初中数学竞赛专题辅导 一元二次方程
初中数学竞赛第1讲一元二次方程的解法(含解答)
第1讲一元二次方程的解法一、引例瑞士的列昂纳德．欧拉（1707～1783），既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。
如下题：“父亲临终时立下遗嘱，要按下列方式分配遗产：老大分得100克朗和剩下的110；老二分得200克朗和剩下的110；老三分得300克朗和剩下的110；……；以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？”这道题需要列方程求解。
解析设孩子数为x人，则最后一个孩子分得遗产为100x克朗,老大分得遗产[100+1 10 (100x2-100)]克朗，得方程100+110(100x2-100)=100x. 同学们，你会解此方程吗？整理方程得 x2-10x+9=0.(x-9)(x-1)=0,∴x1=9,x2=1(舍去).遗产总数是8100克朗；有９个孩子，每个孩子分得的遗产是900克朗。
点评：二、一元二次方程的解法运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为０；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。
例１用适当的方法解下列一元二次方程:(1)(2x-1)2-9=0; (2)x2+x-1=0;(3)x2-4x=1; (4)3x2-16x+5=0;(5)(3x+2)2=4(x-3)2; (6)(y-1)2=2y(1-y);(7)3a2x22=0(a≠0) (8)x2+2mx=(n+m)(n-m).解析 (1)两边开平方，得 2x-1=3或2x-1=-3,∴ x1=2,x2=-1;(2)已知：a=1,b=1,c=-1.∴ x1,x2;(3)整理原方程，得 x2-4x-1=0,∴ (x-2)2=5.∴ x12(4)原方程可化为(3x-1)(x-5)=0,∴ x1=13,x2=5;(5)两边开平方,得3x+2=2(x-3)或3x+2=-2(x-3),∴ x1=-8, x2=45.(6)原方程可化为(y-1)(3y-1)=0,∴ y1=1, y2=1 3 .(7)原方程可化为∴ x1=,x2(8)原方程可化为(x+n+m)(x+m-n)=0,∴ x1=-n-m, x2=n-m.点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的解法，使运算达到最简便。
一元二次方程竞赛解题方法
一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。
除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。
以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。
我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。
进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。
二、降次法例如，考虑已知$\alpha。
\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。
我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。
三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。
S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。
我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。
九年级数学尖子生培优竞赛压轴题专题辅导第二章 一元二次方程21页
第二章 一元二次方程B 卷1（考点整合与提升） 考点一：一元二次方程的概念只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2+bx+c=0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程必须具备的三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2.易错提示：①未整理、合并直接判断；②不是整式方程；③二次项系数不为零. 命题角度1：认识一元二次方程例1：下列方程中，①x 2=0；②x 2=y+4；③ax 2+2x-3=0(a 是常数)；④x(2x-3)=2x(x-1);⑤12（x 2+3）x ；⑥x1+x 2=5,一定是一元二次方程的是 .（填序号） 例1：答案：①⑤★★变式1：下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A.x 2+2x=x 2-1 B.5x 2-6y-2=0 C.22x +x D.ax 2+bx+c=0变式1：C★★变式2:下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A.（x+2）(x-3)=x 2B.y 2=6 C.2x －31x +=5 D.x 2+3y=1 变式2:B命题角度2：利用定义求字母的值（范围） 例2：当m= 时，关于x 的方程（m-2）22m x-+2x-1=0是一元二次方程.例2：-2★★变式1：已知关于x 的方程（a-1）x 2-2x+1=0是一元二次方程，则a 的取值范围是 . 变式1：a ≠1★★变式2：（m 2-1）x 2+(m+1)x+3m+2=0，当m= 时，方程为关于x 的一元一次方程；当m 时， 方程为关于x 的一元二次方程. 变式2：1，≠±1考点二：一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.命题角度1：利用解的定义求字母的值例3：关于x 的一元二次方程mx 2+4x+m 2-3m=0的一个根为0，则m 的值为 . 例3：3★★变式1：已知关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-1=0的一个根为0，则m= . 变式1：-1★★变式2:若是方程x 2-4x+c=0的一个根，则另一根为 ，c= .变式1命题角度2：利用解的定义求代数式的值例4：已知方程x 2-x-1=0的一个根是m ，则代数式m 2-m+2018的值为 . 例4：2019★★变式1：已知a 是方程x 2-2018x+1=0的一个根，则a 2-2017a+220181a +的值为 . 变式1：2017★★变式2：若m,n 是方程x 2+2x=0的两个实根，则m 2-n 2+2m-2n= . 