计量经济学第八章关于虚拟变量的回归.
第八章 包含虚拟变量的回归模型
第八章 包含虚拟变量的回归模型一、虚拟变量的基本含义通常在回归分析中，因变量不仅受一些定量变量的影响，而且还受一些定性变量的影响，比如性别、种族、婚姻状况等等。
为了在模型中反映这些因素的影响，需要把定性因素进行“量化”。
通常是引进人工变量完成。
通过定性因素的属性类别，构造取值为0或者1的变量，如、 1代表男性， 0代表女性； 1代表某人是大学毕业， 0代表某人不是大学毕业，这类取值为0，1的变量称为虚拟变量(dummy variable )。
虚拟变量与定量变量一样可用于回归分析。
事实上，一个回归模型的解释变量可以仅仅是虚拟变量。
解释变量仅是虚拟变量的模型称为方差分析模型( analysis-of-variance models ) (ANOVA)。
例1：1i i Y D i βα=++ε，其中Y 表示职工工资,。
10i D ⎧=⎨⎩，本科学历，非本科学历这个模型与我们前面讨论过的双变量模型类似，但这里的解释变量是虚拟变量。
1(0)i E Y D β==，1(1)i E Y D βα==+显然，1β表示非大学毕业生的平均初职年薪，1βα+表示具有大学学历职工的平均工资，α代表二者之差。
回归模型中可以有同时有虚拟变量以及定量变量。
例2：考虑是否上过大学和工龄作为职工工资的模型：12i i i Y X D i ββαε=+++Y ，表示职工工资，X表示工龄，D同上。
含虚拟变量的模型只要扰动项符合古典假定，仍用OLS方法估计模型。
注意：虚拟变量系数显著性检验的意义：：0H 0α=；：1H 0α≠。
同学们思考：这个检验在上面两个例子中分别具有何实际意义？二、虚拟变量的引入模型的方式 1、加法方式上面考察的例子都是加法方式。
注意虚拟变量模型的几何意义：以上述例2考察。
例3：如果上述职工工资方程（例2）中，学历考虑三个层次：高中以下、高中、大学及以上。
该如何建模？引进两个虚拟变量：，1 1 0 D ⎧=⎨⎩高中其他2 1 0 D ⎧=⎨⎩大学及以上其他121222Y X D D ββαα=++++ε请同学们分析模型的含义。
关于虚拟变量的回归
关于虚拟变量（Dummy Variable ）的回归1．虚拟变量的性质● 在回归分析中，应变量不仅受量化好了的变量的影响，还受定性性质的变量的影响（如性别，种族，肤色，宗教，国籍，地震等等）● 这类定性变量指某一“性质”或属性出现或不出现。
量化这些变量的方法，是构造一个取值1或0 的人为变量，0代表某一属性不出现，而1代表该属性出现。
● 取这样的0和1 值的变量叫做虚拟变量 (dummy variable)● 在回归分析中，可以清一色的使用虚拟变量，这样的模型叫做方差分析模型（analysis of variance, ANOV A ）, 例：i i i u D Y ++=βα其中Y=学院教授的年薪 D i = 1 若是男教授= 0 若是女教授● 学院女教授的平均薪金：α==)0/(i i D Y E 学院男教授的平均薪金：βα+==)1/(i i D Y E● 截距项α给出学院女教授的平均薪金，而斜率系数β告诉我们学院男教授和女教授的平均薪金的差额，α+β反映学院男教授的平均薪金。
● 在大多数经济研究中，一个回归模型既含有一些定量的又含有一些定性的解释变量。
