计量经济学：第八章 虚拟变量回归

第八章 虚拟变量回归

第一节 虚拟变量的概念

一、问题的提出

计量经济学模型对变量的要求——可观测、可计量。但在现实经济问题中，存在定性影响因素，比如

1、属性（品质）因素的表达。

在经济活动中，有的经济变量的变动要受到属性因素（或品质因素）的影响。如收入在形成过程中，不同的性别所得到的收入是不一样的；在城乡、不同地区等收入存在差距；再比如，在我国，经济的发展水平对于不同的区域有不同的表现。

2、异常值现象。

当经济运行过程中，可能会受到突发事件的影响，那么，其值有可能出现异常，偏离正常轨迹很远，对这类现象需要加以修正。

3、季节因素的影响。

有的经济现象存在明显的季节特征，如啤酒的消费。那么，在建模过程中，季节变动这一因素怎样考虑？

4、离散选择现象的描述。

如公共交通与私人交通的选择、商品购买与否的决策、求职者对职业的选择等。

第1、2、3种情况属于解释变量为定性变量，第4情况为被解释变量属于定性变量。称前一种情况为虚拟解释变量，后一种为虚拟被解释变量。本章主要介绍虚拟解释变量的内容。

二、虚拟变量的定义

1、定义。设变量D 表示某种属性，该属性有两种类型，即当属性存在时D 取值为1；当属性不存在时D 取值为0。记为

???=不具有该属性

具有某种属性01D

2、虚拟变量引入的规则。

（1）在模型里存在截距项的条件下，如果一个属性存在m 个相互排斥类型（非此即彼），则在模型里引入m-1个虚拟变量。否则，会出现完全的多重共线性。但要注意，在模型无截距项的情况下，如果一个属性存在m 个类型，即便引入m 个变量，不会出现多重共线性问题。（ 请思考为什么？）

（2）虚拟变量取值为0，意味着所对应的类型是基础类型。而虚拟变量取值为1，代表与基础类型相比较的类型，称为比较类型。例如“有学历”D 为1，“无学历”D 为0，则“无学历”就是基础类型，“有学历”为比较类型。

（3）当属性有m 个类型时，不能把虚拟变量的取值设成如下情况

D=0， 第一个类型；

D=1， 第二个类型；

……

D=m-1， 第m 个类型。

原因是上述情况没有反映出属性类型的相互排斥性。

第二节 虚拟解释变量的回归

一、加法引入规则

1、加法引入规则，虚拟解释变量与别的解释变量以相加的关系出现在模型里。加法引入虚拟变量对模型产生的结果是只改变截距项。

设模型为

123i i i i

Y X D u βββ=+++ 式中，i D 为虚拟变量，它与其它解释变量是相加的关系。如果虚拟变量按这种方式引入模型，则称虚拟变量按加法类型引入。

2、加法引入虚拟变量的应用。

（1）模型中只有一个定性解释变量。

设模型形式为

12i i i Y D u ββ=++ n i ,,3,2,1 =

其中，i D 为具有两个属性类型的定性变量，如在教材第217页，设i Y 为居民的

年可支配收入，i D 为虚拟变量，其取值表示为：i D =1表示城镇居民；i D =0表示农村居民。即

1,0i D ?=??城镇居民，农村居民，1,2,3,,i n =

该方程的意义在于，在其它因素不变的条件下，城镇居民与农村居民的收入是否具有显著性差异。由此得到

城镇居民的年平均收入：12(|1)i i E Y D ββ==+。

农村居民的年平均收入为：1(|0)i i E Y D β==

为了检验城镇居民和农村居民的差异对年平均收入的影响是否具有显著性，可构造假设：

0212

:0;:0H H ββ=≠ 对上述模型进行回归，利用样本统计量对假设作出判断（t 检验）。只有一个定性解释变量往往可用于检验一个属性因素对被解释变量的影响是否显著性存在。

