2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题9(附答案详解)

2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题9（附答案详解）1．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC cm =，6AC cm =．点P 从B 出发沿BA 向A 运动，速度为每秒1cm ，点E 是点B 以P 为对称中心的对称点，点P 运动的同时，点Q 从A 出发沿AC 向C 运动，速度为每秒2cm ，当点Q 到达顶点C 时，,P Q 同时停止运动，设,P Q 两点运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，PQ BC ？（2）设四边形PQCB 的面积为y ，求y 关于t 的函数关系式；（3）四边形PQCB 面积能否是ABC ∆面积的35？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由；（4）当t 为何值时，AEQ ∆为等腰三角形？（直接写出结果）2．（1）如图1，//,33,40AB CD A C ︒︒∠=∠=，求APC ∠的度数． （提示：作//PE AB ）． （2）如图2，//AB DC ，当点P 在线段BD 上运动时，,BAP DCP αβ∠=∠∠=∠，求CPA ∠与α∠、β∠之间的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，如果点P 在射线DM 上运动，请你直接写出CPA ∠与α∠、β∠之间的数量关系．3．问题探究（1）如图1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD 与BD 之间的位置关系：________；②若AC ＝BC 10，DC ＝CE 2，则线段AD 的长为________；拓展延伸（2）如图2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC ＝21，BC ＝7，CD ＝3，CE ＝1．将△DCE 绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为α（0°≤α＜360°），作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数214y x bx c =-++的图像与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（－4，0）.（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 的坐标为（0，4），点F 为该二次函数在第一象限内图像上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S. ①求S 的最大值；②在点F 的运动过程中，当点E 落在该二次函数图像上时，请直接写出此时S 的值. 5．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC ，AB ＝6cm ，BC ＝16cm ，动点P 从点A 出发，以3cm/s 的速度向点O 运动，直到点O 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，与点P 同时结束运动，出发 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ； （2）逆向发散:当运动时间为2s 时，P ，Q 两点的距离为多少？当运动时间为4s 时，P ，Q 两点的距离为多少？（3）拓展应用：若点P 沿着AO→OC→CB 移动，点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点Q 从点C 移动到点B 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm 2？6．综合与探究如图，已知抛物线2y x bx =+经过点()6,0A ，定点为B ，对称轴BC 交x 轴于点C ．点D 的坐标为()2,0，点E 是在x 轴下方的抛物线对称轴上的一个动点，//OF DE 交BC 于点F ，//FG x 轴交射线DE 于点G ，作直线BG ．（1）求点B 的坐标；（2）如图1，当点G 恰好落在该抛物线上时，求点E 的坐标；（3）如图2，当1CE =时，判断点A 是否在直线BG 上，说明理由；（4）在（3）的条件下，延长OF 交BG 于点H ，取DG 中点P ，连接PF ，探究四边形PFHG 是否为平行四边形，并说明理由．7．综合与实践问题情境：已知AC 是正方形ABCD 的对角线，将正方形PQST 和正方形ABCD 按如图放置． （1）如图1，使点P 与点A 重合，PT 与DC 相交于点E ，PQ 与CB 的延长线相交于点F ．求证：AF AE =．操作发现：图1（2）如图2，使点P 在AC 上（A ，C 两点除外），PT 与DC 相交于点E ，PQ 与CB 的延长线相交于点F ．判断PE 和PF 的数量关系，并说明理由；图2拓广探索：（3）如图3，使P 在BC 上（B ，C 两点除外），PT 经过点A ，PQ 与正方形ABCD 的外角DCK ∠的平分线CE 相交于点E ．判断PA 和PE 的数量关系，并说明理由． 图38．如图，抛物线y ＝213x -+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，﹣1），点B （9，﹣10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图1，在菱形ABCD 中，AB =5，tan ∠ABC=43，点E 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA 的方向匀速运动，设运动时间为t (秒)，将线段CE 绕点C 顺时针旋转一个角α(α=∠BCD )，得到对应线段CF ．