龙贝格算法
龙贝格算法
第1章 龙贝格算法研究问题阐述计算二重积分⎰⎰=b adcdxdy y x f I ),(------------------------------------(1-1)对工科生要求计算如下3个二重积分：算例1：1110()1I x y dxdy =+=⎰⎰算例2：/2200()I x y dxdy πππ=+=⎰⎰-----------------------(1-2)算例3： 1130sin()x y I dxdy x y+=+⎰⎰通常将积分区间等分数依次取2k ，并得到相应的递推式子如（2-5）所示，相应对到过程不再累述详情可以参考教材。
1112221[()()],21[(21)]222k k k k k i b a T f a f b b a b a T T f a i --=-⎧=+⎪⎪⎨--⎪=++-⎪⎩∑----------------------------(2-5) 最终得到计算机计算步骤如下：(1)计算初值T1； (2)K 1；(3)计算新的T2，一直迭代计算2kT ;(4)精度控制：如果122||kk T T ε--<，则停止计算，并将2k T 作为积分的近似数值，否则循环将不停止。
对第四点，通常可以加入一个循环最高次数，防止程序陷入死循环。
function f=fxy(x,y,w) if w==1f=x+y; %函数1elseif w==2f=sin(abs(x-y)); %函数2elseif w==3f=sin(x+y)/(x+y); %函数3if x+y==0f=1;end;end;function gy=gy(y,a,b,w,error)k=1;lock=0;count=0;T1=(b-a)*(fxy(a,y,w)+fxy(b,y,w))/2;while lock==0&&count<100 %限定最多迭代20次T2=T2kx(y,T1,a,b,k,w);if abs(T2-T1)<errorgy=T2;lock=1;elseT1=T2;count=count+1;k=k+1;end;end% count%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 龙贝格算法%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 作者：XXXX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 时间：2012/4/16 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%clear all; clc;%% 详情见报告Romberg公式介绍部分clear all;clc;which=1; %表示计算的函数f1,f2,f3%积分区间a=0;if which==1||which==3b1=1;b2=1; %函数1和2的区间elseb1=pi;b2=pi/2; %函数2的区间end%% 计算主程序k=1;lock=0;count=0; %辅助量error=0.0001; %计算精度% gy=gy(y,a,b,w,error)T1=(b2-a)*(gy(a,a,b1,which,error)+gy(b2,a,b1,which,error))/2; while lock==0&&count<100 %限定最多迭代20次T2=T2ky(T1,a,b1,b2,k,which,error);if abs(T2-T1)<errorI=T2;lock=1;elseT1=T2;function T2kx=T2kx(y,T2kx_1,a,b,k,w)temp1=0;for i=1:2^(k-1)temp1=temp1+fxy(a+(2*i-1)*(b-a)/2^k,y,w);endT2kx=0.5*T2kx_1+temp1*(b-a)/2^k;function T2ky=T2ky(T2ky_1,a,b1,b2,k,w,error)temp1=0;for i=1:2^(k-1)temp1=temp1+gy(a+(2*i-1)*(b2-a)/2^k,a,b1,w,error);endT2ky=0.5*T2ky_1+temp1*(b2-a)/2^k;。
龙贝格积分算法实验[1]
![龙贝格积分算法实验[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/1c3c3ec18bd63186bcebbcf8.png)
且 （ 为等份次数）
2．按梯形公式的递推关系，计算
3．按龙贝格公式计算加速值
4．精度控制。对给定的精度 ，若
则终止计算，并取 作为所求结果；否则 ，重复2~4步，直到满足精度为止。
问题
（1）程序运行如下：
I = Romberginterg(inline('x.^2.*exp(x)'),0,1,25,1e-6)
function I = GaussInterg(fun, type, a, b, tol)