变式2：0★★变式3：已知m 是方程x 2-2017x+1=0的一个根，则代数式m 2-2018m+212017m ++3的值是 .变式3：2★★变式4：已知a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，则3222511a a a a --++的值为 . 变式4：-1考点三：一元二次方程的解法命题角度1：直接开平方法例1：解方程：3（x-2）2=2.例1：x 12★★变式1：已知关于x 的方程m （x+a ）2+n=0的解是x 1=-3，x 2=1,则关于x 的方程m(x+a-2)2+n=0的解是 .变式1：x 1=-1,x 2=3★★变式2：若（x 2+y 2-1）2=4，则x 2+y 2= . 变式2：3命题角度2：配方法用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的一般步骤： ①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；④化原方程为（x+m ）2=n 的形式；⑤如果n ≥0，就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解.例2：解方程：3x 2-6x+1=0.例2：x 12★★变式1:解方程：2x 2+1=4x.变式1: x 1=22+,x 2=22-. ★★变式2:解方程：x 2-x-34=0. 变式2：x 1=32,x 2=-12.命题角度3：公式法公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方法推导出来的.一元二次方程的求根公式是x=2b a-± (b 2-4ac ≥0).例3：解方程：5x 2-4x=1. 例3：x 1=1,x 2=-15.★★变式1:解方程：x 214=0..变式1:x=22.★★变式2：解方程：x 2－3x －1=0.答案：x 命题角度4：因式分解法因式分解法的步骤： ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.例4：解方程：3(x －1)2=x (x －1). 答案： x 1=1，x 2=32★★变式1：解方程：2(x －3)2=x 2－9. 答案： x 1=3，x 2=9★★变式2：解方程：2x 2－5x +3=0.答案： x 1=1，x 2=32命题角度5：换元法(补充)请你先认真阅读下面的材料，再参照例子解答问题： 已知(x +y －3)(x +y +4)=－10，求x +y 的值.解：设t =x +y ，则原方程变形为(t －3)(t +4)=－10，即t 2+t －2=0. ∴(t +2)(t －1)=0.解得t 1=－2，t 2=1，∴x +y =－2或x +y =1. 例5：已知(x 2+y 2 －4)(x 2+y 2+2)=7，求x ²+y 2的值. 答案：x ²+y 2=5或－3★★变式1：解方程：(x 2－2x )2－x 2+2x －6=0. 答案：x 1=－1，x 2=3★★变式2：解方程：x 2+21x +2x +2x=1(x 是实数).答案：x 1，x 2 考点四一元二次方程根的判别式我们把b ²－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式，通常用“△”表示. 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可由△= b ²－4ac 来判定： ①△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②△=0时，方程有两个相等的实数根； ③△＜0时，分方程没有实数根； ④△≥0时，方程有实数根.一元二次方程根的判别式的应用： ①不解方程，判别根的情况；②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围； ③进行有关的证明.命题角度1：不解方程，判别根的情况例6：判断关于x 的一元二次方程x 2－4mx +4m 2－1=0的根的情况. 答案：方程有两个不相等的实数根命题角度2：根据方程的根的情况，求待定系数的值(范围)例7：已知关于x 的一元二次方程mx 2－3(m +1)x +2m +3=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围. 答案：m 的取值范围为m ≠0和m ≠－3★★变式1：若关于x 的方程kx 2－2(k +1)x +k =0有两个相等的实数根，求k 的取值范围.答案：k =－12★★变式2：若关于x 的方程kx 2－6x +9=0有实数根，求k 的取值范围. 答案：k ≤1命题角度3：利用根的判别式进行有关的证明例8：求证：关于x 的一元二次方程mx 2+(3－2m )x +(m －3)=0(m ≠0)总有两个不相等的实数根. 答案：证明：∵mx 2+(3－2m )x +(m －3)=0(m ≠0)，∴△=(3－2m )2－4 m (m －3)=9－12m +4m 2－4m 2+12m =9＞0，∴方程总有两个实数根；★★变式1：已知关于x 的一元二次方程x 2－(k +3)x +2k +2=0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k 的取值范围.答案： (1)证明：∵在方程x 2－(k +3)x +2k +2=0中，△=[－(k +3)]2－4×1×(2k +2)= k 2－2 k +1=(k －1)2≥0，∴方程总有两个实数根.(2)解：∵x 2－(k +3)x +2k +2=(x －2) (x －k －1)=0，∴x 1=2，x 2=k +1，∵方程有一个根小于1，∴k +1＜1，解得k ＜0，∴k 的取值范围为k ＜0.★★变式2：已知关于x 的一元二次方程x 2－(3k +1)x +2k 2+2k =0.(1)求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰△ABC 的一边长a =6，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长.答案：(1)证明：∵一元二次方程x 2－(3k +1)x +2k 2+2k =0，∴△=(3k +1)2－4(2k 2+2k )=9k 2+6k +1－8k 2－8k = k 2－2k +1=(k －1)2≥0，∴无论k 取何实数值，方程总有实数根； (2)∵△ABC 为等腰三角形，∴有a =b =6，a =c =6或b =c 三种情况.①当a =b =6或a =c =6时，可知x =6为方程的一个根，∴62－6(3k +1)+2k 2+2k =0；解得k =3或k =5， 当k =3时，方程x 2－10x +24=0，解得x =4或x =6，∴三角形的三边长为4、6、6； 当k =5时，方程x 2－16x +60=0，解得x =6或x =10，∴三角形的三边长为10、6、6；②当b =c 时，方程有两个相等的实数根，∴△=0，即(k －1)2=0，解得k 1=k 2=1；∴方程为x 2－4x +4=0，解得x 1=x 2=2.