复变函数习题答案第3章习题详解.docx

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复变函数高等教育出版社课后习题详解第三章

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小结 ! 找出实部虚部分别计算 % 8.%利用在单位圆周上#C ! 的性质 ! 及柯西积分公式说明 # A #C # 0
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其中 0 为正向单位圆周 F ! $ #FC !% & $ 解 ! 注意到复积分 -" 在 ## # 中积分变量# 始终限制在; 上变化 ! A
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复变函数西安交通大学第四版高等教育出版社课后答案
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课后习题全解 !!!
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复变函数第三章习题答案

第三章柯西定理柯西积分掌握内容：1.柯西积分定理：若函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()Cf z dz =⎰0 。

2.柯西积分定理的推广：若函数()f z 在围线C 之内的,,...n z z z 12点不解析，则()()()...()nCC C C f z dz f z dz f z dz f z dz =+++⎰⎰⎰⎰12，其中,,...nC C C 12是分别以,,...n z z z 12为圆点，以充分小的ε为半径的圆。

3.若在围线C 之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？——运用柯西积分公式。

柯西积分公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()Cf z dz if z z z π=-⎰002 4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()()()!n n Cf z i dz f z z z n π+=-⎰0102习题：1.计算积分⎰++-idz ix y x 102)(积分路径是直线段。

解：令iy x z +=，则idy dx dz += 积分路径如图所示：在积分路径上：x y =，所以313121212131211032223211211211210102102102i x ix y i x ix x dxix x i iydy xdx dx ix x dy ix x i iydy ydx dx ix x idy dx ix y x dz ix y x ii+-=-+--+=++--+=++--+=++-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++)()()()()())(()(2.计算积分⎰-iidz z 。

积分路径分别是：（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。

解：（1）令z x i y =+，则z dz xd idy ==+，在积分路径上，0x =，所以11iiz dz iydy iydy i--=-+=⎰⎰⎰（2）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//222i i iz dz ie d i πθπθ--==⎰⎰（3）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//2322ii iz dz ie d i πθπθ-==⎰⎰5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。

复变函数习题解答(第3章)

显然，f’(z(t))z’(t)在[,]上是连续的，所以f(z(t))C1
[,]．
因为f(z)于区域D内是单叶的，即f(z)是区域D到的单射，而z(t)是[,]到D内的单射，故f(z(t))是[,]到内的单射．
因在D内有f’(z)0，故在[,]上，|f’(z(t))z’(t) |= |f’(z(t)) | ·|z’(t) |
x2
=v
y2
，v
x2
=u
y2，故w
xx+w
yy= 2 (u
x2
+v
x2
+u
y2
+v
y2
) = 4 (u
x2
+v
x2
) = 4 |f(z) |2；即(2
/x2
+2
/y2
) |f(z) |2
= 4 |f’(z) |2．
18.设函数f(z)在区域D内解析，且f’(z)
0．试证ln |f’(z) |为区域D内的调和函数．
xx+v
yy)v= 0；
由于u,v满足Cauchy-Riemann方程，故u
x2
=v
y2
，v
x2
=u
y2
，u
xv
x+u
yv
y= 0，因此(u
xu+v
xv)2
+ (u
yu+v
yv)2
=u
x2
u2
+v
x2
v2
+ 2u
xuv
xv+u
y2
u2
+v
y2
v2
+ 2u
yuv

《复变函数》第四版习题解答第3章

-1-
∫ ∫
C
Re[ f (z )]dz = Im[ f (z )]dz =
∫ ∫
2π
0 2π
Re e iθ de iθ = cos θ (− sin θ + i cos θ )dθ = π i ≠ 0
[ ]
∫
2π
0
C
0
Im e iθ deiθ = sin θ (− sin θ + i cos θ )dθ = −π ≠ 0
3．设 f ( z ) 在单连域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问
∫
解
C
Re[ f (z )]dz =
∫
C
Im[ f (z )]dz = 0
是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。未必成立。令 f ( z ) = z ， C : z = 1 ，则 f ( z ) 在全平面上解析，但是
e z dz v ∫C z 5 ， C :| z |= 1
= 2πe 2 i
解
（1）由 Cauchy 积分公式， ∫ 解 1： ∫ 解 2： ∫
C
ez dz = 2π i e z z−2
z =2
（2）
C
1 dz 1 = ∫ z + a dz = 2π i 2 2 C z−a z+a z −a
2
=
z =a
=0
（8）由 Cauchy 积分公式，（9）由高阶求导公式， ∫
v ∫
C
sin zdz = 2π i sin z |z =0 = 0 z
2
sin z
C
π⎞ ⎛ ⎜z − ⎟ 2⎠ ⎝
dz = 2π i(sin z )'