% GaussInterg用Gauss型求积公式求积分,具体形式由使用者选取
%
% Synopsis: I = GaussInterg(fun, type, a, b)
% I = GaussInterg(fun, type, a, b, tol)
if nargin < 4
npanel = 25;
end
if nargin < 5
tol = 5e-9;
end
if nargin < 6
flag = 0;
end
T(1,1) = TrapezoidInteg(fun, a, b, npanel); %T0(h) = T(h)
err = 1; %初始化误差值
if nargin < 4
npanel = 25;
end
nnode = npanel + 1; %节点数=段数+ 1
h = (b-a)/(nnode-1); %步长
x = a:h:b; %将积分区间分段
f = feval(fun,x);%求节点处被积函数的值
I = h * ( 0.5*f(1) + sum(f(2:nnode-1)) + 0.5*f(nnode) );
龙贝格观测器离散算法
龙贝格观测器离散算法
龙贝格观测器是一种用于估计系统状态的观测器，常用于系统控制和滤波问题中。
它基于离散时间的模型，通过对系统输入输出信号进行观测和处理，得到对系统状态的估计。
龙贝格观测器的离散算法可以描述为以下步骤：
1. 定义系统模型：首先需要确定系统的离散状态空间模型，包括状态方程和输出方程。
状态方程用于描述系统状态的更新，输出方程用于描述系统输出信号和状态之间的关系。
2. 初始化观测器状态：将观测器的状态初始化为系统初值的估计值。
3. 观测器更新：根据观测器的状态和系统的输入信号，使用状态方程对观测器的状态进行更新。
观测器状态的更新可以通过状态方程的离散形式来实现。
4. 估计输出：根据观测器的状态和系统的输入信号，使用输出方程计算观测器的输出信号的估计值。
输出方程的计算可以通过观测器的状态和输入信号进行线性组合得到。
5. 更新观测器状态估计值：将观测器的状态估计值更新为观测器的状态和系统输出信号的估计值之间的误差。
6. 重复步骤3至5，直到达到预设的停止条件。
通过不断重复上述步骤，龙贝格观测器可以逐步优化状态估计值，使其接近真实的系统状态。
同时，龙贝格观测器还可以根据系统的输出进行校正，提高状态估计的准确性。
需要注意的是，龙贝格观测器的性能与状态方程和输出方程的准确性密切相关，对于有较大噪声或不确定性的系统，需要在模型中考虑噪声或不确定性，以提高观测器的鲁棒性。
同时，也需要根据具体应用场景对观测器的采样周期和参数进行选择和调整。
4.4龙贝格求积公式
4 1 T1 ( k − 1) = T0 ( k ) − T0 ( k − 1) 3 3 16 1 T2 ( k − 1) = T1 ( k ) − T1 ( k − 1) 15 15 64 1 T3 ( k − 1) = T2 ( k ) − T2 ( k − 1) 63 63
k = 1 ,2 ,L
因此有如下递推公式 b−a [ f ( a ) + f (b )] T0 (0) = 2
1 T0 (k ) = T0 (k − 1) + hk 2
2 k −1 −1 j =0
∑ f (a + (2 j + 1)h )
k
k = 1, 2 ,L
上式称为递推的梯形公式
思考
递推梯形公式加上一个控制精度,即 可成为自动选取步长的复合梯形公式
带权）正交。 不大于n 不大于 的多项式 P(x) （带权）正交。
k =0
n
x 证明： 证明： “⇒”0 … xn 为 Gauss 点, 则公式 ∫a ρ( x) f ( x)dx ≈ ∑Ak f ( xk ) k=0 次代数精度。 至少有 2n+1 次代数精度。 对任意次数不大于 的多项式 不大于n 对任意次数不大于 ⇔ 求w(x) Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数 ， 的次数 求 Gauss 点 不大于2n+1，则代入公式应精确成立： 精确成立： 不大于 ，则代入公式应精确成立 n 0 b ∫ ρ ( x ) Pm ( x ) w ( x )dx = ∑ Ak Pm ( x k ) w ( x k ) = 0
外推加速公式
由复合梯形公式的余项公式
I − T2 n 1 ≈ I − Tn 4 1 I − T2 n ≈ (T2 n − Tn ) 3 4 1 I ≈ T2 n − Tn 3 3 1 f ( x 1 )) − Tn j+ 3 2
龙贝格算法
龙贝格积分1. 算法原理采用复化求积公式计算时，为使截断误差不超过ε，需要估计被积函数高阶导数的最大值，从而确定把积分区间[]b a ,分成等长子区间的个数n 。
首先在整个区间[]b a ,上应用梯形公式，算出积分近似值T1；然后将[]b a ,分半，对 应用复化梯形公式算出T2；再将每个小区间分半，一般地，每次总是在前一次的基础上再将小区间分半，然后利用递推公式进行计算，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。