(1)求证：BE =DF ；(2)当t =___秒时，DF 的长度有最小值，最小值等于___；(3)如图2，连接BD 、EF 、BD 交EC 、EF 于点P 、Q ，当t 为何值时，△EPQ 是直角三角形?(4)在点E 的运动过程中，是否存在到直线AD 的距离为1的点F ，若存在直接写出 t 的值，若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． (1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 下方抛物线上一动点；①连接CD ，是否存在点D ，使得AC 平分∠OCD ？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．②在①的条件下，若P 为抛物线上位于AC 下方的一个动点，以P 、C 、A 、D 为顶点的四边形面积记作S ，则S 取何值或在什么范围时，相应的点P 有且只有2个？11．如图，半径为3的⊙O 分别与x 轴，y 轴交于A ，D 两点，⊙O 上两个动点B ，C ，使∠BAC ＝45°恒成立，设△ABC 的重心为G ，则DG 的最小值是_______．12．已知矩形ABCD 中，两条对角线的交点为O ．(1)如图1，若点E 是BC 上的一个动点，过点E 作EF BD ⊥于点F ， EG AC ⊥于点G ，CH BD ⊥于点H ，试证明：CH EF EG =+；(2)如图②，若点E 在BC 的延长线上，其它条件和(1)相同，则,,EF EG CH 三者之间具有怎样的数量关系，请写出你的结论并证明．13．如图，已知直线243y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线210(0)3y ax x c a =++≠经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC△面积最大时，请求出点E的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．14．如图，∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4，点P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），点O是△BPQ的外心．（1）如图1，当OB⊥AM时，点O________∠MAN的平分线上（填“在”或“不在”）；（2）求证：当点P在射线AN上运动时，总有点O在∠MAN的平分线；（3）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=m，用m表示AC·AO；（4）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ 与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c与直线3344y x=+交于点A和点E，点A在x轴上．抛物线y＝ax2+x+c与x轴另一个交点为点B，与y轴交于点C（0，4 3），直线3344y x=+与y轴交于点D．（1）求点D的坐标和抛物线y＝ax2+x+c的函数表达式；（2）动点P从点B出发，沿x轴以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒，连接AC、CQ、PQ．①当△APQ是以AP为底边的等腰三角形时，求t的值；②在点P 、Q 运动过程中，△ACQ 的面积记为S 1，△APQ 的面积记为S 2，S ＝S 1+S 2，当S ＝602675时，请直接写出t 的值．16．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx +b 与x 轴交于点A （5，0），与y 轴交于点B ；直线y ═45x +6过点B 和点C ，且AC ⊥x 轴．点M 从点B 出发以每秒2个单位长度的速度沿y 轴向点O 运动，同时点N 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C 运动，当点M 到达点O 时，点M 、N 同时停止运动，设点M 运动的时间为t （秒），连接MN ．（1）求直线y ＝kx +b 的函数表达式及点C 的坐标；（2）当MN ∥x 轴时，求t 的值；（3）MN 与AB 交于点D ，连接CD ，在点M 、N 运动过程中，线段CD 的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD 长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD 的长度．17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2142y x x﹣﹣与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ．(1)求直线BC 的解析式．(2)点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点． ①求四边形PBAC 面积的最大值，并求四边形PBAC 面积的最大时P 点的坐标；②如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．18．思维探索：在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°．（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是；（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；拓展提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度．