集合与命题练习
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（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a ，b 满足的关系式； （2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a ，b 的值.
20. 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足
B C ⊆，求实数a 的取值范围．
附加题：
1.(13分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪
⎪
x －2
x －
3a ＋1
<0
，B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x －a 2
－2x －a <0
. (1)当a ＝1
2
时，求(∁U B )∩A ；
(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．
2．(14分)p ：函数f (x )＝x 2
－2mx ＋4在[2，＋∞)上单调递增；
q ：关于x 的不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为
1．[解答] (1)当a ＝1
2
时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪
x －2x －52
<0＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪ 2 ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪ x －94x －12 <0 ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬ ⎫ 12 ∴(∁U B )∩A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪ ⎪⎪ x ≤12或x ≥ 9 4∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪ ⎪⎪ 2 5 2＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬ ⎫ 94 ≤x <52. (2)若q 是p 的必要条件， 即p ⇒q ，可知A ⊆B ， 由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a ＋2}， 当3a ＋1>2，即a >1 3 时，A ＝{x |2 则⎩ ⎪⎨⎪⎧ a ≤2，a 2 ＋2≥3a ＋1，解得13 2 ； 当3a ＋1＝2，即a ＝1 3时，A ＝∅，符合题意； 当3a ＋1<2，即a <1 3时，A ＝{x |3a ＋1 则⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ a ≤3a ＋1，a 2 ＋2≥2， 解得－12≤a <1 3 . 综上，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －12 ，3－52. 2．[解答] 函数f (x )＝x 2 －2mx ＋4图象的对称轴为x ＝m ， 故p 为真命题⇔m ≤2， q 为真命题⇔Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0⇔1 综上所述，m 的取值范围为{m |m ≤1或2 3．[解答] 依题意，有⎩ ⎪⎨⎪⎧ a x －2＋1>0， x －12 >a x －2＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >2－1a ，x －a x －2>0. ①若1＜a ＜2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x >2－1a ， x >2或x 而a －⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2－1a ＝a ＋1a －2＞0，即a ＞2－1a ， ∴x ＞2或2－1 a ＜x ＜a . 教案审核：