故B 不正确；C.若m α⊥，//m β，则αβ⊥；此命题正确，因为//m β，则一定存在直线n 在β，使得//m n ，又m α⊥可得出n α⊥，由面面垂直的判定定理知，αβ⊥，故C 正确；D.若//m α，n α⊂，则//m n 或m ，n 异面，故D 不正确.故选C.7.【答案】A解：如图，连接1AD ，∵11AB C D =，11//AB C D ，∴四边形11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，则1D AM ∠为异面直线AM 与1BC 所成角，连接1D M .设正方体的棱长为2，则1AD =1AM D M =∴2221cos 5D AM +-∠==即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值是5. 故选A.8.【答案】A解：设球的半径为r ，所以球的体积为343r π. 设圆锥的高为h ，因为圆锥与球的体积相等，∴()2341233r r h ππ=，∴h r =.=，球的表面积为：24r π.圆锥的侧面积为：2142r r π⨯=2. 故选A. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.【答案】AC解：平均数为5543332221310+++++++++=，故A 正确；5=，故B 错误； 观察数据可得众数为2和3，故C 正确；将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.则85108.5100i =⨯=，∴第85百分位数为5，故D 错误. 故选AC.10.【答案】BCD 解：对于A ，∵他们各自解出的概率分别是12，14，则此题不能解出的概率为 11311248⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则此题能解出的概率为35188-=，故A 错； 对于B ，若A ，B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B =+，()0P AB =，故B 正确； 对于C ，高级教师应抽取5020%10⨯=人，故C 正确；对于D ，由列举法可知，两位女生相邻的概率是23，故D 正确. 故选CD.11.【答案】AD解：A.在ABC △中，由2sin 2sin sin sin a b R A R B A B A B ⇒>⇒>⇒>>，故A 正确. B.若2220b c a +->，则222cos 02b c a A bc +-=>，又因为0A π<<， 所以A 为锐角，但ABC △不一定为锐角三角形，故B 错误.C.∵sin 2sin 2A B =，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，所以三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形，故C 错误；D.在锐角三角形ABC 中，∵2A B π+>，∴sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即sin sin A B >，同理：sin cos B A >，∴sin sin cos cos A B A B +>+，故D 正确， 故选AD.12.【答案】ACD解：对于A ，由垂径定理可知，外心O 在AB 上的射影为线段AB 的中点， 所以212AO AB AB ⋅=，故A 正确； 对于B ，若OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅，由OA OB OA OC ⋅=⋅，则()0OA OB OC ⋅-=，即0OA CB ⋅=， 同理0OB CA ⋅=，0OC AB ⋅=，即点O 为ABC △的垂心.又H 为ABC △的垂心，则有0HA BC HB AC HC AB ⋅=⋅=⋅=，故B 不正确；对于C ，因为G 、E 、F 三点共线，故存在实数t ，使得()()11AG t AE t AF t AB t AC λμ=+-=+-，又G 为ABC △的重心，故1133AG AB AC =+， 所以()13113t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则113λμ+=，故C 正确； 对于D ，因为0cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC BC BC AB B AC C AB AC C θ⎛⎫⋅⋅ ⎪+-=+=-+= ⎪⎝⎭， 所以cos cos AB AC AB B AC C +与BC 垂直，又H 为ABC △的垂心，则AH 与BC 垂直，所以AH 与cos cos ABACAB B AC C +共线，故D 正确，故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】94π 解：在ABC △中，2AB =，3AC =，故sin A ==，由余弦定理可得，BC = 则利用正弦定理可得：ABC △3=，可得： ABC △的外接圆的半径为32，故ABC △的外接圆的面积为94π，故答案为：94π. 2cos 3A =，则其外接圆的面积为______. 14.【答案】3；9π解：如图所示：易知该“阳马”的侧棱长为3PC ==，PB ==PD ，故最长的侧棱为3，由条件易得：阳马P ABCD -的外接球印是以PA 、AB 、AD 为棱长的长方体的外接球.设其半径为R ，则()222229R PA AB AD =++=，解得32R =， 所以外接球表面积249S R ππ==，故答案为3；9π.15.【答案】34解：由题知三个社团都能进入的概率为124，即1113248m n m n ⨯⨯=⇒⨯=， 又因为至少进入一个社团的概率为34，即一个社团都没能进入的概率为31144-=. 即()()213111348m n m n m n -⨯⨯-=⇒--+⨯=，整理得34m n +=. 故答案为34. 16.【答案】②③④解：在四边形ABCD 中，由已知可得45DBC ∠=°，假设平面ABD ⊥平面ABC ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BDC BC =，可得BC ⊥平面ABD ，有90DBC ∠=°，与45DBC ∠=°矛盾，则假设错误，故①错误；在四边形ABCD 中，由已知可得BD DC ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BDC BC =，则DC ⊥平面ABD ， DBC ∠为直线BC 与平面ABD 所成角是45°，故②正确；由判断②时可知，DC ⊥平面ABD ，则DC AB ⊥，又AB AD ⊥，AD DC D =，则AB ⊥平面ADC ，而AB ⊂平面ABC ，则平面ACD ⊥平面ABC ，故③正确；由判断③时可知，AB ⊥平面ADC ，则DAC ∠为二面角C AB D --的平面角，设1AD AB ==，则BD DC ==由DC AD ⊥，得AC =cos AD DAC AC ∠==. 故答案为：②③④.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC x y =-+，()4,1OD =--，所以()1,5AD OD OA =-=--，()1,BC OC OB x y =-=+，由AD BC =，得2x =-，5y =-.………………5分（2）因为()3,1AB =--，()1,BC x y =+，B ∠为直角，所以AB BC ⊥，()310AB BC x y ⋅=-+-=. 又AB BC =，所以()22110x y ++=. 联立()()22310110x y x y -+-=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩.………………10分 18.解：（1）∵2240ωω++=，∴1ω=-，又复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，∴1ω=-+；…………4分（2）∵z x yi =+（,x y R ∈），∴()())1z x yi x y i ω⋅=-++=-+-， ∵z ω⋅为纯虚数，∴0x -=0y -≠，由2z =，得224x y +=，联立可得x =1y =或x =1y =-，∴xy =…………12分19.解：（1）由()cos23cos 1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=， 即()()2cos 1cos 20A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）. 因为0A π<<，所以3A π=.………………6分（2）由1sin 2S bc A ===，得到20bc =，又5b =，解得4c =， 由余弦定理得2222cos 25162021a b c bc A =+-=+-=，故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.…………12分 20.解：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-；当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-.所以y 与x 之间的函数解析式为0.5,0200,0.860,200400,140,400.x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩…………4分（2）由（1）可知，当260y =时，400x =，即用电量低于400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知0.00110021000.0031000.8,1000.00051000.2.b a ⨯+⨯+⨯=+⨯=⎧⎨⎩解得0.0015a =，0.0020b =.…………8分（3）设75%分位数为m ，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为()0.0010.0020.00310060%++⨯=，用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数m 在[)300,400内，所以()0.63000.0020.75m +-⨯=，解得375m =，即用电量的75%分位数为375千瓦时.…………12分21.证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 是平行四边形，所以11//B C BC .在ABC △中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，故//BC DE ，所以11//B C DE .又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ， 所以11//B C 平面1A DE .…………6分（2）如图，在平面11ABB A 内，过A 作1AF A D ⊥于F ，因为平面1A DE ⊥平面11A ABB ，平面1A DE 平面111A ABB A D =，AF ⊂平面11A ABB ，又DE ⊂平面1A DE ，所以AF DE ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ， 所以1A A DE ⊥.因为1AF A A A =，AF ⊂平面11A ABB ，1A A ⊂平面11A ABB ，所以DE ⊥平面11A ABB .因为AB ⊂平面11A ABB ，所以DE AB ⊥.…………12分22.【答案】解：（1）设km CD a =，等腰Rt ACD △中，km AC =，在BCD △中，30BCA ∠=°，45ACD ∠=°，60BDC ∠=°，可得45CBD ∠=°.由正弦定理得sin 60sin 45BC a =°°，解得BC a =；在ABC △中，由余弦定理得2AB a ==，∵2km AB =，∴2828m a =≈， ∵2828284020m -<，∴百度地图测距是准确的.…………4分（2）由已知sin 3sin 4θϕ=，在ABN △中，()sin 3sin 4BN AN θπϕ==-， 设3BN x =，4AN x =， 由余弦定理得，2222216947cos 1616x x x x x θ+-+==，2222921647cos 1616x x x ABN x x+--∠==， ()cos cos cos ABN πϕϕ∠=-=-， 故cos cos 11cos cos 4ABN θθϕ=-=-∠，解得1x =，所以3BN =，4AN =， 在Rt MBN △中，tan MN MBN BN ∠=， 故tan 3tan 4.530.07930.238MN BN MBN =∠=⨯≈⨯=°，故测算完美大厦主楼的高度约为238m .…………12分。
2020年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学试题(强化班)(附带详细解析)
（1）判断以下数列 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；
① ； ② ； ③
（2）设 ，若数列 是双底数列，求实数 的值以及数列 的前 项和 ；
（3）设 ，是否存在整数 ，使得数列 为双底数列？若存在，求出所有的 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
A． B．
C． D．
5．如图，在正方体 中，点 分别为棱 的中点，在平面 内且与平面 平行的直线
A．有无数条B．有2条
C．有1条D．不存在
6．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且 ，则使得 为整数的正整数n的个数是( )
A．2B．3C．5D．4
7．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
（Ⅲ）设集合 ， ，等差数列 的任意一项 ，其中 是 中的最小数，且 ，求 的通项公式.
18．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路 进行分流，已知穿城公路 自西向东到达城市中心 后转向 方向，已知 ，现准备修建一条城市高架道路 ， 在 上设一出入口 ，在 上设一出口 ，假设高架道路 在 部分为直线段，且要求市中心 与 的距离为 .
（2）求和 .
16．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 是 中点，过 、 、 三点的平面交 于 .
求证：（1） 平面 ；
（2） 是 中点.
