第12讲 不定方程
第十二讲不定方程
先看一个问题：老师和小王开了一个玩笑。他对小王说，我左、右两个手心里各写了一个整数，它们的和是10，你能猜出左、右手心各写的是什么整数吗？
小王满有信心地说：能行。于是小王连续猜了三次。
第一次猜：左手心写的是9，右手心写的是1，老师说不对；
第二次猜：左手心写的是5，右手心写的是5，老师说不对；
第三次猜：左手心写的是7，右手心写的是3，老师说还是不对。
其实我们已经知道，这个问题的答案有许多个，不要说猜三次，就是再猜几次，可能还是没有恰好猜出来。
如果设左、右手心写的整数分别为x、y，那么可以列出方程x+y=10。
由于未知数的个数比方程的个数多，于是得到的解不是唯一的，即使再加一些附加条件，可能还是不容易得到合理的答案。一般情况，我们把求这类方程整数解的问题叫做不定方程。
我们再考虑一个实际问题：在长为158米的地段铺设水管，用的是长度为17米和8米的两种同样粗细的水管，问两种水管各用多少根（不截断）正好铺足158米长的地段。
由于总长度是158米，那么17米长的水管至多用9根，可以假设17米长的水管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根，再看剩下的长度是否恰好是8的整数倍。
这个办法是将17米长的水管的各种可能性逐个列举，再看哪种情况合适，这种方法叫做“穷举法”。当可取的情况很多时，这种方法当然不能令人满意，如果情况种类不太多，这种方法还是可行的。
如设17米长的水管用了x根，8米长的水管用了y根，可以列出方程
17x+8y=158，（1）
本题要求这个方程的整数解。
我们用下面的方法来求这个方程的整数解。先将方程变形为：
8y=158–17x，（2）
8y=152+6–16x–x（3）
由于152和16x都是8的倍数，因此6–x也应该是8的倍数，x只能取6才有可能，用6代入（2）中，可以解出y=7，所以17米长的水管用了6根，8米长的水管用了7根。
也可以由方程（2）两端同除以8得
15817
8
x
y
-
=，（4）
所以
152616
8
x x
y
+--
=（5）6
192
8x
y x -
=-+（6）
由于x、y均为整数，19–2x也是整数，故可知6
8
x
-
也是整数，显然只有当x=6时，
6
8
x
-
为整数，此时6
8
x
-
=0，y=19–2×6=7。
这种解法叫做整数离析法或整数分离法。
一．二元一次不定方程
象上面讲到的17x+8y=158这种方程中，有两个未知数，每个未知数的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
一般地，形如ax+by=c的方程中，其中a、b、c为整数，且a、b均不为零，称为未知数x、y的二元一次不定方程，人们关心的常是求二元一次不定方程的整数解或正整数解。
对于上述方程通常要考虑下面几个问题：
1．a、b、c是什么样的整数时，方程有整数解或者无整数解；
2．如果有整数解，将有多少整数解？是否有解的统一表示办法？
3．如何求出所有的解。
我们曾用整数离析法求出了17x +8y =158的一组正整数解x =6，y =7。是否还有其他的正整数解呢？
以上三个问题全部解决，这个问题才算解答完毕。下面我们将通过例题把一些主要结论介绍给大家。
如求二元一次不定方程3x +9y =23的整数解。
容易看到等号左端当x 、y 为整数时，能被3整除，但右边的23不能被3整除，故左右两端不可能相等，方程没有整数解。
一般地，当(a ，b )|c 时{(a ，b )表示的是a 与b 的最大公约数}，方程ax +by =c 无整数解。理由是当x 、y 为整数时，左式是(a ，b )的倍数，但右端却不是(a ，b )的倍数，所有原方程无整数解。
再看二元一次不定方程6x +9y =21，由于(6，9)=3，而3|21，在这种情况下，方程有无整数解呢？
在方程两端同除以(6，9)=3，得2x +3y =7，容易看出x =2，y =1就是这个方程的一个整数解。由于知识的限制，现在我们所学的整数只有零和自然数。在此范围内，方程可能只有一个或几个解，甚至于可能没有解，但如果数的范围加入了负数，那么只要(a ，b )|c ，方程就一定有解。
例如21x +18y =3，这个方程中，(a ，b )=(21，18)=3，方程可以变形为7x +6y =1，这个方程在零和自然数的范围内无整数解，在中学学习负数的概念后，还可以找到方程的整数解。
在本讲中我们只讨论用小学知识可以求解的题目，但给出的公式却具有一般性。 在ax +by =c 中，如果(a ，b )=c ，那么方程两端同除以(a ，b )后得a 1x +b 1y =c 1，如x =x 0，
y =y 0是方程a 1x +b 1y =c 1的一组解，那么方程的所有解为0101x x b t y y a t =+??=-?
，其中t 可以取任意整数（包括负整数）。
这就是说，如果能求出一组解x =x 0，y =y 0，就可以直接写出方程a 1x +b 1y =c 1的所有解。 如求方程4x +3y =17的所有整数解。
由于(4，3)=1，1|17，故这个方程肯定有整数解。
容易看到x =2，y =3是方程的一个解，那么4x +3y =17的所有解是2334x t y t
=+??=-?，其中t
可以取任意整数。
当t =0时的解即为x =2，y =3，但当t 为正整数时，x 为正整数，y 却不是正整数了。
例1．大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。
解：设需要大汽车x 辆，小汽车y 辆，可得方程
54x +36y =378，
由(54，36)=18，18|378，原方程可以化为3x +2y =21，且一定有整数解。
容易看到x =1，y =9就是3x +2y =21的整数解，那么3x +2y =21的所有整数解为1293x t y t =+??=-?
