数值分析—龙贝格算法
计算方法-第4章-数值积分与数值微分龙贝格求积公式精品
2019f (x)dx的积分区间[a,b]分割为n等份 a
各节点为 xk a kh , k 0,1,, n
例：p110
2019/8/31
5
§ 4.4.2 龙贝格算法
根据复化梯形公式的余项表达式可知
I
Tn
ba 12
h2
f
(),
(a,b)
I
T2n
ba 12
(h)2 2
f
(
),
(a,b)
假定 f () f ( ) ，则有 I T2n 1 I Tn 4
C2 0.94608307
I 1sin x dx 0x
0.946083070367183
9
将T
1
41
T2n 3 (T2n Tn ) 3 T2n 3 Tn 用于计算 I
1sin x dx 0x
I 0.9460831
T4 0.9445135
2位有效数字
第四章 数值积分
§ 4.4 龙贝格算法
2019/8/31
1
§ 4.4.1 梯形法的递推化
由上节讨论得知加密节点可以提高求积公式的精度，复化 求积方法对提高精度是行之有效的，但必须事先给出合适 的步长（即n的选取），步长取得太大则精度难以保证， 而步长取得太小又会导致计算量的增加。因此，如何确定 适当的n，使近似值和精确值之差在允许的范围，这又是 一个难题。
3 (h) 1
3 ( 2 h)
表4-5 T表
龙贝格算法-数值分析-实验报告
3 / 13
一、任务综述于分析
1.1 任务
1、 根据所掌握龙贝格算法，独立编写程序，实现具体问题的求解等； 2、 自己设计一个多项式，根据设定的代数多项式进行测试，调式程序； 3、 对所设计的程序解决实际问题并分析，撰写分析报告
1.2 分析
1、 首先先明确什么是龙贝格算法，了解他的基本原理，画出流程图，编写程序代码。 2、 自己设计一个多项式，对他利用龙贝格算法求出他的积分。并与真实值比较，检测程序是否有错误。 并进一步修改完善程序。可以多试几个多项式，来判断程序的正确性。 3、 任务三实际上是求平面曲线长的问题。利用弧长微分公式可求得结果。
四、测试 ................................................................................................................................................. 8
主要参考资料
《数值分析简明教程》 《数值分析课程设计》
王能超 陈越、童若锋
高等教育出版社 浙江大学出版社
教研室签字： 年 月 日
院签字： 年 月 日
2 / 13
目录
目录 ......................................................................................................................................................... 3 一、任务综述于分析 ............................................................................................................................. 4
龙贝格积分公式
龙贝格积分公式
龙贝格积分公式，是数学中常见的一种积分方法。
它通过分割区间，将被积函数转化为$Polynomial$（多项式）的形式，并通过加权平均的方式求出积分值。
这种方法被广泛应用于科学计算领域，如物理、化学等。
龙贝格积分公式是从重复使用$Simpson$和$Mid-point$公式推导而来的。
该公式基于分治思想，将整个区间分成若干个子区间，并对每个子区间进行逐层递推，最终得出整个区间的积分值。
在推导龙贝格积分公式时，需要利用“函数逼近”的思想，即将被积函数转化为多项式的形式。
这样可以大大简化计算，减小误差，并提高计算精度。
公式的具体计算过程如下：
假设被积函数为$f(x)$，积分区间为$[a,b]$，将积分区间均分成$2^n$个小区间，在每个小区间上做$Simpson$公式近似积分，得到$S_{2^n}$，即：
$$S_{2^n}=\frac{4^nS_{2^{n-1}}-S_{2^{n-1}}}{4^n-1}$$
其中，$S_{2^n}$为$n$级逼近值，$S_{2^{n-1}}$为$n-1$级逼近值。
根据上式，可得$S_{2^1}$，然后再计算$S_{2^2}$，$S_{2^3}$，以此类推，递归地计算$n$级逼近值，直到计算所得值与精确值的差别小于预先设定的精度要求为止。
龙贝格积分公式没有强制要求$f(x)$连续可微，又由于是基于函数逼近的方式进行积分，精度高且计算速度快，因此被广泛应用。
总之，龙贝格积分公式是一种有效的求解复杂积分问题的方法，在处理高维积分时，具有更大的优势。
数值分析63 复化求积公式龙贝格求积公式讲解
只增加了一个分点
1 xk?1/ 2 ? 2 ( xk ? xk?1)
设hn=(b? a)/n, xk=a+kh n (k=0,1,? ,n),在[xk, xk+1] 上用梯形公式得
T1 ?
hn 2
?f
(
xk
)
?
f ? ( xk ? 1 )
复化求积的基本想法 :
将积分区间 [a, b]n等分, 步长
h?
b
? n
a
,
分点为
xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )d x
a
k ? 0 xk
每个子区间 上的积分
?xk?1 f ( x )dx xk
用低阶求积公式 , 然后把所有区间的 计算结果求和 ,
注2: 同样也可用 | S4m-S2m |<ε 来控制计算的精度 . 这就是下面要介绍的 龙贝格求 积公式 .