17．已知数列 的前 项和为 ，对一切正整数 ，点 都在函数 的图象上，记 与 的等差中项为 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 ；
（1）当直线 与圆 相切时，求直线 的方程；
（2）已知直线 与圆 相交于 ， 两点．
江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高一(强化班)下学期期中数学试题(解析版)
对于B，由题意得 ，若 与 的夹角为锐角，则 代入数据解得 ，故B错误；
对于C，由“复数 是虚数”得 ，因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以“ ”是“复数 是虚数”的必要不充分条件.故C正确；
对于D，当 时满足 ，此时不满足 .故D错误.
当点 为线段 的中点时， 与点 重合，此时 ，故 ，同理可得 .
由 ，
又 、 、 三点共线， ，即 ，
延长 交 于点 ，则 为 的中点，且有 ，
又
，
当且仅当 ， 时取得最小值.
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
9.下列说法中错误 是（）
A.若向量 满足 ，则存在唯一的实数λ，使得
B.已知非零向 ，且 与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
C.“ ”是“复数 是虚数”的必要不充分条件
D.若复数 ，满足 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A举出反例即可；对于B根据向量夹角为锐角时坐标运算公式计算即可；对于C化简复数 根据逻辑命题知识判断即可；对于D举出反例即可.
【详解】解： ，
∴ ，
，
又 ，则 ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
15.若满足 的 恰有一个，则实数 的取值范围是_________ .
【答案】 或
【解析】
【分析】根据正弦定理分析解的个数问题.
【详解】由正弦定理 ， ，
当 ，即 时， ，只有一解，
当 时， ，若 ，则 ， 可为锐角也可为钝角，有两解，
2021-2022学年江苏省无锡市高一下期中考试数学试卷及答案解析
试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
Ā∥
1．若复数 z 满足 Ā∥
t4+i，则 z 的虚部为（
）
A．﹣3i
B．﹣3
C．3i
D．3
2．在四边形 ABCD 中，已知 t t， t
A．梯形
B．矩形
tt ，则四边形 ABCD 一定是（ ）
λ，μ为正实数，则下列结论正确的是（ ）
λ t Āμ t，
A．λμ的最小值为 16
B．λμ的最大值为
C．λ Ā 的最大值为 16
D．λ Ā 的最小值为 4
10．已知 m，n 是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
（a+b+c）＝6，解得：a+b+c＝4，故 A 正
所以 2RsinAcosA+2RsinBcosB+2RsinCcosC ，即 sin2A+sin2B+sin2C ，D 正确；
若△ABC 为锐角三角形，S△ABC
i∥ Ā i∥ t Ā i∥ t
t 6，
所以 R＝6，若△ABC 为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，故 B 正确；
则 z 的虚部为﹣3．
故选：B．
2．在四边形 ABCD 中，已知 t t， t
A．梯形
B．矩形
tt ，则四边形 ABCD 一定是（ ）
C．菱形
D．正方形
【解答】解：∵ t t， ∴AB＝DC，且 AB∥DC，
江苏省无锡市重点高一下学期期中数学试题(解析版)
江高一下学期期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知中，，，，则等于（ ） ABC 4a =4b =30A ∠=︒B ∠A. 或 B. 或C.D.60︒120︒30︒150︒60︒30︒【答案】D 【解析】【分析】直接利用正弦定理化简求解即可．【详解】由题意在中，，，，ABC 4a =4b =30A ∠=︒由正弦定理：可得． sin sin a b A B=14sin 12sin 42b A B a ⨯===，或．0180B ︒<<︒ 30B ∴=︒150︒又，所以 a b =30B =︒故选：D ．2. 下列说法正确的是（ ）A. 设非零向量，，若，则向量与的夹角为锐角 a b 0a b ⋅> a bB. 若非零向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线 AB CDC. 若，，则a b ∥b c ∥a c∥D. 若，则a b =a b =r r 【答案】D 【解析】【分析】对于A ，当向量，同向时，即可判断；对于B ，根据共线向量的定义即可判断；对于C ，根a b据零向量与任意向量共线，即可判断；对于D ，根据相等向量的定义即可判断.【详解】解：对于A ，若，则，故A 错误；0a b ⋅>,0,2a b π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭对于B ，若非零向量与是共线向量，AB CD则与平行或共线，故B 错误；AB CD 对于C ，若，，a b ∥b c∥当时，不能确定是否平行，故C 错误；0b =,a c 对于D ，若，则，故D 正确.a b =a b =r r 故选：D.3. 如图，在多面体中，平面平面 ，且ABC DEFG -//ABC ,//DEFG EF DG ,2AB DE DG EF ==，则 ( )A. 平面B. 平面 //BF ACGD //CF ABEDC.D. 平面平面//BC FG //ABED CGF 【答案】A 【解析】【分析】取DG 的中点M ，连AM 、FM ，证明四边形ABFM 是平行四边形，问题得解. 【详解】如图所示，取DG 的中点M ，连AM 、FM ，．则由已知条件易证得四边形DEFM 是平行四边形， ∴且．//DE FM DE FM =∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ， ∴AB ∥DE ， ∴AB ∥FM ． 又AB ＝DE ， ∴AB ＝FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形， ∴BF ∥AM ．又BF 平面ACGD ，AM 平面ACGD ， ⊄⊂∴BF ∥平面ACGD ．选A ．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理及面面平行的性质，还考查了转化能力及空间思维能力，属于中档题.4. 一艘轮船按照北偏东方向，以18海里小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东40︒/20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）海里． A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】【分析】作出示意图，利用余弦定理，即可得解．【详解】设轮船从点出发到达点，灯塔在点，如图所示，A CB由图可知，，海里， 1804020120BAC ∠=︒-︒-︒=︒2018660AC =⨯=在中，由余弦定理知，，ABC 222||||2cos BC AB ACAB AC BAC =+-⋅⋅∠所以，即，2221||626()2AB AB =+-⨯⨯-2||6400AB AB +-=解得或（舍负）， ||4AB =10-所以灯塔与轮船原来的距离为4海里． 故选：C ．5. 如图所示，在等腰梯形中，，为线段的中点，，ABCD //AD BC E AB 14DF FC =24BC AD ==，，则（ ）60ABC ∠= BF CE ⋅=A. B. C.D.12-10-8-6-【答案】B 【解析】【分析】求出，再由利用数量积的定义计算即可2AB CD ==4152BF CE BC CD BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解.【详解】在等腰梯形中，分别过点，作，垂直于于点，， ABCD A D AM DN BC M N 则，， 2MN AD ==1BM CN ==因为 ，所以，60ABC ∠= 2AB CD ==因为为线段的中点，，E AB 14DF FC =所以24112452255BF CE BC CD BA BC BA BC BC CD BA CD BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 212424cos 60422cos 6024cos120255=⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ，4162161055=-++=-故选：B.6. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 7 B. 6C. 5D. 3【答案】A 【解析】【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解. r 【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长， r 3r 3l =所以，解得. ()384S r r l ππ=+=侧7r =故选：A.【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.7. 设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且111ABC A B C -40π，则该直三棱柱的体积是（ ）1,120AB AC AA BAC ∠=== A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先设出棱长，表示出球半径，利用球的表面积求出棱长，然后利用柱体的体积公式可求体积. 【详解】设.因为，所以.12AB AC AA m ===120BAC ∠= 30ACB ∠=由正弦定理得是外接圆的半径），.22(sin30mr r =ABC 2r m =又球心到平面的距离等于侧棱长.所以球的表面ABC1AA=积为，解得)24π40π=m =因此该直三棱柱的体积是2311422ABC S AA m m ⋅=⨯== 故选：A.8. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足．角A 的内角平分线交ABC 2tan 1tan c Ab B=+于点M ，若，则（ ） BC 2BM CM ==AMBCA.B.C.D. 2233212【答案】A 【解析】【分析】由条件及三角形中角的关系，结合正弦定理先求出角，由三角形的内角平分线定理可得A ，然后在，中，分别利用余弦定理结合，用2AB AC =ACM △ABM 180BMA CMA ∠+∠=︒AC表示出，从而可得出答案.,AM BC 【详解】由条件有：，sin 2sin sin cos sin cos sin cos sin()cos 11sin sin sin cos sin cos sin cos cos AC A B B A A B A B A B B B A B A B A B++=+=+==又，则，sin()sin()sin ,sin 0,sin 0A B C C B C π+=-=>>2sin sin sin sin cos C CB B A=即，又，则1cos 2A =()0,A π∈3A π=由为的角平分线，则,即 AM CAB ∠2AB BM AC CM==2ABAC =则30CAM BAM ∠=∠=︒在中， ACM △222cos 2AC AM CM CAM AC AM +-∠==⋅⋅即①222AC AM CM AM +-=⋅在中，ACM △222cos 2CM AM AC CMA CM AM+-∠=⋅⋅在中，ABM 22222244cos 24BM AM AB CM AM AC BMA BM AM CM AM+-+-∠==⋅⋅⋅⋅由，则180BMA CMA ∠+∠=︒22222244024CM AM AC CM AM AC CM AM CM AM+-+-+=⋅⋅⋅⋅化简得到： ②22222AM AC CM =-将②代入①可得： ③ AMAC =将③代入②可得：, 所以CMAC =BC =所以23A BC M ==故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，有下列四个1111ABCD A B C D -M N P 11CD BC 11A D 结论正确的是（ ）A. 与是异面直线；B. 、、相交于一点； AP CM AP CM 1DDC. ；D. 平面.1//MN BD //MN 11BB D D 【答案】BD 【解析】【分析】本题首先可根据、判断出A 错误，然后根据平面平面//MP AC MP AC ≠11 A ADD 得出B 正确，再然后根据得出C 错误，最后根据线面平行的判定即可证得D111=C CDD DD 1//MN D O正确.