二次根式典型例题复习
二次根式知识点及典型例题(含答案)
4、不会比较根式的大小5、不会利用二次根式的非负性6、对最简二次根式的条件掌握不牢八、经典例题例1、求下列各数的平方根与算术平方根（ ）A.36B.81121 C.2-（5） D.41【答案】A.2=36±（6）∴36的平方根为6±，即6± ∴36的算术平方根为6，即B.2981=11121±（）∴81121的平方根为911±，即911±∴81121的算术平方根为911，即911 C.25=25±（）∴2-（5）的平方根为5±，即5± ∴2-（5）的算术平方根为5，即D.()241=41±∴41的平方根为 ∴41【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示．练习1、计算：（1 （2）【答案】（1）211=121（2）20.9=0.810.9±表示121的算术平方根，表示0.81的平方根，、的意义是解答本题的关键例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3∴3a-5=4∴这个数为24=16【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。
练习1、x为何值时，下列各式有意义。
【答案】解：A.10x-≥，即1x≥有意义B.10x-≥且0x≥，即01x≤≤有意义C.10x+>，即1x>-D.230x+≥，即x都有意义【解析】a≥例3、【答案】解252736<<<<即56<<的整数部分是5【解析】处在哪两个完全平方数之间.例4、:x y【答案】解：33y-1和互为相反数3y-1∴和1-2x互为相反数3y-1+1-2x=0∴:=3:2x y∴互为相反数，则a和b互为相反数，所以本题中3y-1与1-2x 互为相反数例5、实数0.5的算术平方根等于（）.D.1 2【答案】C【解析】理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.例6、的算术平方根是（）A. 4±B. 4C. 2±D. 2【答案】D【解析】4的算术平方根，4的算术平方根为2.例7、根据下列运算正确的是（）3=2 C. (x+2y)2=x2+2xy+4y2 D. A.x6+x2=x3 B.√−8√18−√8=√2【答案】解：A、本选项不能合并，错误；3=-2，本选项错误；B、√-8C、（(x+2y)2=x2+2xy+4y2，本选项错误；D、√18-√8=3√2-2√2=√2，本选项正确．故选D【解析】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．例8、）【答案】B综合练习简单1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．<1 B．≥1 C．≤－1 D．<－1【答案】B【解析】由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.2.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1【答案】D解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选D．【解析】代数式√x有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．x-13.要使式子2-x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2【答案】D解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．4. 下列计算正确的是（）=√2 D.3+2√2=5√2 A.4√3-3√3=1 B.√2+√3=√5 C.2√12【答案】C【解析】 A、4√3-3√3=√3，原式计算错误，故本选项错误；B、√2与√3不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；=√2，计算正确，故本选项正确；C、2√12D、3+2√2≠5√2，原式计算错误，故本选项错误；根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．5. 若，则＝【答案】6【解析】原方程变为：，所以，，由得：＝3，两边平方，得：＝7，所以，原式＝7－1＝6中等题1.结果是。
《二次根式》期末复习知识清单及典型例题
二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1：二次根式的定义：形如()0≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a 才有意义．【例1】下列各式()511，()52-，()232+-x ，()44，()2315⎪⎭⎫ ⎝⎛-，()a -16，()1272+-a a 其中是，二次根式的是_________（填序号）．变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、a B 、10-C 、1a +D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是． 变式：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式：1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 2、当a 取什么值时，代数式112++a 取值最小，并求出这个最小值。
【例4】已知a 是5整数部分，b 是5的小数部分，求12a b ++的值。
变式：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。