6.4 龙贝格求积公式
6.4.1 梯形公式的递推化
复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若
精度不够可将步长逐次分半 . 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有 n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则 分点增至 2n+1个，我们将二分 前后两个积分值 联系
果T8=0.9456909 只有2位有效数字，而应用复化辛普 森公式计算的结果 S4= 0.9460832 却有6位有效数字 .
注：为了利用余项公式估计误差，要求 f(x)=sin x/x 的高阶导数，由于
龙贝格求积算法
龙贝格求积算法
龙贝格求积算法（Romberg Integration Algorithm）是用于数
值积分的一种高效的迭代方法。
它通过连续的二分、四分、八分等等
区间的方式，逐渐逼近最终的积分值，从而提高计算的精度。
该算法的基本思想是利用Richardson外推技术，结合复合梯形
法则，逐渐缩小区间并增加采样点数，以得到更精确的积分值。
下面
我们来介绍龙贝格求积算法的步骤：
1. 将积分区间[a, b]进行二分，得到初始的两个子区间；
2. 对每个子区间应用复合梯形公式进行数值积分，可以得到初始的近似积分值；
3. 利用Richardson外推技术，对不同精度的积分值进行线性组合，得到更高精度的积分值；
4. 重复步骤2和3，将积分区间不断地二分，并逐步增加采样点数，直到达到所需的精度要求。
龙贝格求积算法的主要优点是在保持高精度的能够有效减少计算量。
该算法还可以通过预先计算一些常见函数在一些固定的点上的值，以进一步提高计算速度。
总结起来，龙贝格求积算法通过利用复合梯形法则和Richardson 外推技术，逐渐逼近积分值的精确结果。
它是一种高效且精确的数值
积分方法，广泛应用于科学计算和工程领域。
数值分析中的龙贝格积分法详解
数值分析中的龙贝格积分法详解数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，其在科学计算、工程计算以及金融计算等领域中有着广泛的应用。
而龙贝格积分法则是数值分析中常用的一种数值积分方法。
本文将详细介绍龙贝格积分法的原理、计算步骤以及应用场景。
一、龙贝格积分法的原理龙贝格积分法是一种数值积分方法，用于计算给定函数在一定区间上的积分值。
其基本思想是通过逐步逼近积分值，从而提高计算结果的精度。
具体而言，龙贝格积分法通过构造一系列逼近积分值的数列，并利用数列的收敛性质，最终得到所需的积分值。
二、龙贝格积分法的计算步骤1. 确定积分区间[a, b]以及需要计算积分的函数f(x)。
2. 将积分区间[a, b]等分为n个子区间，其中n为正整数。
即将[a, b]分为[a, x1,x2, ..., xn-1, b]。
3. 计算每个子区间的步长h = (b-a)/n。
4. 利用复化梯形公式计算第一级逼近积分值T(1)：T(1) = (h/2) * [f(a) + f(b) + 2 * (f(x1) + f(x2) + ... + f(xn-1))]5. 构造递推公式，利用已知的逼近积分值T(k-1)计算第k级逼近积分值T(k)：T(k) = (1/2^k) * (4^(k-1) * T(k-1) - T(k-1))6. 判断逼近积分值T(k)的精度是否满足要求，若满足则返回T(k)作为最终的积分值；若不满足，则重复步骤5，计算下一级逼近积分值。
7. 重复步骤5和步骤6，直到满足精度要求或达到迭代次数为止。
三、龙贝格积分法的应用场景龙贝格积分法在数值分析中有着广泛的应用，特别是在科学计算、工程计算以及金融计算等领域中。
以下是一些常见的应用场景：1. 科学计算：龙贝格积分法可以用于计算数学物理模型中的积分，如计算波函数的归一化常数、计算量子力学中的期望值等。
2. 工程计算：在工程领域中，往往需要对曲线或曲面进行积分计算。
数值分析6.3 复化求积公式、龙贝格求积公式讲解
精度不够可将步长逐次分半. 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则
分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系
起来加以考虑. 注意到每个子区间[xk, xk+1]经过二分
只增加了一个分点
x k 1/ 2
1 ( x k xk 1 ) 2
设hn=(ba)/n, xk=a+khn (k=0,1,,n),在[xk, xk+1]
I f ( x )dx
b a k 0 n 1 xk 1 xk
f ( x )dx
每个子区间[xk, xk+1]上的积分用梯形公式, 得
xk 1 xk
h f ( x )dx [ f ( xk ) f ( xk 1 )] 2
xk 1 xk
I
k 0
6.3 复化求积公式
从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数
所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也
越高.另一方面，插值节点的增多(n的增大)，在使用
牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8
时, 牛顿-柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿-柯特
斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高 求积精度.