（2）模型中有一个定量解释变量和一个定性解释变量。

设模型形式为

123i i i i

Y X D u βββ=+++ 式中，i Y 为消费支出；i X 为收入；i D 为虚拟变量，即

1,0i D ?=??城镇居民，农村居民，1,2,3,,i n =

上述表达式的意义在于，在收入不变的条件下，研究城镇居民和农村居民对消费的不同影响，即判断城乡居民在消费上是否存在显著性差异。

农村居民年平均消费：12(,|,0)i i i i E Y X D X ββ==+

城镇居民年平均消费：122(,|,1)()i i i i E Y X D X βββ==++

可以看出，城镇居民和农村居民两种收入类型的斜率系数一样，但截距不同。说明两种类型的居民在收入的水平上存在2β的规模差异。这一假定也可通过对2β的显著性检验来判断。

（3）模型中有一个定量解释变量和一个定性解释变量，但有多个属性类型。 设模型形式为

1223

3i i i i i Y D D X u αααβ=++++ 式中，i Y 为年医疗保健费支出；i X 为居民年可支配收入；如果将受教育程度分

为三种类型：高中以下、高中、大专及大专以上，则引入虚拟变量为如下两个

231,0,i i D D ?=???=??1，高中及高中以上0，其他大专及大专以上其他

高中以下的年平均医疗保健费支出：

231(|,0,0)i i i i i E Y X D D X αβ===+

高中的年平均医疗保健费支出：

2312(|,1,0)()i i i i i E Y X D D X ααβ===++

大专及大专以上年平均医疗保健费支出：

2313(|,0,1)()i i i i i E Y X D D X ααβ===++

对于模型

1223

3i i i i i Y D D X u αααβ=++++ 有

（4）模型中有一个定量解释变量和两个以上定性解释变量，每个定性解释变量有两个或以上属性类型。

设模型形式为

1223

3i i i i i Q D D Y u αααβ=++++

式中，i Q 为卷烟需求量；i Y 为居民可支配收入，考虑两种不同属性：不同区域的

居民，即城镇居民与农村居民；不同性别，即男与女。因此各引入一个虚拟变量

231,01,0,i i D D ?=???=??城镇居民，农村居民男性女性

农村女性居民：231(|,0,0)i E Q Y D D Y αβ===+

农村男性居民：2313(|,0,1)()i E Q Y D D Y ααβ===++

城镇女性居民：2312(|,1,0)()i E Q Y D D Y ααβ===++

城镇男性居民：23123(|,1,1)()i E Q Y D D Y αααβ===+++

（5）对模型中存在异常值的修正。

设模型形式为

12t t t Y X u ββ=++

由于某种突发因素的干扰，使得在0t t =时刻随机误差产生系统性偏离，即

000,()(0),t t t E u c c t t ≠?=?≠=?

这时，可引入虚拟变量

000,1,t t t D t t ≠?=?=?