此时三角形的三边长为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去； 综上，可知三角形的三边长为4、6、6或6、6、10.考点五：一元二次方程根与系数的关系如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根是x 1和x 2理，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝ca.韦达定理变形公式：①()2221212122x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=；③()212122112122x x x x x x x x x x +-+=；④()()21212222121221x x x x x x x x +-=+ ；⑤（x 1＋m ）（x 2＋m ）＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2）＋m 2； ⑥12x x -=．注意：运用根与系数的关系的前提条件是△≥0．命题角度1：已知方程的一个根，求另一个根或参数值例9：已知关于x 的一元二次方程x 2－2x －m ＋1＝0，若x ＝3是此方程的一个根，求m 的值及方程的另一个根．答案：∵x ＝3是该方程的一个根， ∴9－6－m ＋1＝0，解得m ＝4， ∴方程为x 2－2x －3＝0， 解得x ＝3或x ＝－1，即方程另一个根为x ＝－1．命题角度2：利用根与系数的关系求参数值（范围）例10：已知：x 1、x 2是一元二次方程2x 2－2x ＋1－3m ＝0的两个实数根，且x 1、x 2满足不等式x 1•x 2＋2（x 1＋x 2）＞0，求实数m 的取值范围．答案：∵x1、x2是一元二次方程2x2－2x＋1－3m＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，x1•x2＝132m-．又∵x1－x2＋2（x1＋x2）＞0，∴132m-＋2＞0 解得：m＜53，又∵原方程有实数根，∴b2－4ac＝（－2）2－4×2×（1－3m）＝4－8＋24m＝－4＋24m≥0，∴m≥16，∴16≤m＜53．★★变式1：已知关于x的方程x2＋(8－4m)x＋4m2＝0，是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．答案：不存在．假设存在，则有x12＋x22＝136．∵x1＋x2＝4m－8，x1x2＝4m2，∴（x1＋x2）2－2x1x2＝136．即（4m－8）2－2×4m2＝136，∴m2－8m－9＝0，（m－9）（m＋1）＝0，∴m1＝9，m2＝－1．∵△＝（8－4m）2－16m2＝64－64m≥0，∴0＜m≤1，∴m1＝9，m2＝－1都不符合题意，∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．★★变式2：关于x的方程x2－（2k－1）x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|−|x2|＝答案：（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k－1）2－4（k2－2k＋3）＞0，得：4k－11＞0，∴k＞114；（2）由一元二次方程的求根公式得：x1＝，x2＝，∵k＞114，∴2k−1＞0，0，∴x1＞0，又∵x1•x2＝k2－2k＋3＝（k－1）2＋2＞0，∴x2＞0，当|x1|−|x2|＝，有x1−x2＝即－＝∴4k－11＝3，∴k＝72，∴存在实数k＝72，使得|x1|−|x2|＝★★变式3：已知关于x的一元二次方程x²－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2.（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2满足3xm＝2x＋2，求m的值．答案：（1）∵关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2，∴△＝（－6）2－4（m＋4）＝20－4m≥0，解得：m≤5，∴m的取值范围为m≤5．（2）∵关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2，∴x1＋x2＝6①，x1•x2＝m＋4②．∵3x1＝|x2|＋2，当x2≥0时，有3x1＝x2＋2③，联立①③解得：x1＝2，x2＝4，∴8＝m＋4，m＝4；当x2＜0时，有3x1＝－x2＋2④，联立①④解得：x1＝－2，x2＝8（不合题意，舍去）．∴符合条件的m的值为4．★★变式4：已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2一5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10，求a 的值．答案：由两根关系，得根x1＋x2＝5，x1•x2＝a，由x12－x22＝10得（x1＋x2）（x1－x2）＝10，若x1＋x2＝5，即x1－x2＝2，∴（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1•x2＝25－4a＝4，∴a＝214，命题角度3：利用根与系数的关系构造新的一元二次方程例11：若实数a ，b （a ≠b ）满足a 2＋3a ＋1＝0，b 2＋3b ＋1＝0，求11a b+的值． 答案：∵实数a ，b 满足a 2＋3a －1＝0，b 2＋3b －1＝0（a ≠b ）， ∴a 、b 可以看作是方程x 2＋3x －1＝0的两个根， ∴a ＋b ＝－3，ab ＝－1，∴11331a b a b ab +-+===-．★★变式1：已知p 2－p －1－0， 1－q －q 2＝0，pq ≠1.求1pq q+值． 答案：由p 2－p －1＝0，1－q －q 2＝0，可知p ≠0，q ≠0 又∵pq ≠1∴p ≠1q ∴1－q －q 2＝0可变形为21q ⎛⎫ ⎪⎝⎭−1q－1＝0的特征，∴p 与1q 是方程x 2－x －1＝0的两个不相等的实数根由韦达定理得：p ＋1q＝1 ∴1pq q+＝1．★★变式2：已知2m 2－5m －1＝0，215n n +－2＝0，且m ≠n ，求11m n+的值． 