实际计算中，常用ε≤-n n T T 2作为判别计算终止的条件。
若满足，则取n T f I 2][≈；否则将区间再分半进行计算，知道满足精度要求为止。
又经过推导可知，∑=-++=ni i i n n x x f h T T 112)2(221，在实际计算中，取kn 2=，则k a b h 2-=，112)1*2(2++--+=+k i i ab i a x x 。
所以，上式可以写为∑=++--+-+=+kk i k k ab i a f a b T T 211122)2)12((2211k开始计算时，取())()(21b f a f ab T +-=龙贝格算法是由递推算法得来的。
由梯形公式得出辛普森公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式。
根据梯形法的误差公式，积分值n T 的截断误差大致与2h 成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一，即有21114n n T T -≈-将上式移项整理，知2211()3n n n T T T -≈-由此可见，只要二分前后两个积分值n T 和2n T 相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果2n T 的误差很小，这种直接用计算结果来估计误差的方法称作误差的事后估计法。
按上式，积分值2n T 的误差大致等于21()3n n T T -，如果用这个误差值作为2n T 的一种补偿，可以期望，所得的()222141333n n n n n T T T T T T =+-=-应当是更好的结果。
龙贝格算法求数值积分程序说明及流程图
In(k,2)=4*In(k+1,1)/3-In(k,1)/3;
end
flag(2)=i+3;
for k=flag(3)+1:i+2
In(k,3)=16*In(k+1,2)/15-In(k,2)/15;
end
flag(3)=i+2;
for k=flag(4)+1:i+1
end
In(i+5,1)=In(i+5,1)/2^(i+5)+In(i+4,1)/2;
In(i+4,2)=4*In(i+5,1)/3-In(i+4,1)/3;
In(i+3,3)=16*In(i+4,2)/15-In(i+3,2)/15;
In(i+2,4)=64*In(i+3,3)/63-In(i+2,3)/63;
陆韶琦 3110000441
程序说明：本程序计算
数值积分值。
b sinx
a x
dx，程序初始要求输出需要得到的精度，最后输出得到
输入精度 eps，积分上下限 b,a
流程图：
定义函数 f(x)=
1
x=0;
sin(x)/x 其他。
计算 Ti(0<i<5)
T2^(i+1)=T2^i/2+
2j−1 b−a
2^i
j=1 f(
2 i +1
+ )
计算 Si（0<i<4）
Si=4Ti+1/3-Ti/3
计算 Ci(0<i<3)
龙贝格求积算法
龙贝格求积算法
龙贝格求积算法（Romberg Integration Algorithm）是用于数
值积分的一种高效的迭代方法。
它通过连续的二分、四分、八分等等
区间的方式，逐渐逼近最终的积分值，从而提高计算的精度。
该算法的基本思想是利用Richardson外推技术，结合复合梯形
法则，逐渐缩小区间并增加采样点数，以得到更精确的积分值。
下面
我们来介绍龙贝格求积算法的步骤：
1. 将积分区间[a, b]进行二分，得到初始的两个子区间；
2. 对每个子区间应用复合梯形公式进行数值积分，可以得到初始的近似积分值；
3. 利用Richardson外推技术，对不同精度的积分值进行线性组合，得到更高精度的积分值；
4. 重复步骤2和3，将积分区间不断地二分，并逐步增加采样点数，直到达到所需的精度要求。
龙贝格求积算法的主要优点是在保持高精度的能够有效减少计算量。
该算法还可以通过预先计算一些常见函数在一些固定的点上的值，以进一步提高计算速度。
总结起来，龙贝格求积算法通过利用复合梯形法则和Richardson 外推技术，逐渐逼近积分值的精确结果。
它是一种高效且精确的数值
积分方法，广泛应用于科学计算和工程领域。
龙贝格算法实验报告