19．如图1，在矩形ABCD中，BC=3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线．．BC方向移动，作△P AB关于直线P A的对称△P AB'，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AB3①如图2，当点B' 落在AC上时，求t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t值？若不存在，请说明理由.（2）若四边形ABCD是正方形，直线PB'与直线CD相交于点M，当点P不与点C重合时，求证：∠P AM=45°.20．如图，已知直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）观察图象，写出不等式ax2+bx+c＞﹣x+3的解集为；（3）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．参考答案1．（1）3013；（2）24824(03)5y t t t =-+≤≤；（3）能，5（4）52或3011或2511． 【解析】【分析】（1）先在Rt ABC ∆中，由勾股定理求出10AB =，再由BP t =，2AQ t =，得出10AP t ，然后由//PQ BC ，根据平行线分线段成比例定理得出AP AQ AB AC =，列出比例式102106t t -=，求解即可；（2）根据1122ACB APQ PQCBS S S AC BC AP AQ sinA 四边形，即可得出y 关于t 的函数关系式；（3）根据四边形PQCB 面积是ABC ∆面积的35，列出方程2438242455t t ，解方程即可；（4）AEQ ∆为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE AQ =；②EAEQ ；③QA QE =，每一种情况都可以列出关于t 的方程，解方程即可．【详解】解：（1）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC cm =，6AC cm =， 10AB cm ∴=．BPt ，2AQ t =， 10AP AB BP t ．//PQ BC ，∴AP AQ AB AC =， ∴102106t t -=， 解得3013t =； （2）1122ACB APQ PQCB S S S AC BC AP AQ sinA 四边形 11868(10)22210y t t424(10)5t t 248245t t ，即y 关于t 的函数关系式为248245yt t ； （3）四边形PQCB 面积能是ABC ∆面积的35，理由如下： 由题意，得2438242455t t ， 整理，得210120t t ， 解得1513t ，2513t （不合题意舍去）．故四边形PQCB 面积能是ABC ∆面积的35，此时t 的值为513-； （4）AEQ ∆为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE AQ =，那么1022t t -=，解得52t =； ②如果EA EQ ，那么6(102)10t t ，解得3011t =； ③如果QA QE =，那么62510tt ，解得2511t ． 故当t 为52秒3011秒2511秒时，AEQ ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，平行线的判定，四边形的面积，等腰三角形的判定，中心对称的性质，综合性较强，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．2．（1）73°；（2）APC αβ∠=∠+∠，理由详见解析；（3）APC αβ∠=∠-∠【解析】【分析】（1）过点P 作PE ∥AB ，通过平行线性质来求∠APC ．（2）过P 作PE ∥AD 交AC 于E ，推出AB ∥PE ∥DC ，根据平行线的性质得出∠α=∠APE ，∠β=∠CPE ，即可得出答案；（3）若P 在DB 延长线上，画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE ，∠β=∠CPE ，依据角的和差关系即可得出答案．【详解】（1）如图1，过P 作//PE AB∵//AB CD∴////PE AB CD ，∴,A APE C CPE ∠=∠∠=∠又∵33,40A C ︒︒∠=∠=∴33APE ︒∠=，40CPE ︒∠=则CPA APE CPE ∠=∠+∠ 3340︒︒=+73︒=（2）APC αβ∠=∠+∠理由是：如图2，过点P 作//PE AB 交AC 于点E∵//AB CD∴////PE AB CD ，∴APE PAB α∠=∠=∠CPE PCD β∠=∠=∠∴APC APE CPE αβ∠=∠+∠=∠+∠∠=∠-∠（3）APCαβ如图3，过P作PE∥AB，交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠PAB=∠APE=∠α，∠PCD=∠CPE=∠β，∵∠APC=∠APE-∠CPE，∴∠APC=∠α-∠β．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；作平行线构造内错角是解决问题的关键．3．（1）①垂直，②4；（2）作图见解析，333【解析】【分析】（1）①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；②过点C作CF⊥AD于点F，由勾股定理可求DF，CF，AF的长，即可求AD的长；（2）分点D在BC左侧和BC右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE ∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE ，且AC=BC ，CE=CD ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴∠ADC=∠BEC=45°∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°∴AD ⊥BD故答案为：垂直②如图，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，∵∠ADC=45°，CF ⊥AD ，CD=2∴DF=CF=1∴22AF AC CF 3=-=∴AD=AF+DF=4故答案为：4．