答案：∵215n n+−2＝0， ∴2n 2－5n －1＝0，① ∵2m 2－5m －1＝0，② 由①－②，得 2（n －m ）（n ＋m ）－5（n －m ）＝0， ∵m ≠n ，∴2（n ＋m ）＝5，即n ＋m ＝52； 由①＋②，得2（n 2＋m 2）－5（n ＋m ）－2＝0，即2（n 2＋m 2）－5×－2＝0， 解得，n 2＋m 2＝294， ∴mn ＝[（m ＋n ）2－（n 2＋m 2）]÷2＝12-，∴11m nm n mn++=＝－5． ★★变式3：若非零实数a ，b 满足a 2＋5a －1＝0，b 2＋5b －1＝0，求b aa b+的值． 答案：∵b 2＋5b －1＝0，a 2＋5a －1＝0，∴当a ＝b 时，b aa b+＝1＋1＝2， 当a ≠b ，则a 、b 可看作方程x 2＋5x －1＝0的两实数根， ∴a ＋b ＝－5，ab ＝－1， ∴b a a b +＝()()()22222521271a b ab b a ab ab +---⨯-+===--.考点六：一元二次方程根的分布（补充）一元二次方程根的分布要充分利用根的判别式和韦达定理．（1）实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的所有根都大于零的充要条件是212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩.（2）实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的所有根都小于零的充要条件是212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩ （3）实系教一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个异号实数根的充要条件是212400b ac cx x a ⎧->⎪⎨=<⎪⎩.例12：当参数a 取什么值时，方程x 2－2ax ＋4a －3＝0（1）有两个正根？（2）有一个正根和一个负根？（3）两根都大于1？解：（1）方程有两个正根，则满足212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩，代入解得34＜a ≤1或a ≥3．（2）方程有一个正根和一个负根，则满足21240b ac cx x a ⎧->⎪⎨=<⎪⎩，代入解得a ＜34． （3）方程两根都大于1，则满足()()21212402110b ac x x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪-->⎩，代入解得a ≥3．★★变式1：若方程x 2－（k ＋2）x ＋4＝0有两个负根，求k 的取值范围．解：由方程有两个负根，得1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩⇔()2[2]1602040k k ⎧-+-≥⎪+<⎨⎪>⎩⇔622k k k ≤-≥⎧⎨<-⎩或⇔6k ≤-． ★★变式2：若方程x 2－2tx ＋t 2－1＝0的两个实根都在－2和4之间，求实数t 的取值范围．解：2220x tx t -+=()()[1][1]0x t x t ⇔-+--=11x t ⇒=+，21x t =-， ∴1412t t +<⎧⎨->-⎩13t ⇒-<<．考点七：一元二次方程的应用由实际问题抽象出一元二次方程，要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系，再列出方程求解，最后要检验结果是不是合理．命题角度1：销售问题例13：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元．为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请解答下列问题： （1）未降价之前，该商场衬衫的总盈利为__________元；（2）降价后，设该商场每件衬衫应降价x 元，则每件衬衫盈利_________元，平均每天可售出_________件（用含x 的代数式表示）； （3）请列出方程，求出x 的值． 解：（1）20×45＝900．故答案为：900．（2）降价后，设该商场每件衬衫应降价x 元，则每件衬衫盈利（45－x ）元，平均每天可售出（20＋4x ）件．故答案为：（45－x ）；（20＋4x ） （3）由题意，得（45－x ）（20＋4x ）＝2100，解得x 1＝10，x 2＝30．因要尽快减少库存，故x ＝30． 答：每件村衫应降价30元．★★变式1：某公司生产某种产品，每件成本价是400元，销售价为620元，本季度销售了5万件．为进一步扩大市场，企业决定降低生产成本，经过市场调研，预计下一季度这种产品每件售价会降低5%，销售量将提高10%．（1）下一季度每件产品的销售价和销售量各是多少？（2）为了使两个季度的销售利润保持不变，公司必须降低成本，问：每件产品的成本应降低多少元？ 解：（1）下一季度每件产品的销售价为620×（1－5％）＝589（元），销售量为（1＋10%）×50000＝55000（件）．（2）设每件产品的成本应降低x 元，则根据题意，得[589－（400－x ）]×55000＝（620－400）×50000，解得x ＝11．答：每件产品的成本应降低11元．★★变式2：一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克． （1）若将这种水果每千克的售价降低x 元，则每天的销售量是多少千克（用含x 的代数式表示）？（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？解：（1）将这种水果每千克的售价降低x 元，则每天的销售量是100＋0.1x×20＝100＋200r （千克）．（2）根据题意，得（4－2－x）（100＋200r）＝300，解得11 2x=，21x=．当12x=时，销售量是11002002002602+⨯=<；当x＝1时，销售量是100＋200＝300（千克）∵每天至少售出260千克，∴x ＝1．答：水果店需将每千克的售价降低1元．★★变式3：某商店以每件50元的价格购进某种品牌衬衫100件．为使这批衬衫尽快出售，该商店先将进价提高到原来的2倍，共销售了10件，再降低相同的百分率作二次降价处理，第一次降价标出了“出厂价”，共销售了40件；第二次降价标出了“亏本价”，结果一抢而光，以“亏本价”销售时，每件衬衫仍有14元的利润．（1）求每次降价的百分率；（2）在这次销售活动中商店获得了多少利润？请通过计算加以说明．解：（1）设每次降价的百分率为x．由题意，得()250215014x⨯--=，解得x1＝0.2＝20％，21.8x=（不合题意，舍去）．答：每次降价的百分率为20％．（2）10×50×2＋40×50×2（1－20%）＋（100－10－40）×50×2（1－20％）2－50×100＝2400（元）．答：在这次销售活动中商店获得了2400元利润命题角度2：增长率问题例14：某市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元．