实验二：龙贝格算法一、实验目的1、通过本实验理解数值积分与微分的基本原理2、掌握数值积分中常见的复合求积公式的编程实现3、掌握龙贝格算法的基本思路和迭代步骤二、实验原理三、运行结果三、代码using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;namespace ConsoleApplication4{public delegate double F(double x);class Program{const double Precision = 0.00000000001;const int MAXRepeat = 10;static double f1(double x){double s=4/(1+x*x );return s;}static double Romberg(double a,double b, F f){int m,n,k;double[] y = new double[MAXRepeat];double h,ep,p,xk,s,q=0;h=b-a;y[0]=h*(f(a)+f(b))/2.0;//计算T`1`(h)=1/2(b-a)(f(a)+f(b));m=1;n=1;ep=Precision+1;while((ep>=Precision)&&(m<MAXRepeat)){p=0.0;for(k=0;k<n;k++){xk = a + (k + 0.5) * h; // n-1p = p + f(xk); //计算∑f(xk+h/2),T} // k=0p = (y[0] + h * p) / 2.0; //T`m`(h/2),变步长梯形求积公式s = 1.0;for (k = 1; k <= m; k++){s = 4.0 * s;// pow(4,m)q = (s * p - y[k - 1]) / (s - 1.0);//[pow(4,m)T`m`(h/2)-T`m`(h)]/[pow(4,m)-1],2m阶牛顿柯斯特公式，即龙贝格公式y[k - 1] = p;p = q;}ep = Math.Abs(q - y[m - 1]);//前后两步计算结果比较求精度m = m + 1;y[m - 1] = q;n = n + n; // 2 4 8 16h = h / 2.0;//二倍分割区间}return q;}static void Main(string[] args){double a, b, result;Console.WriteLine("请输入积分下限：");a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine("请输入积分上限：");b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());result = Romberg(a, b, new F(f1));Console.Write("定积分计算结果为：{0}：", result);Console.ReadLine();}}}四、分析本次试验使我认识到了计算机计算能力的强大，通过本次实验对数值积分与微分的基本原理有了深刻理解。
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2）理查森外推加速 从梯形公式出发， 将区间[a,b]逐次二分可以提高求积公式精度， 当[a,b] 分为 n 等份时，若记T������ = T ℎ ，当区间[a,b]分为 2n 等份时，则有 T2������ = T
ℎ 2
。再有泰勒公式展开为： T ℎ = ������ + ������1 ℎ2 + ������2 ℎ+ ⋯ +
建立一个命名为Romberg.m的function文件：
function[T]=Romberg(f,a,b,e) T=zeros(10,10); T(1,1)=(b-a)/2*(f(a)+f(b)); for k=2:10, sum=0; for i=1:2^(k-2), x=a+(2*i-1)*(b-a)/2^(k-1); sum=sum+f(x); end T(k,1)=T(k-1,1)/2+[(b-a)/2^(k-1)]*sum; for j=2:k, end %第一列用递推梯形公式 %定义龙贝格函数 %定义10阶的零元矩阵
1 3/2 ������ 0
������������。
算，并取������ ������, ������ ≈ ������ ；否则令 k=k+1，转（3）继续计算。 6）下图为我按照自己的算法所设计的示意表： 算法设计表：
k 1 2 3 4 …
h b-a (b-a)/2 (b-a)/4 (b-a)/8 …
������ ������, 1 T(1,1) T(2,1) T(3,1) T(4,1)
������ ������, 2
������ ������, 3
������ ������, 4
������ ������, 5
T(2,2) T(3,2) T(4,2) T(3,3) T(4,3) T(4,4)
注：同一列表示求梯形值的递推过程，同一行表示外推加速的过程。
三、算法的 matlab 程序代码及实例
四、Romberg公式讨论
龙贝格公式是在梯形公式， 辛普森公式以及柯特斯公式关系的基 础上，构造出的一中加速计算积分的方法。相对于利用递推的复合梯 形公式计算积分时，需要多次二分才能达到预定的精度。龙贝格积分 利用外推加速可以极大的提高收敛的速度。 也就是说在不增加计算量 的前提下极大地提高了误差的精度。 而且龙贝格公式在计算积分时，区间不断二分，这样前一次分半 以后的函数值仍然能够保存下来，可以继续利用，这一点非常利于编 程。 当然对于f(x)不是特别光滑的函数也可以用龙贝格算法计算， 不过收敛速度相对会慢一点。 这种情况下直接使用复合辛普森公式也 可以计算。比如说上述计算的积分I =