2、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求yx 12+的值. 知识点2：2、双重非负性：a a ()≥0是一个非负数．即①0≥a；②0≥a3、平方的形式（双胞胎公式）：（1）()()a aa 20=≥；（2）a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()．公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系：（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 【例5】若()04322=-+-+-c b a 则c b a +-=．变式:若1+-b a 与42++b a 互为相反数，则()2017b a -=。
二次根式典型题
二次根式典型题一、二次根式有意义的条件1. 当x取何值时，二次根式√(x - 3)有意义？- 解析：对于二次根式√(a)，被开方数a≥slant0时才有意义。
所以在√(x - 3)中，x-3≥slant0，解得x≥slant3。
2. 若√(2x + 1)+√(1 - 2x)有意义，则x的取值范围是多少？- 解析：要使√(2x + 1)和√(1 - 2x)都有意义，则<=ft{begin{array}{l}2x + 1≥slant01-2x≥slant0end{array}right.。
解2x+1≥slant0得x≥slant-(1)/(2)，解1 - 2x ≥slant0得x≤slant(1)/(2)。
所以x的取值范围是x=(1)/(2)。
二、二次根式的性质3. 化简√((-5)^2)。
- 解析：根据二次根式的性质√(a^2)=| a|，所以√((-5)^2)=| - 5| = 5。
4. 已知a<0，化简√(4a^2)。
- 解析：因为a<0，根据√(a^2)=| a|=-a（当a<0时），所以√(4a^2)=√(4)×√(a^2) = 2| a|=-2a。
三、二次根式的运算5. 计算√(12)+√(27)。
- 解析：先将二次根式化为最简二次根式，√(12)=√(4×3)=2√(3)，√(27)=√(9×3)=3√(3)。
所以√(12)+√(27)=2√(3)+3√(3)=5√(3)。
6. 计算√(8)-√(frac{1){2}}。
- 解析：√(8)=√(4×2)=2√(2)，√(frac{1){2}}=(√(1))/(√(2))=(√(2))/(2)。
则√(8)-√(frac{1){2}}=2√(2)-(√(2))/(2)=(4√(2)-√(2))/(2)=(3√(2))/(2)。
7. 计算(√(3)+1)(√(3)-1)。
- 解析：根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a=√(3)，b = 1，所以(√(3)+1)(√(3)-1)=(√(3))^2-1^2=3 - 1=2。
初中数学二次根式精选试题(含答案和解析)
初中数学二次根式精选试题一.选择题1. （2018·湖南怀化·4分）使有意义的x的取值范围是（）A．x≤3B．x＜3 C．x≥3D．x＞3【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式.求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵式子有意义.∴x﹣3≥0.解得x≥3．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件.熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．2.（2018•江苏宿迁•3分）若实数m、n满足.且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长.则△ABC的周长是（）A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】B【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值.再分情况讨论：①若腰为2.底为4.由三角形两边之和大于第三边.舍去；②若腰为4.底为2.再由三角形周长公式计算即可.【详解】由题意得：m-2=0.n-4=0.∴m=2.n=4.又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长.①若腰为2.底为4.此时不能构成三角形.舍去.②若腰为4.底为2.则周长为：4+4+2=10.故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质.根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.3.（2018•江苏无锡•3分）下列等式正确的是（）A．（）2=3 B．=﹣3 C．=3 D．（﹣）2=﹣3【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简.判断即可．【解答】解：（）2=3.A正确；=3.B错误；==3.C错误；（﹣）2=3.D错误；故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的化简.掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键．4.（2018•江苏苏州•3分）若在实数范围内有意义.则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式.解不等式.把解集在数轴上表示即可．【解答】解：由题意得x+2≥0.解得x≥﹣2．故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件.掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．5.（2018•山东聊城市•3分）下列计算正确的是（）A．3﹣2=B．•（÷）=C．（﹣）÷=2D．﹣3=【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得．