试问哪种方案更优惠？解：（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得6000（1－x）2＝4860，解得x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．答：平均每次下调的百分率为10％．（2）由题意，得方案①优惠：4860×100×（1－0.98）＝9720（元）；方案②优惠：80×100＝8000（元），∵9720＞8000，∴方案①更优惠．★★变式1：夏季来临之际，小王看准商机，从厂家购进A，B两款T恤衫进行销售，小王连续两周，每周都用25000元购进250件A款和150件B款．（1）小王在第一周销售时，每件A款的售价比每件B款的售价的2倍少10元，且两种T恤衫在一周之内全部售完，总盈利为5000元．小王销售B款的价格为每件多少元？（2）小王在第二周销售时，受到各种因素的影响，每件A款的售价比第一周A款的售价增加了a%，但A 款的销量比第一周A款的销量下降了a%；每件B款的售价比第一周B款的售价下降了a%，但B款的销量与第一周B款的销量相同，结果第二周的总销售额为30000元，求a的值．解：（1）设小王销售B款的价格为每件x元．由题意，得250×（2x－10）＋150x＝25000＋5000，解得x＝50．答：小王销售B款的价格为每件50元．（2）由题意，得90（1＋53a％）×250（1－a％）＋50（1－a％）×150＝30000，令a％＝m，整理得5m2－m＝0，解得m1＝20％，m2＝0（舍去），∴a＝20．答：m的值为20．★★变式2：为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，某市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑.据统计，该市2015年的绿色建筑面积约为700万平方米，2017年达到了1183万平方米.若2016年、2017年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：(1)求这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率；(2)2018年该市计划推行绿色建筑面积达到1500万平方米，如果2018年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2018年该市能否完成计划目标.答案:(1)设这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x.根据题意,得700(1＋x)2＝1183,解得x1＝0.3＝30%,x2＝－2.3(舍去).答:这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为30%.(2)根据题意,得1183×(1＋30%)＝1537.9(万平方米).∵1537.9＞1500,∴2018年该市能完成计划目标.★★变式3：某市为做好“统筹镇村，迁村并点推进城镇化”，在2015年投入资金1600万元，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金900万元.(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)2017年要安置搬迁户2000户，为了加快安置进度，该地拿出不高于400万元的资金，用于搬迁奖励，规定“舍旧家入新家”的前800户(含第800户)每户奖励3000元，800户以后每户奖励2000元，奖励资金用完为止，则2017年该地至少有多少户享受不到搬迁奖励？答案:(1)设从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.根据题意,得1600(1＋x)2＝900＋1600,解得x＝0.25或x＝－2.25(舍去).答:从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为25%.(2)设2017年该地有a户享受到搬迁奖励.根据题意,得800×3000＋(a－800)×2000≤4000000,解得a≤1600,2000－1600＝400(户),答:2017年该地至少有400户享受不到搬迁奖励.命题角度3：面积问题例15：一张长为30cm，宽为20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示.如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长.图2图1答案:设剪掉的正方形纸片的边长为x cm.由题意,得(30－2x)(20－2x)＝264.整理,得x2－25x＋84＝0.解方程,得x1＝4,x2＝21(不符合题意,舍去).答:剪掉的正方形纸片的边长为4cm.★★变式1：如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60米，宽为40米. (1)求通道的宽度；(2)晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是30元/平方米，超过50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青”的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平方米.已知该小区草坪种植“四季青”的面积超过了50平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青”的费用为2000元，求种植“四季青”的面积.40答案:(1)设通道的宽度为x 米.由题意,得(60－2x )⋅(40－2x )＝1500,解得x ＝5或45(舍去).答:通道的宽度为5米.(2)设种植“四季青”的面积为y 平方米.由題意，得y (30－505y -)＝2000,解得y ＝100.答:神植“四季青”的面积为100平方米.★★变式2：如图，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD ，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN ，墙MN 最大可利用的长度为25m ，另外三面用长度为50m 的篱笆围成(篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分).(1)若要使矩形羊圈的面积为300m 2，则垂直于墙的一边长AB 为多少米？(2)农场老板又想将羊圈重新改造，使其面积为320m 2，从而可以养更多的羊.他的这个想法能实现吗？为什么？DB ACN25mM答案:(1)设所围矩形ABCD 的宽AB 为x m ,则AD ＝(50－2x )m .