T(k,j)=T(k,j-1)*4^(j-1)/(4^(j-1)-1)-T(k-1,j-1)/(4^(j-1)-1); %外推加速 if k>5 %从第6行开始判断下面的精度要求，如果没有这个判断，计算可能发生错误 if(abs(T(k,k)-T(k-1,k-1))<e)%判断是否达到精度要求 disp(‘当绝对误差e<10^(-5)时，龙贝格算法求得积分值为：’); fprintf('%7.6f', T(k,k)); break; end end end if(k>=11) disp('溢出'); end %超过矩阵大小则自动提示
Romberg 算法
一、 算法思路
1）梯形法的递推化 为了提高求积精度，实际计算时若精度不够可以将步长逐次分半，以 此求积分
b ������ (������)的近似值。 首先将[a,b]分为 n 等份， 共有 n+1 个分点， ������
2
注意到每个子区间 [ ������k , ������������ +1 ] 经过二分只增加了一个分点： ������������ +1 =
(������ ) (������ ) (������ )
的 m 次加速值，则依理查森外推加速公式，可以得到： ������m =
(������ ) 4 ������ 4 ������ −1
������������ −1 −
(������−1)
������ ������ ，k 4 ������ −1 ������ −1
1）计算积分I =
1 3/2 ������ 0
������������
注： 利用函数f=inline(‘’)输入函数， 再用Romberg （f,a,b,e） 实现函数调用来计算积分值。 2）计算积分I =
2������ 0
������������������������������������������
(0) (������ )
=
h 2
������ ������ + ������ (������) . 表示初始时的
梯形值，k → 10逐渐往后递推求梯形值； 3） 求梯形值������1
������−������ 2(������−1)
， 即按照递推公式 （1.1） 计算T k, 1 = ������0 ；
ℎ 2
，然后记 C ℎ =
16S
ℎ 2
−S ℎ 3
，易知 C ℎ = C������ ，即将 [a,b]
分为 n 等份得到的复合柯特斯公式……如此继续下去就可以得到龙 贝格公式。我们重新引入记号������0 ℎ = T ℎ , ������1 ℎ = S ℎ 等，从而
可以将上述公式写成统一的形式： ������������ ℎ = ������ + ������1 ℎ2(������ +1) + ������2 ℎ2(������ +2) + ⋯. 上述处理方法就称为理查森外推加速法。 3）龙贝格求积算法 设以 ������0 表示二分 k 次后求得的梯形值，且以 ������������ 表示序列 ������0
1
= 1，2 ⋯.（1.2）
这就是龙贝格求积算法。
二、 算法的程序设计（matlab 实现）
1 ）我们在 matlab 中定义函数 function[T]=Romberg(f,a,b,e) 。令 T=zeros(10,10)， 将其初始化为一个 10 阶的零元方阵， 以此保存������m 。 f 代表被积函数，a,b 分别是积分限，e 是我们要求的绝对误差； 2）取 k=1,h=b-a,求T 1,1 = ������0
ℎ 2
������������ ℎ2������ + ⋯ ， 然 后 用 h/2 代 替 h 有 T
2������ ������������ ℎ 2
= ������ + ������1
ℎ2 4
+ ������2
ℎ4 16
+⋯+
+ ⋯。再记S ℎ =
4T
ℎ 2
−T ℎ 3
，这将复合梯形公式的的误差阶
O(ℎ2 )提高到了 O(ℎ4 )，并且易知S ℎ = S������ ，即将[a,b]分为 n 等份得到 的复合辛普森公式。 与上述做法类似，从S ℎ 出发，当 n 在增加一倍，即 h 减少一半 时得到 S
1 2
(������k , +������������ +1 )。 然后利用复合梯形求积公式可以推导出二分前后的积分
值递推关系（h 代表二分前的步长） ： T2������ = T������ +
2 1 ℎ 2 ������−1 （1.1） ������ =0 ������ (������������ +1 )。
������
4）求加速值，按公式（1.2）逐个求出 T 矩阵的第 k 行其余各元素 ������ ������, ������ (j = 2,3 ⋯ k. )； < ������ (预先给定的精度)，则终止计
5）若 ������ ������, ������ − ������ ������ − 1, ������ − 1