2019中考数学热点难点突破《切线的性质和判定》(解析版)

考纲要求:
1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．.
2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．.
基础知识回顾:
1.切线一般地，当直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切，其中的直线叫做圆的切线，
唯一的公共点叫切点.
（1）切线与圆只有一个公共点.
2.切线
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
的性质
（3）切线垂直于经过切点的半径.
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
3.切线
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
的判定
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
应用举例:
招数一、利用切线进行证明和计算。

【例1】
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．
（1）求证：EF=BF；
（2）若DC=4，DE=2，求直径AB的长．
【答案】(1)证明见解析；（2）10.
【解析】
（1）证明：，，
，，，
，；
即直径的长是10．学科@网
【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，⊙的半径为2(为坐标原点)，点是直线上的一动点，过点作⊙的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
招数二、添加辅助线法:通常利用添加辅助线来辅助证明圆的切线。

【例3】如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求⊙O 的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：连接，
，，
，，
在中，，
，
，则为圆的切线；
【例4】如图，△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．
解析：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BA C的平分线，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线．
招数三、切线的性质和判定的综合应用。

【例5】．如图，在中，为上一点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，过点作
交的延长线于点,且.
（1）求证：为的切线；
（2）若，,求的长.
【答案】(1)证明见解析；（2）
在△OBC和△OBE中，
∴△OBC≌△OBE，
∴OE=OC，∴OE是⊙O的半径，
∵OE⊥AB ，∴AB为⊙O的切线；
【例6】
如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．[来源学科网ZXXK]
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）证明：连接OC，如图，
∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，
而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，
∴EH=9，BH=12，
设⊙O的半径为r，则OH=r-9，
在Rt△OHB中，（r-9）2+122=r2，解得r=，
即⊙O的半径为．学科@网
方法、规律归纳:
1．切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端点；②垂直于这条半径。

3．常用辅助线的添加方法：①有切点连圆心，证垂直；②无切点作垂直，证相等。

4．利用切线的性质构造直角三角形，利用直角三角形的性质（勾股定理、三角函数等）进行计算。

实战演练:
1.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠A TB=．
2. 如图等边，以为直径的交于点，交于，于，下列结论正确的是：________．①是中点；②；③是的切线；④．[来源学科网]
【答案】①②③④
∵连接PE．
点P、E分别是线段BC、AC的中点，BC=AC=AB（等边三角形的三条边相等），
∴PE=AB（三角形中位线定理），BP=BC=AB，
∴BP=PE（等量代换），∴，故②正确；
连接OP．
∵点P是线段BC的中点，点O是线段AB的中点，
∴OP是△ABC的中位线，∴OP∥AC；
又∵PF⊥AC，∴PF⊥OP，
∵点P在⊙O上，∴PF是⊙O的切线；故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
3.⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为s时，BP与⊙O相切．
4. 如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（1，0），半径为1，点P为直线y=x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是______________．
【答案】2
故答案为2.
5.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，CD是⊙O的切线，切点且C，过点C作CD⊥PA于D，若AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O的半径．
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，
∴四边形DMOC是矩形，
∴OC=DM，OM=CD．
∵AD：DC=1：3，
∴设AD=x，则DC=OM=3x，OA=OC=DM=DA+AM=x+4，
∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根据勾股定理得：AO2=42+OM2．
∴（x+4）2=42+（3x）2，
解得x1=0（不合题意，舍去），x2=1．
则OA=MD=x+4=5．
∴⊙O的半径是5．
6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
7. 如图，AB＝16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP＝BQ；
（2）当BQ＝4时，求扇形COQ的面积及的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，请直接写出OC的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）4＜OC＜8．
【解析】试题解析：（1）证明：连接OQ．
∵AP、BQ是⊙O的切线，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO=∠BQO=90°，
在Rt△APO和Rt△BQO中，∵OA=OB，OP=OQ，
∴Rt△APO≌Rt△BQO，∴AP=BQ；
（3）∵△APO的外心是OA的中点，OA=8，
∴△APO的外心在扇形COD的内部时，
OC的取值范围为4＜OC＜8．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为_____．
【答案】．
【解析】如图，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，
∴点D是AB中点，
∴CD=BD=AB=5，
连接DF，
∴FG⊥AB，
∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，
∴FG=，
故答案为.
9.如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD 的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．
解析：（1）证明：连结DO．
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中
∵OD=OB，OC=OC，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠EDO=90°，
∴ED2+O D2=OE2，
∴32+R2=（R+1）2，
解得R=4，
∴⊙O的半径为4．
10.已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP. （1）求∠P的度数；
（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE·DC=20，求⊙O的面积.（π取3.14）
【答案】（1）∠P=30°；（2）31.4. 【解析】（1）连接，
（2）连接，
为的中点，，
，
，即，
，，
，，
是的直径，。