，t 为任意整数。
方程3x +2y =21除了t =0时，有整数解x =1，y =9之外，还有
当t =1时，有整数解x =3，y =6；
当t =2时，有整数解x =5，y =3；
当t =3时，有整数解x =7，y =0；
因此可以要大车1辆，小车9辆；或大车3辆，小车6辆；或大车5辆，小车3辆；或大车7辆，小车0辆都能使每个人都上车且各车都正好坐满。
当t ≥4时，由于y 不再是零和正整数，从而使解失去了实际意义。
例2．解不定方程31x +47y =265。
解：由于(31，47)=1，1|265，所以方程肯定有整数解，但要想看出一组整数解来却并不
容易，我们又不想用x 依次取0、1、2、3、……去试求y 的值，看看y 什么时候会成为整数。于是还是采用整数分离法来求这个方程的一组整数解。
将原方程变形为：31x =265–47y ，
两边同除以31，得2654731
y x -=
， 248+17311631y y x --=，1716831
y x y -=-+， 由于x ，y 都是整数，必有171631
y -为整数。 设171631
y k -=，所以31k =17–16y ，16y =17–31k ， 173116k y -=，16+132+16
k k y -=， 11216k y k +=-+，由于y ，k 都是整数，所以116
k +必为整数， 设t =116k +，k =16t –1，将k =16t –1代入到11216
k y k +=-+中， 得y =1–2(16t –1)+t ，即y =3–31t ，再代入到1716831y x y -=-+中 得x =8–(3–31t )+(16t –1)，得x =47t +4，
即原方程的解是447331x t y t =+??=-?
，其中t 为任意整数。 从上式可以看出当t =0时，x =4，y =3是原方程的一组正整数解。且只有这一组正整数解。
例3．解不定方程5x +7y =978，并求正整数解的个数。
解：由于(5，7)=1，且1|978，所以原方程一定有整数解。
由5x =978–7y 得97875y x -=，975+3525y y x --=，321955
y x y -=-+， 令325y k -=，所以5k =3–2y ，2y =3–5k ，3521422k k k y -+--==，1122
k y k -=-+， 令12k t -=，于是k =1–2t ，把k =1–2t 代入到1122
k y k -=-+中，得y =1–2×(1–2t )+t ， 即y =5t –1，把y =5t –1和k =1–2t 代入到321955y x y -=-+中，得x =195–(5t –1)+(1–2t )， 即x =197–7t 。
所以原方程的解是197751
x t y t =-??=-?，t 为任意整数。
要求原方程的正整数解的个数，应满足19770510t t ->??->?，解得197715t t ???
， 即111857
t <<，满足这个条件的整数t 有1、2、3、……、28，一共有28个。 所以原方程有28组正整数解。
二．三元一次不定方程组
先从一个古代问题谈起。
“一百匹马驮一百块瓦。大马驮三片，中马驮两片，两匹小马驮一片，最后不剩马和瓦，问有多少大马、中马和小马？”
解：设大马、中马、小马分别有x 、y 、z ，列出的方程是
x +y +z =100（1）和3x +2y +12
z =100（2）. 由（1）和（2）组成的三元一次方程组比起二元一次方程多了一个方程，多了一个未知数，设法消去一个未知数化为二元一次方程，求解后再求出消去的第三个未知数的值。
由（2）得6x +4y +z =200 (3)
（3）–（1）得5x +3y =100，
由(5，3)=1，1|100，所以此方程一定有整数解。
由3y =100–5x 得 10055(20)33
x x y --==，因为y 是整数，所以3|(20–x )， 当x 依次取2、5、8、11、14、17、20时，y 依次取得30、25、20、15、10、5、0。 把它们代入（1）依次得z =68、70、72、74、76、78、80。
即原方程组有七组解
23068x y z =??=??=?，52570x y z =??=??=?，82072x y z =??=??=?，111574x y z =??=??=?，141076x y z =??=??=?，17578x y z =??=??=?
，20080x y z =??=??=?。
不过y =0说明不用中马，作为求正整数解可以不考虑。
例4．如果1只兔可以换2只鸡，2只兔可以换3只鸭，5只兔可以换7只鹅，某人用20只兔换了鸡、鸭、鹅共30只，问其中鸡、鸭、鹅各多少只？
解：设鸡、鸭、鹅的数目分别是x 、y 、z ， 则30125202
37x y z x y z ++=???++=??， 12（）（） 方程（2）可以化为21z +28y +30z =840 （3）
方程（1）化为 21x +21y +21z =630 （4）
（3）–（4）得 7y +9z =210 （5）
由（5）得 210993077
z z y -==-，由于y 是整数，所以z 一定是7的倍数， 当z 分别是7、14、21时，y 依次得21、12、3，
代入到（1）中解得x 依次为2、4、6。
所以原方程有三组解2217x y z =??=??=?，41214x y z =??=??=?，6321x y z =??=??=?