【解答】解：A.3与﹣2不是同类二次根式.不能合并.此选项错误；B.•（÷）=•==.此选项正确；C.（﹣）÷=（5﹣）÷=5﹣.此选项错误；D.﹣3=﹣2=﹣.此选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算.解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．6．（2018•上海•4分）下列计算﹣的结果是（）A．4 B．3 C．2D．【分析】先化简.再合并同类项即可求解．【解答】解：﹣=3﹣=2．故选：C．【点评】考查了二次根式的加减法.关键是熟练掌握二次根式的加减法法则：二次根式相加减.先把各个二次根式化成最简二次根式.再把被开方数相同的二次根式进行合并.合并方法为系数相加减.根式不变．7. （2018•达州•3分）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2【分析】根据被开方数是非负数.可得答案．【解答】解：由题意.得2x+4≥0.解得x≥﹣2.故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件.利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键.8. （2018•杭州•3分）下列计算正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【考点】二次根式的性质与化简【解析】【解答】解：AB.∵.因此A符合题意；B不符合题意；CD.∵.因此C.D不符合题意；故答案为：A【分析】根据二次根式的性质.对各选项逐一判断即可。
专题03：二次根式(简答题专练)(解析版)
专题03：二次根式（简答题专练）一、解答题1．已知：211327m +=，234221m n --⨯=【答案】【分析】将已知的等式变形为同底数的式子，可得m 和n 的值，代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵211327m +=， ∴21333m +=﹣， ∴213m +=-，解得：2m =-，∵234221m n --⨯=， 即23421m n -+-=∴2340m n -+-=，∴5n =，==． 【点评】本题考查了负整数指数、零指数幂的定义、幂的性质及二次根式的性质，解题的关键是掌握分数指数幂和负整数指数幂的运算法则．2．探究题：（1a 等于多少？（2）求222222,,,,,的值．对于任意非负实数2等于多少？【答案】（12=3=5=6=7=0=，对于任意实数a a =；（2）24=，29=，225=，236=，249=，20=，对于任意非负实数a ， 2a =．【分析】（1）直接计算各式进而得出一般规律；（2）直接计算各式进而得出一般规律．【解答】（12=，3=，5=，6=，7=，=，对于任意实数a a；（2）24 =，29 =，225=，236=，249=，20 =，对于任意非负实数a，2a =．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出变化规律是解题关键．3．探究题：=_，=，=，=，=，20=，根据计算结果，回答：（1a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算：①若2x<；= ；（3）若,,a b c【答案】3，0.5，6，34，13；（1a ．当0a ≥时，a =；当0a ≤时，a =-．（2）①2x -，②3.14π-；（3）+-+--++-abc b c a b c a【分析】首先计算出探究题答案；（1a =；再根据绝对值的性质去掉绝对值符号可得当0a ≥时，a =；当0a ≤时， a =-；（2）①因为2x <，所以20x -<2x =-，再根据规律进行计算即可；②因为 3.14π<可得3.140π-< 3.14=-π，再根据规律进行计算即可； （3）根据三角形的三边关系定理可得000a b c b c a b c a +---+-＞，＜，＞，因此a b c b c a b c a =+-+--++-， 再根据绝对值的性质去掉绝对值符号合并同类项即可．3=，0.5=，6=，34=，13=， 200=； 故答案为：3，0.5，6，34，13；（1a ．当0a ≥时， a =；当0a ≤时， a =-；（2）①因为2x <，2x =-；②因为 3.14π<，即3.140π-<，3.14=π-；（3）根据三角形的三边关系定理可得000a b c b c a b c a +---+-＞，＜，＞，()a b c c a b b c a =+-++-++-a b c =++． 【点评】a =．4．交警通常根据刹车后轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用的经验公式是v= 16 ，其中v 表示车速（单位：km/h ），d 表示刹车距离（单位：m ），f 表示摩擦系数，在一次交通事故中，测得d=20m ，f=1.44，而发生交通事故的路段限速为80km/h ，肇事汽车是否违规超速行驶？说明理由.，）【答案】超速行驶；理由见解析【分析】先把d=20m ，f=1.44，分别代入80km/h 比较即可解答．【解答】肇事汽车超速行驶．理由如下： 把d=20，f=1.44代入＞80km/h ， 所以肇事汽车超速行驶．考点：二次根式的应用．5．先化简，再求值：，其中a=17﹣，.【分析】先将所求式子化简，再分别将a 、b 的值整理代入求解即可.【解答】原式==）=）∵a =17﹣=32﹣2×3×（）2=（3﹣）2，b =12+2×+）2=（）2，∴原式【点评】本题主要考查二次根式的性质与运算法则、分式的运算法则以及平方差公式的应用.6．求值（1）已知1124x y ，==-的值；（2）已知x y ==，22343x xy y ++求的值．【答案】（1）2；（3）22.【解析】试题分析：（1）根据二次根式的分母有理化，先化简代数式，再代入求值即可；（2）先根据分母有理化化简x 、y ，然后利用配方法化简代数式，再代入求值即可.