2014年高考理科数学试题分类汇编_参数方程与极坐标_word版含答案 - 副本
2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔理科〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．〔1〕【2014年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭〔 〕〔A 〕1- 〔B 〕1 〔C 〕i - 〔D 〕i 【答案】A【解析】因为21i 2i11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． 【点评】此题考查复数的运算，容易题．〔2〕【2014年湖北，理2，5分】假设二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =〔 〕〔A 〕2 〔B 〕54 〔C 〕1 〔D 〕24【答案】D【解析】因为()77727722xrrr r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得24a =，故选D ．【点评】此题考查二项式定理的通项公式，容易题． 〔3〕【2014年湖北，理3，5分】设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅”的〔 〕〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，假设A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅；假设A B =∅，不能推出U B C C ⊆，故选A ．【点评】此题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题． 〔4〕【2014年湖北，理4，5分】根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y得到的回归方程为ˆybx a =+，则〔 〕 〔A 〕0a >，0b > 〔B 〕0a >，0b < 〔C 〕0a <，0b > 〔D 〕0a <，0b < 【答案】B【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ． 【点评】此题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题． 〔5〕【2014年湖北，理5，5分】在如下图的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为〔 〕〔A 〕①和②〔B 〕③和①〔C 〕④和③〔D 〕④和② 【答案】D【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D ．【点评】此题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题． 〔6〕【2014年湖北，理6，5分】假设函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x为区间[]1,1- 上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是〔 〕〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕3 【答案】C【解析】对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x ---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．【点评】新定义题型，此题考查微积分基本定理的运用，容易题．〔7〕【2014年湖北，理7，5分】由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为〔 〕〔A 〕18〔B 〕14 〔C 〕34 〔D 〕78【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．【点评】此题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题． 〔8〕【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为〔 〕〔A 〕227 〔B 〕258 〔C 〕15750 〔D 〕355113【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】此题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．〔9〕【2014年湖北，理9，5分】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔 〕〔A 〕433 〔B 〕233〔C 〕3 〔D 〕2【答案】B【解析】设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为233，故选B ． 【点评】此题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等． 〔10〕【2014年湖北，理10，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，假设R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为〔 〕〔A 〕11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔B 〕66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔C 〕11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔D 〕33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a xx a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得6666a -≤≤，故实数a 的取值范围是66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． 【点评】此题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 〔一〕必考题〔11-14题〕〔11〕【2014年湖北，理11，5分】设向量()3,3a =，()1,1b =-，假设()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= ． 【答案】3±【解析】因为()3,3a b λλλ+=+-，()3,3a b λλλ+=++，因为()()a b a b λλ+⊥-，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．【点评】此题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题． 〔12〕【2014年湖北，理12，5分】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 【答案】2【解析】依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 4522a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=． 【点评】此题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题． 〔13〕【2014年湖北，理13，5分】设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a 〔例如815a =，则()158I a =，()851D a =〕．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = ． 【答案】495【解析】当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．【点评】新定义题型，此题考查程序框图，当型循环结构，容易题． 〔14〕【2014年湖北，理14，5分】设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，假设经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x 的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b 的算术平均数．〔1〕当()f x =________〔0x >〕时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数； 〔2〕当()f x =________〔0x >〕时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+； 〔以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可〕【答案】〔1〕x 〔2〕x 〔或填〔1〕1k x 〔2〕2k x ，其中12,k k 为正常数均可〕【解析】设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．【点评】此题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等．〔一〕选考题〔请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．〕 〔15〕【2014年湖北，理15，5分】〔选修4-1：几何证明选讲〕如图，P 为O 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O 于,C D 两点，假设1QC =，3CD =，则PB = _______． 【答案】4【解析】由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==． 【点评】此题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．〔16〕【2014年湖北，理16，5分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知曲线1C 的参数方程是33x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()3,1【解析】由33x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 与2C 的交点坐标为()3,1．【点评】此题考查参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 〔17〕【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度〔单位：C ︒〕随时间t 〔单位：h 〕的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．