第12讲 不定方程

第十二讲不定方程先看一个问题：老师和小王开了一个玩笑。

他对小王说，我左、右两个手心里各写了一个整数，它们的和是10，你能猜出左、右手心各写的是什么整数吗？小王满有信心地说：能行。

于是小王连续猜了三次。

第一次猜：左手心写的是9，右手心写的是1，老师说不对；第二次猜：左手心写的是5，右手心写的是5，老师说不对；第三次猜：左手心写的是7，右手心写的是3，老师说还是不对。

其实我们已经知道，这个问题的答案有许多个，不要说猜三次，就是再猜几次，可能还是没有恰好猜出来。

如果设左、右手心写的整数分别为x、y，那么可以列出方程x+y=10。

由于未知数的个数比方程的个数多，于是得到的解不是唯一的，即使再加一些附加条件，可能还是不容易得到合理的答案。

一般情况，我们把求这类方程整数解的问题叫做不定方程。

我们再考虑一个实际问题：在长为158米的地段铺设水管，用的是长度为17米和8米的两种同样粗细的水管，问两种水管各用多少根（不截断）正好铺足158米长的地段。

由于总长度是158米，那么17米长的水管至多用9根，可以假设17米长的水管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根，再看剩下的长度是否恰好是8的整数倍。

这个办法是将17米长的水管的各种可能性逐个列举，再看哪种情况合适，这种方法叫做“穷举法”。

当可取的情况很多时，这种方法当然不能令人满意，如果情况种类不太多，这种方法还是可行的。

如设17米长的水管用了x根，8米长的水管用了y根，可以列出方程17x+8y=158，（1）本题要求这个方程的整数解。

我们用下面的方法来求这个方程的整数解。

先将方程变形为：8y=158–17x，（2）8y=152+6–16x–x（3）由于152和16x都是8的倍数，因此6–x也应该是8的倍数，x只能取6才有可能，用6代入（2）中，可以解出y=7，所以17米长的水管用了6根，8米长的水管用了7根。

也可以由方程（2）两端同除以8得158178xy-=，（4）所以1526168x xy+--=（5）61928xy x -=-+（6）由于x、y均为整数，19–2x也是整数，故可知68x-也是整数，显然只有当x=6时，68x-为整数，此时68x-=0，y=19–2×6=7。

这种解法叫做整数离析法或整数分离法。

一．二元一次不定方程象上面讲到的17x+8y=158这种方程中，有两个未知数，每个未知数的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。

一般地，形如ax+by=c的方程中，其中a、b、c为整数，且a、b均不为零，称为未知数x、y的二元一次不定方程，人们关心的常是求二元一次不定方程的整数解或正整数解。

对于上述方程通常要考虑下面几个问题：1．a、b、c是什么样的整数时，方程有整数解或者无整数解；2．如果有整数解，将有多少整数解？是否有解的统一表示办法？3．如何求出所有的解。

我们曾用整数离析法求出了17x +8y =158的一组正整数解x =6，y =7。

是否还有其他的正整数解呢？以上三个问题全部解决，这个问题才算解答完毕。

下面我们将通过例题把一些主要结论介绍给大家。

如求二元一次不定方程3x +9y =23的整数解。

容易看到等号左端当x 、y 为整数时，能被3整除，但右边的23不能被3整除，故左右两端不可能相等，方程没有整数解。

一般地，当(a ，b )|c 时{(a ，b )表示的是a 与b 的最大公约数}，方程ax +by =c 无整数解。

理由是当x 、y 为整数时，左式是(a ，b )的倍数，但右端却不是(a ，b )的倍数，所有原方程无整数解。

再看二元一次不定方程6x +9y =21，由于(6，9)=3，而3|21，在这种情况下，方程有无整数解呢？在方程两端同除以(6，9)=3，得2x +3y =7，容易看出x =2，y =1就是这个方程的一个整数解。

由于知识的限制，现在我们所学的整数只有零和自然数。

在此范围内，方程可能只有一个或几个解，甚至于可能没有解，但如果数的范围加入了负数，那么只要(a ，b )|c ，方程就一定有解。

例如21x +18y =3，这个方程中，(a ，b )=(21，18)=3，方程可以变形为7x +6y =1，这个方程在零和自然数的范围内无整数解，在中学学习负数的概念后，还可以找到方程的整数解。

在本讲中我们只讨论用小学知识可以求解的题目，但给出的公式却具有一般性。

在ax +by =c 中，如果(a ，b )=c ，那么方程两端同除以(a ，b )后得a 1x +b 1y =c 1，如x =x 0，y =y 0是方程a 1x +b 1y =c 1的一组解，那么方程的所有解为0101x x b t y y a t =+⎧⎨=-⎩，其中t 可以取任意整数（包括负整数）。