【详解】A 项：如图，连接、、，PM AC 11AC因为、分别是、的中点，多面体是正方体， M P 11C D 11A D 1111ABCD A B C D -所以，，，11//MP AC 11//AC A C //MP AC 因为，所以与是同一平面内的相交直线，A 错误； MP AC ≠AP CM B 项：因为平面平面，平面，平面，11 A ADD 111=C CDD DD AP ⊂11A ADD CM ⊂11C CDD 所以、、相交于一点，B 正确；AP CM 1DD C 项：如图，连接与交于点，连接、，AC BD O ON 1OD由正方体性质易知，是中点， O BD 因为是中点，所以，， N BC //ON CD 12ON CD =因为，，所以，， 1//D M DC 112D M DC =1//ON D M 1ON D M =故四边形是平行四边形，，易知C 错误； 1ONMD 1//MN D O D 项：因为，平面，平面， 1//MN D O MN ⊄11BB D D 1OD ⊂11BB D D 所以平面，D 正确， //MN 11BB D D 故选：BD.10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）ABCDEFGH ||1OA =A.B.OA OD ⋅= OB OH +=C.D. 在向量上的投影向量为AH HO BC BO ⋅=⋅ AH AB AB 【答案】AB 【解析】【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，然后再由数ABCDEFGH 45︒量积的运算逐一分析四个选项得答案．【详解】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，ABCDEFGH 45︒对于，A 正确；A 11cos135OA OD ⋅=⨯⨯︒=对于B ，，则以，为邻边的对角线长是倍，90BOH ∠=︒OB OH ||OA可得，故B 正确；OH OB +==对于C ，，，与的夹角为，AH BC = ||||HO BO = AH HO180AHO ︒-∠与的夹角为，故，故C 错误；BC BO OBC AHO ∠=∠AH HO BC BO ⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r对于D ，由已知可得，AH ==在向量上的投影数量为∴AH ABcos135AH AH ︒===则在D 错误．AHAB故选：AB ．11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，的面积为，下列与有关的ABC A B C a b c ABC S ABC 结论，正确的是（ ）A. 若为锐角三角形，则ABC sin cos A B >B. 若，则A B >sin sin A B >C. 若，则一定是等腰三角形 cos cos a A b B =ABC D. ，则的外接圆半径是4 2,30a A ==︒ABC 【答案】AB 【解析】【分析】对于，根据锐角三角形的性质，结合正弦函数单调性以及诱导公式，判断A ，根据正弦定理A 判断B ，根据正弦定理，进行边角互换，可得正弦等式，判断C ，根据正弦定理，可判断D ． 【详解】对于，若为锐角三角形，可得且， A ABC 2A B π+>π,(0,)2A B ∈可得，且，根据正弦函数的单调性， π2A B >-ππ(0,)22B -∈可得，所以，故正确； πsin sin()2A B >-sin cos A B >A 对于B ，在中，由知，根据正弦定理可得，故B 正确；ABC A B >a b >sin sin A B >对于C ，由正弦定理知，，则，2sin a R A =2sin b R B =2sin cos 2sin cos R A A R B B =可得，故或，是等腰三角形或直角三角形，故C 错误； sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=ABC 对于D ，在中，设的外接圆半径是R ，则根据正弦定理可得，ABC ABC 22=4,21sin 2a R R A ===故D 错误． 故选：AB ．12. 已知三个内角，，的对应边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） ABC A B C a b c A. ，．π3C ∠=2c =ABC B. ，．的最大值为 π3C∠=2c =AC AB ⋅ 2+C. 若，则的形状为等腰三角形 AB AC BA BC ⋅=⋅ABC D. ，则的形状为等边三角形 10,3AB AC BA BC BC AB ACBABC ⎛⎫ ⎪+⋅=⋅= ⎪⎝⎭ABC 【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，由余弦定理结合基本不等式求得的最大值，即可得出面积的最大值，进而可判断A ab 是否正确；对于B ，由正弦定理结合二倍角公式，两角和与差的正弦公式，正弦函数性质求得的cos b A 最大值，从而可得数量积的最大值，即可判断B 是否正确；对于C ，由向量数量积公式和两角和与差的三角函数公式即可判断C 是否正确；对于D ，因为，判断的平分线AD 与0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭A ∠BC 垂直，得是等腰三角形，因为，判断角B 是否为60°，即可判断D 是否正确. ABC 13BA BC BA BC ⋅=【详解】对于，由余弦定理可得， A 22222π22cos 23a b ab a b ab ab ab ab =+-=+-≥-=当且仅当时，等号成立，2a b ==A 正确； 11πsin 4sin 223ABC S ab C =≤⨯⨯=△对于B ，， cos 2cos AC AB bc A b A ⋅==在中，，， ABC 22ππsin sin()sin 33b cC A ==-2πsin()3b A =-2π1cos sin()cos sin )cos 32b A A A A A A =-=+21sin cos )2A A A =+， πcos 2)sin 2])13A A A =++=++因为，所以，所以， π3C =2π03A <<ππ5π2333A <+<所以，即时，取得最大值1，即， ππ232A +=π12A =πsin(23A +cos b A 1所以的最大值为，故B 正确；AC AB ⋅ 2对于C ，因为，所以，即，AB AC BA BC ⋅=⋅cos cos bc A ac B =cos cos b A a B =由正弦定理得，即， sin cos sin cos =B A A B sin()=0A B -因为，所以， 0π,0πA B <<<<ππA B -<-<所以，所以是等腰三角形，故C 正确；A B =ABC 对于D ，因为， 0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭所以的平分线AD 与BC 垂直，所以是等腰三角形A ∠ABC 因为，所以，所以， 13BA BC BA BC ⋅= 1cos 3B =π3B ∠≠所以是等腰非等边三角形，故D 错误．ABC 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm 3.【答案】2π【解析】 【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为 262⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为 2π故答案为：2π-【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 在中，，若O 为外接圆的圆心，则的值为__________．ABC 4,6AB AC ==ABC AO BC ⋅ 【答案】10【解析】【分析】作出边垂线，利用向量的运算将用表示，得有向量的数量积的几何意义将,AB AC BC ,AB AC向量的数量积表示成一个向量与另一个向量的投影的乘积即可求得答案【详解】过作，垂足分别为，O ,OS AB OT AC ⊥⊥,S T 因为O 为外接圆的圆心，ABC 所以分别为的中点， ,S T ,AB AC 所以()AO BC AO AC AB ⋅=⋅- AO AC AO AB =⋅-⋅ cos cos AO AC OAC AO AB OAB =⋅∠-⋅∠AC AT AB AS =- , 64641022=⨯-⨯=故答案为：1015. 如图，在中，，，.为内部（包含边界）的动点，且ABCa =4c =23BAC π∠=P ABC .则___________；的取值范围___________. 1PA =AC AB +=PB PC ⋅【答案】①. 4 ②.[]11,9--【解析】 【分析】方法1：①由正弦定理求得，进而可求得b ，可得在是等腰三角形，取BC 的中点E ，在中ACB ∠ABC BEA △可求得AE ，再由可求得的值.AB+AC =2AE ||AB AC + ②设 ，，则展开计算，转化为三角函数在,AP AE θ<>= [0,]3πθ∈()()PB PC PA AB PA AC ⋅=+⋅+ 给定区间上求值域，即可得结果.方法2： ①由余弦定理求得b 的值，再由即可求出；2||AB AC + ②以A 为原点建系，设 ，则可得，转化为三角函PAB α∠=2(0)3πα≤≤4sin(76PB PC πα⋅=-+- 数在给定区间上求值域，即可得结果.【详解】方法1：①在中，由正弦定理得：ABC sin sin B a C c BA AC =∠∠4sin ACB =∠解得：. 1sin 2ACB ∠=又∵，∴，∴ 23BAC π∠=6ACB π∠=6ABC π∠=∴，4b c ==取BC 的中点E ，连接AE ，如图所示，则：， ，AE BC ⊥AB+AC =2AE ∴在中， ，BEA △sin 4sin 26ABC AE AB π=⨯∠==∴，||2||4AB AC AE +== ②设 ，则 ， ,AP AE θ<>= [0,]3πθ∈2()()()PB PC PA AB PA AC PA AC AB PA AB AC ⋅=+⋅+=++⋅+⋅ 212||||cos 12||||cos 83AE AP AB AC AE AP πθ=-⋅+⨯⨯=-⨯⨯- ，7221cos 74cos θθ=--⨯⨯⨯=--∵，∴，∴， [0,]3πθ∈1cos [,1]2θ∈74cos [11,9]θ--∈--故的范围是：； PB PC ⋅ [11,9]--方法2：①在中，由余弦定理 ，ABC 2222cos a b c bc BAC =+-∠即： ，解得：或（舍）， 248164b b =++4b =8b =-， 2222222||()244244cos 163AB AC AB AC AB AC AB AC π+=+=++⋅=++⨯⨯⨯= ∴，||4AB AC += ②以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，设 ，则P 点的坐标为，B 点的坐标为 ， PAB α∠=2(03πα≤≤(cos ,sin )αα(4,0)C 点的坐标为 ， (2,-∴ ，，(4cos ,sin )PB αα=-- (2cos ,sin )PC αα=---∴， 2cos 74sin()76PB PC πααα⋅=---=-+- ∵，∴，∴， 203πα≤≤5666πππα≤+≤1sin()126πα+≤≤∴，114sin()796πα-≤-+-≤-即：，故的范围是：，119PB PC -≤⋅≤- PB PC ⋅[11,9]--故答案为：4；.[11,9]--16. 已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，若动点在正方1111ABCD A B C D -M N BC 1CC P 形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是_________． 11BCC B 1//PA AMN 1PA【答案】 【解析】 【分析】构造与平面平行的平面，得出点轨迹，在中计算的范围即可．AMN 1A EF P 1A EF 1A P 【详解】连接，，取的中点，的中点，连接，，，1BC EM 11B C E 1BB F 1A E 1A F EF 则，，所以，1BC //EF MN //1BC EF //MN 因为， ，1AA //1BB //EM 11M A B E A B ==所以四边形为平行四边形，所以，1AMEA 1//A E AM 因为平面，平面，,AN MN ⊂AMN 1,A E EF ⊄AMN 所以平面，平面，1A E //AMN EF //AMN 因为，所以平面平面，1A E EF E ⋂=1//A EF AMN 平面，的轨迹为线段．1//A P AMN P ∴EF，11A E A F == EF =当时， ∴1A P EF ⊥1A P =当与（或重合时，．P E )F 1A P ∴1A P ≤≤故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量，.(,1)a m =- (1,2)b = （1）若，求； ()+2a b b ⊥ 2a b + （2）若向量，，求与夹角的余弦值.(2,1)c =- a c ∥ a 2a b -r r【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据求得，从而可得，于是 ()+2a b b ⊥ 3m =-2(1,3)a b +=- 2a b += （2）由，可得，再由夹角公式计算即可.a c ∥ (2,1)a =- 【小问1详解】 因为，，(,1)a m =- (1,2)b = 所以，.