。
练 习 题
1．将118写成两个整数的和，使得一个整数是11的倍数，另一个整数是17的倍数。 解：设一个整数是11的x 倍，另一个整数是17的y 倍，则
11x +17y =118，
由于(11，17)=1，1|118，所以该不定方程一定有整数解。
11x =118–17y ， 1181711081168610111111
y y y y x y -+---=
==-+， 由于x ，y 是整数，所以8611y -也是整数。设k =8611
y -，得11k =8–6y ， 6y =8–11k ，8116212212666k k k k y k -+-++===-+，26
k +是整数， 令t =26
k +，所以k =6t –2，代入得y =1–2×(6t –2)+t =5–11t ，x =10–(5–11t )+(6t –2)=3+17t 。 所以方程的解是317511x t y t =+??=-?，
当t =0时，x =3，y =5。即118=3×11+5×17。
2．不定方程5x –14y =11的最小正整数解是x = ；y = 。
解：5x =11+14y ，111410115123555y y y y x y +++--=
==++， 所以15
y -是整数，当y =1时，x =5。所以最小正整数解是x =5，y =1。
3．解不定方程7x +11y =1288，并确定正整数解的组数是 组。
解：7x =1288–11y ，1288113184277
y y x y -==-+，当y =0时，解得x =184， 所以x =184，y =0是一组整数解，原方程的所有解是184117x t y t
=-??=?，其中t 是整数。
对于正整数解的条件式18411070t t ->??>?，解得816110
t t ??，
所以t 可以取1、2、3、……、15、16，一共16个整数，所以原方程有16组正整数解。
4．大小两种盒子，大盒可装48粒巧克力，小盒可装30粒巧克力，现有306粒巧克力，问要大、小盒子各几个才能将巧克力全部装入盒内，且每盒都装满。
解：设需要大盒子x 个，小盒子y 个，则48x +30y =306，
因为(48，30)=6，6|306，方程两边同除以6得8x +5y =51，
51548383336888
y y y y x y -+-++=
==-+， 因为x ，y 都是整数，所以338
y +是整数。可以看出当y =7时，x =2是原方程的一组解， 所以原方程的所有解是2578x t y t =+??=-?，且只有这一组正整数解，
答：需要2个大盒子和7个小盒子。
5．三元一次方程组57325362
x y z x y z ++=??--=?的正整数解是 。
解：把方程（1）乘以2得10x +14y +6z =25，与第二个方程相加得13x +13y =52，
两边同除以13得x+y=4，所以正整数解为
1
3
x
y
=
?
?
=
?
，
2
2
x
y
=
?
?
=
?
，
3
1
x
y
=
?
?
=
?
，
把它们代入到方程（2）中分别得z=–1
3
，z=
1
3
，z=1.
所以原方程的正整数解只有x=3，y=1，z=1。
6．在1500年前的“张立建算经”里，曾提出“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”解：设有鸡翁x只，鸡母y只，鸡雏z只，
则
100
53100
3
x y z
z
x y
++=
?
?
?
++=
??
，把方程（2）乘以3得15x+9y+z=300，（3）
方程（3）减去方程（1）得14x+8y=200，(14，8)=2，2|200，
所以方程两边同除以2得7x+4y=100，可以看出当x=0，y=25时是方程的一组解，
所以该方程的所有解是
4
257
x t
y t
=
?
?
=-
?
，其中t是整数，
代入到（1）中，可以解得z=75+3t，求原方程的正整数解，
条件是
4
3
7
t
t
>
?
?
?
<
??
，当t=1时，有
4
18
x
y
=
?
?
=
?
，此时z=78；当t=2时，有
8
11
x
y
=
?
?
=
?
，此时z=81；
当t=3时，有
12
4
x
y
=
?
?
=
?
，此时z=84；
所以方程有三组正整数解：(4，18，78)；(8，11，81)；(12，4，84)。
7．求不定方程5x–3y=–7的一组正整数解并写出所有解的表达式，这个方程有多少组正整数解？
解：
3732
1
55
y y
x
--
==-+，所以
32
5
y-
是整数，当y=4时，x=1，
所以原方程的一组正整数解是x=1，y=4，所以方程的所有解是
13
45
x t
y t
=+
?
?
=+
?
，t是任意整
数，对于正整数解的条件式t>0，所以原方程有无穷多组正整数解。
8．由一个同学把他的生日的月份乘以31，再把出生的日期乘以12，然后加起来，把总数告诉你，你能准确推算出他的生日吗？如果小李告诉你的是170，小李的生日是哪一天？解：设出生的月份是x月，出生的日期是y日，
则31x+12y=170，(31，12)=1，1|170，所以该方程一定有整数解。
由
1701215515121512
5
313131
y y y
x
-+--
===+，所以
1512
31
y
-
是整数。
令k=1512
31
y
-
，则31k=15–12y，
153112336535
13
121212
k k k k
y k
-+-++
===-+，
所以35
12
k
+
是整数，令m=
35
12
k
+
，12m=3+5k，
这个方程的一组解是m=4，k=9，所以m=4–5t，k=9–12t，
代入到
35
13
12
k
y k
+
=-+得y=1–3×(9–12t)+(4–5t)=31t–22，x=5+(9–12t)=14–12t。
当t=1时，x=2，y=9。所以小李的生日是2月9日。
9．甲说：“我和乙、丙共有100元”，乙说：“如果甲的钱是现在的6倍，我的钱是现有的1
3
，
丙的钱不变，我们三人仍然有100元”，丙说：“我的钱连30元都不到”，问三人原来各有多少钱？
解：设甲、乙、丙三人原来各有x、y、z元，
则
100
1
6100
3
x y z
x y z
++=
?