试题解析：（1）当1124x y ==，时，=()()()()()()y x y y x y x y x y x y x y +---+-+ =2y x y - =2（2）∵2121x y ==+-，， ∴x=21-，y=21+∴22343x xy y ++=22363x xy y ++-2xy=3（x+y ）2-2xy=3（21-+21+）2-2（21-）（21+）=3×（22）2-2=3×8-2=227．实数a b 、在数轴上的位置如图所示：化简()222a b a b +--【答案】0【分析】根据数轴确定a 、b 的符号以及绝对值的大小，根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】如图所示： 000a b a b -＞，＜，＞()222a b a b +-()a b a b =---0=．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及数轴的知识，掌握二次根式的性质、正确得出各项符号是解题的关键．8．阅读材料，解答下列问题：例：当0a >时，如5a =，则55a ==，故此时a 的绝对值是它本身；当0a =时，0a =，故此时a 的绝对值是0；当0a <时，如5a =-，则()555a =-=--=，故此时a 的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即：()()(),00,0,0a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想．（1）请仿照例中的分类讨论，分析2a 的各种化简后的情况；（2）猜想2a 与a 的大小关系；（3）已知实数a b c 、、，在数轴上的位置如图所示，试化简：()22a a b c a b c --+-+-【答案】（1()()()20000a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩；（22a a ；（3）22-+-b c a【分析】（1）根据二次根式的性质，可得答案；（2）根据二次函数的根式与绝对值的性质，可得答案；（3）根据二次根式的性质与绝对值的性质，可化简式子，根据整式的加减，可得答案． 【解答】（1）当0a >时，如5a =2255a ==2a a =；当0a =时，如 200a ==20a =；当0a <时，如5a =-， ()2255a =-=25a =，()()()20000a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩；（22a a ；（3）由数轴上点的位置，得：0a b c <<<，0a b -<，0c a ->，0b c -<，()22a a b c a b c -+--()(()a b a c a c b =---+-+-）a b a c a c b =--++-+-22b c a =-+-．【点评】本题考查了二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质、绝对值的性质是解题关键．9．若,x y 是实数，且41143y x x =-+-+，求()3294253x x x x xy ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭. 【答案】1382- 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x =14，将其代入已知等式即可求得y 的值，原二次根式化简后，将x 、y 的值代入求值即可． 【解答】解：依题意得：410140x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：x =14，∴y =13 原式=225x x xy x x xy +--=3x x xy -=111134443-⨯=138-． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．10．化简（1)2490,064a a b b>> （20.01810.25144⨯⨯ 【答案】（1）78a b ；（2）320． 【分析】（1）根据a b 、的符号以及二次根式的性质，可得答案；（2）根据二次根式的性质，可得答案．【解答】（1）∵0a >，0b >，==；（2=0.190.512⨯=⨯ 320=． 【点评】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．11．已知：y ，求的值．【答案】【分析】根据二次根式的定义得出x ﹣8≥0，8﹣x≥0，求出x ，代入求出y ，把所求代数式化简后代入求出即可．【解答】解：要使y 有意义，必须x ﹣8≥0，且8﹣x≥0，解得：x ＝8，把x ＝8代入得：y ＝0+0+9＝9，∴13 【点评】本题考查了对二次根式有意义的条件，二次根式的化简，分母有理化等知识点的应用，解此题的关键是求出x 、y 的值，通过做此题培养了学生灵活运用性质进行求值的能力，题目比较典型．12．有这样一类题目：如果你能找到两个数m，n，使m2+n2=a，且，则a±，变成m2+n2+2mn=（m±n）2因为3±=1+2±=12+）2=（）2，2|=±1．仿照上例化简下列各式：（1（2【答案】(1) +1;(2)【解析】试题分析:根据题目中的例题中的研究方法即可求解.试题解析:（1）原式=1,（2）原式=13．计算下列各题：)－)；(2) (2；(3) 2；(4)(22017(2)2018－|－|－()0.【答案】＋5；(3) 15＋；(4)1.【解析】试题分析：这是一组二次根式的混合运算题，按照二次根式的相关运算法则计算即可.试题解析：（1）原式==（2）原式=55=；（3）原式=48315-+=+；（4）原式=2017[(2(21211+⨯+==.14．已知32x -≤≤，化简：． 【答案】34+x【分析】首先根据x 的范围确定3x +与2x -的符号，然后利用二次根式的性质，以及绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵ 32x -≤≤， ∴3020x x +≥-≤，，∴=()()232x x =++-262x x =++-34x =+．