+(1,1)a b m =+ 2(2,4)b = 由，可得，即， ()+2a b b ⊥ ()+20a b b ⋅= 2(1)40m ++=解得，所以，故3m =-2(1,3)a b +=- 2a b += 【小问2详解】 因为向量，，所以，所以.(2,1)c =- a c ∥ 20m -=2m =则，，(2,1)a =- 2(0,5)a b -=-所以， ()2cos ,22a a b a a b a a b ⋅--=-==所以与夹角的余弦值为. a 2a b -rr 18. 在中，角所对的边分别为，且 ABC ,,A B C ,,a bc cos b A c ⋅=（1）求角B ；（2）若的面积为BC 边上的高，求，的值．ABC 1AH =b c 【答案】（1）π6B =（2），b =2c =【解析】【分析】（1）利用余弦定理角边互化，再利用三角函数的特殊值对应特殊角，结合角的范围即可求解； （2）根据正弦定理及三角形的面积公式，再利用余弦定理即可求解.【小问1详解】因为，所以cos b A c =-2222b c a bc bc +-⋅=-所以，即22222b c a c +-=-222c ab +-=由余弦定理可得， 222cos 2c a b B ac +-==因为，所以 ()0,πB ∈π6B =【小问2详解】由（1）知，，因为BC 边上的高，所以， π6B =1AH =2πAHB ∠=在中，由正弦定理可得， ABH sin sin c AH AHB B=∠即. sin sin 22sin sin 6πAH AH AHB c πB∠===因为的面积为ABC所以，解得. 11sin 22ac B a ==a =在中,由余弦定理,得ABC，则. 2222cos 4842228b a c ac B =+-=+-⨯⨯=b =所以的值为，的值为. b c 219. 由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行1111ABCD A B C D -111C B CD -ABCD 四边形，O 为与的交点．AC BD（1）求证：∥平面；1A O 11B CD （2）求证：平面∥平面；1A BD 11B CD （3）设平面与底面的交线为l ，求证：．11B CD ABCD BD l ∥【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可； 11B D 1O 111,CO AO （2）由线线平行证平面，结合平面即可证平面平面； BD ∥11B CD 1AO ∥11B CD 1A BD ∥11B CD （3）由线面平行证线线平行即可.【小问1详解】取的中点，连接，11B D 1O 111,CO AO ∵是四棱柱，∴， 1111ABCD A B C D -11AO OC ∥∴四边形为平行四边形，∴， 11AOCO 11AO O C ∥又平面平面，∴平面．1O C ⊂111,B CD AO ⊄11B CD 1AO ∥11B CD【小问2详解】∵，∴四边形是平行四边形，∴，111BB AA DD ∥∥11BB D D 11BD B D ∥∵平面平面，∴平面，BD ⊄1111,B CD B D ⊂11B CD BD ∥11B CD由（1）得平面且，平面， 1AO ∥11B CD 1BD AO O = 1BD AO ⊂、1A BD ∴平面平面．1A BD ∥11B CD 【小问3详解】由（2）得：平面，BD ∥11B CD 又平面，平面平面，∴．BD ⊂ABCD 11B CD ⋂ABCD l =BD l ∥20. 北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步ABCD道，且. ,2AC D B ∠∠=1,3,cos AD CD B ===（1）求氢能源环保电动步道的长；AC （2）若___________；求花卉种植区域总面积.从①，②. 3BCA π∠==BC【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用二倍角公式求出，利用余弦定可求的长；cos D AC（2）选①：由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得AB =sin BAC ∠，，从而可求花卉种植区域总面积．ABC S ADC S △选②：利用余弦定理求出，，从而可求花卉种植区域总面AB =ABC S ADC S △积．【小问1详解】解：，， cos B =2D B ∠=∠21cos cos 22cos 13D B B ∴==-=-，，由余弦定理得， 1AD = 3CD =∴22212cos 196()123AC AD CD AD CD D =+-⋅=+-⨯-=，0AC > ∴=AC【小问2详解】解：若选①：，在中，由正弦定理得，3BCA π∠=ABC sin sin AB AC ACBB =∠ cosB =，由（1）知， sin B∴=AC==AB = 1sin sin()sin cos cossin 2BAC B ACB B ACB B ACB ∠=∠+∠=∠+∠==， 11sin 22ABC S AB AC BAC ∴=⨯⋅∠== ，1cos 3D=- sin D ∴==故11sin 1322ADC SAD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯=∴=若选②：，在中，由余弦定理得，解得或=BC ABCcos B ==AB =（舍去），AB =，cos B =sin B ∴=11sin 22ABC S AB BC B ∴=⨯⋅== ，1cos 3D =- sin D ∴==故11sin 1322ADC S AD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯= 花卉种植区域总面积为∴=21. 几何体是四棱锥，为正三角，，，为线段的E ABCD -ABD △2BC CD ==120BCD ∠=︒M AE 中点.（1）求证：平面；//DM BEC（2）线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，EB N ,,,D M N C BN BE 并说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，13BN BE =【解析】 【分析】（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平//MF EBC //DF EBC 行的判定定理证得面面，从而得到平面；//DMF EBC //DM BEC （2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段N 4PC =成比例得到的值. BN BE【小问1详解】记为的中点，连接，如图1，F AB ,DF MF 因为分别为的中点，故，,F M ,AB AE //MF EB 因为平面平面MF ⊄,EBC EB ⊂,EBC 所以平面，//MF EBC 又因为为正三角形，所以 ，，ADB 60DBA ∠=︒DF AB ⊥又为等腰三角形，，所以,BCD △120BCD ∠=︒30DBC ∠=︒所以，即，90ABC ∠=︒BC AB ⊥所以，又平面平面//DF BC DF ⊄,EBC BC ⊂,EBC 所以平面，又，平面，//DF EBC DM MF F ⋂=,DM MF ⊂DMF 故平面平面，//DMF EBC 又因为平面，故平面.DM ⊂EBC //DM BEC【小问2详解】延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如,CD AB P PM BE N CN N //NQ AE AB Q 图2，因为平面，平面，平面平面， //DM ECB DM ⊂PDM PDM ECB CN =所以，此时四点共面，//DM CN ,,,D M N C 由（1）可知，，得，2,60,BC CD PCB CB BP ==∠=︒⊥30,4CPB PC ∠=︒=故，又因为，所以， 4263PN CP PM DP ===//NQ AE 23NQ PN AM PM ==则有，故. 3112223NQ NQ AE AM ==⨯=13BN NQ BE AE ==22. 在中，分别是角的对边，．ABC ,,a b c ,,A B C 2cos cos cos a A b C c B =+（1）求角A 的大小；（2）若，点为重心，点为线段的中点，点在ABC G ABC M AC N 线段上，且，线段与线段相交于点，求的取值范围.AB 2AN NB =BM CN P GP【答案】（1） π3（2）16GP ⎛∈ ⎝ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得； （2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即AB AC AG AP 可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积GP 2bc =b 的运算律及对勾函数的性质计算可得．【小问1详解】因为，2cos cos cos a A b C c B =+由正弦定理可得，()2sin cos sin cos sin cos sin sin A A B C C B B C A =+=+=又因为，则，()0,πA ∈sin 0A >可得，即，所以. 2cos 1A =1cos 2A =π3A =【小问2详解】由题意可得，， 23AN AB = 12AM AC = 所以， ()222111333233AG AB BG AB BM AB AM AB AB AC AB AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ 因为、、三点共线，故设， C N P ()()2113AP AN AC AB AC λλλλ=+-=+- 同理、、三点共线，故设， M B P ()()1112AP AB AM AB AC μμμμ=+-=+- 则，解得， ()231112λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩3412λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以， 1124A AB A PC =+ 则， ()11111112243361212GP AP AG AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=-=- ⎪⎝⎭ 因为，所以，1sin 2ABC S bc A == 2bc =又因为为锐角三角形，ABC 当为锐角，则，即， C 0AC BC ⋅> ()22102A AC AC A C AC AB B b bc -⋅⋅==>--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即，所以； 22b c b>=1b >当为锐角，则，即， B 0AB CB ⋅> ()22102A AB AB A B AC AB C c bc -⋅=⋅=>--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则，即，所以； 2c b >22b b⋅>02b <<综上可得，12b <<又因为， 1212GP AB AC =⋅- 则， ()222222222216144|2444|4||424GP AB AC AB AB AC AC AB AB AC AC c bc b b b =-=-⋅+=-⋅+=-+=-+ 因为，则，12b <<214b <<且在上单调递减，， ()164f x x x=-+(1,4)()()113,44f f ==所以，即， ()()4,13f x ∈()22216144||44,13GP b b =-+∈u u u r所以．16GP ⎛∈⎝。
江苏省高一下学期期中数学试题(解析版)
离为（ ）
A. 3 海里
B. 4 海里
C. 6 海里
D. 7 海里
【答案】D
【解析】
【分析】由条件画出简图，得出 BCA 120 ，在 ABC 中，由余弦定理即可求出 AB 的长．
【详解】根据题意画出简图，如图所示，
可知 BCA 180 (40 20) 120 ，
在 ABC 中， AC 5 ， BC 3，
AB2 BC2 AC2 2 BC AC cos BCA 32 52 2 3 5 cos120 49 ，
解得 AB 7 ， 故选：D．
2. 下列说法正确的是（ ） A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B. 有 2 个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据复数的运算、复数的概念、复数模的几何意义判断各选项．
【详解】 z i3 i ，所以 z i ，A 正确； z 1 1 1 i ，虚部是 1，B 错误；
i z a ai, (a R) ，若 a 0 ，则 z 0 是实数，若 a 0 ，则 z a ai 是虚数，不是纯虚数，C 正确； z i 1 ，则复数 z 对应的点 Z 在以( 0, 1) 为圆心，1 为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值
因为 tan(B C) tan( A) tan A ， 所以 tan B tan C tan A tan B tan C tan A ，
所以 tan A tan B tan C tan A tan B tan C ，D 正确.
g(x)
10
sin
π 3
x
π 2
10 cos π x ， 3
所以 g(0) 10 .