?
?
++=
??
，（2）式乘以3得18x+y+3z=300 (3)
（3）式–（1）式得17x+2z=200，由于(17，2)=1，1|200，所以该方程一定有整数解，很明显当x=0，z=100是方程的一组整数解，
所以方程的所有解是
2
10017
x t
z t
=
?
?
=-
?
，其中t是整数。
根据题目的要求知x>0，0 20 01001730 t t > ? ? <-< ? ，解得 215 45 1717 t t > ? ? ? << ?? ， 由于t为整数，所以只有t=5这一个解，此时x=10，z=15，y=75。 答：甲、乙、丙三人原来分别有10、75、15元。 10．小赵买胶卷要付19元，但是小张身上的钱全是两元一张的，商店的钱全是五元一张的，问小赵怎样付钱，商店有如何找钱？ 解：设小赵付给商店x张2元的钱，商店找给小赵y张5元的钱， 则2x–5y=19，由于(2，5)=1，1|19，所以方程一定有整数解， 5y=2x–19， 219220112 4 555 x x x y --++ ===-， 因为y是整数，所以12 5 x + 是整数。 令k=12 5 x + ，所以5k=1+2x， 51411 2 222 k k k k x k -+-- ===+， 令t= 1 2 k- ，所以2t=k–1，k=2t+1， 代入到方程得x=2×(2t+1)+t=5t+2，y=(2t+1)–4=2t–3。由于y是正整数，所以t≥2，当t=2时，x=12，y=1。 答：小赵付给商店12张2元的钱，商店找给小赵1张5元的钱。 《江南民居》教案 教学目标： 1．学会用水墨画的作画技巧大胆构画江南民居并进行合理布局。 2．领略江南民居层叠、黑白相间、错落有致的建筑风格。 3．激发热爱家乡的情感。 教学重点与难点： 重点：了解江南民居的特点。 难点：用水墨画的形式表现江南民居的特点。 教学设计： 一、观看视频。 1、观看视频，感受江南民居之美。 （1）师：老师拍了很多房子的照片，你们想看吗？ 提出要求：请小朋友仔细地看一看，照片里的房子是什么样子的。 学生回答。（白墙、黑瓦、高高低低、屋顶） （2）引导学生观察房子间的遮挡现象。 师：学生们看一看，你能数出这里有几幢房子吗？ 提问：为什么会数不清楚呢？ 小结：许多的房子层层叠叠，互相遮挡，有的我们只能看见一部分，所以数不清。 总结：这些黑白相间、高高低低、层层叠叠、错落有致的房子有个好听的名字，叫江南民居，美丽极了。 二、新课导入。 同学们想不想也用水墨画的形式来表现江南民居的形象？今天老师要和同学们一起学习水墨画、探究水墨画的表现方法。 三、简单认识水墨画。 播放水墨画简介。 水墨画是中国画的一种。指纯用水墨所作的画。相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展。水墨画以笔法为主导，充分发挥墨法的功能。水墨画讲求“以形写神”，追求一种“妙在似与不似之间”的感觉，讲究笔墨神韵。 四、学习水墨画技法。 1、水墨画的用笔方法分为中锋、侧锋、逆锋。 中锋中锋执笔——笔杆垂直，笔尖正对墨线中间； 中锋用笔效果——所画线条浑圆挺拨、两边平滑。 侧锋侧锋执笔——笔杆倾斜，笔尖靠在墨线一边； 侧锋用笔效果——所画线条灵活多变、一平一毛。 逆锋逆锋执笔——笔杆倾斜，笔尖向外，笔杆在内存； 逆锋用笔效果——所画线条凝滞苍劲、两边毛糙。 2、教师讲解范画中的用笔情况。 五、学生作业。 1、教师：现在，老师想请你们当回小小设计师，把这些江南民居都规划在景区的这块空地内，摆一摆，让他们紧紧地靠在一起，层层叠叠、错落有致。 2、用水墨画的形式大胆的勾画你眼中的江南民居。 六、展示评价，领略江南民居之美。 教师：请已经完成的建筑师们把房子放到景区里来吧！我们一起来欣赏一下，说说你最喜欢哪些房子，为什么？ 重庆市高考数学一轮专题：第11讲函数与方程B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）已知函数f（x）=ln（x+1）+2x﹣m（m∈R）的一个零点附近的函数值的参考数据如表： x00.50.531250.56250.6250.751 f（x）﹣1.307﹣0.084﹣0.0090.0660.2150.512 1.099 由二分法，方程ln（x+1）+2x﹣m=0的近似解（精确度0.05）可能是（） A . 0.625 B . ﹣0.009 C . 0.5625 D . 0.066 2. （2分） (2019高二上·南宁月考) 设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f(x)- g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的解，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）． A . B . C . D . 3. （2分）函数的零点所在的区间是（） A . B . C . D . 4. （2分） (2018高二下·辽源月考) 若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有实根，则实数m的取值范围是（） A . [－2,2] B . [0,2] C . [－2,0] D . (－∞，－2)∪(2，＋∞) 5. （2分） x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（） A . 14 B . 7 C . 18 D . 13 6. （2分）设,用二分法求方程在内近似解的过程中得 则方程的根落在区间（） A . (1,1.25) B . (1.25,1.5) C . (1.5,2) D . 不能确定 7. （2分）关于用二分法求近似解的精确度的说法，正确的是（） A . 越大，零点的精确度越高 B . 越大，零点的精确度越低 函数与方程 一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒： 函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[] ,a b 上是连续不间断的，且f(a)?f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法： 定义：对于区间[] ,a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。 特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间[] ,a b ，验证：f(a)?f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[] ,a b 得中点1x ； 第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)?f （x 1）＜0，则令1b x =； 若f(x 1)?f （b ）＜0，则令1a x = 第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则 重复第二、三、四步。 （20-40分钟） 类型一求函数的零点 例1：求函数y ＝x －1的零点： 第11讲函数与方程 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使的实数x叫作函数y=f (x)(x∈D)的零点. (2)等价关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与有交点?函数y=f(x)有. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c∈(a,b),使得,这个也就是方程f(x)=0的根. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数 y= ax2+bx+ c(a>0) 的图像 与x轴的交 无交点 点 零点个数 常用结论 1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点. 2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点. 