第1章单元测试卷集合与命题解析版(2021届高三数学一轮复习考点突破课时作业)

单元测试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.(2019·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝()A.{－1，0，1}B.{0，1}C.{－1，1}D.{0，1，2}解：易知B＝{x|－1≤x≤1}，又A＝{－1，0，1，2}，所以A∩B＝{－1，0，1}．故选A.2.(2019·合肥质检二)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则p为()A.∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解B.∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解C.∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解D.∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解解：由全称命题的否定为特称命题知，p为“∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解”.故选C.3.(宜宾市2019届高三第三次诊断性考试)设a，b是空间两条直线，则“a，b不平行”是“a，b是异面直线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由a，b是异面直线⇒a，b不平行．反之，若直线a，b不平行，也可能相交，不一定是异面直线．所以“a，b不平行”是“a，b是异面直线”的必要不充分条件．故选B.4.(2019·安徽百所重点高中模拟)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2∈A}，则集合A∩B 的子集的个数为()A.1B.2C.3D.4解：由题意知B＝{±1，±2，±2}，则A∩B＝{1，2}，故A∩B的子集的个数为4.故选D.10105.(2018·长沙调考)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，则∁(A ∪B )(A ∩B )等于( )A.(－∞，0)B.⎝⎛⎦⎤－12，1 C.(－∞，0)∪⎣⎡⎦⎤12，1 D.⎝⎛⎦⎤－12，0 解：因为集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}＝{x |1－2x ＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜12，B ＝{x |x 2≤x }＝{x |0≤x ≤1}，所以A ∪B ＝{x |x ≤1}，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ＜12，所以∁(A ∪B )(A ∩B )＝(－∞，0)∪⎣⎡⎦⎤12，1.故选C. 6.(2019·湖南八市联考)已知数列{a n }是等差数列，m ，p ，q 为正整数，则“p ＋q ＝2m ”是“a p ＋a q ＝2a m ”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：在等差数列中，对于正整数m ，p ，q ，若p ＋q ＝2m ，则a p ＋a q ＝2a m ；但对于公差为0的等差数列，由a p ＋a q ＝2a m ，不一定能推出p ＋q ＝2m ，所以“p ＋q ＝2m ”是“a p ＋a q ＝2a m ”的充分不必要条件．故选A.7.给出以下四个命题：①若2≤x <3，则(x －2)(x －3)≤0；②已知x ，y ∈R ，若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0；③若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2；④若x ，y 都是偶数或x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数.则下列判断正确的是 ( )A.①的否命题为真B.②的逆命题为假C.③的否命题为真D.④的逆否命题为假解：因为①的否命题“若x <2或x ≥3，则(x －2)(x －3)>0”不成立，所以选项A 错误；因为②的逆命题“已知x ，y ∈R ，若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”成立，所以选项B 错误；因为③的否命题“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”成立，所以选项C 正确；因为④的原命题为真，所以它的逆否命题“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数且x ，y 不都是奇数”必为真，故选项D 错误．综上可知，只有选项C 正确．故选C.108.已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( )A.[－1，2)B.[－1，3]C.[2，＋∞)D.[－1，＋∞)解：由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，得－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2；②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m <2.综上，得m ≥－1.故选D.9.(2019·安徽六校联考)下列说法错误的是( )A.“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”的逆否命题是“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”B.“x >3”是“x 2－5x ＋6>0”的充分不必要条件C.“∀x ∈R ，x 2－5x ＋6≠0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－5x 0＋6＝0” D.命题“在锐角△ABC 中，sin A <cos B ”为真命题解：由逆否命题的定义知A 正确；由x 2－5x ＋6>0得x >3或x <2，所以“x >3”是“x 2－5x ＋6>0”的充分不必要条件，所以B 正确；因为全称命题的否定是特称命题，易知C 正确；在锐角△ABC 中，由A ＋B >π2，即A ＞π2－B ，得sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，所以D 错误．故选D.10.(广东省佛山市禅城区2020届高三上学期统一测试)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0，命题q ：x 3＞8是|x |＞2的充要条件，下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.( p )∨qC.p ∧(q )D.( p )∧(q )解：由x ＞0，得x ＋1＞1，可得ln(x ＋1)＞0，故命题p 为真命题；10由x 3＞8，得x ＞2，可推出|x |＞2，充分性满足，但当|x |＞2时，如x ＝－3，不能推出x 3＞8，不满足必要性，故命题q 是假命题．由复合命题的真假判断得p ∧(q )为真命题．故选C.11.已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－12B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.[－1，2] D.⎝⎛⎦⎤－2，12∪[2，＋∞) 解：条件p ：4x －1≤－1⇔x ＋3x －1≤0，即－3≤x <1； 条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，即(x ＋a )[x ＋(1－a )]＜0.①当－a ＞－(1－a )，即a ＜12时，条件q ：a －1＜x ＜－a ， 根据p 为q 的一个必要不充分条件，可得(a －1，－a ) [－3，1)则有⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，－a ≤1，a ＜12，解得－1≤a ＜12. ②当－a ＜－(1－a )，即a ＞12时，条件q ：－a ＜x ＜－(1－a )， 由题意得(－a ，a －1) [－3，1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－3，a －1≤1，a ＞12，解得12＜a ≤2. ③当－a ＝－(1－a )时，即a ＝12，条件q ：x ∈∅，显然满足p 为q 的一个必要不充分条件．综上所述，a 的取值范围为[－1，2]．故选C.12.(2018·东北三校联考)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}.若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是 ( )10A.⎝⎛⎭⎫0，34B.