高一数学下学期期末考试试题含解析_00011
锡山区天一中学2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12题，一共60分〕50x +-=的倾斜角为〔 〕A. -30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线方程求斜率，再求倾斜角.【详解】因为50x -=，所以斜率为-150°,选D. 【点睛】此题考察直线斜率倾斜角，考察根本转化求解才能，属根底题.{}n a 的前n 项和为n S ，假设230a S +=，那么公比q =〔 〕A. 1-B. 1C. 2-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】将230a S +=转化为关于q 的方程，解方程可得q 的值． 【详解】∵()2311230a S a a a a +=+++=，∴()()221231121210a a a a q q a q ++=++=+=，又10a ≠， ∴1q =-． 应选A ．【点睛】此题考察等比数列的根本运算，等比数列中一共有1,,,,n n a q n a S 五个量，其中1,a q 是根本量，这五个量可“知三求二〞，求解的本质是解方程或者解方程组．(5,)m 和(,8)m 的直线的斜率大于1，那么m 的取值范围是〔 〕A. (5,8)B. (8,)+∞C. 13(,8)2D. 13(5,)2【答案】D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式解分式不等式。
【详解】由题意得815m m ->-，即21305m m ->-，解得1352m <<.应选D. 【点睛】直线斜率两种计算方法：1、斜率的两点坐标公式；2、直线斜率等于直线倾斜角的正切。
,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是〔 〕A. 假设m n n α∥，∥，那么m nB. 假设m n αβαα⊂⊂∥，，，那么m nC. 假设m n n m αβα=⊂⊥，，，那么n β⊥D. 假设m m n n αβ⊥⊂，∥，，那么αβ⊥ 【答案】D【解析】 【分析】根据线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的性质、面面垂直的断定定理对四个选项，逐一判断，最后选出正确答案.【详解】选项A ：直线m ，n 还可以异面、相交，故本命题是假命题； 选项B ：直线m ，n 可以是异面直线，故本命题是假命题；选项C:当αβ⊥时，假设m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，才能推出n β⊥，故本命题是假命题；选项D ：因为m α⊥，//m n ，所以n α⊥，而n β⊂，所以有αβ⊥，故本命题是真命题，因此此题选D.【点睛】此题考察了线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的断定与性质，考察了空间想象才能.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b c a bc +=+．假设2 sin B sinC sin A ⋅=，那么ABC ∆的形状是〔 〕A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．那么：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π， 故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 应选：C ．【点睛】此题考察了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，那么41a b+的最小值是〔 〕 A. 9 B. 4C.12D.14【答案】A 【解析】圆22x y 2x 4y 10++-+=的HY 方程为：〔x+1〕2+〔y ﹣2〕2 =4， 它表示以〔﹣1，2〕为圆心、半径等于2的圆； 设弦心距为d ，由题意可得 22+d 2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a ﹣2b+2=0， 即a+b=1，再由a ＞0，b ＞0，可得41a b +=〔41a b + 〕〔a+b 〕=5+4b a a b +9= 当且仅当4b a =a b 时取等号，∴41a b+的最小值是9． 应选：A ．点睛：此题主要考察根本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用根本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或者积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，获得最值.7.圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为A. B. 12πC.D. 10π【答案】B 【解析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的外表积.详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，的圆，且高为，所以其外表积为22212S πππ=+=，应选B.点睛：该题考察的是有关圆柱的外表积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的外表积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，那么k 的取值范围是〔 〕A. 01k ≤≤B. 01k <≤C. k 0<或者1k >D. 0k ≤或者1k【答案】A 【解析】 【分析】按0k =，0k >，k 0<分类讨论.【详解】当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，假设不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立， 那么2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=（）A. −12B. 12C. −√32D. √322.（单选题.5分）用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.其中三位数是奇数的概率为（）A. 12B. 13C. 23D. 143.（单选题.5分）用符号表示“点A在直线l上.l在平面α内”.正确的是（）A.A∈l.l∉αB.A⊂l.l⊄αC.A⊂l.l∈αD.A∈l.l⊂α4.（单选题.5分）已知一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7.则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.15.（单选题.5分）过三点A（1.3）.B（6.-2）.C（1.-7）的圆交x轴于M、N两点.则MN=（）A.2B. 2√21C.4D. 4√216.（单选题.5分）已知两条直线l1：（m-2）x+3y+1=0.l2：x+my+1=0平行.则m=（）A.3B.-1C.1或-1D.3或-17.（单选题.5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度.拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生.则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.1208.（单选题.5分）在平面直角坐标系xOy中.圆C：x2+y2=3.T（2.m）.若圆C上存在以M为中点的弦AB两点.且AB=2MT.则实数m的取值范围是（）A. [−√2，0]B. (0，√2]C. [−√2，√2]D. (−√2，√2)9.（多选题.5分）对于实数a.b.c.下列说法正确的是（）A.若a＞b＞0.则1a ＜1bB.若a＞b.则ac2≥bc2C.若a＞0＞b.则ab＜a2D.若c＞a＞b.则ac−a ＞bc−b10.（多选题.5分）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅.记事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.事件C为“至多订一种报纸”.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件.且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件11.（多选题.5分）设正实数m、n满足m+n=2.则下列说法正确的是（）A. 1m +2n的最小值为3+2√22B. √mn2的最大值为12C. √m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为212.（多选题.5分）如图A（2.0）.B（1.1）.C（-1.1）.D（-2.0）. CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧. CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧. BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧.三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB. CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C. AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x-y=0D.用直线y=x截CD̂所在的圆.所得的弦长为√2213.（填空题.5分）若tan(α+π4)=−6 .则tanα=___ ．14.（填空题.5分）已知变量x.y线性相关.由观测数据算得样本的平均数x=4，y=5 .线性回归方程ŷ=bx+a中的系数b.a满足b+a=4.则线性回归方程为___ ．15.（填空题.5分）在△ABC中.角A.B.C满足sin2A-sin2B=2sinAsinBsinC.则1tanA −1tanB=___ ．16.（填空题.5分）已知实数x.y满足：xy-y=1.且0＜x＜1．则1x +2y−2的取值范围是___ ．17.（问答题.10分）过点M（3.4）作直线l.当l的斜率为何值时．（1）直线l将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分？（2）直线l与圆（x+1）2+（y-2）2=4相切？18.（问答题.10分）在锐角△ABC中. a=12.______.求△ABC的周长l的取值范围．① a⃗=(−cos A2，−sin A2)，b⃗⃗=(cos A2，−sin A2) .且a⃗•b⃗⃗=−12．② （c-2b）cosA+acosC=0．③ f(x)=cosxcos(x−π3)+34，f(A)=54．注：这三个条件中选一个.补充在上面的问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分．19.（问答题.12分）平面四边形ABCD.点A.B.C均在半径为2的圆上.且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD=3.∠DBC=2∠BCD.求△BCD的面积．20.（问答题.12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b．（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民.估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数.并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值.并说明理由．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0及其上一点A （-2.-4）．（1）设圆N 与y 轴相切.与圆M 外切.且圆心N 在直线y=-7上.求圆N 的方程； （2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B.C 两点.且 BC =15OA .求直线l 的方程； （3）设点T （0.t ）满足：存在圆M 上的两点P.Q.使得 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求实数t 的取值范围22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=cosx ． （1）若α.β为锐角. f (α+β)=−√55. tanα=43 .求cos2α及tan （β-α）的值；（2）函数g （x ）=f （2x ）-3.若对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.求实数a的最大值；.α.β∈（0.π）.求α及β的值．（3）已知f(α)+f(β)−f(α+β)=322019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=（）A. −12B. 12C. −√32D. √32【正确答案】：B【解析】：由已知利用诱导公式.两角和的正弦函数公式.特殊角的三角函数值即可求解．【解答】：解：sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°．= 12故选：B．【点评】：本题主要考查了诱导公式.两角和的正弦函数公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．2.（单选题.5分）用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.其中三位数是奇数的概率为（）A. 12B. 13C. 23D. 14【正确答案】：C【解析】：基本事件总数n= A33 =6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m= C21A22 =4.由此能求出其中三位数是奇数的概率．【解答】：解：用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.基本事件总数n= A33 =6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m= C21A22 =4.∴其中三位数是奇数的概率为p= mn =46=23．故选：C．【点评】：本题考查概率的求法.考查列举法等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．3.（单选题.5分）用符号表示“点A在直线l上.l在平面α内”.