专题讲义01 集合的解题技巧-命题热点

【解析】要使 fA(x)·fB(x)＝－1，必有 x∈{x|x∈A 且 x∉B}∪{x|x∈B 且 x∉A}＝{1,6,10,12}，所以 A△B＝
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{1,6,10,12}． 【点评】本题主要考查了集合的元素、集合的并集，集合描述法的理解，属于中档题. （八）任意、存在问题中的最值问题.
练习 1．【华东师范大学附中 2019 届高三数学试卷】已知集合 M=
，集合 M 的所有非空子集
依次记为：M1，M2，...,M15，设 m1，m2，...，m15 分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中
只有一个元素，乘积即为该元素本身，则 m1+m2+...+m15=_____
【答案】
（2）问题转化为集合 N 集合 M，得到不等式，解出即可．
【解析】
，
（Ⅰ）依题意，
∴
或
∴
或
（Ⅱ）依题意，
即
∴
∴
【点评】本题考查了元素和集合的关系，集合和集合的关系，考查充分必要条件，是一道基础题．
练习 3．已知集合
，
，其中 .
（1）当 时，求集合 ，
；
（2）若
，求实数 的取值范围.
【答案】 【分析】（1）先求集合 B,再根据交集、并集以及补集得定义求结果，（2）先根据条件化为集合关系，再结 合数轴求实数 的取值范围.
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【点评】防范空集.在解决有关 以防漏解. （九）集合的运算问题
等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑 是否成立，
例 9. 【上海市 2018-2019 学年 期中考试】设数集 由实数构成，且满 足：若 （ 且 ），则
.
（1）若 ，试证明 中还有另外两个元素；
（2）集合 是否为双元素集合，并说明理由；
情况．
练习 1.已知集合
，
．
（1）若 ，求 ;
（2）若
，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点 （七）新定义问题 例 7．【清华附属中 2018-2019 学年试题】集合 A，B 的并集 A∪B＝｛1，2｝，当且仅当 A≠B 时，（A，B）
②当 ∴
时，原不等式等价于 ．
，解得
.，综上可得原不等式的解集为
（2）由题意得函数 在区间
∴
，
∴
，∴
∵
，∴ ，
上单调递减， ．
得， ，
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∴
，解得
，∴实数 的取值范围是
．Байду номын сангаас
【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将 问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含
(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用 “ ”或“”来表示．
(5)常用的数集：自然数集 N；正整数集 N*(或 N＋)；整数集 Z；有理数集 Q；实数集 R. 2．集合之间的关系 (1)一般地，对于两个集合 A，B.如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说这两个集合有包
关系的含义．
练习 1.设集合
，
，
若 ，求实数 a 的取值范围；
若
，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由题意得
，
，根据 可得
，从而可解出 的取值范围；（2）
先求出 【解析】由题意得
，根据
可得到
，解出 的取值范围即可． ，
； （1）∵ ，
∴
，解得 ，
又 ，∴
，∴实数 的取值范围为 ．
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与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________. 【答案】8 【分析】根据条件列举，即得结果. 【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A= ，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝； A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝ ；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝ ｛2｝；共 8 个. 【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.
例 5. 【九江市 2019 届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式
的解集 A；
（2）若
的值域为 B,A B=B 求实数 的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式 的解集 A；（2）根据函数的单调性求出值域 B，由
转化为不式等组求解，可得所求范围．
【解析】（1）①当 时，原不等式成立．
,则图中的阴影部分表示的集合是（ ）
，集合
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】图中阴影部分表示的集合为 ，所以先求出集合 A,B 后可得结论．
【解析】由题意得
，
所以
，
即图中阴影部分表示的集合为
．
故选 C．
【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算，解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以
及所给集合中元素的特征，属于基础题．
号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的
图像性质或参变分离求参数的取值范围．
练习 2．已知集合
，集合
.
（Ⅰ）若 是
的充分不必要条件，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若
是
的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
或
;（Ⅱ）
【分析】（1）先求出 M、N、CRN，结合条件，得到不等式，解出即可；
=1，求出 x 的值，从而求出集合 A．
【解析】（1）证明：若 x∈A，则
又∵2∈A，∴
∵-1∈A，∴
∴A 中另外两个元素为 ， ；
例 8. 【 辽 宁 省 实 验 中 学 2018-2019 学 年 试 题 】 已 知 函 数
的定义域为 ，函数
的值域为 ， （1）求集合 、 ，并求 ；
（2）若 ＝
，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）A＝
，B＝
， ＝ （2）
【分析】⑴利用被开方数非负性，求出 ，利用指数函数的单调性求出 ，再求 、 的交集即可
(3)补集：∁UA＝
．
4．集合的运算性质
(1)A∩B＝A⇔A⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；
(2)A∪B＝A⇔A⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝A；
(3)A⊆B，B⊆C，则 A⊆C；
【点评】：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件.
练 习 2 ．【 江 西 省 九 江 市 2019 届 高 三 第 一 次 联 考 】 已 知 集 合
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含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B ；若 A⊆B，且 A≠B，则 A B ，我们就说 A 是 B 的真子
集．
(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作 ，它是任何集合的子集，即∅⊆A．
3．集合的基本运算 (1)并集：A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}； (2)交集：A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B}；
，故
对任意的
恒成立，参变分离后可得实数 的取值范围．
【解析】（1）由
得
，故
，所以
．
（2）由题知，当 时，
恒成立，
即：当
时，
恒成立．
在区间 上的值域为
，
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所以
，即实数 m 的取值范围是
．
【点评】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符
利用分类讨论思想，可求出 的范围.
【解析】联立
即
，
是单元素集， 分两种情况考虑:
，方程有两个相等的实数根，即 ，可得
,解得
，方程
只有一个根，符合题意，综上, 的范围为
故答案为
.
【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学
知识解答问题的能力，属于中档题.
对于两个集合 A，B，定义集合 A△B＝{x|fA(x)·fB(x)＝－
1}．已知 A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合 A△B 的结果为( )
A． {1,6,10,12} B． {2,4,8}
C． {2,8,10,12} D． {12,46}
【答案】A
【分析】根据 fA(x)·fB(x)＝－1，必有 x∈{x|x∈A 且 x∉B}∪{x|x∈B 且 x∉A}，即可求解.
故选 C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的灵 活运用．
练习 1.【华东师范大学附中 2018-2019 学年试题】集合 元素只有 1 个，则 的取值范围是__________.
，的
【答案】 【分析】由
中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；
⑵若
，且 ，即可得到
，解出即可求得答案
【解析】（1） A＝
＝
则
∴
（2）
，且
，解得
【点评】本题主要考查了集合运算，结合题意得到关于实数 的不等式，然后求解，较为基础。
练习 1.已知集合
，
.
（1）求 ；
（2）若
，求实数 m 的取值范围．
【答案】(1)