（2）①如图：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC 21BC 7，CD 3CE ＝1，∴7,DE=2,∠ACD ＝∠BCE,7AC BC DC CE= ∴△ACD ∽△BCE ．∴∠ADC ＝∠E ，3AD AC BE BC==． 又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE =90°，即∠ADE=90°．∴AD ⊥BE ．设BE=x ，则AD=3x ．在Rt △ABD 中，222AD BD AB +=，即2223)(2)(27)x x +-=（． 解得123,2x x ==-（负值舍去）．∴AD=33．②如图，同①设BE=x ，则3x ．在Rt △ABD 中，222AD BD AB +=，即2223)(+2)(27)x x +=（． 解得122,3x x ==-（负值舍去）．∴AD=3综上可得，线段AD 的长为332 3.或【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线．4．（1）2184y x x =-++，(8,0)；（2）①50②18 【解析】【分析】（1）把A 点和B 点坐标代入214y x bx c =-++得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C 点坐标（2）①连结DF ，OF ，如图，设21,84F t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，利用S 四边形OCFD CDF OCD S S ∆∆=+ODF OCF S S ∆∆=+，利用三角形面积公式得到S △CDF =2616t t -++，再利用二次函数的性质得到△CDF 的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S 的最大值；②由于四边形CDEF 为平行四边形，则CD ∥EF ，CD=EF ，利用C 点和D 的坐标特征可判断点C 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ，则点F 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E ，即218,124E t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭，然后把218,124E t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭代入抛物线解析式得到关于t 的方程，再解方程求出t 后计算△CDF 的面积，从而得到S 的值．【详解】解：（1）把(0,8)A ，(4,0)B -代入214y x bx c =-++得： 8440c b c =⎧⎨--+=⎩， 解得18b c =⎧⎨=⎩所以抛物线的解析式为2184y x x =-++ 当0y =时，21804x x -++=，解得14x =-，28x = 所以C 点坐标为(8,0)（2）①连接OF ，如图，设21,84F t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭∵CDF OCD ODF OCF OCFD S S S S S ∆∆∆∆=+=+四边形∴CDF ODF OCF OCD S S S S ∆∆∆∆=+-21111488482242t t t ⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅-++-⋅⋅ ⎪⎝⎭ 22616(3)25t t t =-++=--+当3t =时，CDF ∆的面积有最大值，最大值为25∵四边形CDEF 为平行四边形∴S 的最大值为50②∵四边形CDEF 为平行四边形∴//CD EF ，CD EF =∵点C 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D∴点F 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E ，即218,124E t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭∵218,124E t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭在抛物线上 ∴2211(8)881244t t t t --+-+=-++，解得7t = 当7t =时，2(73)259CDF S ∆=--+=∴此时218CDF S S ∆==．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律．5．（1）85s 或245s （2）62cm ；213cm （3）4s 或6s【解析】 【分析】 (1)过点P 作PE ⊥BC 于E ，得到AP ＝3t ，CQ ＝2t ，PE ＝6，EQ ＝16﹣3t ﹣2t ＝16﹣5t ，利用勾股定理得到方程，故可求解；（2）根据运动时间求出EQ 、PE ，利用勾股定理即可求解；(3) 分当点P 在AO 上时，当点P 在OC 上时和当点P 在CB 上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．