正确的是（）A.A∈l.l∉αB.A⊂l.l⊄αC.A⊂l.l∈αD.A∈l.l⊂α【正确答案】：D【解析】：根据空间中点、线、面的位置关系的符号语言求解即可．【解答】：解：点与线的位置关系用“∈”或“∉”表示.线与面的位置关系用“⊂”或“⊄”表示. 则“点A在直线l上.l在平面α内”可用A∈l.l⊂α表示．故选：D．【点评】：本题考查空间中点、线、面的位置关系及符号表示.属于基础题．4.（单选题.5分）已知一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7.则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【正确答案】：D【解析】：先求出平均数.再求出该组数据的方差．【解答】：解：一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7. ∴平均数为 x = 15 （5.5+5.4+5.1+4.8+4.7）=5.1． ∴该组数据的方差为：S 2= 15 [（5.5-5.1）2+（5.4-5.1）2+（5.1-5.1）2+（4.8-5.1）2+（4.7-5.1）2]=0.1． 故选：D ．【点评】：本题考查方差的求法.考查平均数、方差的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．5.（单选题.5分）过三点A （1.3）.B （6.-2）.C （1.-7）的圆交x 轴于M 、N 两点.则MN=（ ） A.2 B. 2√21 C.4 D. 4√21 【正确答案】：B【解析】：设出圆的一般方程.由已知可得关于D 、E 、F 的方程组.求得D 、E 、F 的值.得到圆的方程.取y=0得到关于x 的一元二次方程.再由弦长公式及根与系数的关系求解．【解答】：解：设过三点A （1.3）.B （6.-2）.C （1.-7）的圆的方程为： x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．则 {1+9+D +3E +F =036+4+6D −2E +F =01+49+D −7E +F =0 .解得D=-2.E=4.F=-20．∴圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 取y=0.得x 2-2x-20=0.∴MN=|x 1-x 2|= √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √22−4×(−20)=2√21 ． 故选：B ．【点评】：本题考查圆的一般方程的求法.考查方程组的解法.训练了弦长公式的求法.是基础题． 6.（单选题.5分）已知两条直线l 1：（m-2）x+3y+1=0.l 2：x+my+1=0平行.则m=（ ） A.3 B.-1 C.1或-1 D.3或-1【正确答案】：B【解析】：由题意利用两条直线平行的性质.求得m的值．【解答】：解：∵已知两条直线l1：（m-2）x+3y+1=0.l2：x+my+1=0平行.∴ m−21 = 3m≠ 11.求得m=-1.故选：B．【点评】：本题主要考查两条直线平行的性质.属于基础题．7.（单选题.5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度.拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生.则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.120【正确答案】：C【解析】：利用分层抽样.可知从高中生中抽取的比例与从整体中抽取的比例相同.列出关系式.即可解得抽取的总人数．【解答】：解：设抽取的学生总人数为x.则307200=x21600.解得x=90.故选：C．【点评】：本题主要考查分层抽样.属于基础题．8.（单选题.5分）在平面直角坐标系xOy中.圆C：x2+y2=3.T（2.m）.若圆C上存在以M为中点的弦AB两点.且AB=2MT.则实数m的取值范围是（）A. [−√2，0]B. (0，√2]C. [−√2，√2]D. (−√2，√2)【正确答案】：C【解析】：根据条件把问题转化为圆C上存在AB两点.使∠ATB=90°.即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90°.即圆心（0.0）到点T（2.m）的距离不大于√6 .进而得到答案．【解答】：解：本题的实质是圆C上存在AB两点.使∠ATB=90°.即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90°.即圆心（0.0）到点T（2.m）的距离不大于√6 .即√22+m2≤ √6 .解得：m∈[- √2 . √2 ]．故选：C．【点评】：本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系.考查轨迹方程.正确转化是关键．9.（多选题.5分）对于实数a.b.c.下列说法正确的是（）A.若a＞b＞0.则1a ＜1bB.若a＞b.则ac2≥bc2C.若a＞0＞b.则ab＜a2D.若c＞a＞b.则ac−a ＞bc−b【正确答案】：ABC【解析】：利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】：解：A．∵a＞b＞0.∴ aab ＞bab. 1a＜1b.正确．B．∵a＞b.c2≥0.则ac2≥bc2.正确．C．a＞0＞b.则ab＜a2.正确．D．c＞a＞b.则0＜c-a＜c-b.∴ 1c−a ＞1c−b＞0.但是a.b与0的关系不确定.虽然a＞b.无法判断a c−a ＞bc−b的正误．综上可得：ABC正确．故选：ABC．【点评】：本题考查了不等式的基本性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．10.（多选题.5分）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅.记事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.事件C为“至多订一种报纸”.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件.且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件【正确答案】：BC【解析】：根据互斥事件和对立事件的概念即可判断．【解答】：解：事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.包含为订甲报纸.订乙报纸.订甲乙两种报纸.事件C为“至多订一种报纸”包含订甲报纸或订乙报纸.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．A．A与C不互斥不对立事件.所以A与C是互斥事件.不正确；B．B与E是互斥事件.且是对立事件.正确；C．B与C不互斥不对立事件.所以B与C不是互斥事件正确；D．C与E既不互斥也不对立事件．所以C与E是互斥事件不正确；故选：BC．【点评】：本题考查互斥事件和对立事件.分清互斥事件和对立事件之间的关系.互斥事件是不可能同时发生的事件.对立事件是指一个不发生.另一个一定发生的事件．11.（多选题.5分）设正实数m、n满足m+n=2.则下列说法正确的是（）A. 1m +2n的最小值为3+2√22B. √mn2的最大值为12C. √m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为2 【正确答案】：ABD【解析】：m.n＞0.m+n=2.利用“乘1法”可得：1m + 2n= 12（m+n）（1m+ 2n）= 12（3+ nm+2mn）.再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出BCD的正误．【解答】：解：m.n＞0.m+n=2.则1m + 2n= 12（m+n）（1m+ 2n）= 12（3+ nm+ 2mn）≥ 12（3+2 √nm •2mn）= 3+2√22.当且仅当n= √2 m=4-2 √2时成立．m+n=2≥2 √mn .解得mn≤1．∴ √mn2≤12. (√m+√n)2 =m+n+2 √mn≤2+2.∴ √m + √n≤2．m2+n2≥ (m+n)22=2.当且仅当m=n=1时取等号．综上可得：ABD正确．故选：ABD．【点评】：本题考查了基本不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．12.（多选题.5分）如图A（2.0）.B（1.1）.C（-1.1）.D（-2.0）. CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧. CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧. BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧.三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB. CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C. AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x-y=0D.用直线y=x截CD̂所在的圆.所得的弦长为√22【正确答案】：BC【解析】：首先利用分割法的应用求出曲线Ω与x轴围成的曲变形的面积.进一步利用点到直线的距离和直线的平行的应用求出圆的公切线的方程.最后利用垂径定理的应用和勾股定理的应用求出结果．【解答】：解：根据题意：圆弧AB表示为以（1.0）为圆心.1为半径的圆的周长的14．圆弧BC表示为以（0.1）为圆心.1为半径的圆的周长的12．圆弧CD是以（-1.0）为圆心.1为半径的圆的周长的14．所以把图形进行分割.如图所示：① 所以曲线Ω与x轴围成的图形的面积为S= 12•π•12+14•π•12+14•π•12+1×2=π+2 .故选项A错误．② 由于圆弧AB表示为以（1.0）为圆心.1为半径的圆．圆弧BC表示为以（0.1）为圆心.1为半径的圆．所以AB̂和BĈ所在的圆的公切线平行于经过（1.0）和（0.1）的直线.所以设直线的斜率k=-1.设直线的方程为x+y+b=0.所以（0.1）到直线x+y+b=0的距离d= |1+b|√2=1 .解得b= −√2−1或√2−1 .根据图象得：公切线的方程为x+y- √2−1=0 .故选项B正确．③ 以AB̂和所在的圆的方程为（x-1）2+y2=1. BĈ所在的圆的方程为x2+（y-1）2=1.两圆相减得：x-y=0．④ CD̂所在的圆的方程为（x+1）2+y2=1.所以圆心（-1.0）到直线x-y=0的距离d= 1√2=√22.所以所截的弦长为l=2 √1−(√22)2=√2 .故选项D错误．故选：BC．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换.点到直线的距离公式的应用.勾股定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．13.（填空题.5分）若tan(α+π4)=−6 .则tanα=___ ．【正确答案】：[1] 75【解析】：利用两角和的正切函数公式.特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】：解：∵ tan (α+π4)=−6 .即 tanα+11−tanα =-6. ∴解得tanα= 75． 故答案为： 75 ．【点评】：本题主要考查了两角和的正切函数公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.考查了转化思想.属于基础题．14.（填空题.5分）已知变量x.y 线性相关.由观测数据算得样本的平均数 x =4，y =5 .线性回归方程 y ̂=bx +a 中的系数b.a 满足b+a=4.则线性回归方程为___ ． 【正确答案】：[1] y ̂=13x +113【解析】：根据回归直线方程过样本中心点.结合题意得出关于a 、b 的方程组.求解即可．【解答】：解：线性回归方程 y ̂=bx +a 过样本中心点（4.5）. 所以4b+a=5； 又a+b=4.解方程组 {4b +a =5a +b =4 .得b= 13.a= 113.所以线性回归方程为： y ̂=13x +113． 故答案为： y ̂=13x +113．【点评】：本题考查了线性回归方程的应用问题.是基础题．15.（填空题.5分）在△ABC 中.角A.B.C 满足sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsinC.则 1tanA −1tanB =___ ． 【正确答案】：[1]-2【解析】：sinC=sin[π-（A+B ）]=sin （A+B ）=sinAcoB+cosAsinB.代入化简得（1-1tanB ）2=（1+ 1tanA ）2.结合余弦定理和正弦定理整理得到sin （A-B ）=2sinAsinB.所以 1tanA +1tanB =0 或1tanA −1tanB=-2.由题知sin 2A ＞sin 2B.即 |1tanA | ＜| 1tanB|. ① 当A.B 都是锐角时.1tanA ＜ 1tanB. 1tanA −1tanB＜0 ． ② 当A 是锐角.B 是钝角时. 1tanA ＜- 1tanB . 1tanA +1tanB ＜0. ③ 当A 是钝角.B是锐角时.- 1tanA ＜ 1tanB . 1tanA +1tanB ＞0.所以 1tanA −1tanB =-2.【解答】：解：sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsinC. sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsin[π-（A+B ）].sin2A-sin2B=2sinAsinBsin（A+B）.sin2A-sin2B=2sin2AsinBcosB+2sinAsin2BcosA.sin2A-sin2B=sin2Asin2B+sin2Bsin2A.sin2A-sin2Asin2B=sin2B+sin2Bsin2A.sin2A（1-sin2B）=sin2B（1+sin2A）.sin2A（sin2B+cos2B-sin2B）=sin2B（sin2A+cos2A+sin2A）. sin2A（sinB-cosB）2=sin2B（sinA+cosA）2(sinB−cosB)2sin2B =(sinA+cosA)2sin2A（1- 1tanB ）2=（1+ 1tanA）2.所以1- 1tanB =1+ 1tanA或1- 1tanB=-（1+ 1tanA）.所以1tanA +1tanB=0或1tanA−1tanB=-2.因为sin2A-sin2B=2sinAsinBsinC＞0. 所以sin2A＞sin2B.即sin 2Asin2A+cos2A =sin2Bsin2B+cos2Bsin2Asin2A+cos2A＞sin2Bsin2B+cos2B11+1tan2A ＞11+1tan2B.|1 tanA |＜| 1tanB|.① 当A.B都是锐角时. 