复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解1．沿下列路线计算积分⎰+idz z 302。

1) 自原点至i +3的直线段；解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3()()()⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+131033233023313313i t i dt t i dz z i2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =33033023233131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰t dt t dz z连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =()()()331031023323313313313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+i it idt it dz z i()()()333310230230233133********i i idt it dt t dz z i+=-++=++=∴⎰⎰⎰+ 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。

解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =()()310312023131i it idt it dz z i=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =()()()33103102323113131i i i t dt i t dz z ii-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+()()333332023021313113131i i i i dz z dz z dz z iiii+=-++=+=∴⎰⎰⎰++ 2．分别沿x y =与2x y =算出积分()⎰++i dz iy x102的值。

解：x y = ix x iy x +=+∴22 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴⎰⎰+i i x i x i dx ix x i dz iy x i213112131111023102102 2x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴()()()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴+1104321022131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy xi而()ii i i i 65612121313121311+-=-++=⎪⎭⎫⎝⎛++3．设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。

复变函数答案钟玉泉第三章习题全解

即 Φ′(x) = 0, Φ( x) = C ,故
f (z) = e x (x cos y − y sin y) + i( xex sin y + e x y cos y + C)
又因 f (0) = 0, 故 f (0) = iC = 0 ⇒ C = 0 ,所以
f (z) = ex ( x cos y − y sin y) + i(xex sin y + e x y cos y)
′(
x)
= 0.
所以ϕ( x) = C ,故
x
y
f (z) = − x2 + y2 + C + i x2 + y2
又因为 f (2) = 0 ,所以 C = 1 ,故 2
x1
y
f (z) = − x2 + y2 + 2 + i x2 + y2
17.证明：设 f (z ) = u + iv ⇒ 4 f ′( z) 2 = 4(ux2 + vy2 )
∫ 2z 2 − z +1dz = 2πi(2z 2 − z +1) = 4πi
z ≤2 z −1
z =1
(2)可令 f (z) = 2z 2 − z +1,则由导数的积分表达式得
∫ 2z 2 − z +1dz = 2πif ′(z) = 6πi
z =2 (z − 1) 2
z =1
sin π zdz
∫ v = (xex cos y − e x y sin y + e x coy)dy
∫ = xex sin y + e x sin y − e x y sin ydy

复变函数与积分变换第三章习题解答

fc Re[f (z)}Lz= s:·T Re[产�/0 = J�os0(- sin0+icos0}10= 冗 i-:t:O
、
f clm[J(z)}lz=
1 单位圆上 z=- 的性质，及柯西积分公式说明 4. 利用
s::r
il) i(J lm[e �e = fo�in0(-sin0+icos0}10 =- -:t:O
宣
(4) (5) ( 6)由柯西基本定理知：其结果均为0
1 正气衣 =f 一 (z+iXz +4) 如fz+il: lz 气 z +j z- J 3
2
I
1
=2冗i
(8)由
Cauchy 积分公式，
(9)由高阶求导公式， (10)由高阶求导公式
fc ,'�"�『心 �2 i(sin,)
兀
f sinzdz =2
I。
: z 由=JJ3r +i t)\3+i肋
+I 2
(2)
I:
打
/dz = �··(. 止+f c, z油+f C2/dz•
2
l。
1 I 26. I =...:.(3+i)3 t3 1 =-(3+i)1=6+—I 3 3 3 0
=(3 + i)3
I
t d,
2
C3
{
x = 3, y =t,
(Ost 釭）； c, 之参数方程为{ y = t,
-4 -
故 Re [
共部分为 B 。如果 f伈）在B1 -B 与B2 -B内解析，在证明
1 3. 设 cl 与 C 2为相交干 M、N两点的简单闭曲线

复变函数第三章答案

I1 = ∫
C
� � 构成闭曲线（非简单），此时 C + 3, 2 可分解成两个简单闭曲线 2 MA2 和 3 AN 3 ，类似于上面的情
形，有
��
∫
∫
于是由复积分的曲线可加性
� 2 MA 2
� 3 AN 3
1 dz = 2π i ， z −1 1 dz = 2π i ， z −1
∫
�� C + 3,2
C
综上所述，
I1 = ∫
（ 2）当 n ≠ 1 时，
C
1 。 dz = k ⋅ ( ±2π i ) + ln 2 （ k = 0,1, 2,⋯ ） z −1
1 1 在 ℂ \{1} 内存在单值的原函数 ⋅ ( z − 1)1− n ，所以，由复积分的 n ( z − 1) 1− n
牛顿—莱布尼茨公式，
I = ∫ Im zd z = ∫
C
1 0
( Im a + Im( b − a) ⋅ t )(b − a ) d t
1 ⎛ ⎞ 1 = ( b − a ) ⎜ Im a + Im(b − a ) ⎟ = (b − a ) Im ( a + b ) 。 2 ⎝ ⎠ 2
3. 计算下列积分：
I1 = ∫
∫
在 C + 1, 0 上，所以
��
1 1 1 1 1 dz = ∫ �� ( − )dz = (2π i) = π ， 2 C + 1,0 1+ z 2i z −i z +i 2i 同理如果 C 仅围绕 i 按顺时针转一周，有 1 1 1 1 1 dz = ∫ �� ( − )dz = ( −2π i) = −π ， �� 2 ∫C +1,0 1+ z 2i C +1,0 z − i z + i 2i