协方差分析（analysis of covariance ANCOV A ）2．对一个定量变量和一个两分定性变量的回归● ANCOV 的一个例子：i i i i u X D Y +++=βαα21其中Y i = 学院教授的年薪 X i = 教龄 D i = 1 若是男教授 = 0 若是女教授● 假定和平常一样E （u i ）=0，学院女教授的平均薪金：i i i X D Y E βα+==1)0/( 学院男教授的平均薪金：i i i X D Y E βαα++==)()1/(21 ● 图● 以上模型设想学院男教授和女教授的薪金作为教龄的函数，有相同的斜率，但不同的截距● 如果2α统计上显著，则表明有性别歧视● 上述虚拟变量回归模型有以下特点：（1） 为了区分两个类别，男性和女性，我们只引进了一个虚拟变量D i 。
第八章-虚拟变量回归
1 高中 D2 0 其它
1 博士 D5 0 其它
1 大 学 D3 0 其 它
1 小 学 D6 0 其 它
则总体回归模型：
w 0 1 X 2 D1 3 D2 4 D3 5 D4 6 D5 7 D6＋u
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二、用虚拟变量测量斜率变动
基本思想
引入虚拟变量测量斜率变动，是在所设立的模型中，将虚 拟解释变量与其它解释变量的乘积，作为新的解释变量出 现在模型中，以达到其调整设定模型斜率系数的目的。
可能的情形:
（1）截距不变；
（2）截距和斜率均发生变化；
分析手段：仍然是条件期望。
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（1）截距不变
模型形式：
意义：若α1显著，表明城市居民的平均人均可支配收入比农村 高α1元。但这种差异可能是由其它因素引起的，并不一定是由 户籍差异引起。
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（2) 一个两属性定性解释变量和一个定量 解释变量
模型形式 Yi = f(Di，X i )+ μi 例如：Yi = 0 1 Di + X i + μi 1 城市 其中： Y－人均可支配收入；X－工作时间; Di 0 农村
会受到一些定性因素的影响，如性别、国籍、民族、自 然灾害和政治体制等。
问题：我们如何把这些定性想：将这些定性因素进行量化
由于定性变量通常表示某种属性是否存在，如是否男性、 是否经济特区、是否有色人和等。因此若该属性存在， 我们就将变量赋值为1，否则赋值为0，从而将定性因素 定量化。 计量经济学中，将取值为0和1的人工变量称为虚拟变量 （DUMMY）或哑元变量。通常用字母D或DUM表示。
7
一个例子(虚拟变量陷阱)
研究工资收入与学历之间的关系：
计量经济学课后习题答案第八章_答案
第八章虚拟变量模型1. 回归模型中引入虚拟变量的作用是什么?答:在模型中引入虚拟变量，主要是为了寻找某(些)定性因素对解释变量的影响。
加法方式与乘法方式是最主要的引入方式，前者主要适用于定性因素对截距项产生影响的情况，后者主要适用于定性因素对斜率项产生影响的情况。
除此外，还可以加法与乘法组合的方式引入虚拟变量，这时可测度定性因素对截距项与斜率项同时产生影响的情况。
2. 虚拟变量有哪几种基本的引入方式? 它们各适用于什么情况?答:在模型中引入虚拟变量的主要方式有加法方式与乘法方式，前者主要适用于定性因素对截距项产生影响的情况，后者主要适用于定性因素对斜率项产生影响的情况。
除此外，还可以加法与乘法组合的方式引入虚拟变量，这时可测度定性因素对截距项与斜率项同时产生影响的情况。
3．什么是虚拟变量陷阱？答：根据虚拟变量的设置原则，一般情况下，如果定性变量有m个类别，则需在模型中引入m-1个变量。
如果引入了m个变量，就会导致模型解释变量出现完全的共线性问题，从而导致模型无法估计。
这种由于引入虚拟变量个数与类别个数相等导致的模型无法估计的问题，称为“虚拟变量陷阱”。
4．在一项对北京某大学学生月消费支出的研究中，认为学生的消费支出除受其家庭的每月收入水平外，还受在学校中是否得到奖学金，来自农村还是城市，是经济发达地区还是欠发达地区，以及性别等因素的影响。