〔1〕求实验室这一天的最大温差；〔2〕假设要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：〔1〕因为31()102(cos sin )102sin()212212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．〔2〕依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由〔1〕得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温． 〔18〕【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?假设存在，求n 的最小值；假设不存在，说明理由．解：〔1〕设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．〔2〕当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-〔舍去〕，此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．〔19〕【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．〔1〕当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；〔2〕是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．解：解法一：〔1〕如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD 的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面 EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．〔2〕如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形． 分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =， 故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．假设存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=，连接EM ，FN ，则 由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()22GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)22OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得1λ=±，故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知 得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -，(1,0,)FP λ-，(1,1,0)FE ． 〔1〕当1λ=时，(1,0,1)FP =-，因为1(2,0,2)BC =-，所以12BC FP =，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ． 〔2〕设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-，同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，假设存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得1λ=±．故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 〔20〕【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米〕都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． 〔1〕求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；〔2〕水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；假设某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；假设某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机多少台？解：〔1〕依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>==由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．〔2〕记水电站年总利润为Y 〔单位：万元〕〔1〕安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．〔2〕安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：所以，()E Y =〔3〕安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时 500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y PX p ==>==， 由此得所以，()34000.292000.7150000.18620E Y =⨯+⨯+⨯=综上，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机2台．〔21〕【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．〔1〕求轨迹为C 的方程；〔2〕设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围．解：〔1〕设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x =+，化简整理得22(||)y x x =+，故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．〔2〕在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①〔1〕当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4〔2〕当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ 〔ⅰ〕假设000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．〔ⅱ〕假设000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C只有一个公共点，与2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．〔ⅲ〕假设000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合〔1〕〔2〕可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．〔22〕【2014年湖北，理22，14分】π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．〔1〕求函数xxx f ln )(=的单调区间； 〔2〕求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数与最小数；〔3〕将33,3,,,3,eee e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：〔1〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x-'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函 数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．〔2〕因为3e π<<，所以ln 33ln ,ln ln 3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==， x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π与3π之中，最小数在3e 与3e 之中．由3e π<<及〔1〕的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln 3ππ<，所以33ππ>；由ln 3ln 3e e<，得3ln 3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e．〔3〕由〔2〕知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由〔2〕知，ln ln ee ππ<，得e e ππ<故只需比较3e 与e π和e π 与 3π的大小，由〔1〕知，当0x e <<时，1()()f x f e e <=，即ln 1x x e<，在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2ln e e ππ<，从而2ln e ππ-<，即得ln 2eππ>- ①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333e e e e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。
2014年高考真题——理科数学(全国大纲卷)精校版 Word版含解析(2014高考)