⎣⎡⎭⎫34，43 C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D.(1，＋∞) 解：A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1中f (x )＝0的两根之积为－1，而f (－1)＝2a >0，f (0)＝－1<0，故其负根在(－1，0)之间，不合题意，故仅考虑其正根x 2，必满足2≤x 2<3，即要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，解得34≤a ＜43.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.(2020届山东实验中学一诊)由“我和我的祖国”中的各汉字组成集合A ，则A 的真子集的个数为________.解：A 含5个元素，故A 的真子集有25－1＝31个．故填31.14.若命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 解：命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.故填[－3，3]．15.f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对∀x 1∈[1，4]，x 2∈[1，4]，有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________.解：f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1，4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)．故填(－∞，0)．16.设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________.解：由题设知f (x )＝0，a ＝b ，则2a x ＝c x ，即⎝⎛⎭⎫a c x＝12.又a ＋b ≤c ，a ＝b ，所以a c ≤12，从而⎝⎛⎭⎫a c x ≤⎝⎛⎭⎫12x ，x >0，所以12≤⎝⎛⎭⎫12x，解得0<x ≤1.故所求取值集合为{x |0<x ≤1}．故填{x |0<x ≤1}．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(10分)已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}.(1)当a ＝3时，求A ∩B ，A ∪(∁R B )；10(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.解：(1)当a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}＝{x |x ≤1或x ≥4}，∁R B ＝{x |1<x <4}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1或4≤x ≤5}，A ∪(∁RB )＝{x |－1≤x ≤5}．(2)①当A ＝∅时，显然A ∩B ＝∅，2－a ＞2＋a ，解得a ＜0；②当A ≠∅时，若A ∩B ＝∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤2＋a ，2－a ＞1，2＋a ＜4，解得0≤a ＜1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．18.(12分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2， B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围.解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以716≤y ≤2. 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以B ＝{x |x ≥1－m 2}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.1019.(12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }.(1)若A ∩B ＝[1，3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围.解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[1，3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3， 得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}，因为A ⊆∁R B ，所以m －2＞3或m ＋2＜－1，解得m ＞5或m ＜－3.所以实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．20.(12分)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：在定义域D 内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立.(1)函数f (x )＝1x是否属于集合M ？说明理由； (2)若函数f (x )＝kx ＋b 属于集合M ，求实数k 和b 的取值范围.解：(1)假设f (x )＝1x属于集合M . 若f (x )＝1x，根据题意得D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则存在非零实数x 0，使得1x 0＋1＝1x 0＋1， 即x 20＋x 0＋1＝0，因为Δ<0，此方程无实数解，所以函数f (x )＝1x∉M . (2)D ＝R ，存在实数x 0，使得k (x 0＋1)＋b ＝kx 0＋b ＋k ＋b ，解得b ＝0，所以实数k 和b 的取值范围是k ∈R ，b ＝0.21.(12分)(2019·安徽滁州联合质量检测)已知p ：∃x ∈(0，＋∞)，x 2－2e ln x ≤m ，q ：函数y ＝x 2－2mx ＋1有两个零点.10(1)若“p ∨q ”为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围.解：对于p ，设f (x )＝x 2－2e ln x ，则f ′(x )＝2x －2e x ＝2x 2－2e x，令f ′(x )＝0，解得x ＝e ，则函数f (x )＝x 2－2e ln x 在(0，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，故f (x )min ＝f (e )＝0.若p 为真，则m ≥f (x )min ，即m ≥0.若q 为真，则Δ＝4m 2－4>0，即m >1或m <－1.(1)若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－1≤m ≤1， 即－1≤m ＜0. 故实数m 的取值范围为[－1，0)．(2)若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则实数m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－1≤m ≤1， 即0≤m ≤1； ②若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＞1或m ＜－1，即m <－1. 所以实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪[0，1]．22.(12分)(2019·山西联考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，求m 的取值范围.解：当满足条件①时，由g (x )＝2x －2＜0，得x ＜1，要使∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＜0恒成立．当m ＝0时，f (x )＝0不满足条件①，所以f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数，抛物线必须开口向下，即m <0.要满足条件①，必须使方程f (x )＝0的两实根2m ，－m －3都小于1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＜1，－m －3＜1，解得m ∈(－4，0)．当满足条件②时，因为x ∈(－∞，－4)时，g (x )＜0，所以要使∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0，只要∃x 0∈(－∞，－4)，使f (x 0)＞0即可，只要使－4比2m，－m－3中较小的一个大即可．当m∈(－1，0)时，2m＞－m－3，只要－4＞－m－3即可．解得m＞1，与m∈(－1，0)的交集为空集，不符合；当m＝－1时，两根均为－2，－2＞－4，不符合；当m∈(－4，－1)时，2m＜－m－3，所以只要－4＞2m即可，所以m∈(－4，－2)，综上知，m的取值范围为{m|－4＜m＜－210。