试设定适当的模型，并导出如下情形下学生消费支出的平均水平：(1) 来自欠发达农村地区的女生，未得到奖学金；(2) 来自欠发达城市地区的男生，得到奖学金；(3) 来自发达地区的农村女生，得到奖学金；(4) 来自发达地区的城市男生，未得到奖学金。
解答: 记学生月消费支出为Y，其家庭月收入水平为X，则在不考虑其他因素的影响时，有如下基本回归模型：Y i=β0+β1X i+μi有奖学金1 来自城市无奖学金0 来自农村来自发达地区 1 男性0 来自欠发达地区0 女性Y i=β0+β1X i+α1D1i+α2D2i+α3D3i+α4D4i+μi由此回归模型，可得如下各种情形下学生的平均消费支出：(1) 来自欠发达农村地区的女生，未得到奖学金时的月消费支出：E(Y i|= X i, D1i=D2i=D3i=D4i=0)=β0+β1X i(2) 来自欠发达城市地区的男生，得到奖学金时的月消费支出：E(Y i|= X i, D1i=D4i=1,D2i=D3i=0)=(β0+α1+α4)+β1X i(3) 来自发达地区的农村女生，得到奖学金时的月消费支出：E(Y i |= X i , D 1i =D 3i =1,D 2i =D 4i =0)=(β0+α1+α3)+β1X i (4) 来自发达地区的城市男生，未得到奖学金时的月消费支出： E(Y i |= X i ,D 2i =D 3i =D 4i =1, D 1i =0)= (β0+α2+α3+α4)+β1X i5. 研究进口消费品的数量Y 与国民收入X 的模型关系时，由数据散点图显示1979年前后Y 对X 的回归关系明显不同，进口消费函数发生了结构性变化：基本消费部分下降了，而边际消费倾向变大了。
计量经济学第八章 虚拟变量回归
第八章
虚拟变量回归
1
第八章 虚拟变量回归
本章主要讨论:
●虚拟变量
●虚拟解释变量的回归
2
本章的教学目标
（1）深刻理解定性因素在计量经济分析中的 背景和含义； （2）明确虚拟变量在建立和估计计量经济模 型中的意义和作用； （3）熟练掌握引入和应用虚拟变量的基本思 想和方法； （4）能够运用虚拟变量模型作相应的经济实 证分析方面的应用； （5）掌握Eviews软件中相关内容的操作方法。
这表明三个时期居民储蓄增加额的回归方程在统计 意义上确实是不相同的。1996年以前收入每增加1 亿元，居民储蓄存款的平均增加0.1445亿元；在 2000年以后，则为0.4133亿元，已发生了很大变化。
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上述模型与城乡居民储蓄存款与国民总收入之间 的散布图是吻合的，与当时中国的实际经济运行 状况也是相符的。 需要指出的是，在上述建模过程中，主要是从教 学的目的出发运用虚拟变量法则，没有考虑通货 膨胀因素。而在实证分析中，储蓄函数还应当考
单位：亿元
城乡居民 人民币储 蓄存款增 额 （YY） 2121.8 2517.8 3444.1 6315.3 8143.5 8858.5
年 份
城乡居民 国民总收 人民币储 蓄存款年 入 （GNI） 底余额 （Y） 3624.1 4038.2 4517.8 4860.3 5301.8 5957.4 210.6 281 399.5 532.7 675.4 892.5
(1,0) 天气阴 如：（D1 ,D2）= (0,1) 天气雨 (0,0) 其 他
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虚拟变量数量的设置规则
1.若定性因素具有 m 个 (m 2) 相互排斥属性(或 几个水平)，当回归模型有截距项时，只能引入
计量经济学第八章关于虚拟变量的回归.