b n 1 xk 1 xk a
I f ( x )dx
k 0
f ( x )dx
h n 1 I [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/2 ) f ( xk 1 )] 6 k 0
n 1 n 1 h [ f (a ) 4 f ( xk 1/2 ) 2 f ( xk ) f ( b)] 6 k 0 k 1
龙贝格算法及应用
龙贝格算法及应用龙贝格算法是一种数值计算方法，用于计算数值积分的近似解。
它的应用范围广泛，涉及到物理、工程、金融等领域。
在下面的回答中，我将详细介绍龙贝格算法的原理、步骤和一些应用实例。
原理：龙贝格算法是一种基于复化梯形公式的数值积分算法。
它通过不断提高插值点数目，逐步提高数值积分的精度。
步骤：1. 首先，我们选择一个足够小的初始步长h，然后根据复化梯形公式计算积分的近似值I(h)。
2. 接下来，我们将步长h减半，再次计算积分的近似值I(h/2)。
3. 然后，根据复化梯形公式，通过I(h/2)和I(h)计算出一个更高阶的数值积分近似值I(2h)。
4. 重复上述步骤，每次将步长减半，直到达到所需的精度。
应用：龙贝格算法广泛应用于数值积分问题，特别是对于某些复杂函数，无法通过解析方法求得精确解的情况下。
以下是一些具体的应用实例：1. 物理学中的轨道运动描述：龙贝格算法可以用来计算行星围绕太阳的轨道运动，以及其他天体运动的数值积分问题。
2. 工程学中的电路分析：通过对电路中的电流和电压的积分，可以计算电路中的功率、能量等物理量。
3. 金融学中的期权定价：龙贝格算法可以用于计算期权定价模型中的积分，以估计期权的市场价值。
4. 数理统计学中的概率密度函数估计：通过计算概率密度函数的积分，可以对数据的分布进行建模和估计。
5. 计算机图形学中的曲线绘制：龙贝格算法可以用来计算曲线的长度、面积、甚至绘制曲线的插值。
总结：龙贝格算法是一种常用的数值积分算法，通过逐步提高插值点数目，能够对于复杂函数进行积分近似。
它在物理、工程、金融等领域有广泛的应用。
通过应用龙贝格算法，我们可以获得数值计算问题的近似解，从而解决实际问题中的积分计算需求。
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数值分析
实
验
报
告
专业：信息与计算科学
班级： 10***班
学号： 1008060**** 姓名： ******
实验目的：
用龙贝格积分算法进行积分计算。
算法要求：
龙贝格积分利用外推方法，提高了计算精度，加快了收敛速度。
1--4R R R R 1-j 1-j 1-k 1-j k 1-j k j k ，，，，+= ，k=2，3，…
对每一个k ，j 从2做到k ，一直做到|R R 1-k 1-k k k -，，| 小于给定控制精
度时停止计算。
其中：
T R h k 1k =，（复化梯形求积公式），2h 1-k k a -b =
程序代码：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define M 10
static float a, b, T[M], S[M], C[M], R[M];
float f(float x)
{
float y;
if(0.0 == x)
{
x = 0.0000001f;
}
y = (float)1/sqrt(1-x*x);
return y;
}
int p(int n)
{
int i=0,t=1;
while(t!=n)
{
t*=2;
++i;
}
return i;
}
float t(int n)
{
float g,h,q=0;
if(1==n)
{
h = (float)fabs(b-a);
q = (f(a)+f(b))*h/2;
}
else
{
float x = a;
g = 0;
h = (float)fabs(b-a)*2/n;
x = x+h/2;
while(x<b)
{
g += f(x);
x += h;
}
q = t(n/2)/2+g*h/2;
}
return (T[p(n)] = q);
}
float s(int n)
{
return S[p(n)+1] = (float)t(2*n)+(t(2*n)-t(n))/3; }
float c(int n)
{
return C[p(n)+2] = (float)s(2*n)+(s(2*n)-s(n))/15; }
float r(int n)
{
return R[p(n)+3] = (float)c(2*n)+(c(2*n)-c(n))/63;
}
int main(void)
{
float e,r1 ,r2;
int i = 1 ;
printf("请输入a,b,e的值(形如1,2,3)：");
scanf("%f,%f,%f",&a,&b,&e);
do{
if (i==1)
{
r1 = r(i+1);
r2 = r(i);
}
else
{
r1 = r(i+1);
r2 = r(i-1);
}
i += 2;
}
while(fabs(r2-r1)>e);
printf("*************************\n");
i = 0;
while(T[i]!=0.0)
{
printf("%d%10.7f%10.7f%10.7f%10.7f\n",i,T[i],S[i],C[i],R[i]);
++i;
}
return 0;
}
运行结果：。