题组一常识题 1.[教材改编]函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数是. 2.[教材改编]如果函数f(x)=e x-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n= . 3.[教材改编]函数f(x)=x3-2x2+x的零点是. 4.[教材改编]若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是. 题组二常错题 ◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零). 5.函数f(x)=x+1 的零点个数是. x 6.函数f(x)=x2-3x的零点是. 7.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是. 8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是. 探究点一函数零点所在区间的判断 例1 (1)函数f(x)=e x-x-2在下列哪个区间上必有零点 () A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) x-5在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= . (2)已知函数f(x)=lg x+5 4 [总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断. 变式题[2018·南昌模拟]函数f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的区间为() x2 简单的不定方程 所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。解不定方程的方法是： （1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。 （2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。 （3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。 （4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。 例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。 做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？ 例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？ 做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？ 例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有3 1的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？ 做一做：一群猴子采摘水蜜桃。猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的5 1必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？ 例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？ 课题12、老房子课时2-2 总课时2 总第:1 日 期 第 周 教学目标1、认知目标：观察、寻访本地老房子，对各国、各民族、各地区老房子的建筑风格有所了解。 2、操作目标：用写生、记忆画或语言表述的形式描绘老房子。 3、情感目标：通过对周围老房子的写生或记忆画的练习，让学生感受家乡老房子别具风格的古朴美，从而增强学生的民族自豪感和荣誉感。 教学重点用写生、记忆画或语言表述的形式描绘老房子。 教学难点如何表现老房子历尽沧桑的陈旧感及别具风格的古朴美的体现。 教学准备教具：美术教科书学具：水彩图画本 预习要求准备好网络资源 教学过程二次修改、旁注 创设情境（1）出示东关街的历史图片，请学生说说自己所知 道的老房子的故事，你喜欢老房子吗? （2）同学们，你们去逛过东关街吧！你喜欢老房子吗？说说自己 所知道的老房子的故事。 （3）那里有哪些让你流连忘返，又有哪些景色让你深受感动，又 有哪些让你倍感自豪呢？ （4）里面有悠久的历史，有灿烂的文化，还有有趣的故事，漂亮 的装饰。 （5）除了这些以外，同学们一定也注意到了那里最为特色的老房 子吧。今天老师就带领大家一起走近老房子，感受历史、祖辈带给我们 的礼物。 美术教科书图片介绍：老房子的制成品是博物馆建筑复原模型、 古老的江南水乡民居、福建土楼、北方窑洞。讨论，说说老房子的特点。 （6）小组交流，组代表汇报。1 2 4 5 7 感受历史、祖辈带给我们的礼物。感受老房子的魅力，说说你喜欢老房子的什么？ 师小结：讨论，说说老房子的特点（选作、也可不做） （7）讨论：学生将收集的各种老房子资料进行分享、交流。结合各文字资料、图片讨论各国、各民族老房子有什么特点？引导欣赏一些老房子的写生作品，并针对作品提出相关问题。 你喜欢哪一幅写生作品，为什么？你喜欢哪种表现形式？能否学着用自己喜欢的形式表现作品？如果让你来画，你准备如何表现？ 师生评议，点拨。利用实物投影仪，根据一张老房子的现场照片，讲解绘画时取景与构图，并作相应的示范。 用水粉色调出，水彩笔画出来的老房子，搜索脑海、发挥想象，交通工具的形状、功能，画一幅作品。 用什么来做老房子的纪念品？ 用什么来做老房子的图画？ 应该鼓励学生正确用美化生活、创造美。 板书设计 12、老房子 学生作品：各地老房子的特点 生活中的设计：示范取景与构图 第八讲《函数与方程》 【学习目标】理解零点与方程实数解的关系，掌握函数的概念，性质，图像和方法的综合问题，熟悉导数与零点的结合，方程，不等式，数列与函数结合的问题。【基础知识回顾】： 1、 2.用二分法求方程近似解的一般步骤： 【基础知识自测】 1、已知不间断函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，且)()(b f a f ?<0，则方程0)(=x f 在区间??b a ,上 （ ） （A ） 至少有一实根 （ B ） 至多有一实根 （C ）没有实根 （ D ）必有唯一的实根 2、函数x x f x 2ln )(- =的零点所在的大致区间是（ ） （A ） （1，2） （ B ） （2，3） （ C ） （e,3） （ D ）(e,+∞) 4、若函数)(x f 的图像与函数)(x g 的图像有且只有一个交点，则必有（ ） （A ）、函数)(x f y =有且只有一个零点 （B ）、函数)(x g y =有且只有一个零点 C 、函数)()(x g x f y +=有且只有一个零点 D 、函数)()(x g x f y -=有且只有一个零点 5、已知y=x(x-1)(x+1)的图像如图所示，令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解得叙述正确的是 ① 有三个实根 ② 当x>1时，恰有一实根 ③当0 课时作业(十一) [第11讲 函数与方程] (时间：45分钟 分值：100分) 基础热身 1．[2013·安庆四校联考] 图K11－1是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点的区间是( ) 图K11－1 A ．[－2.1，－1] B ．[1.9，2.3] C ．[4.1，5] D ．[5，6.1] 2．[2012·唐山期末] 设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3) 3．若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1， 1.25) C ．