类的截距。
2
2:级差截距系数
教龄X
1
0
薪金与性别：估计结果
1，若是男性 Di 0，若是女性
ˆ 17.969 1.371X 3.334D Y i i i se : (0.192) (0.036) (0.155) t : (93.61) (38.45) (21.455) r 2 0.993
一、虚拟变量的性质
例：教授薪金与性别、教龄的关系
男教授平均薪金和女 教授平均薪金水平相 差2，但平均年薪对 教龄的变化率是一样 的
Yi=1+2Di+Xi+I （1） 1，若是男性 D 其中:Yi=教授的薪金, Xi=教龄, Di=性别 0，若是女性 i 女教授平均薪金：E(Yi | X i , Di 0) 1 X i 被赋予0值的 男教授平均薪金：E(Yi | X i , Di 1) （1 2） X i 类别是基底(基 准),1是基底 男教授
比较英国在第二次大战后重建时期和重建后时期的总 储蓄-收入关系是否发生变化。数据如表。 Yt 1 2 Dt 1 X t 2 ( Dt X t ) t
D=1,重建时期
级差截距:区分两 个时期的截距 级差斜率系数:区分 两个时期的斜率 =0,重建后时期
D=1 D=0
E(Yt | Dt 0, X t ) 1 1 X t E(Yt | Dt 1, X t ) (1 2 ) ( 1 2 ) X t
男教授平均薪金水平比 女教授显著高$3.334K (男：21.3，女：17.969)
1，若是女性 Di 0，若是男性
ˆ 21.303 1.371X 3.334D Y i i i se : (0.182) (0.036) (0.155) t : (117.2) (38.45) (21.455)
9第八章 虚拟变量回归模型
Logit 模型的估计
区分两类数据：
（1）个体水平数据
购房概率 p 0 0 1 1
收入 X（千美元） 6 8 10 12
如果
pi
0，
Zi
ln
0 1
pi
1，
Zi
ln
1 0
可见，Z 表达式无意义，无法用OLS，需用ML（最大似然法）
冰箱销售量（千台） FRIG 1317 1615 1662 1295 1271 1555 1639 1238 1277 1258 1417 1185 1196 1410 1417 919 943 1175 1269
耐用品支出（10亿美元） DUR 252.6 272.4 270.9 273.9 268.9 262.9 270.9 263.4 260.6 231.9 242.7 248.6 258.7 248.4 255.5 240.4 247.7 249.1 251.8
4 回归分析操作命令： equation eq.ls Frig c Dur D1 D2 D3
提问 根据回归分析结果，发现存在什么问题？如何修改回归模型？
8.4 虚拟被解释变量的回归模型
【例】 研究是否购买住房与收入水平的关系。
设是否购房为被解释变量，用 Y 表示；收入为解释变量， 用 X 表示。
1 变量分析：
将DUR作为解释变量；FRIG作为被解释变量； 引入3个季度虚拟变量D1，D2，D3。 （虚拟变量数 = 属性数 – 1 ）
2 季度虚拟变量的赋值规则：
D1=
1 （第1季度） 0 （其他季度）
D3=
1 （第3季度） 0 （其他季度）
D2=
庞浩计量经济学课件第八章 虚拟变量回归
二、虚拟变量的设置规则
1.虚拟变量个数的设置规则 若定性因素有m个相互排斥的类型（或属性、水 平），则： 在有截距项的模型中，只能引入m-1个虚拟变 量，否则会陷入“虚拟变量陷阱”（即：出 现完全的多重共线性）； 在无截距项的模型中，可以引入m个虚拟变量， 不会导致完全的多重共线性。
4
例如：研究城乡居民的可支配收入对居民住房消费支 出的影响 C Y D u i 1 1 i 2 i i
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分段线性回归
适合于社会经济现象会在解释变量达到某个临界值时 发生突变，考虑下述模型： Yt 1 1 X t 2 ( X t X * ) Dt ut 0, X t X * Dt * 1, X t X
当X t X *时， Yt 1 1 X t ut 当X t X 时， Yt 1 1 X t 2 ( X t X * ) ut