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式的性质是关键．15．若实数a ，b ，c 满足． （1）求a ，b ，c ；（2）若满足上式的a ，c 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1），b=2， c=3；（26.【分析】（1）利用二次根式的性质进而得出c 的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a ，b 的值； （2）利用等腰三角形的性质分析得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0， 解得：c=3，∴，则，b=2；（2）当a 是腰长，c＜3，不能构成三角形，舍去； 当c 是腰长，a 是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，+6，+6．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的性质，正确得出c 的值是解题关键． 16．（1）已知xy2x 2－5xy ＋2y 2的值．（2）先化简，再求值：222222x y x yx xy y x xy x y ⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭，其中x＝1，y＝2-【答案】（1）42，（2）13+-【解析】分析：（1）由已知得，再把2x 2－5xy ＋2y 2化简，再代入即可. （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再计算x 和y 的值并代入进行计算即可 详解：（1）xy∴∴22252x xy y -+＝()2222x xy yxy -+-＝()22x y xy --＝(222+＝402+ ＝42（2）原式＝()()222x y xx y x x y y x y ⎡⎤---⋅⎢⎥--⎢⎥⎣⎦＝1122x yx y x y y ⎛⎫--⋅⎪--⎝⎭＝[()()()()22x y x y x y x y -----]·2x yy -＝()()()2112y x y x y x y yx y y x --⋅==-----·当x ＝1，y ＝2时，原式＝ 点睛: 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17=，且x 为奇数，求（1+x ）的值．【答案】【分析】由二次根式的非负性可确定x 的取值范围，再根据x 为奇数可确定x 的值，然后对原式先化简再代入求值.=， ∴6090x x ＞-≥⎧⎨-⎩解得，6≤x ＜9， ∵x 为奇数， ∴x=7，∴（1+x ）=（1+x ）=（1+x ）．【点评】本题考查了二次函数的非负性及二次根式的化简求值.18．（1）设n 1；（2...+ 【答案】（1）111n n -+；（2）9910【分析】（1）根据完全平方公式，可得()22211111111n n n n ⎡⎤⎛⎫++=+- ⎪⎢⎥+⎝⎭+⎣⎦，根据开方运算，可得1111n n =+-+；（21111n n =+-+，可化简二次根式，根据分式的加减运算，可得答案． 【解答】（1）∵()()22211111112111n n n n n n ⎛⎫++=+-+ ⎪++⎝⎭+ 2111112()()11n n n n =+-+-++21111n n ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，111111111n n n n =+--=-++；（21111n n =+-+，...+11111111111...122334910=+-++-++-++-11010=-9910=．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用完全平方公式得出()22221111111n n n n ⎡⎤⎛⎫++=+- ⎪⎢⎥+⎝⎭+⎣⎦是解题关键．19．定义()f x =(1)f +(3)f …+(21)f k -+…+(999)f 的值.【答案】5.【解析】【分析】将()f x进行分母有理化，分子分母同时乘以可得()f x =2=，进而求得()12f =，()32f =，()5f =()()()()1321999f f f k f ++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+5== 【解答】()f x ==2=，()12f ∴=，()32f =，()5f =，…，()999f = ()()()()132199952f f f kf ∴++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+==． 【点评】本题以新定义型题形式考查了二次根式的运算，解本题的关键是通过分母有理化将()f x 简化，再代值得到()212f k -=，即可解题.20．阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务.斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数,这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第nn n⎡⎤-⎢⎥⎣⎦表示(其中n≥1)，这是用无理数表示有理数的一个范例.任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数. 【答案】第1个数为1;第2个数为1.【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．【解答】当n＝1n n ⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎡⎤-⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎦＝1当n＝2122n n⎡⎤⎛⎛-⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦22⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦11112222⎛⎫⎛-+-⎪⎪⎭⎝⎭＝1。