则

12t t t t Y X cD v ββ=+++

其中，t t t v u cD =-，对t v 求数学期望，有

()()0t t t E v E u c D

=-= 表明新的随机误差项t v 满足零均值假定，从而可用OLS 法对引入虚拟变量的模型求参数的估计。

当0t t =时，12(|,1)()t t t t E Y X D c X ββ==++

当0t t ≠时，12(|,0)t t t t E Y X D X ββ==+

还有一种情况，研究消费行为，认为消费水平C 主要受到收入水平Y 的影响，但对于正常年份和反常年份，消费行为的表现是不同的，这时可考虑引入虚拟变量

1,0t D ?=??正常年份，反常年份

则

012t t t t C Y D u ααα=+++

有

当正常年份时，021(|,1)()t t t t E C Y D Y ααα==++

当反常年份时，01(|,0)t t t t E C Y D Y αα==+

进一步对参数估计，利用样本统计量对总体参数2α作检验，从而可判断正常年份消费行为与反常年份消费是否存在差异。

（6）对季节因素的修正。

假设i Y 是具有某种季节特征的消费行为（如啤酒、汗衫等商品的消费），这时需要对季节波动进行调整，下面介绍利用虚拟变量来调整季节变化。

设模型形式为

1t t t

Y X u αβ=++ 季节为属性因素，按自然属性有4个不同的季节（春、夏、秋、冬），即4个属性类型。因此，在有截距项的前提下，可引入3个虚拟变量，即

2341,11,21,3,0,0,0,t t t D D D ???===??????季度季度季度，其它其它其它

引入季节虚拟变量的模型为

1223344t t t t t t Y D D D X u ααααβ=+++++

第1季度，23412(|,1,0)()t t t t t t E Y X D D D X ααβ====++

第2季度，32413(|,1,0)()t t t t t t E Y X D D D X ααβ====++

第3季度，42314(|,1,0)()t t t t t t E Y X D D D X ααβ====++

第4季度，2341(|,0)t t t t t t E Y X D D D X αβ====+

二、乘法引入规则

1、以乘法形式引入虚拟变量，是在所设定的模型里，将虚拟解释变量与其它解释变量用乘积作为新的解释变量。乘法引入虚拟解释变量将改变模型中的斜率系数。

设模型为

12()t t t t t Y X X D u ααβ=+++

或者

1212()t t t t t Y X D D u ααβ=+++

其中，t X 为定量解释变量，12,,t t t D D D 均为虚拟变量。按上述形式引入虚拟变量即为乘法引入。

2、乘法引入虚拟解释变量的应用。

（1）检验模型的结构是否发生了变化。

设模型形式为

1212

()t t t t t t Y D X D X u ααββ=++++ 式中，t Y 为储蓄总额，t X 为收入总额，t D 为虚拟变量，即

1,0,t D ?=??

改革开放前改革开放后 改革开放后，平均储蓄额为11(|,0)t t t t E Y X D X αβ==+

改革开放前，平均储蓄额为1212(|,1)()()t t t t E Y X D X ααββ==+++

在上式中2α被称为截距差异系数，2β被称为斜率差异系数，它们分别代表改革开放前后储蓄函数的截距与斜率存在的差异。

结构变化的专门检验——邹氏检验（在EViews 里的记号为CHOW 检验，该内容自学）。

（3）交互效应。

在实际经济活动中，多个定性解释变量对被解释变量的影响可能存在一种交互影响，即一个变量的边际效应可能要依赖于另外变量的变动（即由于变量间的交互作用而对解释变量的影响）。这时可用乘法引入虚拟变量的方法来表示。 设模型形式为

i i i i i u X D D Y ++++=βααα33221

其中 ，i Y 为农副产品生产总收益，i X 为农副产品生产投入，i D 2为油菜籽生产虚拟变量，i D 3为养蜂生产虚拟变量。

?

??=???=其它发展养蜂生产其它发展油菜生产,0,1,0,132i i D D 但上述模型不能反映发展油菜生产，同时又发展养蜂生产，而在它们中间存在着一定的交互作用，这种交互作用对农副产品生产总收益可能会带来更大的影响。 因此，反映交互作用可通过按乘法引入虚拟变量来解决。

i i i i i i i u X D D D D Y +++++=βαααα)(32433221

不发展油菜生产，也不发展养蜂生产：

i i i i i X D D X Y E βα+===132)0,0,|(

同时发展油菜生产和养蜂生产：

i i i i i X D D X Y E βαααα++++===)()1,1,|(432132

在实证分析中，可利用交互效应虚拟解释变量系数4α的显著性来加以判断。

（4）分段线性回归。

在经济活动中，有时会存在影响因素在达到某个临界值时发生结构性变化，这时可利用虚拟变量来区分这种结构性变化，即用虚拟变量表示来不同的截距和斜率的回归。以研究销售额对提取奖金的影响为例。

设模型的形式为

*012()t t t t t Y X X X D u αββ=++-+

式中，t Y 为奖励额度，t X 为销售额，*X 为销售公司按销售额的一定比例计提奖励的目标水平值，即销售额在*X 以下和以上计提的奖励的方法不同（或计提的

额度不同），则引入虚拟解释变量为

**1,0,t X X D X X

?≥?=?