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第三章习题详解1・沿下列路线计算积分J；' z2dz o1）自原点至3 + i的直线段；解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0<r<l dz =（3 + i）dt2）自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3 +八解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：z = t 0</<1 dz = dt3 1=-33 «3连接自3铅直向上至3 +,的参数方程为：z = 3 + ir O<Z<1 dz = idt J J z2dz = £(3 + it)2 idt = -(34-17)3=-(3 + i)3彳" 3 n 3・・・ f z2dz = £t2dt 4- £(3 + it)2id/ = 133 4-1(3 4-1)3 - i33 = |(3 + i)33)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至3+i。

解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：z = it 0</<1 dz = idtJ：Z2dz = J；(it)2 idt = | (i/)3= * 尸连接自i沿水平方向向右至3 + i的参数方程为：z = t^i 0<^<1 dz = dtr*edz=jo edz+广eaz=y+敦+厅-|/3=|（1+厅2.分别沿y =兀与y =兀2算出积分J；'（兀2 + iy^dz的值。

解：•/ j = x x2 + iy = x2 + ix ••• dz = (1 + i)dx・・・『(x2 + iy)dz = (1+ (x2 + ix)dx = (1 +•/ y = x2A x2 + iy = x2 4- ix2 = (1 + i)x2:. rfz = (1 + ilx)dxf 衣=［（3+03&二（3+讥♦3+i0=(3 + 厅0 d^ed Z=[\2dt=护而（W 宙討…T + 一 11.1.11 5. i = 1—i3 3 2 26 6/(z) =1 _ 1 z 2+2z + 4~ (z + 2)2在c 内解析，根据柯西一古萨定理,$匹J z 2 + 2z + 4/. £1+，(x 2+ iy)dz = (1 + /)£ * (1 + ilx)dx = (14-彳+ 设/(z)在单连通域〃内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。

问^Re[/(z)]rfz = O,Cflm[f(z)]dz = O 是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。

c 不成立。

例如：f(z) = z ， C ： z = “"，OSMv;rf Re[/(z)]rfz = J ：" cos(cos z?+ isint?) =C•在|z| = 2上,z = 2严=J o ―—d (2e l^)= £ 2诃〃 =[,2屈/= 4加 c A ° 2 °z =4zl ~ it?j-^dz = f 三—〃(4 严)=f 4如=[i4t 疳=8m 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？ C 是正向的圆周z=l 。

/(£ = 丄在C 内解析，根据柯西一古萨定理，f-^ = 0z — 2 ’ z — 2$空£ / +2z + 42 、 .3丄严.4 —X 十z — Xi 4f Im[/(4kz =『sin c-n利用在单位圆上？二丄的性质，及柯西积分公式说明Z其中C 为正向单位圆周2=1。

f zdz = #—-—dz = 2 时(0)= 2 加C C 2一 °it> C z在|z| = 4 ±, z = 4ec其中C 为止M 圆周:2=2；沿指定曲线的正向计算下列各积分:i ------ dz , C : z-2 = 1并-2乙=2在(7内，/(z)=e z在C 解析，根据柯西积分公式：［~^dz = 2me 2 c z ~2z-a =az = a 在C 内，/(" =」一在C 解析，根据柯西积分公式：z + aiz -a-2心|izi乙z = i 在C 内，/(z) = -^在C 解析，根据柯西积分公式：[-f —dz = [1±^dz = -dz /(z) = —!—在c 内解析，根据柯西一古萨定理，f Ccoszcoszc dz/(z) = 1在C 内解析，z 0=-在C 内，= 2砒一Z~2j )ze z dz cf(z)=z.e z 在C 内解析，根据柯西一古萨定理，fze z dzdz(z + 2) *f(z) = 7——在C 内解析，z 0=-在C 内，f(z + 2) 2{dz/ ■、i 、(z + 2)=17tif — = 2 加匕丿2+2f ^ + a 2dz = 7ti c z ~ ~acoszz + i J c z +1 J c z-i e兀)飞4z )在c 解析,根据柯西-古萨定理：f(-釦一1)"j>z 3 coszdz, C :为包H z = 0的闭曲线 c /(z)= z 3 cosz 在 C 解析，z = 0在C 内，/(z) = sinz 在C 解析，根据柯西积分公式：f 聖乞衣=2加sin0 = 0 r Zz = 0在C 内，/(z)=e z 在C 解析，根据高阶导数公式：[^dz = — f ⑷(0)=弐 £ 匸 4!4!计算下列各题：「3加 j[e dzz = 3不在C 内,/(z) = ^^在C 解析，根据柯西一古萨定理: z-3根据柯西一古萨定理：cos zdz = 0cz = i 在 C 内，/(z) = 就F)在c 解析’根据柯西积分公式：帚瓠+ 4)/(z) = sinz 在C 解析，根据高阶导数公式:“f 在C 内,y chizdz ；6lf/n 2sin zdz ； J-加m•=加 -- sh27T“2£ z sin zdz = -£ zd cos z = -[z cos z]J + £ cos zdz = - cos 1 + sinl[(z - i)e'z dz = -[ (z - i)de'z = -[(z -i)e'z ]； + J ； e'z dz = (1-i )Q -「= iedz = $— dz + f —-—dz = 2 加(4 + 3)= 14 加 z +1 iz + 2ia ■Hi"其中为正向）;/（Z ） = ^2H 在所给区域是解析的，根据复合闭路定理:Z『3加 j| e 2z dz =-e 2zJ -加[2 J3加 1mm{(z +決-D dZ= f "fc 菩+f 善帑边=如2if 甞衣，（其中c 「C=C]+（?2 2z =2为正向，C 2: z =3为负向）;b c 血3zdz =V=3k0 一吟 J-mJ 一加f 上率dz （沿1到i 的直线段）。