这就是说，如果能求出一组解x =x 0，y =y 0，就可以直接写出方程a 1x +b 1y =c 1的所有解。

如求方程4x +3y =17的所有整数解。

由于(4，3)=1，1|17，故这个方程肯定有整数解。

容易看到x =2，y =3是方程的一个解，那么4x +3y =17的所有解是2334x t y t=+⎧⎨=-⎩，其中t可以取任意整数。

当t =0时的解即为x =2，y =3，但当t 为正整数时，x 为正整数，y 却不是正整数了。

例1．大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。

解：设需要大汽车x 辆，小汽车y 辆，可得方程54x +36y =378，由(54，36)=18，18|378，原方程可以化为3x +2y =21，且一定有整数解。

容易看到x =1，y =9就是3x +2y =21的整数解，那么3x +2y =21的所有整数解为1293x t y t =+⎧⎨=-⎩，t 为任意整数。

方程3x +2y =21除了t =0时，有整数解x =1，y =9之外，还有当t =1时，有整数解x =3，y =6；当t =2时，有整数解x =5，y =3；当t =3时，有整数解x =7，y =0；因此可以要大车1辆，小车9辆；或大车3辆，小车6辆；或大车5辆，小车3辆；或大车7辆，小车0辆都能使每个人都上车且各车都正好坐满。

当t ≥4时，由于y 不再是零和正整数，从而使解失去了实际意义。

例2．解不定方程31x +47y =265。

解：由于(31，47)=1，1|265，所以方程肯定有整数解，但要想看出一组整数解来却并不容易，我们又不想用x 依次取0、1、2、3、……去试求y 的值，看看y 什么时候会成为整数。

于是还是采用整数分离法来求这个方程的一组整数解。

将原方程变形为：31x =265–47y ，两边同除以31，得2654731y x -=， 248+17311631y y x --=，1716831y x y -=-+， 由于x ，y 都是整数，必有171631y -为整数。

设171631y k -=，所以31k =17–16y ，16y =17–31k ， 173116k y -=，16+132+16k k y -=， 11216k y k +=-+，由于y ，k 都是整数，所以116k +必为整数， 设t =116k +，k =16t –1，将k =16t –1代入到11216k y k +=-+中， 得y =1–2(16t –1)+t ，即y =3–31t ，再代入到1716831y x y -=-+中 得x =8–(3–31t )+(16t –1)，得x =47t +4，即原方程的解是447331x t y t =+⎧⎨=-⎩，其中t 为任意整数。

从上式可以看出当t =0时，x =4，y =3是原方程的一组正整数解。

且只有这一组正整数解。

例3．解不定方程5x +7y =978，并求正整数解的个数。

解：由于(5，7)=1，且1|978，所以原方程一定有整数解。

由5x =978–7y 得97875y x -=，975+3525y y x --=，321955y x y -=-+， 令325y k -=，所以5k =3–2y ，2y =3–5k ，3521422k k k y -+--==，1122k y k -=-+， 令12k t -=，于是k =1–2t ，把k =1–2t 代入到1122k y k -=-+中，得y =1–2×(1–2t )+t ， 即y =5t –1，把y =5t –1和k =1–2t 代入到321955y x y -=-+中，得x =195–(5t –1)+(1–2t )， 即x =197–7t 。

所以原方程的解是197751x t y t =-⎧⎨=-⎩，t 为任意整数。

要求原方程的正整数解的个数，应满足19770510t t ->⎧⎨->⎩，解得197715t t ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩， 即111857t <<，满足这个条件的整数t 有1、2、3、……、28，一共有28个。

所以原方程有28组正整数解。

二．三元一次不定方程组先从一个古代问题谈起。

“一百匹马驮一百块瓦。

大马驮三片，中马驮两片，两匹小马驮一片，最后不剩马和瓦，问有多少大马、中马和小马？”解：设大马、中马、小马分别有x 、y 、z ，列出的方程是x +y +z =100（1）和3x +2y +12z =100（2）. 由（1）和（2）组成的三元一次方程组比起二元一次方程多了一个方程，多了一个未知数，设法消去一个未知数化为二元一次方程，求解后再求出消去的第三个未知数的值。

由（2）得6x +4y +z =200 (3)（3）–（1）得5x +3y =100，由(5，3)=1，1|100，所以此方程一定有整数解。

由3y =100–5x 得 10055(20)33x x y --==，因为y 是整数，所以3|(20–x )， 当x 依次取2、5、8、11、14、17、20时，y 依次取得30、25、20、15、10、5、0。

把它们代入（1）依次得z =68、70、72、74、76、78、80。

即原方程组有七组解23068x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，52570x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，82072x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，111574x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，141076x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，17578x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，20080x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩。

不过y =0说明不用中马，作为求正整数解可以不考虑。

例4．如果1只兔可以换2只鸡，2只兔可以换3只鸭，5只兔可以换7只鹅，某人用20只兔换了鸡、鸭、鹅共30只，问其中鸡、鸭、鹅各多少只？解：设鸡、鸭、鹅的数目分别是x 、y 、z ， 则3012520237x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 12（）（） 方程（2）可以化为21z +28y +30z =840 （3）方程（1）化为 21x +21y +21z =630 （4）（3）–（4）得 7y +9z =210 （5）由（5）得 210993077z z y -==-，由于y 是整数，所以z 一定是7的倍数， 当z 分别是7、14、21时，y 依次得21、12、3，代入到（1）中解得x 依次为2、4、6。