2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i - 【答案】D ．2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2BC ．1D ．2【答案】B ．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 【答案】C ．6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 （ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ．7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A ．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13 C ．4 D ．3【答案】A ．10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14 B．4C．4 D ．12 【答案】B.12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =-- 【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答） 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 【答案】43． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\= ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B?<癨? ．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小.1解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AA C C ，故平面11AA C C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AA C C ．连结1A C ，∵侧面11AA C C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AA C C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1AE 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1A E=1A C 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1AFD Ð为二面角1A ABC --的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BCDF A FD AB DF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AA C C 内． （I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,a A B £则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA =得2，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^．（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,m x y z =则1,,m CB m BB ^^即10,0m CBm BB ??．()0,1,0,CB =()112,0,,BB AA a c ==-故0y =，且()20a x cz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-，点A到平面11BCC B 的距离为c o s ,C A m C A mC A c m×?==．又依题设，点A 到平面11BCC B的距离为,c \=3a =（舍去）或1a =．于是(11,0AA =-．设平面1ABA 的法向量(),,n p q r =，则1,n AA n AB ^^，即10,0,n AA n AB p r ??\-=，故且20p q -+=．令p =则1,q r ==()3,23n =．又()0,0,1p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p⋅==⋅，∴二面角1A AB C --的大小为1arccos 4． 20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． （I ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+= ，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+ ，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y Bx y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y mmm+骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0aa -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数． （ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+ 上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+ 是增函数．当()0,x ? 时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3l n 1033xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <++． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。
2014,2015年全国高考题数学选修4-4极坐标与参数方程
2014,2015年全国高考题数学选修4-4极坐标与参数方程23.（2015年全国一卷）（小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1）求C1,C2的极坐标方程。
解析：C1的极坐标方程为：θ=π，ρ为任意实数；C2的极坐标方程为：ρ=2cos(θ-π)+2.2）若直线C3的极坐标为θ=π/4，求直线C3在极坐标系下的方程。
解析：C3在直角坐标系下的方程为y=x，所以在极坐标系下的方程为θ=π/4.23.（2015年全国二卷）（小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1:{x=tcos(α),y=tsin(α)}，其中0≤α<π，t≠0；曲线C2:ρ=2sinθ，曲线C3:ρ=2/3cosθ。
1）求C2与C3交点的直角坐标；解析：C2与C3交点的直角坐标为(1/2,√3/2)。
2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB最大值。
解析：由C1的方程可得，C1与x轴的交点为(0,0)，所以C1与C2的交点为(2/√3,1/√3)。
同理，C1与C3的交点为(2/3,2/3)。
所以AB的最大值为√(2/3)^2+(1/√3)^2=√7/3.23.（2014年一卷）（小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C:{x=2+t,y=tx^2y^2+1}，直线l:y=2-2t。
1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；解析：曲线C的参数方程为{x=2+t,y=tx^2y^2+1,t∈R}，直线l的普通方程为y=-2t+2.2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l 于点A，求PA的最大值与最小值。
解析：过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，其斜率为tan(π/6)=√3/3.所以该直线的方程为y=√3(x-2)+1.设该直线与曲线C的交点为Q，根据题意可得，PQ与l垂直，且PQ=PAcos30°。
2014--2018年高考数学极坐标与参数方程及答案解析汇编
2014--2018年全国高考试题极坐标与参数方程汇总1、（2014年高考数学全国卷I ）已知曲线C ：x ²4＋y ²9＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋ty ＝2－2t (t 为参数）⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；⑵过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值。
【解析】：⑴曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-=⑵在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA当()sin 1θα+=时，||PA 2、（2015年高考数学全国卷I ）在直角坐标系xOy 中.直线C 1:x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ⑴求C 1，C 2的极坐标方程； ⑵若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积。
解：⑴因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。
⑵将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ=12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12。
3、（2016年高考数学全国卷I ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos t ，y ＝1＋asin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cosθ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 。
高考理科数学试题分类汇编_参数方程与极坐标_含答案(最新编写)
点. 若 D AOB 是等边三角形，则 a 的值为 ___________.
解： 3 圆的方程为 x2 + ( y - 2)2 = 4 ，直线为 y = a .
因为 D AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为
骣???桫a3 ,a÷÷÷，代入圆的方程可得 a = 3.
6. (2014 广东 )（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线
y 4t
x 4 cos
，（ 为常数） .
y 4sin
（ I）求直线 l 和圆 C 的普通方程；
（ II）若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围 .
解： (1)直线 l 的普通方程为 2x－ y－ 2a＝ 0， 圆 C 的普通方程为 x2＋ y2＝ 16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点，
4 (2014 上海 )已知曲线 C 的极坐标方程为 p(3cos 4 sin ) 1，则 C 与极轴的交点到极
点的距离是
。
1 【答案】 3
【解析】
1
1
ρ(3cosθ- 4sin θ) = 1∴ 3x - 4y = 1交于点 ( ,0).所以，是
3
3
C. (2014 陕西 （) 坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中， 点 (2, ) 到直线 sin( 6
4
2
2
∴ 垂直 AB的中垂线方程是 y -1= 1 ( x - 1)即 4y - 3= 2x 22
所以 ,所求直线的极坐标方程 是 2ρcosθ- 4ρsin θ+ 3= 0
4（2014 福建）（本小题满分 7 分）选修 4— 4：极坐标与参数方程
x a 2t
已知直线 l 的参数方程为
(完整word版)2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案,推荐文档.docx