二次根式复习题及典型题
二次根式二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式122211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a -+---+ 其中是二次根式的是_________（填序号）．1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A a 10-1a +21a+2a 2a b 1x +21x +3中是二次根式的个数有______个【例2】3x -有意义，则x 的取值范围是 ． —1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42221x x -+-x 的取值范围是 3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．3/2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。
二次根式的性质1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．—1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）A ．3B ．– 3C ．1D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿4、若1a b -+()2005_____________a b -=。
二次根式经典例题
二次根式经典例题例1 x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？（1）1+x ；（2）22+x ；（3）2x -；（4）x 231-．（1）解：由二次根式的意义知：x ＋1≥0，∴x ≥－1， ∴当x ≥－1时， 式子1+x 在实数范围内有意义．（2）解：∵在实数范围内，不论x 取什么值，恒有x 2＋2≥0． ∴x 取任何实数时，式子22+x 在实数范围内都有意义．（3）解：∵在实数范围内，不论x 取什么值，恒有－x 2≤0， 又∵二次根式的被开方数大于等于零；∴－x 2≥0，∴x 2＝0，即x ＝0 ，∴当x ＝0时， 式子2x -在实数范围内有意义．（4）解：由题意知：320320≥≠x x ⎧⎨⎩－－． ∴3－2x ＞0，∴x ＜23， ∴当x ＜23时，x231-在实数范围内有意义． 例2 计算：（1）（12）2；（2）（32）2； （3）（b a +）2（a ＋b ≥0）．例3 计算：（1）（12+x ）2－（2x ）2；（2）（36）2；（3）（－221）2．解：（1）（12）2 ＝ 12；（2）（32）2 ＝32；（3）当a ＋b ≥0时，（b a +）2＝a ＋b ．3．解：（1）（12+x ）2－（2x ）2 ＝ x 2＋1－x 2＝1；（2）（36）2＝32×（6）2＝9×6＝54；（3）（－221）2＝（－2）2×（21）2＝4×21＝2．例4计算：（1）8×2； （2）21×8； （3）a 2·a 8（a ≥0）．解：（1）8×2＝2×8＝16＝4；（2）21×8＝821⨯＝4＝2； （3）当a ≥0时，a 2·a 8＝a a 82⋅＝216a ＝4a ．例5 化简：（1 （2）3a （a ≥0）；（3）324b a （a ≥0，b ≥0）．解：（143⨯＝3×4＝3×2＝32；（2）当a ≥0时，3a ＝a a ⋅2＝2a a a ；（3）当a ≥0，b ≥0时，324b a ＝b b a ⋅224＝()22ab ＝b ab 2．例6 计算：（1（2；（3）3a·ab（a≥0，b≥0）；（4）解：1（22＝（3）当a≥0，b≥0时，3a2；a·ab b（4）＝3×26×例7计算：（1）（－×（－；（2（1）（－×（－＝（－3)×（－2＝（2例8 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm，求AC．解：在△ABC 中，∠B ＝90°，AB 2＋BC 2＝AC 2，AC ，当AB ＝10 cm ，BC ＝20 cm 时，AC ＝．例9化简：（1 （2 ；（3 （4a ≥0，b ＞0）解：（154； （2＝774；（343 ；（4a ≥0，b ＞0）＝a b 32． 例10 化去根号内的分母：（1）32 ； （2）312 ； （3）xy 32（x ＞0，y ≥0）．解：（1）32（2）312＝3； （3）当x ＞0，y ≥0时，x y 32＝例11化简下列各式，使分母中不含根号．（1）32；（2（x ＞0）；（3x ＞0，y ≥0）．（1）32 3（2）当x ＞05x ； （3）当x ＞0，y ≥0时，． 例12 计算：（1）32＋43－22＋3；（2）12＋18－8－32；（3）40－5101＋10 例13 计算：（1）)32125(＋×15； （2）)52)(103(－＋．例14 计算：（1）)23)(23(－＋；（2）2)53(＋．2。
二次根式的性质(例题+经典习题)(可编辑修改word版)