(1.25，1.75) D ．(1.75，2) 4．已知函数f (x )＝? ????2x －1，x >0， －x 2－2x ，x ≤0，若函数 g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________． 能力提升 5．函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2，2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．无法确定 6．[2013·诸城月考] 设函数y ＝x 2 与y ＝? ?? ? ?12x －2 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在 的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 7．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2 －3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 8．[2011·陕西卷] 方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根 9．[2012·石家庄质检] 已知函数f (x )＝? ?? ??12x －sin x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．若方程2ax 2 －x －1＝0在(0，1)内恰有一解，则a 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝x 2 ＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 12．[2012·盐城二模] 若y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________． 13．[2013·扬州中学月考] 已知函数f (x )＝|x 2 －1| x －1－kx ＋2恰有两个零点，则k 的取 值范围是________． 14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点． 15．(13分)已知二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2. 函数与方程 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 掌握函数的零点和二分法的定义． 2、 会用二分法求函数零点的近似值。 一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒： 函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)?f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法： 定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数 ()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方 法，叫做二分法。 特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)?f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ； 第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)?f （x 1）＜0，则令1b x =； 若f(x 1)?f （b ）＜0，则令1a x = 第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。 五年级上美术教案江南民居_浙美版【一】教学目标： 1、通过图像和艺术作品的欣赏，感受江南民居的美 2、学会以水墨画的形式、个性、童趣地表现一幅江南民居图 3、在多元欣赏、个性选景及相关的创作活动中，发展独特的审美眼光，感受水墨艺术、江南民居建筑艺术之间交相辉映的美 【二】教学重难点： 1、重点：在欣赏画家笔下江南民居美的基础上，以水墨的形式表现一幅江南民居图 2、难点：引导学生自主选择江南民居的独特视角，加以个性、童趣的水墨表现 【三】教学课时：1课时 【四】课前准备：〔学生〕搜集各种江南民居图片，了解画江南民居的艺术家及其作品等。准备好水墨创作相关的绘画工具 〔教师〕课件及示范的笔墨工具 【五】教学设计： 1、寻找我眼中的江南民居印象，初步视觉认知 〔1〕打开画家吴冠中的水墨画，提问：猜一猜画中画的是什么？你是从哪里看出来的？从画面中，说说你对江南民居的印象 〔2〕寻找你对于〝江南民居〞感受最深的视觉关注点 〔3〕揭示课题：?江南民居? 2、欣赏吴冠中的水墨江南，提升视觉审美 让我们一起来欣赏画家吴冠中的?水乡周庄?，提问：江南水乡民居美在哪里？学生可以结合搜集的资料一起研讨，并推荐学生代表交流看法 3、探究多样化的表现形式，发展艺术个性 接着欣赏杨明义、戴启顺两位画家的作品：画家是如何来处理点、线、面和黑、白、灰的关系的？在学生回答的基础上，教师可联系例如图，结合现场局部示范方式加以提点，以引导学生个性表现 4、探寻独特化的创作视角，锤炼艺术创作 〔1〕引导学生观看江南民居风景照：图片中的江南民居表现内容有什么不同？哪些地方最有江南味？ 〔2〕在具体表现上，采用了哪些不同的水墨技巧表现风景中的江南味的？ 5、汲取同龄人的作品优点，获得迁移学习 寻找儿童水墨画中值得自己学习的地方，和同伴一起说一说 6、捕捉图片中的创作灵感，尝试水墨表现 〔1〕捕捉图片中富有江南味的独特景致，进行创作的构思 〔2〕创作一幅有江南特色的水墨作品 7、进行发现式的展示评价，升华学习感悟 从创作视角、水墨画面处理等方面，发现自己和同伴创作的成功之处 第二讲 函数与方程 A: 题型一 判断给定函数有无零点以及零点个数的确定 1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点： （1）f (x )=x 2-3x -18,x ∈［1，8］； （2）f (x )=x 3-x -1,x ∈［-1，2］； （3）f (x )=log 2(x +2)-x ,x ∈［1，3］. 解（1）方法一 因为f(1)=-20＜0,f(8)=22＞0， 所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)=x 2-3x-18，x ∈［1，8］存在零点. 方法二 令x 2-3x-18=0,解得x=-3或6, 所以函数f(x)=x 2-3x-18,x ∈［1，8］存在零点. （2）∵f （-1）=-1＜0,f(2)=5＞0, ∴f （x ）=x 3-x-1，x ∈［-1，2］存在零点. （3）∵f （1）=log 2（1+2）-1＞log 22-1=0. f(3)=log 2(3+2)-3＜log 28-3=0.∴f （1）·f （3）＜0 故f(x)=log 2(x+2)-x 在x ∈［1，3］上存在零点. 2.求下列函数的零点： (1)y =x 3-7x +6;(2)y =x +x 2-3. 解（1）∵x 3-7x+6=(x 3-x)-(6x-6) =x(x 2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1) =(x-1)(x 2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3) 解x 3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0 可得x 1=-3,x 2=1,x 3=2. ∴函数y=x 3-7x+6的零点为-3,1,2. (2)∵x+.) 