依题意，得x ⋅(50－2x )＝300,即x 2－25x ＋150＝0,解方程,得x 1＝15,x 2＝10.∵墙的长度不超过25m ,∴x 2＝10不合题意,应舍去.∴垂直于墙的一边长AB 为15m .(2)不能.由x ⋅(50－2x )＝320,得x 2－25x ＋160＝0.∵b 2－4ac ＝252－4×1×160＝－15＜0,∴上述方程没有实数根.因此,不能使所围矩形羊圈的面积为320m 2.★★变式3：在一块长16m 、宽12m 的矩形荒地上建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半.下面分别是小明和小颖的设计方案.图1图216m12m小明说：我的设计方案如图1，其中花园四周小路的宽度相等.通过解方程，我得到小路的宽为2m . 小颖说：我的设计方案如图2，其中花园中每个角上的扇形相同. (1)你认为小明的结果对吗？请计算说明；(2)请你帮助小颖求出图中的x (结果保留根号和π).答案:(1)小明的结果正确.设小路的宽为x m ,则(16－2x )(12－2x )＝12×16×12,解得x ＝2或x ＝12(舍去).故小明的结果正确.(2)四个角上的四个扇形可合并成一个圆,设这个圆的半径为r m ,则有πr 2＝12×16×12,解得r ＝4π.故图中的x 为4πB 卷2 （易错题二次过关）一、忽视一元二次方程的二次项系数a ≠0例1：已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 解：由题意得⎩⎨⎧≠>--=∆004)12222k k k （，解之41<k 且k ≠0.★★变式1：已知关于x 的方程044)1(2=+--x x k 有两个实数根，则k 的取值范围是 . 答案：k ≤8或k ≠1★★变式2：已知关于x 的方程044)1(2=+--x x k 有实数根，则k 的取值范围是 . 答案：k ≤8★★变式3：已知关于x 的二次方程012)21(2=---x k x k 有实根，则k 的取值范围是 . 答案：0≤k ≤1且21≠k 二、忽视根的判别式ac b 42-=∆的条件例2：已知关于x 的方程0122=-+-m mx x 的两个实数根的平方和为23，则m 的值为 .答案：-3★★变式1：若1x ，2x 是方程02)1(2=---x x m 的两个根，且81221221-=+x x x x ，则实数m 的值为 .答案：5★★变式2：若1x ，2x 是方程0)1()1(22=-+++m x m mx 的两个根，且2121x x x x =+，则m 的值 . 答案：不存在★★变式3：已知关于x 的一元二次方程0122=-+-m x x 有两个实数根，设p 是方程的一个实数根，且满足7)4)(32(2=++-m p p ，则m 的值为 . 答案：-3三、忽视题中隐含条件例3：已知关于x 的方程0422=++-a x a x 有两个不相等的实数根，求a 的取值范围. 答案：-2≤x ≤2★★变式：已知关于x 的方程01132=++-x k kx 有两个实数根，则a 的取值范围是.答案：131≤≤-k 且k ≠0B 卷3 （期中+期末）一、填空题1.（武侯）已知实数x 满足01122=--+x x xx ，则x x 1+= . 答案：22.（青羊）若实数a ，b 满足8)2)((2222=-++b a b a ，则22b a += . 答案：43.（锦江）已知a 是方程0120132=+x x 的一个根，则12013201222++-a a a 的值为 . 答案：20124.（锦江）若△ABC 的一条边BC 的长为5，另两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，当k = 时，△ABC 是等腰三角形；当k = 时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形. 答案：3或4；25.（金牛）关于x 的一元二次方程012)1(2=++-x x m 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 . 答案：m <2且m ≠16.（高新）设1x ，2x 是一元二次方程0242=-+-t x x 的两个实数根，则2221213x x x x ++的值为 .答案：107.（成华）已知t 为实数，关于x 的方程0242=-+-t x x 有两个非负实数根a ，b ，且0)1)(1(22=--b a ，则t 的值是 . 答案：58.（武侯）已知方程0122=--x x 的两根分别为m ，n ，则代数式1)(24--+m n m 的值为 . 答案：49.（锦江）若a ，b 是一元二次方程020162=--x x 的两根，则201620173-+b a 的值为 . 答案：201710.（金堂）设α,β是一元二次方程022=--x x 的两个实数根，则22βαβα+-的值为 . 答案：711.（双流）对于任意非零自然数n ，一元二次方程0)1(1)1(122=++++-n n x n n n x 的两个根在数轴上对应的点分别为点n A ，n B ，n n B A 表示这两点间的距离，则201520152211B A B A B A +⋅⋅⋅++的值是 .答案：2016201512.（温江）现有三张分别标有数字1，2，6的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a （不放回），再从中任意抽取一张，将上面的数字记为b ，这样的数字a ，b 能使关于x 的一元二次方程09)3(222=+---b x a x 有两个正根的概率为 .答案：31二、解答题1.（武侯）成都市某学校计划建一个长方形种植园，如图所示，种植园的一边靠墙，另三边用周长为30m 的篱笆围成，已知墙长为18m ，设这个种植园垂直于墙的一边长为x （m ），种植园的面积为y （m 2）. （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）根据实际需要，要求这个种植园的面积不小于100m 2，求x 的取值范围，并求这个种植园的面积的最大值.解：（1）根据题意，得y =(30-2x )x =-2x 2+30x .（2）油题意，得-2x 2+30x ≥100，解得5≤x ≤10. ∵30-2x ≤18，∴x ≥6，∴6≤x ≤10.∵y =-2x 2+30x =-2(x -7.5)2+112.5 . ∴当x =7.5时，这个种植园的面积最大，最大面积为112.5m 2.2.（孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +4=0有两个实数根x 1，x 2. （1）求m 的取值范围.（2）若x 1，x 2满足3x 1=|x 2|+2，求m 的值.