a 2 a 2 25 (-7)2 (1 - 2 )2 (-5)2 5 52 - 42 5242 (-16)(-25) -16 ( ) + ( )13 135 12 2 2 42 ⨯ 7 42 7 ab a a + 3 aa + 3 16125二次根式的性质一．复习以前所学相关知识点： 平方差公式： 完全平方公式： 同底数幂的乘法法则： 幂的乘方法则： 积的乘方法则：规定：（1） 二次根式 ( a )2 的性质2( a )2=a (a ≥0)2⎛ 1 ⎫22计 算 :(1) ( ) = ; (2) (3 2) =;(3) ⎝ 3 5 ⎪ =;(4) (-3 2)⎭⎛ 1⎫2( )2= ;(5) - ⎝ 2 3 ⎪ = ⎭;（6） a= _ .a (a ≥ 0) （2） 二次根式的性质=|a |=- a (a 0)1、计算:(1) =_(2) =(3) =(4) +（- ）2=．（3）二次根式积的性质ab = a ⋅ b (a ≥0,b ≥0)1、(1) 169 ⨯196 =_ _; (2) 42 ⨯ 3 =_ ; (3) 0.01⨯ 0.49 = ;2、下列运算正确的是（）(4) 32 ⨯ 52 =_;A. = - =5-4=1B. = × -25 =-4×（-5）=205 C ． = 12 17 + =D ． = × =4 13 13 13（4） 二次根式商的性质= (a ≥0,b ＞0)1、(1)=;(2) = ;2、能使等式 = 成立的a 的取值范围是.3、化简：(1) ( 2)4 b 527a b 925 2 932 27223 3 40 50 200 90 0.5 1⨯ 22 ⨯ 2 2 220.001 5 827 20 3 1 2 7 ⨯ 2 2 ⨯ 2 14 22 1124 4 927x 3 y 5 3.6 ⨯105 96a 3b 6 ⨯105 0.5a 3b 5（5） 最简二次根式：①被开方数中不含分母。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次根式的复习代数式知识结构图：
二次根式典型习题
一、二次根式的定义
1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ）
A 、
B 、
C 、 (a ≥1)
D 、— 2、下列格式中一定是二次根式的是（ ）
A 7-
B 32m
C 、12+x
D 3b
a
二、二次根式下有关字母的取值范围 3、
4、下列各组二次根式中，x 的取值范围相同的是（ ）
A 、 与
B 、（ ）2与
C 、 与
D 、 与
5、如果
2
1
2
1--=
--x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A 、1≤x ≤2 B 、1＜x ≤2 C 、x ≥2 D 、x ＞2 61
1x
-是二次根式，则x 的取值范围是 7、式子
3
23+-x x
中x 的取值范围是_______ 三、二次根式的非负性 8、若588+-+-=
x x y ，则xy = _______
9、已知a 为实数，下列四个命题错误的是（ ）
A ．若a
a 2
=1，则a>0 B.若a<0,则
2a —a= —2a
C. 若—
21a = —a
1，则a>0 D.若a ≥—2，则12++a a 有意义
10、化简1
a
- ） A a B 、a C 、a - D a -
4-3x -
1-a 2-x 1+x x 2x
12+x 22+x 1-x x
1
四、2
a a =的理解 11、
12、化简2
)21(-的结果是（ ）
A 、21-
B 、12-
C 、)12(-±
D 、)21(-±
13、若2)3(-a =3—a ，则a 的取值范围是______________ 14、若2x ＋1＋|y ＋3|＝0，则(x ＋y)2 的值为（ ） A ．52
B ．－52
C ．72
D ．－72
五、实数范围因式分解
15、把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：
16、在实数范围分解因式：x 2—23x+3=___________________ 2x 2－4=_______________ 六、最简二次根式 17、
18、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、a 16 B 、b 3 C 、
a
b
D 、45 19、二次根式
2
1，12，2
22,40,2,30y x x x ++中最简二次根式是____________ 20、下列根式中，能合并的是（ ） A ．xy 和
2xy B. 3a a 与
a
1
C.xy 与2x
D. a 与3a
七、二次根式的计算 21、若
b
a b
a =成立，则————————————————（ ）
0.
0.
;0,0.;0,0.≥>>≥≥≥b
a
D b
a C
b a B b a A
22、下列计算中，正确的是（ ）
A 、3232=+
B 、3936==+
C 、35)23(3253--=-
D 、72
572173=-
23、计算：（1）、315.01812+-- （2）、)65153(102
1-⨯
（3）、)2463)(2463(+- （4）、)35)(15()25(2
+++-
（5）、6130
)183)(212+-+ （6）、（32
1)126432÷-
（7）、35
3
1533420⨯÷⨯ （8）、)75312(3+
24、（1）若正三角形的边长为25，则这个正三角形的高是_____________面积为________________
（2）若正三角形的边长为a ，则这个正三角形的高是_____________面积为________________
25、
八、化简求值
26、先简化，再求值：x x x 1
112
-÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛+，其中2=x
27、先简化，再求值：其中
28、先化简，再求值：222
11()x y x y x y x y +÷-+-，其中1,1x y ==
九、二次根式与乘法公式 29、已知：)57(2
1+=x ，)57(21
-=y 求代数式22y xy x +-值
30、已知,32,23+=-=b a 求22ab b a -的值
31、已知55，求下列各式的值； （1）x 2-2xy+y 2 , (2)x 2-y 2； 32、 33、
34、已知x+y= —5,xy=3,求y
x
x y 的值
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。