1tanA ＜1tanB. 1tanA−1tanB＜0．② 当A是锐角.B是钝角时. 1tanA ＜- 1tanB. 1tanA+1tanB＜0.③ 当A是钝角.B是锐角时.- 1tanA ＜1tanB. 1tanA+1tanB＞0.所以1tanA −1tanB=-2.故答案为：-2．【点评】：本题考查三角恒等变换的应用.属于中档题．16.（填空题.5分）已知实数x.y满足：xy-y=1.且0＜x＜1．则1x +2y−2的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（1.+∞）【解析】：利用所给的关系式.二元换一元.再由0＜x＜1．解出y的范围.进而求出1x +2y−2的取值范围．【解答】：解：由xy-y=1可知.x=y+1y .所以 1x+2y−2=y y+1+2y−2 =y+1−1y+1+2y−2=1+1−1−y +1y−2 =1+（ 1−1−y+1y−2 ）（-1-y+y-2）（- 13 ）=1+（- 13）（1+1+ y−2−1−y+−1−yy−2）. 由0＜x ＜1.可得y ＜-1.所以令t= y−2−1−y ＜-1.所以 y−2−1−y +−1−yy−2＜-2.所以1+（- 13 ）（1+1+y−2−1−y+−1−yy−2 ）＞1. 即 1x +2y−2 的取值范围为（1.+∞）. 故答案为：（1.+∞）．【点评】：本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质、变形转化思想方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．17.（问答题.10分）过点M （3.4）作直线l.当l 的斜率为何值时． （1）直线l 将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分？ （2）直线l 与圆（x+1）2+（y-2）2=4相切？【正确答案】：【解析】：（1）求出圆心坐标.再由两点求斜率公式求解； （2）设出直线方程.由圆心到直线的距离等于半径列式求解．【解答】：解：（1）圆（x+1）2+（y-2）2=4的圆心坐标为（-1.2）. 若直线l 将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分.则直线l 过圆心. 又l 过点M （3.4）.则直线l 的斜率为 4−23−(−1)=12 ；（2）设直线l 的斜率为k.则直线方程为y-4=k （x-3）.即kx-y-3k+4=0． 由 √k 2+1=2 .解得k=0或k= 43．【点评】：本题考查直线与圆位置关系的应用.考查点到直线距离公式的应用.考查计算能力.是基础题．18.（问答题.10分）在锐角△ABC 中. a =12 .______.求△ABC 的周长l 的取值范围． ① a ⃗=(−cos A2，−sin A2)，b ⃗⃗=(cos A2，−sin A2) .且 a ⃗•b ⃗⃗=−12 ． ② （c-2b ）cosA+acosC=0．③ f (x )=cosxcos (x −π3)+34，f (A )=54 ．注：这三个条件中选一个.补充在上面的问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分．【正确答案】：【解析】：根据选择的条件.即可选择对应的知识进行转化.即可求出周长的取值范围．【解答】：解：（1）若选择条件 ① . a ⃗=(−cos A 2，−sin A2)，b ⃗⃗=(cos A 2，−sin A 2) .且 a ⃗•b ⃗⃗=−12. 则cos 2 A2 -sin 2 A2 =cosA= 12 . ∵0＜A ＜π.所以A= π3．若选择条件 ② .则（c-2b ）cosA+acosC=0 由正弦定理可得.（sinC-2sinB ）cosA+sinAcosC=0. 即sin （C+A ）-2sinBcosA=0.解得cosA= 12 . ∵0＜A ＜π.所以A= π3 ．若选择条件 ③ . f (x )=cosxcos (x −π3)+34，f (A )=54 ． f （x ）= 12 [cos （2x- π3 ）+cos π3 ]+ 34 = 12 cos （2x- π3 ）+1 由f （A ）= 54 .可得cos （2A- π3 ）= 12 .又A 为三角形内角. ∴2A - π3= π3.所以A= π3．无论选哪个条件.结果都是A= π3 ．（2）由正弦定理可得. asinA=b sinB=c sinC=12√32=√33. 即b= √33 sinB.c= √33 sinC.所以b+c= √33（sinA+sinB）= √33×2sin π3cos A−B2=cos（A- π3）.而0＜A＜π2 .0＜B= 2π3-A＜π2.所以π6＜A＜π2.即−π6＜A- π3＜π6.cos（A- π3）∈（12.1].l=a+b+c∈（1. 32]．故周长l的取值范围为（1. 32]．【点评】：本题主要考查利用正弦定理解三角形.以及利用三角函数的性质求三角形周长的范围.属于中档题．19.（问答题.12分）平面四边形ABCD.点A.B.C均在半径为2的圆上.且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD=3.∠DBC=2∠BCD.求△BCD的面积．【正确答案】：【解析】：（1）设△ABC外接圆半径为R.则由正弦定理可求得BC=2Rsin∠BAC．（2）由∠DBC=2∠BCD及正弦定理得CD=2BD•cos∠BCD.再根据余弦定理得CD2=15.cos∠CBD=- 16 .sin ∠CBD=√356.由此能求出△BCD的面积．【解答】：解：（1）由题意得△ABC外接圆半径R=2. ∠BAC=π6.由正弦定理得BC=2Rsin∠BAC=4× 12=2.故BC的长为2．（2）在△BCD中.∵∠DBC=2∠BCD.∴sin∠DBC=sin2∠BCD=2sin∠BCDcos∠BCD.则由正弦定理.得CD=2BD•cos∠BCD.由余弦定理.得cos∠BCD= BC 2+CD2−BD2 2•BC•CD.∴CD= BD(BC2+CD2−BD2)BC•CD.又BC=2.BD=3.解得CD2=15.由余弦定理.得cos∠CBD= BD 2+BC2−CD22BD•BC= 9+2−152×3×2=- 16.∴sin∠CBD= √1−(−16)2= √356．∴△BCD的面积S△BCD= 12×BC×BD×sin∠CBD = √352．【点评】：本题考查三角形的边长、三角形面积的求法.正弦定理、余弦定理的应用等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b．（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民.估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数.并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1.列出方程组.能求出a.b．由频率分布直方图能估计该市居民用水的平均数．（2）由频率分布直方图先求出全市居民中月均用水量不低于2吨的频率.由此能求出全市居民中月均用水量不低于2吨的人数．（3）前6组的频率之和是0.88＞0.85.而前5组的频率之和为0.73＜0.85.从而5≤x＜6.由0.15×（x-5）=0.85-0.73.能估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．【解答】：解：（1）由题意得： {0.4a =b0.04+0.08+a +0.2+0.26+a +b +0.04+0.02=1 .解得a=0.15.b=0.06．由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07．（2）由频率分布直方图得：全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1-0.04-0.08=0.88. ∴全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400000×（1-0.04-0.08）=352000．（3）∵前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88＞0.85. 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73＜0.85. ∴5≤x ＜6.由0.15×（x-5）=0.85-0.73.解得：x=5.8.因此.估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．【点评】：本题考查平均数、频数、用水量标准的求法.考查频率分布直方图等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0及其上一点A （-2.-4）．（1）设圆N 与y 轴相切.与圆M 外切.且圆心N 在直线y=-7上.求圆N 的方程； （2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B.C 两点.且 BC =15OA .求直线l 的方程； （3）设点T （0.t ）满足：存在圆M 上的两点P.Q.使得 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求实数t 的取值范围【正确答案】：【解析】：（1）根据题意得圆M 的圆心坐标为（-6.-7）.半径r 为 5.设圆N 的圆心的坐标为（a.-7）.a ＜0由题意可得半径为-a.且|a+6|=-a+5.解得a.进而得到圆N 的方程；（2）由题意可得k OA .且|OA|.设直线l 的方程为：y=- 12 x+m.圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d.得弦长|BC|=2 √r 2−d 2 .代入 BC =15OA .所以2 √25−(√5)2= 15 •2√5 .解得m.进而得直线l 的方程．（3）根据题意得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(t +4)2+22 .因为| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤10.即 √(t +4)2+22 ≤10.解得实数t 的取值范围．【解答】：解：（1）因为以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0的圆心坐标为（-6.-7）.半径r 为 5.由题意设圆N 的圆心的坐标为（a.-7）.a ＜0由题意可得半径为-a.且|a+6|=-a+5.解得：a=- 12 . 所以圆N 的方程为：（x+ 12 ）2+（y+7）2= 14 ；（2）由题意可得k OA = −4−2=2.且|OA|= √(−2)2+(−4)2 =2 √5 .所以由题意可得直线l 的斜率为- 12 .设直线l 的方程为：y=- 12 x+m.即x+2y-2m=0.圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d= √5.所以弦长|BC|=2 √r 2−d 2 =2 √25−(√5)2 . 因为 BC =15OA .所以2 √25−(√5)2= 15•2√5 .解得m=-10± √31 .所以直线l 的方程为：y=- 12x -10+ √31 或y=- 12x -10- √31 ． （3）因为 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即| PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(t +4)2+22 . 又| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤10.即 √(t +4)2+22 ≤10.解得-4-4 √6 ≤t≤-4+4 √6 . 故实数t 的取值范围为[-4-4 √6 .-4+4 √6 ．【点评】：本题考查直线.圆的方程.以及直线与圆的相交问题.属于中档题． 22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=cosx ． （1）若α.β为锐角. f (α+β)=−√55. tanα=43 .求cos2α及tan （β-α）的值；（2）函数g （x ）=f （2x ）-3.若对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.求实数a 的最大值；（3）已知 f (α)+f (β)−f (α+β)=32.α.β∈（0.π）.求α及β的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想.可得cos2α=cos 2α-sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α = 1−tan 2α1+tan 2α .代入已知数据计算即可；由于α.β为锐角.所以2α∈（0.π）.α+β∈（0.π）.再结合同角三角函数的平方关系和商数关系.可依次求得tan2α= −247.tan （α+β）=-2.然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知tan（β-α）=tan （α+β-2α）= tan (α+β)−tan2α1+tan (α+β)tan2α .代入已得数据进行计算即可；（2）g （x ）=f （2x ）-3=cos2x-3.原问题可转化为（cos2x-4）a≥（cos2x-3）2-2（cos2x-3）+2恒成立.设cos2x-4=t.则t∈[-5.-3].所以at≥（t+1）2-2（t+1）+2=t 2+1.则a≤t+ 1t．令y=t+ 1 t .结合对勾函数的性质即可得函数y 的最小值.从而得解；（3）根据同角三角函数的平方关系.结合配方法对等式 f (α)+f (β)−f (α+β)=32 进行变形.可推出sinα-sinβ=0且cosα+cosβ-1=0.再分α=β和α=π-β两种情况.分类讨论即可．【解答】：解：（1）∵tanα= 43 .∴cos2α=cos 2α-sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α = 1−tan 2α1+tan 2α = 1−1691+169 = −725 . ∵α.β为锐角.即 α，β∈(0，π2) .∴2α∈（0.π）.α+β∈（0.π）． ∴sin2α= √1−cos 22α = 2425 .∴tan2α= sin2αcos2α=−247. ∵f （x ）=cosx.∴f （α+β）=cos （α+β）= −√55. ∴sin （α+β）= √1−cos 2(α+β) =2√55 .∴tan （α+β）= sin (α+β)cos (α+β)=-2. ∴tan （β-α）=tan （α+β-2α）= tan (α+β)−tan2α1+tan (α+β)tan2α = −2+2471+2×247= 211 ． 综上.cos2α= −725 .tan （β-α）= 211． （2）g （x ）=f （2x ）-3=cos2x-3.∵对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.∴（cos2x-3）2≤（2+a ）（cos2x-3）-2-a 恒成立.即（cos2x-4）a≥（cos2x-3）2-2（cos2x-3）+2恒成立.设cos2x-4=t.则t∈[-5.-3].∴at≥（t+1）2-2（t+1）+2=t 2+1.则a≤t+ 1t． 设y=t+ 1 t .由对勾函数的性质可知.函数y 在区间[-5.-3]上为增函数. ∴y=t+ 1 t ≥-5- 15 = −265 .∴a≤ −265. 故a 的最大值为 −265． （3）∵ f (α)+f (β)−f (α+β)=32 . ∴cosα+cosβ-cos （α+β）= 32.∴cosα+cosβ= 32 +cos （α+β）= 12 + 12 （sin 2α+cos 2α）+ 12 （sin 2β+cos 2β）+cosαcosβ-sinαsinβ = 12 + 12 （sin 2α-2sinαsinβ+sin 2β）+ 12 （cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β） = 12 + 12 （sinα-sinβ）2+ 12 （cosα+cosβ）2.∴ 12 （sinα-sinβ）2+ 12 [（cosα+cosβ）2-2（cosα+cosβ）+1]=0 即 12 （sinα-sinβ）2+ 12 （cosα+cosβ-1）2=0. ∴sinα-sinβ=0且cosα+cosβ-1=0.当α=β时.cosα=cosβ= 12 .∵α.β∈（0.π）.∴α=β= π3；当α=π-β时.cosα=-cosβ与cosα+cosβ-1=0相矛盾.不符合题意．综上所述.α=β= π3．【点评】：本题主要考查三角恒等变换的混合运算.还涉及函数的恒成立问题.用到了拼凑角和弦化切的思想、参变分离法、对勾函数的性质等.覆盖的知识面非常广.有一定的综合性.考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力.属于难题．。