【详解】解：（1）设运动时间为t 秒时，如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，由运动知，AP ＝3t ，CQ ＝2t ，PE ＝6，EQ ＝16﹣3t ﹣2t ＝16﹣5t ，∵点P 和点Q 之间的距离是10 cm ，∴62+（16﹣5t ）2＝100，解得t 1=85，t 2=245， ∴t ＝85s 或245s . 故答案为85s 或245s（2）t=2时，由运动知AP ＝3×2＝6 cm ，CQ ＝2×2＝4 cm ， ∴四边形APEB 是矩形，∴PE ＝AB ＝6，BE ＝6，∴EQ ＝BC ﹣BE ﹣CQ ＝16﹣6﹣4＝6，根据勾股定理得2262PE EQ +=∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为62 cm ；当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ， ∴四边形APEB 是矩形，∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4，根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=,P ，Q 两点的距离为213cm .（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ，当点P 在AO 上时，S △POQ ＝2PO CO ⋅＝(163)62t -⋅＝12， 解得t ＝4．当点P 在OC 上时，S △POQ ＝2PO CQ ⋅＝(316)22t t -⋅＝12， 解得t ＝6或﹣23（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝2PQ CO ⋅＝(2223)62t t +-⨯＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．6．（1）()3,9-；（2）53,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）当1CE =时，点A 在直线BG 上．理由见解析；（4）四边形PFHG 是平行四边形，理由见解析【解析】【分析】（1）先将点A 坐标代入抛物线解析式，求出抛物线的解析式，从而求出点B 的坐标；（2）先根据平行四边形的性质及抛物线的解析式求出G 点的坐标，然后因为//OF DE ，根据平行线分线段成比例，求出CE 的值，则可得E 的坐标；（3）首先求出直线BG 的解析式，然后检查A 点是否在直线BG 上;(4)根据平行四边形的判定判断四边形PFHG 是否式平行四边形.【详解】解：（1）2y x bx =+经过点()6,0A ，2660b ∴+=，解得6b =-．∴抛物线的表达式为226(3)9y x x x =-=--．∴点B 的坐标为()3,9-．（2）//OF DG ，//FG OD ，∴四边形ODGF 为平行四边形．()2,0D ，2FG OD ∴==又()3,0C ，3OC ∴=，1DC =．∴点G 的横坐标为5，点G 落在抛物线26y x x =-上， ∴点G 的坐标为()5,5-．5CF ∴=．//OF DE ，CE CD CF OC ∴=即153CE =，53CE ∴=． ∴点E 的坐标为53,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，（3）当1CE =时，点A 在直线BG 上．理由如下：当1CE =时，由（2）可知33CF CE ==，()5,3G ∴-设直线BG 的函数表达式为y kx n =+，把B ，G 两点坐标代人，可得3953k n k n +=-⎧⎨+=-⎩． 解方程组，得318k n =⎧⎨=-⎩． ∴直线BG 的函数表达式为318y x =-．当6x =时，36180y =⨯-=，∴点A 在直线BG 上．（4）四边形PFHG 是平行四边形．理由如下：由（3）可知点G 的坐标为()5,3-．∴点F 的坐标为()3,3-，DG =设直线OF 的函数表达式为y mx =，33m ∴=-．解得1m =-．∴直线OF 的函数表达式为y x =-．解方程组318y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得9292x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点99,22H ⎛⎫- ⎪⎝⎭．2OH ∴=，OF DG ==22FH OH OF ∴=-=-=．P 为DG 的中点，122PG DG ∴== //OH DG （或//PG FH ），PG FH =． ∴四边形PFHG 为平行四边形．【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定与性质，点的坐标，综合性较强，先求出抛物线的解析式是解题的关键．7．（1）证明见解析（2）PE PF =，理由见解析（3）PA PE =，理由见解析【解析】【分析】（1）通正方形得性质得到边角相等来证明AFB ∆≅AED ∆，从而得到AF=AE.（2）过点P 作PM BC ⊥于点M ，作PN DC ⊥于点N ，与（1）的证明方法一样证明PFM ∆≅PEN ∆，从而得到PE=PF ；（3）在AB 上截取BF BP =，连接FP .证AFP ∆≅PCE ∆，从而得到PE=PA.【详解】（1）证明：四边形ABCD 为正方形，90D ABC ∴∠=∠=︒，AD AB =．90ABF D ∴∠=∠=︒又90EAF ∠=︒，90BA BAF DAE BAE ∴∠+∠=︒=∠+∠．DAE BAF ∴∠=∠．在AFB ∆和AED ∆中，BAF DAE AB ADABF D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩． AFB AED ∴∆≅∆()ASA ．AF AE ∴=．（2）解：PE PF =．理由如下：如答图1，过点P作PM BC⊥于点M，作PN DC⊥于点N，四边形ABCD为正方形，90PMC PNC MCN∴∠=∠=∠=︒，ACB ACD∠=∠．