当销售额度高于*X 时，*0212(|,1)()()t t t t E Y X D X X αβββ==-++

第三节 虚拟被解释变量

一、问题的提出

虚拟被解释变量的出现，其主要作用是对某一经济现象或活动作出选择或决策。这一类问题的特征是被研究对象在收到多因素影响时，它的取值只有两种（可能的）状态：是与否。在计量经济学建模中，称这类模型为二元型响应模型或离散选择模型。

本小节侧重介绍这类模型参数的估计及专门分析这类问题的模型。

二、线性概率模型

1、线性概率模型的概念。

设家庭购买住房的选择主要受到家庭的收入水平，则用如下模型表示 12i i i y x u ββ=++

其中i x 为家庭的收入水平，i y 为家庭购买住房的选择，即

???=家庭无购买住房

家庭已购买住房01y 由于y 是取值为0和1的随机变量，并定义y 取值为1的概率是p ，则y 的分布为

y 0 1

概率 1-p p

这样y 的数学期望为

()0(1)1E y p p =?-+?

显然

(1)()i P y x p E y ===

从而

12()i i E y x x p ββ=+=

上述数学描述的经济学解释是，因为选择购买住房变量取值是1，其概率是p ，并且这时对应p 的表示是一线性关系，因此，选择家庭购买住房的概率是家庭收入x 的一个线性函数。称这一关系式为线性概率函数。

2、线性概率函数的估计。

对线性概率函数的估计存在以下困难：

（1）随机误差项的非正态性表现。

1212121,

10,

i i i

i i i i i i

u y x y u x y u x ββββββ=--∴==--==-- 表明i u 服从两点分布。

（2）i u 的异方差性。事实上， 2222121222()(())()

()(1)(1)(1)(1)(1)[1]

(1)i i i i i i Var u E u E u E u x p x p

p p p p

p p p p p p ββββ=-==---+--=-+-=-+-=-

上式中，p 随着i 的变动是一个变动的量，则i u 的方差不是一个固定常数。

（3）利用加权最小二乘法修正异方差。

取权数为

2)i

β=

∴+

具有同方差。在具体估计线性概率模型时，用i y ?作为p 的估计来

计算权数w 的估计w

?。 3、0≤E(y i ∣x i )≤1不成立。克服这一问题可直接从对线性概率模型的估计，求出i y

?，用人工的方法定义当i y ?>1时，取i y ?=1；当i y ?<0时，取i y ?=0。但要比较好地解决这类问题，只能考虑采用新的估计方法，如Logit 模型和Probit 模型等。

三、Logit 模型

1、产生Logit 模型的背景。

对于线性概率模型来说，存在的问题是：

（1）经济意义不能很好地得到体现。

（2）在线性概率模型中，对于不满足0()1i i E y x ≤≤的情况，用人工的方法处理，即

当i y

?>1时，取i y ?=1 当i y

?<0时，取i y ?=0 尽管能够弥补不足，但仍然具有较强的主观因素。

2、Logit 模型的含义。

（1）想法是：i p 应与i x 呈非线性关系，具体表现是随着i x 的减小，i p 趋近0的速度会越来越慢；反过来随着i x 的增大，i p 接近1的速度也越来越慢。并且i p 的变化始终在0和1之间。

（2）怎样表达：

从几何图形看，根据上述想法绘制的曲线具有S 型特征，这与随机变量的分布函数曲线的特征相似。因此，分布函数即可作为研究这一类问题计量经济学模型的设定。依据不同的假定，分布函数可取相应的具体形式，Logit 模型是其中运用较多的一种。

（3）设

12()

11()11i i i i z x p F z e e ββ--+==

=++ 在上式中，

当i z →+∞时，1i p →

当i z →-∞时，0i p → 当10,2i i z p ==

符合分布函数的特征。

（4）Logit 模型的估计。 12111,11111111ln()1i i i

i i

i i i z

z z z z i z i i i i i

p p e e e p e e p e p z x p ββ---=

∴-=-=++++∴==-+∴==+- 其中1i i

p p -为机会概率，即事件发生与不发生所对应的概率之比。可通过市场调查获得i p 的估计?i p

。例如，在本例中，将购买住房的情况分组，假设第i 组共有

i n 个家庭，收入为i x ，其中有i r 个家庭已购买住房，其余未购买。则收入为i x 的家庭，购买住房的概率为

??ln()ln()?11i

i i i i i i r p

n p p p p =≈-- 于是，样本回归函数为

12???ln()?1i i i p x p

ββ=+- 3、EViews 操作。