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2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．i是虚数，复数＝（）A．﹣1+3i B．C．1+3i D．2．在△ABC中，若||＝||＝|﹣|，则△ABC的形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．已知、是不共线的向量，，（λ、μ∈R），当且仅当（）时，A、B、C三点共线．A．λ+μ＝1B．λ﹣μ＝1C．λμ＝﹣1D．λμ＝14．若非零向量，满足||＝3||，（2+3）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．46．当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c sin C＝a sin A+（b﹣a）sin B，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为（）A．B．C．3D．8．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，，当角A最大时，△ABC面积为（）A．3B．6C．5D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知复数z＝2+i，则下列结论正确的是（）A．B．复数z的共轭复数为2﹣iC．zi2021＝1+2i D．z2＝3+4i10．下列说法中正确的为（）A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足且与同向，则D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．若A＞B，则sin A＞sin BB．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解C．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＞c2D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为12．如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝b，且（a cos C+c cos A）＝2b sin B，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的是（）A．△ABC是等边三角形B．若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆C．四边形ABCD面积最大值为+3D．四边形ABCD面积最小值为﹣3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知i为虚数单位，则的虚部是．14．在△ABC中，若a＝4，b＝3，c＝2，则△ABC的外接圆半径长为．15．如图，正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则的取值范围为．16．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，直线l过△ABC的重心G，且与边AB，AC分别交于D，E两点，则的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．平面内给定三个向量，，．（1）若，求实数k；（2）若，求实数k．18．设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数（2+i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若+4mi（m∈R）为纯虚数，求实数m的值．19．如图，在菱形ABCD中，，．（1）若，求3x+2y的值；（2）若，∠BAD＝60°，求．（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．20．在①c sin B＝a﹣b cos C，②b sin C＝c cos（B﹣）这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____．（1）求B；（2）若D为AC的中点，BD＝2，求△ABC的面积的最大值．21．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM＝θ．（1）当时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；（2）若θ＝15°，问此时人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？22．如图，海上有A，B两个小岛，B在A的正东方向，小船甲从A岛出发以v海里/小时的速度沿北偏东60°方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过t小时与小船甲相遇．（1）若AB相距2海里，v为8海里/小时，小船乙从B岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；（2）若小船乙先从A岛以16海里/小时匀速沿射线AB方向行驶k（0＜k＜t）小时，再以8海里/小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下v的最大值．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i是虚数，复数＝（）A．﹣1+3i B．C．1+3i D．解：＝＝1+3i．故选：C．2．在△ABC中，若||＝||＝|﹣|，则△ABC的形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解：若||＝||＝|﹣|，则若||＝||＝|﹣|＝||，则△ABC为等边三角形．故选：A．3．已知、是不共线的向量，，（λ、μ∈R），当且仅当（）时，A、B、C三点共线．A．λ+μ＝1B．λ﹣μ＝1C．λμ＝﹣1D．λμ＝1解：设A、B、C三点共线，则向量、共线，即存在实数k，使得＝k∵且∴＝k（），可得，解之得λμ＝1因此，当且仅当λμ＝1时，A、B、C三点共线．故选：D．4．若非零向量，满足||＝3||，（2+3）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．解：根据题意，设与的夹角为θ，||＝t，则||＝3||＝3t，若（2+3）⊥，则（2+3）•＝2•+32＝6t2cosθ+3t2＝0，即cosθ＝﹣，又由0≤θ≤π，则θ＝，故选：C．5．已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．4解：∵已知z＝2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2﹣i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2+i+（2﹣i）＝﹣a，解得a＝﹣4，故选：B．6．当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（）A．B．C．D．解：∵|z+2|＝|（z+3﹣4i）+（﹣1+4i）|≥|﹣1+4i|﹣|z+3﹣4i|＝﹣1＝﹣1∴|z+2|的最小值是﹣1．故选：B．7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c sin C＝a sin A+（b﹣a）sin B，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为（）A．B．C．3D．解：因为c sin C＝a sin A+（b﹣a）sin B，所以由正弦定理可得c2＝a2+b2﹣ab，可得cos C＝＝＝，因为C∈（0，π），所以C＝，所以∠ACD＝∠BCD＝，由CD＝，a＝3b，所以＝＝，在△ACD，△BCD中，由余弦定理得：AD2＝b2+3﹣2b×cos30°＝b2﹣3b+3，DB2＝（3b）2+3﹣2×3b×cos30°＝9b2﹣9b+3，故9b2﹣9b+3＝9（b2﹣3b+3），解得：b＝，故a＝4，在△ABC中，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即c2＝16+﹣2×4××＝，故c＝．故选：B．8．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，，当角A最大时，△ABC面积为（）A．3B．6C．5D．8解：∵△ABC中，BC＝3，，∴3||cos B＝12，即c cos B＝4，其几何意义：AB在BC方向上的正投影长度始终为4，过A作AD⊥BC，垂足为D，设∠ACD＝θ，∠ABC＝β，∠A＝α，A（x，y），y＞0，tanθ＝y，tanβ＝，∵θ＝α+β，∴α＝θ﹣β，tanα＝tan（θ﹣β）＝＝＝≤＝，（当且仅当y ＝，即y＝2时去等号），当tanα＝时，角A最大，此时△ABCBC边上的高y＝2，△ABC的面积S＝＝3．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知复数z＝2+i，则下列结论正确的是（）A．B．复数z的共轭复数为2﹣iC．zi2021＝1+2i D．z2＝3+4i解：∵z＝2+i，∴|z|＝＝，＝2﹣i，故选项A、B正确；又z•i2021＝（2+i）i＝﹣1+2i，故选项C错误；∵z2＝（2+i）2＝3+4i，∴选项D正确，故选：ABD．10．下列说法中正确的为（）A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足且与同向，则D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°解：对于A：已知，，由于与的夹角为锐角，故，且λ≠0，故实数λ的取值范围是，故A错误；对于B：向量，，满足，所以和共线，所以不能作为平面内的一组基底，故B正确；对于C：非零向量，，满足且与同向，则是错误的，向量不能比较大小，故C错误；对于D：非零向量和，满足，则以这三边构成的三角形为等边三角形，所以与的夹角为30°，故D正确．故选：BD．11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．若A＞B，则sin A＞sin BB．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解C．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＞c2D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为解：A＞B⇒a＞b⇒2R sin A＞2R sin B⇒sin A＞sin B，A正确；因为A＝30°，b＝4，a＝3，由正弦定理得，，故sin B＝，因为b＞a，所以B＞A，故B有两角，B正确；△ABC为钝角三角形，但不确定哪个角为钝角，则a2+b2＞c2不一定成立，C不符合题意；因为A＝60°，a＝2，由余弦定理得，a2＝4＝b2+c2﹣bc≥bc，当且仅当b＝c时取等号，故bc≤4，△ABC面积S＝＝，即最大值为，D正确．故选：ABD．12．如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝b，且（a cos C+c cos A）＝2b sin B，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的是（）A．△ABC是等边三角形B．若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆C．四边形ABCD面积最大值为+3D．四边形ABCD面积最小值为﹣3解：∵（a cos C+c cos A）＝2b sin B，∴（sin A cos C+sin C cos A）＝2sin B•sin B，即sin（A+C）＝sin B＝2sin B•sin B，∴由sin B≠0，可得sin B＝，∴B＝或．又∵a＝b．∴B＝∠CAB＝∠ACB＝，故A正确；若四点A，B，C，D共圆，则四边形对角互补，由A正确知D＝，在△ADC中，∵DC＝1，DA＝3，∴AC＝＝，故B错；等边△ABC中，设AC＝x，x＞0，在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos D，由于AD＝3，DC＝1，代入上式，得x2＝10﹣6cos D，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝x•x sin+•3sin D＝x2+sin D＝3sin（D﹣）+，∵D∈（0，π），∴，∴四边形ABCD面积的最大值为+3，无最小值，故C正确，D错误，故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。