2)(1(23322 x x x x x x x --=+-=- 解x+,032=-x 即x x x )2)(1(--=0,可得x=1或x=2. ∴函数y=x+x 2-3的零点为1，2. （3）32)(2+--=x x x f ；（4）1)(4-=x x f （5）322--=x x y （6）x x y 1 - =（7）72)(+=x x f （8）2223+--=x x x y （9）6423++-=x x x y 2.（1）求函数x x x x f 23)(23+-=的零点的个数； 答案1 （2）求函数x x x f 64)(3-=的零点的个数； （3）求函数x x x f 4 )(- =的零点的个数； （4）求方程02424=--x x 在区间[-1，3]内至少有几个实数解； （5）求函数123+--=x x x y 在[0，2]上的零点的个数； 江南民居 一、教学目标： 1、通过图像和艺术作品的欣赏，感受江南民居的美 2、学会以水墨画的形式、个性、童趣地表现一幅江南民居图 3、在多元欣赏、个性选景及相关的创作活动中，发展独特的审美眼光，感受水墨艺术、江南民居建筑艺术之间交相辉映的美 二、教学重难点： 1、重点：在欣赏画家笔下江南民居美的基础上，以水墨的形式表现一幅江南民居图 2、难点：引导学生自主选择江南民居的独特视角，加以个性、童趣的水墨表现 三、教学课时：1课时 四、课前准备：（学生）搜集各种江南民居图片，了解画江南民居的艺术家及其作品等。准备好水墨创作相关的绘画工具 （教师）课件及示范的笔墨工具 五、教学设计： 1、寻找我眼中的江南民居印象，初步视觉认知 （1）打开画家吴冠中的水墨画，提问：猜一猜画中画的是什么？你是从哪里看出来的？从画面中，说说你对江南民居的印象 （2）寻找你对于“江南民居”感受最深的视觉关注点 （3）揭示课题：《江南民居》 2、欣赏吴冠中的水墨江南，提升视觉审美 让我们一起来欣赏画家吴冠中的《水乡周庄》，提问：江南水乡民居美在哪里？学生可以结合搜集的资料一起研讨，并推荐学生代表交流看法 3、探究多样化的表现形式，发展艺术个性 接着欣赏杨明义、戴启顺两位画家的作品：画家是如何来处理点、线、面和黑、白、灰的关系的？在学生回答的基础上，教师可联系示例图，结合现场局部示范方式加以提点，以引导学生个性表现 4、探寻独特化的创作视角，锤炼艺术创作 （1）引导学生观看江南民居风景照：图片中的江南民居表现内容有什么不同？ 哪些地方最有江南味？ （2）在具体表现上，采用了哪些不同的水墨技巧表现风景中的江南味的？ 5、汲取同龄人的作品优点，获得迁移学习 寻找儿童水墨画中值得自己学习的地方，和同伴一起说一说 6、捕捉图片中的创作灵感，尝试水墨表现 （1）捕捉图片中富有江南味的独特景致，进行创作的构思 （2）创作一幅有江南特色的水墨作品 7、进行发现式的展示评价，升华学习感悟 从创作视角、水墨画面处理等方面，发现自己和同伴创作的成功之处 高三新数学第一轮复习教案（讲座6） 函数与方程 一．课标要求： 1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系； 2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 二．命题走向 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。 预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。 （1）题型可为选择、填空和解答； （2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。 三．要点精讲 1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点 概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点： １）△＞０，方程02 =++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点； ２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点； ３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。 零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0)()( 函数与方程 1、 掌握函数的零点和二分法的定义． 2、 会用二分法求函数零点的近似值。 一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒： 函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)?f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法： 定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。 特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)?f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ； 第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)?f （x 1）＜0，则令1b x =； 若f(x 1)?f （b ）＜0，则令1a x = 第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则 重复第二、 三、四步。 类型一求函数的零点 例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1 练习1：求函数y ＝x 3 －x 2 －4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2. 练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．7 2 C ．－72 D ．－7 答案：C 类型二 零点个数的判断 例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数 解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得 Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2 －7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个 练习1：二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) 第11讲函数的零点 [玩前必备] 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [玩转典例] 题型一求函数的零点 例1求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1. (3)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________ [玩转跟踪] 1.已知函数f (x )＝????? 2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( ) A.12，0 B ．－2,0 C.12 D ．0 2.求函数y ＝(ax －1)(x ＋2)的零点. 题型二 函数零点个数或所在区间的判断 例2 (1)设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) (2)函数f (x )＝????? ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1， x ≤0的零点个数是________． [玩转跟踪] 1.