解：（1）关于二的一元二次方程x 2-6x +m +4=0有两个实数根x 1，x 2，∴△=(-6)2-4(m +4)=20-4m ≥0，解得m ≤5.m 的取值范围为m ≤5.（2）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +4=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=6①，x 1·x 2=m+4②. ∵3x 1=|x 2|+2，当x 2≥0时，有3x 1=x 2+2③.联立①③解得x 1=2，x 2=4，∴8=m +4，m =4；当x 2<0时，有3x 1=-x 2+2④. 联立①④解得x 1=-2，x 2=8（不合题意，舍去）. ∴符合条件的m 的值为4.3.(北京)已知关于x 的一元二次方程x 2-(k +3)x +2k +2=0. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k 的取值范围.（1）证明：∵在方程x 2-(k+3)x +2k +2=0中，△=[-(k+3)]2-4×1×(2k +2)=k 2-2k +1=(k -1)2≥0.∴方程总有两个实数根.（2）解：∵x 2-(k+3)x +2k +2=(x -2)(x -k -1）=0，∴x 1=2，x 2=k +1. ∵方程有一根小于1，∴k +1<1，解得k <0.∴k 的取值范围为k <0.4.鄂州 已知关于x 的方程x ²－(2k －1)x ＋k ²－2k ＋3＝0有两个不相等的实数根. (1)求实数k 的取值范围.(2)设方程的两个实数根分别为1x ，2x ，是否存在这样的实数k ，使得|1x | －|2x |？若存在，求出这样的k 值；若不存在，请说明理由.答案：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴∆＝[－(2k －1)]²－4(k ²－2k ＋3)＝4k －11＞0,解得k ＞114. (2)存在.由方程易得1x ＋2x ＝2k －1, 1x 2x ＝k ²－2k ＋3＝(k －1)²＋2＞0.将|1x |－|2x |两边平方，得1x ²－2|1x 2x |＋2x ²＝5,即(1x ＋2x )²－4|1x 2x |＝5. ∴(2k －1)²－4(k ²－2k ＋3)＝5,解得k ＝4.5．济宁 某地为做好“精准扶贫”，在2015年投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，则2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？答案:(1)设该地投人异地安置资金的年平均增长率为x.根据题意,得1280(1＋x)²＝1280＋1600,解得x＝0.5或x＝－2.5(舍去).答:从2015年到2017年，该地投人异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励.根据题意,得1000×8×400＋(a－1000)×5×400≥5000000,解得a≥1900.答:2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.B 卷4(名校十直升)一、填空题1.成外 已知实数a ，b (a ≠b )，满足(a ＋1)²＝3－3(a ＋1)，3(b ＋1)＝3－(b ＋1)²，则值为 .答案：－23.2.成外 △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，∠A ，∠B 的正弦值是一元二次方程m (x ²－2x )＋5(x ²＋x )＋12＝0的两根，则Rt △ABC 的两直角边的长分别为 .答案：6cm 、8cm . 3.七中 若m 是方程x ²＋x －4＝0的根，则代数式3m ＋5m ²－5的值是 . 答案：11.4.七中 三张完全相同的卡片，正面分别标有数字0，1，2，先将三张卡片洗匀后反面朝上，随机抽取一张，记下卡片上的数字m ，放置一边，再从剩余的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字n ，则满足关于x 的方程x ²＋mx ＋n ＝0有实数根的概率为 .答案：12. 5.七中实验 有6张正面分别标有－1，－2，－3，0，1，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m ，则使关于x 的分式方程1mx2x －－＋2＝12x－有正数解，且使一元二次方程mx ²＋4x ＋4＝0有两个实数根的概率为 . 答案：12.6.设1x ，2x 是一元二次方程x ²＋4x －3＝0的两个根，且21x (2x ²＋52x －3)＋a ＝2，则a 的值为 . 答案：8.7.四中 已知α，β为方程x ²＋4x ＋2＝0的两实根，则3α＋14β＋50＝ . 答案：2.8.四中 已知α，β是方程x ²－x －1＝0的两个实数根，则代数式α²＋α(β²－2)的值为 . 答案：0. 二、解答题1.成外 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若关于x 的方程c (x ²＋1)－－a (x ²－1)＝0的两根的平方和为10，求ba的值.答案：原方程整理为(c －a )x ²－bx ＋(c ＋a )＝0.设1x ，2x 是方程的两个根,则1x ²＋2x ²＝10,即(1x ＋2x )²－21x 2x ＝10，把1x ＋2x 1x 2x ＝c aac ＋－代入,得)²一2×c aac ＋－＝10,即4b ²－(c ²－a ²)＝5(c －a )².由勾股定理,得c ²－a ²＝b ²,代入以上方程整理后得3b ² ＝5(c －a )².∵c 是斜边,∴c ＞a ,两边开平方,a c .两边同时平方,得3b ²。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第08章-二次方程与方程组
第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。
例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。
（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。
（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。
（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。
例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。
求ab ab b a b a --++的值。
例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。