2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合 A={ x| x 22 x3 0 } ， － ≤ ＜ ＝，则A B =B={ x | 2 x 2A .[-2,-1]B .[-1,2 ）C .[-1,1]D .[1,2 ）(1 i )32.(1 i )2=A .1 iB . 1 iC . 1 iD . 1 i3.设函数 f ( x) ， g(x)的定义域都为R，且 f (x) 时奇函数， g( x) 是偶函数，则下列结论正确的是A . f (x) g (x) 是偶函数B .| f ( x) | g( x) 是奇函数C . f (x) | g ( x) |是奇函数D .| f (x) g( x) |是奇函数4.已知 F 是双曲线 C ： x 2my 23m( m 0) 的一个焦点，则点F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3B .3C . 3mD . 3m5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率A . 1B . 3C .5D .7888 86.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0,]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的a, b, k 分别为 1,2,3 ，则输出的 M =A .20B .16C . 7D .15352 88.设(0,)，(0,) ，且 tan 1 sin，则cos22A . 32B . 22C .3D . 2229.不等式组x y 1的解集记为 D .有下面四个命题：x 2 y4p1： ( x, y) D , x 2 y 2 ，p2： ( x, y) D , x 2y 2 ,P( x, y) D , x 2 y 3，p4 ：( x, y) D , x 2 y1.3 ：其中真命题是A .p2，p3B .p1，p4C .p1，p2D .p1，p310.已知抛物线C：y28x 的焦点为F，准线为l，P是l上一点， Q 是直线PF与C的一个焦点，若uuur uuurFP4FQ ，则 | QF |=75C .3D .2A .B .2211.已知函数f ( x) = ax33x21，若 f ( x) 存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则 a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A . 6 2B . 4 2C .6D .4第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
极坐标与参数方程高考题练习含答案
极坐标与参数方程高考题练习含答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ B ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上2.(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ D ）（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）223(2014江西) (2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A 【解析】1y x =-()01x ≤≤∴sin 1cos ρθρθ=-()0cos 1ρθ≤≤ 10sin cos 2πρθθθ⎛⎫∴=≤≤ ⎪+⎝⎭ 所以选A 。
二．填空题1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】.5ρ,.541ρ(1,2),∴2044-y 1-x 4y .x 4y θcos ρ4θsin ρ∴0θcos 4-θsin ρ1-,3,2222222==+==⇒=+===⇒===+=+=所以交点得与联立y y x y x y t y t x4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。
2014年全国高考试卷极坐标与参数方程部分汇编
知识清单（四） 2014年全国高考试卷极坐标与参数方程部分汇编1. （2014安徽理4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为 （ ）AB ．CD ．2. （2014北京理3）曲线{1cos 2sin x y =-+=+θθ，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上3. （2014福建理21⑵）已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为常数）．①求直线l 和圆C 的普通方程；②若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．4. （2014广东理14）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为____________．5. （2014广东文14）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos ρθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为____________．6. （2014湖北理16）已知曲线1C的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 与2C 交点的直角坐标为________7. （2014湖南理11）在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）交于A ，B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_____________．8. （2014湖南文12）在平面直角坐标系中，曲线2:12x C y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________．9. （2014江苏理21C ）在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数)，直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，求线段AB 的长．10. （2014江西理11⑵）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（）A ．1π,0cos sin 2ρθθθ=+≤≤ B ．1π,0cos sin 4ρθθθ=+≤≤C ．πcos sin ,02ρθθθ=+≤≤D ．πcos sin ,04ρθθθ=+≤≤11. （2014辽宁理23文23）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．⑴写出C 的参数方程； ⑵设直线220l x y +-=∶与C 的交点为12P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．12. （2014陕西理15C 文15C ）在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是_______．13. （2014天津理13）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A B ，两点．若AOB △是等边三角形，则a 的值为_______．14. （2014新课标1理23文23）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． ⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；⑵过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．15. （2014新课标2理23文23）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，π02θ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦．⑴求C 的参数方程；⑵设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D 的坐标．16. （2014重庆理15）已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=（002πρθ,<≥≤），则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________．2014年全国高考试卷极坐标与参数方程部分汇编17. （2014安徽理4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为 （ ）AB ．CD ．【解析】 D由13x t y t =+⎧⎨=-⎩，消去t 得40x y --=，24cos 4cos C ρθρρθ=⇒=：，∴224C x y x +=：，即22(2)4x y -+=，∴(20)2C r =，，．∴点C 到直线l 的距离d =∴所求弦长==D ．18. （2014北京理3）曲线{1cos 2sin x y =-+=+θθ，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【解析】 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．19. （2014福建理21⑵）已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为常数）．①求直线l 和圆C 的普通方程；②若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】 本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．⑴直线l的普通方程为220x y a--=，圆C的普通方程为2216x y+=⑵因为直线l与圆C又公共点，故圆C的圆心到直线l的距离4d=，解得a-20.（2014广东理14）在极坐标系中，曲线1C和2C的方程分别为2sin cosρθθ=和sin1ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C和2C的交点的直角坐标为____________．【解析】(1,1)．曲线1C的方程化为22sin cosρθρθ=，化为直角坐标方程即2y x=，2C的直角坐标方程为1y=，显而易见，交点坐标为(1,1)．21.（2014广东文14）在极坐标系中，曲线1C与2C的方程分别为22cos sinρθθ=与cosρθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C与2C的交点的直角坐标为____________．【解析】()12，22.（2014湖北理16）已知曲线1C的参数方程是xy⎧=⎪⎨=⎪⎩t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2ρ=，则1C与2C交点的直角坐标为________【解析】1)曲线1C为射线(0)y x=≥．