编号17 山西大学附中高二年级排序不等式

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号17
排序不等式
【学习目标】了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题; 【学习重点】排序不等式的应用 【学习难点】排序不等式的证明 【学习过程】 一、导学：
1. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i i
a b R ∈(=i 1,2,…,n )，
则： .当且仅当 时, 等号成立. (若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ). 变式10.
设,0(1,2,
,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i n
i i
i
b a b a 212
)( .
当且仅当 时, 等号成立. 变式20
. 设0(1,2,
,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=i
i i n
i i
i b
a a
b a 2
1
)(.
当且仅当n b b b === 21时,等号成立.
2. 探究 如图， 设AOB α∠=，自点O 沿OA 边依次取n 个点
12,,,n A A A ，OB 边依次取取n 个点12,,,n B B B ，在OA 边取某个点i A 与OB 边某个点j B 连接，得到i j AOB ∆，这样一一搭配，一共可得到n 个三角形。

显然，不同的搭配方法，得到的i j AOB ∆不同，问：OA 边上的点与OB 边上的点 如何搭配，才能使n 个三角形的面积和最大（或最小）？？？ 设,(,1,2,,)i i j j OA a OB b i j n ===，由已知条件，得 123123,n n a a a a b b b b <<<<<<<<
因为i j AOB ∆的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为
代数问题：1212,,
,,,,,n n c c c b b b 设是数组的任何一个排列 则1122n n S a c a c a c =+++何时
取最大（或最小）值？ 我们把1122n n S a c a c a c =+++叫做数组12(,,,)n a a a 与12(,,,)n b b b 的乱序和.
其中, 1121321n n n n S a b a b a b a b --=++++称为 序和.
2112233n n S a b a b a b a b =+++
+称为 序和.
这样的三个和大小关系如何? ◆探究新知 1.检验操作: 填表: 2.一般性证明:
12,n a a a ≤≤≤设12n b b b ≤≤≤1212c ,,,,,,n n c c b b b 是的任意一个排列(有
个不同的排列). 所以, 1122n n S a c a c a c =+++的不同值也只有有限个(≤
个).
其中必有最大值和最小值.
考察1122n n S a c a c a c =+++,
10
.若11c b ≠,则应有某1(1)
k c b k =>,且
1
k c c ,对换1,k
c c 得
11k k n n S a c a c a c '=++++
0S S '-=+--
=≥. S S '
⇒ .
说明将1122n n S a c a c a c =++
+中第一项换为11a b 后, 和式 .
20
.若11c b ≠,则转而考察2c ,并进行类似讨论.可证将式中第二项换为22a b 后,和式 . 如此继续下去, 经有限步调整, 可知一切和数中, 最大和数只能是 .且不难
知道, 最小和数只能是 . 因此 12 S S S 反序和乱序和顺序和即. 30
.容易发现, 当12,n a a a ==
=或12n b b b ==
=时, 1
2 S S
S ;
如果12,,,,n a a a 不全相等, 12,,,n b b b 也不全相等. 则,(1,)i j i j n ∃≤≤和,(1,)l k l k n ≤≤ 使,i j l k a a b b <<,考察和数
2()()i i j j l l k k i k j l l i k j S S a b a b a b a b a b a b a b a b *=-+++++++ 2()()i i j j l l k k i l j k l i k j S S a b a b a b a b a b a b a b a b **
=-+++++++
∵ ()()
0i j k l S
S a a b b S S **
****-=--⇒
∴ 12S S S S ***≤<≤.
定理(排序不等式, 又称排序原理):12,n a a a ≤≤
≤设12n b b b ≤≤
≤为两组数,
1212c ,,
,,,
,n n c c b b b 是的任意一个排列, 则
121321n n n n a b a b a b a b --++++1122n n a c a c a c ≤++
+112233n n a b a b a b a b ≤++++.
当且仅当12,n a a a ==
=或12n b b b ==
=时, 等号成立.
二、导练：
1. 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟,8分钟,6分钟,10分钟,5分钟. 那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？ .
2．若n a a a ,......,,21为两两不等的正整数，
求证:321222111
12323n a a a a n n ++++≤++++。