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二、用虚拟变量表示不同斜率的回归—— 乘法类型
回归模型的比较——结构变化检验
分段线性回归
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回归模型的比较——结构变化检验
研究改革开放前后（1950-2004），储蓄与收入的关系： Yi 1 2 Di 1 X i 2 ( Di X i ) ui
（ 1950 1977 ） 0, 改革开放前 Di （ 1978 2004 ） 1, 改革开放后
Yi 1 2 Di 1 X i ui
0, 租房户 Di 1, 有房户
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i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y 1.0 1.3 0.7 0.8 0.5 2.4 0.3 3.2 2.8 0.0
X 20.0 24.0 12.0 16.0 11.0 32.0 10.0 40.0 32.0 7.0
第8章 虚拟变量回归
（2）比较两个回归结构稳定性：虚拟变量法 上节中探讨的邹检验程序，可以通过虚拟变量的使用而大为简化。 仍然使用储蓄-回归的例子，将n1和n2次观测值合并，用下列回归方 程：
其中Yi和Xi仍然代表储蓄和收入。而Di=1，如果观测值属于重建时期
（时期I）；Di=0，如果观测值属于重建后时期（时期II）。 为了看清楚，实际上方程等效于：
它们分别是第二（重建后）和第一（重建）两个时期的平均储蓄函
数。相当于取γ1=α1，γ2=β1，λ1=α1+α2，和λ2=β1+β2。这样上述回归方 程等效于估计两个个别的储蓄函数。 α2和先前一样是级差截距；β2是级差斜率系数，表明在第一时期储蓄 函数的斜率和第二时期储蓄函数的斜率系数相差多少。
现在我们要问，在时期I（1946-1954）和时期II（1955-1963）中，储 蓄与收入之间的关系，是否是一回事呢？或者说，两个时期的储蓄 函数是否存在有结构性的变换呢？
这里，结构性变化是指两个截距或两个斜率不同，或者指截距和斜
率均不同，以致任何其他适当的参数组合有所不同。 为了判明这个变化是否真实，假定两个时期的储蓄函数分别是：
工资的重要决定性因素。
上述讨论的结论：模型可推广到含有多个定量变量和多个定性变量
的情形。唯一要提醒注意的是：每一个定性变量所需的虚拟变量的 个数要比该变量的类别数少一。
一个例子：“兼职”经济学
所谓“兼职”是指一个人执有两分或两分以上的工作，其中一份是
主业，其他称为副业。希斯克和罗斯特克研究了影响兼职者工薪的 因素，他们利用一个有318兼职者调查数据的样本，做了如下回归：
图中数据编排为女教
授和男教授两类。图 形可见导出的回归函 数是一个阶梯函数。 女教授的平均工资为 18000美元，而男教 授的工资则跃升了 3280美元，达到了 21280美元。
计量经济学第八章 虚拟变量
Yi X i Di X i i
如果该模型设定正确，此时有：
E(Yi
)
(
X
)
i
X
i
D 1 D0
可见，城镇ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ民的边际消费倾向为 ( ) ，农
村居民的边际消费倾向为 。
如果不同属性类别对应的截距项和斜率项都 是有差异的，可在回归模型中同时引入虚拟 变量的加法方式和乘法方式，结果如下：
1 东部 D1 0 其他
1 中部 D2 0 其他
若考虑不同区域居民对应回归模型截距的不同 ，可构建模型如下：
Yi 1D1i 2 D2i X i i
则有：
E (Yi
)
( (
2) 1)
X i X i
Xi
Yi Di X i Di X i i
对于城镇居民和农村居民这两个类别，有总 体回归函数如下：
E(Yi
)
(
)
( X i
)X
i
D 1 D0
可见， 和 分别表示城镇居民与农村居民
的消费函数在截距和斜率上的差异。
注：
对于包含多个类别（M个）的属性变量，构 建M-1个虚拟变量，如在消费模型中，考虑 区域因素（东部，中部，西部）影响，可构 建2个虚拟变量：
Yi 1D1i 2 D2i (D1i D2i ) X i i
• 则有： ( 1 2 ) Xi