曲线2C为圆224x y+=．设P为1C与2C的交点，如图，作PQ 垂直x轴于点Q．因为tan POQ=∠所以30POQ=∠º，又∵2OP=，所以1C与2C的点交P的直线坐标为)1．评析0，≥误认为1C为直线y x．23.（2014湖南理11）在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l与曲线C：2cos1sinxyαα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）交于A，B两点，且2AB=，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是_____________．【解析】sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=，设直线l 的方程为y x b =+，因为弦长2AB =，所以圆心()21，到直线l 的距离0d =，所以圆心在直线l 上，故1y x =-πs i n c o s 1s i 4ρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-= ⎪⎝⎭πsin 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 24. （2014湖南文12）在平面直角坐标系中，曲线22:1x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________． 【解析】 10x y --= 25. （2014江苏理21C ）在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数)，直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【解析】 直线:3l x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=∴交点(1,2)A ，(9,6)B -，故AB26. （2014江西理11⑵）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（）A ．1π,0cos sin 2ρθθθ=+≤≤ B ．1π,0cos sin 4ρθθθ=+≤≤C ．πcos sin ,02ρθθθ=+≤≤D ．πcos sin ,04ρθθθ=+≤≤【解析】 A∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，∴1y x =-化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即1c o s s i n ρθθ=+，∵01x ≤≤，∴线段在第一象限内（含端点），∴π02θ≤≤．故选A ．27. （2014辽宁理23文23）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．⑴写出C 的参数方程； ⑵设直线220l x y +-=∶与C 的交点为12P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【解析】 ⑴ 设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(),x y ，依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩；由22111x y +=得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=．故C 的参数方程为cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）．⑵ 由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩． 不妨设12(1,0),(0,2)P P ，则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2，所求直线斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3,ρθρθ-=-即34sin 2cos ρθθ=-．28. （2014陕西理15C 文15C ）在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是_______．【解析】 1由πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得ππsin cos cos sin 166ρθρθ⋅-⋅=，∴直线的直角坐标方程为1102x y +=，又点π26⎛⎫⎪⎝⎭，的直角坐标为1)， ∴点到直线的距离1d ==．29. （2014天津理13）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A B ，两点．若AOB △是等边三角形，则a 的值为_______．【解析】 3以极点为平面直角坐标系原点，极轴作为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则4sin ρθ=所表示圆的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，而sin a ρθ=则表示直线y a =由已知，直线截圆所得弦与原点组成三角形为正三角形，则弦AB 所对圆心角为120︒，该弦到圆心距离等于半径的一半，因此易知213a =+=30. （2014新课标1理23文23）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． ⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；⑵过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．【解析】 ⑴ 曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）直线l 的普通方程为260x y +-=．⑵ 在曲线C 上任意取一点(2cos 3sin )P θθ，到l的距离为3sin 6d θθ=+-则)6sin30d PA θα=+-︒，其中α为锐角．且4tan 3θ=．当sin()1θα+=-时，PA当sin()1θα+=时，PA ．31. （2014新课标2理23文23）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，π02θ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦．⑴求C 的参数方程；⑵设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D 的坐标．32. （2014重庆理15）已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=（002πρθ,<≥≤），则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________．【解析】。
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2014年高考数学试题汇编 参数方程与极坐标
一．选择题
1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ
=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）
.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上
2(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3
,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为
（A ）14 （B ）214（C ）2 （D ）22
3(2014江西) (2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4
πρθθθ=≤≤+ B. C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤
D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤
二．填空题 1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩
⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极
坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.
2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα
=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.
3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线l 与曲线C 的公共点
的极经=ρ________.
4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。
5 (2014天津)在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点.若AOB D 是等边三角形，则a 的值为___________.
6. (2014广东)（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿
三．解答题
1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：22
149x y +=，直线l ：222x t y t
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o
30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
2. (2014新课标II)（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. （Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
3. （2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆22
1x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C 的参数方程；
（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
4（2014福建）（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=t
y t a x 42，（t 为参数），圆C 的参数方程为
⎩⎨⎧==θ
θsin 4cos 4y x ，（θ为常数）.
（I ）求直线l 和圆C 的普通方程；
（II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.。