90MPN∴∠=︒，PM PN=．90MPE NPE∴∠+∠=︒，90MPE MPF∠+∠=︒．MPF NPE∴∠=∠．在PFM∆和PEN∆中，90MPF NPEPM PNPMF PNE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩PFM PEN∴∆≅∆()ASA．PE PF∴=．图1（3）解：PA PE=．理由如下：如答图2，在AB上截取BF BP=，连接FP．四边形ABCD为正方形，90ABC BCD∴∠=∠=︒，AB BC=．AB BF BC BP∴-=-，45BFP∠=︒．AF PC∴=，135AFP∠=︒．CE是正方形的外角平分线，45DCE=∴∠︒．135PCE AFP∠=︒=∠．90APE∠=︒，90APB CPE∴∠+∠=︒又90APB FAP∠+∠=︒，FAP CPE∴∠=∠．在AFP∆和PCE∆中，FAP CPEAF PCAFP PCE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AF P EP C≅∴∆∆()ASA．PA PE∴=．图2【点睛】本题考查了四边形的综合知识，解题的关键是了解本题中的图形变化后结论不变，而且有相同的证明方法，这类题目也是中考的热点考题之一，难度中等．8．（1）21213y x x=-+-；（2）9(2P，5)4；（3）(4,)1-或(3,1)--．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得C点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得AB的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得E点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰直角三角形的性质，可得PCF EAF∠=∠，根据相似三角形的判定，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：（1）将(0,1)A -，(9,10)B -代入函数解析式，得18191031b c c ⎧-⨯++=-⎪⎨⎪=-⎩， 解得21b c =⎧⎨=-⎩， 抛物线的解析式21213y x x =-+-； （2）//AC x 轴，(0,1)A -，212113x x ∴-+-=-． 解得16x =，20x =．∴点C 的坐标为(6,1)-．点(0,1)A -，(9,10)B -，∴直线AB 的解析式为1y x =--． 设点21(,21)3P m m m -+-，(,1)E m m ∴--．2211(21)(1)333PE m m m m m ∴=-+----=-+． AC EP ⊥，6AC =， AEC APC AECP S S S ∆∆∴=+四边形1122AC PF AC FE =+ 1()2AC PF FE =+ 12AC PE = 2116(3)23m m =⨯⨯-+ 29m m =-+2981()24m =--+． 06m <<，∴当92m =时，四边形AECP 的面积的最大值是814． 此时点9(2P ，5)4．（3）221121(3)233y x x x =-+-=--+， (3,2)P ∴．2(1)3PF ∴=--=，633CF =-=．PF CF ∴=．45PCF ∴∠=︒．同理可得45EAF ∠=︒． PCF EAF ∴∠=∠．分两种情况：如图，①当CQ CP AC AB=时，CPQ ABC ∆∆∽． 992AB ==6AC =，32CP =∴32662CQ = 解得2CQ =．(4,1)Q ∴-．②当CQ CP AB AP =时，CQP ABC ∆∆∽32692=．解得9CQ =．(3,1)Q ∴--．综合①②得，存在这样的点Q ，其坐标是(4,)1-或(3,1)--．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ 的比例，要分类讨论，以防遗漏．9．(1)见解析；(2) 8， 4；(3)当t=3或5时，△EPQ 是直角三角形；(4)存在， t =494或394 【解析】【分析】（1）由∠ECF=∠BCD 得∠DCF=∠BCE ，结合DC=BC 、CE=CF 证△DCF ≌△BCE 即可得；（2）当点E 运动至点E′，'BE AD ⊥时，由DF=BE′知此时DF 最小，求得BE′、AE′即可得答案；（3）①∠EQP=90°时，由∠ECF=∠BCD 、BC=DC 、EC=FC 得∠BCP=∠EQP=90°，根据AB=CD=5 ，tan ∠ABC=tan ∠ADC=43，即可求得DE ； ②∠EPQ=90°时，由菱形ABCD 的对角线AC ⊥BD 知EC 与AC 重合，可得DE ；（4）当F 在AD 的上方时，如图3，把CD 绕Ｃ顺时针旋转α得CG ，连接GF 分别交直线AD 、BC 于点M 、N ，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，证△DCE ≌△GCF ，可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF ∥CD ，从而知四边形CDMN 是平行四边形，由平行四边形得MN=CD ；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG 知CN=CG=CD ，根据tan ∠ABC=tan ∠CGN=43，可得GM ，由GF=DE=t 可得FM ， 利用tan ∠FMH=tan ∠ABC=43，即可得t 的值．