E
(Yi
)
( 1) Xi ( 2 ) Xi
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二、含有虚拟变量的回归问题
美国制造业的利润-销售额行为——季节调整例
D3=1, 第3季度；
=0, 其他季度；
利润t 1 2 D2t 3 D3t 4 D4t 销售t t
D2=1, 第2季度 ；
=0, 其他季度；
D4=1, 第4季度
=0, 其他季度
ˆ 6688 利润 .4 1322 .9D2t 217.80D3t 183.86D4t 0.0383 （销售） t t se : (1711 .4) (638.5) (632.3) (654.3) (0.0115 ) t : (3.9082 ) (2.072) (0.34) (0.281 ) (3.3313 ) r 2 0.5255
比较英国在第二次大战后重建时期和重建后时期的总 储蓄-收入关系是否发生变化。数据如表。 Yt 1 2 Dt 1 X t 2 ( Dt X t ) t
D=1,重建时期
级差截距:区分两 个时期的截距 级差斜率系数:区分 两个时期的斜率 =0,重建后时期
D=1 D=0
E(Yt | Dt 0, X t ) 1 1 X t E(Yt | Dt 1, X t ) (1 2 ) ( 1 2 ) X t
r 2 0.993
二、含有虚拟变量的回归问题
虚拟变量的设计
对多分定性变量，按照虚拟变量的个数比变量分类 数少一的规则设虚拟变量。 例如受教育程度分为：低于中学、中学和大学三类， 则应设两个虚拟变量：
“低于中学”类为基底
1，如果是高中 Yi=1+2D2i+3D3i+Xi+i D2 0，不然的话 E (Y | X , D 0, D 0) X i i 2 3 1 i 1，如果是大学 E (Y | X , D 1, D 0) （1 2） X i D3 i i 2 3 0，不然的话 E (Yi | X i , D2 0, D3 1) （1 3） X i
第八章 关于虚拟变量的回归
虚拟变量的性质 含有虚拟变量的回归问题 比较两个回归——虚拟变量法
一、虚拟变量的性质
虚拟变量（定性变量、范畴变量）：
用来表示某一“性质”或属性出现或不出现， 通常取值0或1，因而也称两值变量或两分变 量。 如：x表示性别，0=男性，1=女性 或x=0表示政策实施前，x=1表示政策实施 后。
利润t 6515 .581 1331 .352D2t 0.0393 销售t se : (1623 .1) (493.02) (0.0106 ) t: (4.0143 ) (2.7004 ) (3.7173 ) r 2 0.515
剔除季节影响，销 售额增加1美元，利 润可望增加4美分
三、比较两个回归
ˆ 1.75 1.484D 0.15X 0.103D X Y t t t t t se : (0.332) (0.47) (0.016) (0.033) t : (5.27) (3.155) (9.238) (3.109)上显著的，表示两个时期的回归是相异的。
一、虚拟变量的性质
例：教授薪金与性别、教龄的关系
男教授平均薪金和女 教授平均薪金水平相 差2，但平均年薪对 教龄的变化率是一样 的
Yi=1+2Di+Xi+I （1） 1，若是男性 D 其中:Yi=教授的薪金, Xi=教龄, Di=性别 0，若是女性 i 女教授平均薪金：E(Yi | X i , Di 0) 1 X i 被赋予0值的 男教授平均薪金：E(Yi | X i , Di 1) （1 2） X i 类别是基底(基 准),1是基底 男教授
年 薪 Y 女教授
类的截距。
2
2:级差截距系数
教龄X
1
0
薪金与性别：估计结果
1，若是男性 Di 0，若是女性
ˆ 17.969 1.371X 3.334D Y i i i se : (0.192) (0.036) (0.155) t : (93.61) (38.45) (21.455) r 2 0.993
男教授平均薪金水平比 女教授显著高$3.334K (男：21.3，女：17.969)
1，若是女性 Di 0，若是男性
ˆ 21.303 1.371X 3.334D Y i i i se : (0.182) (0.036) (0.155) t : (117.2) (38.45) (21.455)