(1)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) (2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 题型三 参数范围问题 例3 (1)函数f (x )＝∣4x －x 2∣－a 的零点的个数为3，则a ＝ ． (2) 函数y ＝????12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________． 例4 已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围. 第8讲 函数与方程 1．函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)三个等价关系：方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． 2．函数零点的判定 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 3．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y ＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象 与x 轴 的交点 (x 1，0)，(x 2，0) (x 1，0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( ) (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)在b 2 －4ac <0时没有零点．( ) (4)若函数f (x )在(a ，b )上连续单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [教材衍化] 1．(必修1P92A 组T5改编)函数f (x )＝ln x －2 x 的零点所在的大致范围是( ) 江南民居建筑特色 江南民居往往与园林合二而一，凡宅必有园，是中国文化的一种生活模式和居住模式。江南民居建筑特点是黑瓦、白墙、砖石木构，干栏式建筑。江南水乡民居多傍河道而筑，故有旱街和水街。水街上的桥是连通两岸旱街的纽带，各式桥型亦是水街特有的景观。骑楼是江南传统民居常见的一种模式。它临河沿街，在河沿的廊柱间设有栏干可依的长条凳，形成一条给住户及路人遮风避雨、歇脚荫凉、人际沟通的水榭式街廊。过街楼在江南乡镇常见，借空间不碍交通，连通街两边楼房成一体。江南水乡居民背水临街，一般楼下临街处为前，面水处为后，前面楼下为店铺，楼上为住房。居民左右邻接以风火墙相隔断，留出适当距离作通道河渠交通用。临水居民宅院式房屋居多，宅院的高墙大门后有天井、楼房，宅院一般有两组、三组不等，内有厅堂、厢房、穿堂、天井、后院等。建筑装饰丰富，材料以木、砖、石为主。有花窗、隔扇、雕梁及砖雕等。门楼以砖雕为主，隔扇以木构为主，花窗有木构，也有砖瓦、砖雕结构等等。 总体概括江南民居普遍的平面布局方式和北方的四合院大致相同，只是一般布置紧凑，院落占地面积较小，以适应当地人口密度较高，要求少占农田的特点。住宅的大门多开在中轴线上，迎面正房为大厅，后面院内常建二层楼房。由四合房围成的小院子通称天井，仅作采光和排水用。因为屋顶内侧坡的雨水从四面流入天井，所以这种住宅布局俗称“四水归堂”。 建筑结构四水归堂式住宅的个体建筑以传统的“间”为基本单元，房屋开间多为奇数，一般三间或五间。每间面阔3～4米，进深五檩到九檩，每檩1～1.5米.各单体建筑之间以廊相连，和院墙一起，围成封闭式院落。不过为了利于通风，多在院墙上开漏窗，房屋也前后开窗。这类适应地形地势，充分利用空间，布置灵活，体型美观、合理使用材料的住宅，表现出清新活泼的面貌。 江南民居的结构多为穿斗式木构架，不用梁，而以柱直接承檩，外围砌较薄的空斗墙或编竹抹灰墙，墙面多粉刷白色。屋顶结构也比北方住宅为薄。墙底部常砌片石，室内地面也铺石板，以起到防潮的作用。厅堂内部随着使用目的的不同，用传统的罩、槅扇、屏门等自由分隔。梁架仅加少量精致的雕刻，涂栗、褐、灰等色，不施彩绘。房屋外部的木构部分用褐、黑、墨绿等颜色，与白墙、灰瓦相映，色调雅素明净，与周围自然环境结合起来，形成景色如画的水乡风貌。 形成原因1、南方气候的炎热潮湿特点对建筑的影响。如：居室墙壁高，开间大；前后门贯通，便于通风换气；为便于防潮，建二层楼房多，底层是砖结构,上层是木结构。 2、南方地形复杂，住宅院落很小，四周房屋连成一体,适合于南方的气候条件，房屋组合比 博途教育学科教师辅导讲义(一） 学员姓名: 年级：高一日期： 辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题第十讲：函数与方程 授课日期 1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 教学目标 2、理解函数的零点与方程的联系. 教学内容 函数与方程 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想 函数的思想和方法； ◆教学难点：函数零点存在的条件。 〖教学过程〗[来源:Z x x k.C o m] 一、函数的零点 探究一元二次方程与相应二次函数的关系。 出示表格，填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。 一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点 x2-2x-3=0 x1=-1，x2=3 y=x2-2x-3 （-1，0），（3，0） x2-2x+1=0 x1= x2=1 y=x2-2x+1 （1，0） x2-2x+3=0 无实数根y=x2-2x+3 无交点 （图1-1）函数y=x 2-2x-3的图像 （图1-2）函数y=x 2-2x+1的图像 （图1-3）函数y=x 2-2x+3的图像 归纳： 1.如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x 轴没有交点； 2.如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x 轴有交点。 反之，二次函数图像与x 轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与 x y － 3 2 1 1 2 －－ －－ . . . . . . . . . . x y － 3 2 1 1 2 5 4 3 y x － 2 1 1 2 . . . . . 第1讲 函数与方程思想 思想概述 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决． 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决． 方法一 运用函数相关概念的本质解题 在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质． 例1 若函数f (x )＝????? －x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B.????13，1 C.????13，1 D.??? ?0，13 思路分析 先求出f (x )＝a x 是减函数时a 的范围→满足－0＋3a ≥a 0时a 的范围→取交集 答案 B 解析 ∵函数f (x )是R 上的减函数， ∴????? 0 应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值f(0)，这是解题的一个易忽视点．究其原因，就是未把分段函数看成是一个函数，一个整体． 解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视． 方法二利用函数性质求解方程问题 函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．例2(1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则() A．a>2b B．a<2b C．a>b2D．a《江南民居》教案
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