同理可得：当F 在AD 的下方时t 的值，【详解】解：（1）∵∠ECF=∠BCD ，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE ，∴∠DCF=∠BCE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴DC=BC ，在△DCF 和△BCE 中，∵ ,CF CE DCF BCE CD CB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△DCF ≌△BCE （SAS ），∴DF=BE ；（2）如图1， 当点E 运动至点E′，'BE AD ⊥时，DF=BE′，此时DF 最小， 在Rt △ABE′中，AB=5 ，tan ∠ABC=tan ∠BAE′=43， ∴设AE′=x ，则BE′=43x ， ∴AB=53x =5， 则AE′=3,x =∴DE′=538,+=DF=BE′=44,3x = 8,t ∴=故答案为：8,4. ；（3）∵CE=CF ， ∴∠CEQ ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①， ∵∠ECF=∠BCD ，BC=DC ，EC=FC ， ,BCD ECF ∴∆∆∽∴∠CBD=∠CEF ，∵∠BPC=∠EPQ ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=5，tan ∠ABC=tan ∠ADC=43， 由（1）得：菱形的高：4,CE =43CEDE∴=，∴DE=3，∴t=3秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=5，∴t=5秒；综上：当t=3或5时，△EPQ是直角三角形；（4）存在．494t=或39.4t=理由如下：当F在AD的上方时，如图3，把CD绕Ｃ顺时针旋转α得CG，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵EC FCDCE GCFDC GC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4， ∴GF ∥CD ，又∵AH ∥BN ，∴四边形CDMN 是平行四边形，∴MN=CD=5，∵∠BCD=∠DCG ，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG ，∴GC=CN=CD=5，∵tan ∠ABC=tan ∠CGN=43， ∴GN=6，∴GM=11，∵GF=DE=t ，∴FM=t-11，∵tan ∠FMH=tan ∠ABC=43， ∴4sin 5FMH ∠=． 14,115t ∴=- 49,4t ∴=当F 在AD 的下方时，如图3，把CD 绕Ｃ顺时针旋转α得CG ，连接GF 分别交直线AD 、BC 于点M 、N ，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，同理可得：四边形CDMN 是平行四边形，11,,GM GF t ==11,FM t ∴=-由4tan ,3FMH ∠=4sin 5FMH ∴∠=， 14,115t ∴=- 39.4t ∴=综上：点E 的运动过程中，存在到直线AD 的距离为1的点F ，此时，494t =或39.4t = 【点睛】 本题主要考查菱形的有关性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、解直角三角形及旋转的性质，熟练掌握灵活运用是解题的关键．10．(1)213222y x x =--；(2)①存在，点D 的横坐标为32；②507605128128s << 【解析】【分析】（1）先求出点A 、C 坐标，再根据待定系数法求解即可；（2）①若存在点D ，使得AC 平分∠OCD ，则∠OCA =∠DCA ，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，如图1，则DE ∥y 轴，易得DC=DF ，设D （m ，213222m m --），则可用含m 的代数式表示出DF ，然后根据DC=DF 即可得出关于m 的方程，解方程即得结果； ②先由①的结论求出点D 的坐标和△ACD 的面积，然后分点P 在直线CD 下方时，作PG ⊥x 轴于点G ，交直线CD 于点Q ，如图2，利用二次函数的性质求出△PCD 的最大面积，进一步即可求出有三个点P 时的S 的值；点P 在直线AD 下方时，辅助线作法如图3，再求出△P AD 的最大面积，进而可求出只有一个点P 时的S 的值，于是可得结果．【详解】解：（1）对122y x =-，当y =0时，x =4，∴点A （4，0）， 当x =0时，y =﹣2，∴点C （0，﹣2），把A 、C 两点代入抛物线212y x bx c =++得： 8402b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式是213222y x x =--； （2）①若存在点D ，使得AC 平分∠OCD ，则∠OCA =∠DCA ，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，如图1，则DE ∥y 轴，∴∠OCA =∠DFC ，∴∠DCF =∠DFC ，∴DC=DF ，设D （m ，213222m m --），则F （m ，122m -）， ∴2211312222222DF m m m m m ⎛⎫⎛⎫=----=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22222131222222m m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 解得：0m =（舍去）或32m =， ∴存在点D ，使得AC 平分∠OCD ，且点D 的横坐标是32；（3）对213222y x x =--，当x=32时，25y 8=-，∴点D 的坐标是（32，258-）， 此时DF =21331522228⎛⎫-⨯+⨯= ⎪⎝⎭，△ACD 的面积=1151542284DF ⨯⨯=⨯=，当点P 在直线CD 下方时，作PG ⊥x 轴于点G ，交直线CD 于点Q ，如图2， ∵点C （0，﹣2），D （32，258-）， ∴直线CD 的解析式为324y x =--， 设点P 的坐标是（n ，213222n n --），则Q （n ，324n --）， ∴2223131313922422242432PQ n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴△PCD 的最大面积=19327=2322128⨯⨯， 此时四边形CPDA 的面积=2715507=1284128+；当点P 在直线AD 下方时，作PG ⊥x 轴于点G ，交直线CD 于点Q ，如图3，∵点A （4，0），D （32，258-）， ∴直线AD 的解析式为554y x =-， 设点P 的坐标是（n ，213222n n --），则Q （n ，554n -）， ∴22251311111125523422242432PQ n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-+-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴△P AD 的最大面积=12531254=2322128⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭，此时四边形CDP A的面积=12515605= 1284128+；综上，当S的取值范围为507605128128s<<，相应的点P有且只有2个．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式、二次函数的图象与性质、两点间的距离和一元二次方程的解法等知识，具有相当的难度，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．11102【解析】【分析】连接AG并延长，交BC于点F，由三角形ABC的重心为G，可知F为BC的中点，再由垂径定理可知OF⊥BC，从而可求得OF的长；在AO上取点E，使AE=2EO，连接GE，可判定三角形AGE相似于三角形AFO，由相似三角形的性质列出比例式，求得GE的长，进而可得点E的坐标，利用勾股定理求出DE的长，根据G在以E为圆心，2为半径的圆上运动，可知DG的最小值为DE的长减去，计算即可.【详解】解：连接AG并延长，交BC于点F.∵△ABC的重心为G∴F为BC的中点，∴OF⊥BC，∵∠BAC=45°∴BOF=45°∴OBF=45°∴OF=BF=FC=32 2∵△ABC的重心为G，∴AG=23 AF.在AO上取点E，使AE=23AO，连接GE，∴E（1，0）∵.2,3AG AEFAO GAE AF AO==∠=∠∴△AGE∽△AFO，∴23 GE FO=∴GE=2∴G在以E为圆心，2为半径的圆上运动∴DE=22223110OD OE+=+=∴DG的最小值为102-．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的性质、三角形的重心、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解答本题的关键．12．(1)证明见解析；(2) CH EF EG=-，证明见解析【解析】【分析】（1）过E 作EN CH ⊥于点N ，根据矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质进行推导即可得证结论；(2) 先猜想结论为CH EF EG =-，过C 作CM EF ⊥于点M ，根据矩形的判定和性质、角平分线的性质进行推导即可得证猜想．【详解】解：证明：（1）过E 作EN CH ⊥于点N ，如图：∵EF BD ⊥，CH BD ⊥∴四边形EFHN 是矩形∴EF NH =，//FH EN∴DBC NEC ∠=∠∵四边形ABCD 是矩形∴AC BD =，且互相平分∴DBC ACB ∠=∠∴ACB NEC ∠=∠∵EG AC ⊥，EN CH ⊥∴90EGC CNE ∠=∠=︒∵EC CE =∴()EGC CNE AAS ≌∴EG CN =∴CH CN NH EG EF =+=+，即CH EF EG =+．(2) 结论：CH EF EG =-证明：过C 作CM EF ⊥于点M ，如图：同理可证MF CH =，MCE GCE ∠=∠∵ME CM ⊥，EG CG ⊥∴EG ME =∴CH MF EF ME EF EG ==-=-，即CH EF EG =-．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、线段．的和差等知识点，适当添加辅助线是解决问题的关键．13．（1）2210433y x x =-++；（2）当3m =时，BEC S 有最大值，此时(3,8)E ；（3）35,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭或135,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或113,26⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】【详解】(1）要求抛物线的解析式，先根据一次函数求点B 和点C 的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）要求当BEC △面积最大时，点E 的坐标，首先过点E 作EG y 轴，交直线BC 于点G ，设出点E 的坐标，表示出点G 的坐标，然后表示出EG 的长，利用三角形面积公式及二次函数的最值即可得出点E 的坐标；（3）要求使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形的点P 的坐标，分三种情况：①以AM 为边时，四边形AMQP 是平行四边形；②以AM 为边，四边形AMPQ 是平行四边形；③以AM 为对角线时，四边形APMQ 是平行四边形，根据平行四边形的特征，即可求出点P 的坐标．解：（1）当0x =时，4y =，∴(0,4)B ，当0y =时，2403x -+=，解得6x =，∴(6,0)C ，。