COS Z f 呼边 JI COS z=((1 + tgz)dtgz =计算下列积分:11 1tgz + -tg 2z =tgi + -tg 2i-tgl--tg 2\3 ) d ---lz + 1 z + 2i 丿必，（其中C ： z =4为正向）;------- 1 -------- 七 + 1 z + 2i) C=Cj+C 2证明：因为/«)=在D 内解析，故积分莎〃了与路径无关，取从原点沿实轴到1,再从1在所给区域内，/(z) =」一有一孤立奇点，由柯西积分公式：= z-iJc z-i——dz,(其中a 为问工1的任何复数，C ： c\z-a\解：当|z| > |a|, /(z)=. e v 在所给区域内解析，根据柯西一古萨基本定理：L e、卫=0(z-a)i{z-a)z a _•当|z| < |«|, f(z.)=e z 在所给区域内解析，根据高阶导数公式：f. e ^dz = —e a =e a m c (z - a) 2! 10.证明：当C 为任何不通过原点的简单闭曲线时，Jz = 0oC 2证明：当C 所围成的区域不含原点时，根据柯西一古萨基本定理：衣=0； r Z当C 所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：fgdz = 2加厂(0) = 0； c Z11・下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？ 1) f -dz2)-dz IzH za —A —i 秒解：1) f -dz=2) $ 2虫=汐衍》=o岸尹h 2严J =4Z J 。

4严由此可见，1)和2)的积分值相等。

但2)的值不能利用闭路变形原理从1)得到。

因为/(z) = -在 Z 复平面上处处不解析。

12. 设区域D 为右半平而，z 为D 内圆周忖=1上的任意一点，用在D 内的任意一条曲线C 连接原点与Z ，证明Re 比寺叫呼［提示:可取从原点沿实轴到1，再从1沿圆周心到z 的曲线作为C 。

解:5)Z = 1为正向)。

f Z — = f —dx^rC —— de^ = arctgx? 4-di}Jol + ?2 ， Jo 14- X 2Jo l + 护"loJo 1 + ^2"= -4-1「曲 1 dQ =艺 + i 「2 sec 斑 t?・・.Re ［「dA =-4 Jo 严 + 严 4 Jo卩。

1 +了2、」413. 设C|和C2为相交于M 、N 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为Q 与B2。

与的公共部分为B o 如果/(z)在Q - B 与E - B 内解析，在C^C 2上也解析,证明：f f(z)dz = j> f(z)dz 。

Gc 2证明：如图所示，/(“在d —B 与内解析，在C 「C2上也解析，由柯西一古萨基本定理有:打(z)dz = 0 打(z)dz = 0=> 打(z)dz= 打(诳NOMP\NMRNP.MNOMP、NMRNP.M・・・ j f(z)dz+ J /(z)rfz = J/(z)〃z+ j f(z)dzNOMMP X NMRNNP 2M=> “(z)/z - J f(z)dz = j f(z)dz- j f(z)dzNOMNP 2MMRNMP X Na J /(z)rfz+ j f(z)dz = J/(z)dz+ j f(z)dzNOMMP 2NMRNNP t M14. 设C 为不经过a 与-a 的正向简单闭曲线，a 为不等于零的任何复数，试就a 与-。

跟C 的不同位置，计算积分f 2 ' 2衣的值。