求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。
最全最新初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解
初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。
有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。
解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。
1.形如方程的解的讨论：⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。
2.关于一元二次方程()0a ≠根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。
⑴若，则它有一个实数根1x =；若，则它有一个实数根1x =-。
⑵运用数形结合思想将方程()0a ≠根的讨论与二次函数()0a ≠的图象结合起来考虑是常用方法。
几个基本模型（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x x n <<的充要条件是202b m n a b af a ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，()()00af m af n >⎧⎪⎨>⎪⎩（2）一般地设m n p <<，设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x n x p <<>的充要条件是()()()000af m af n af p >⎧⎪<⎨⎪>⎩（3）一般地设m n p q <≤<设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12m x n p x q <<≤<<的充要条件是()()()()0000af m af n af p af q >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩（4）一般地设m n ≤设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12x m n x ≤≤≤的充要条件是()()00af m af n ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。
第一讲 培优竞赛一元二次方程的解法辅导
第一讲 一元二次方程的定义及解法培优竞赛辅导【基础知识回顾】知识点一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：,其中二次项是,一次项是，是常数项。
3 、一元一次方程的解:常用的两个结论是：①a ＋b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为1；②a －b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为－1;若c=0呢?题型一：一元二次方程的概念例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A 02=++c bx axB 02112=-+x xC 1222+=+x x xD ()()12132+=+x x 变:（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
(2)方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。
题型二：一元二次方程的解例2.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为变:（1）已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为(2)若n ﹙n ≠0﹚是关于x 的方程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值。
(3)设设a 是方程x 2－2005x ＋1＝0的一个根，则a 2－2004a ＋＝ (4)已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。
知识点二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果2ax b =( )，则2x = ，1x = ，2x = 。
2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生0A B = 的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根.3、配方法：解法步骤：①化二次项系数为即方程两边都二次项系数；②移项：把项移到方程的边；③配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式；④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。
全国初中数学竞赛辅导(初2)第09讲 一元二次方程
第九讲 一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一 是进一 学习其他方程、 等式、函数等的基础 其内容非常丰富 本讲 要介绍一元二次方程的基本解法．方程ax2+bx+c=0(a≠0)称 一元二次方程．一元二次方程的基本解法有开 方法、配方法、公式法和国式分解法．对于方程ax2+bx+c=0(a≠0) △=b2-4ac称 该方程的根的判别式．当△＞0时 方程有两个 相等的实数根 即当△=0时 方程有两个相等的实数根 即当△ 0时 方程无实数根．分析 可以使用公式法直接求解 下面介绍的是采用因式分解法求解．因所以例2 解关于x的方程x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0．解 用十字相乘法分解因式得与x-p(p-q)]与x-q(p+q)]=0所以x1=p(p-q) x2=q(p+q)．例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根 a 方程x2+1998x-1999=0的较小根 平 求干-平的值．解 由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0(x+1999)(x-1)=0故x1=-1999 x2=1 所以平=-1999．所以干-平=1-(-1999)=2000．例4 解方程 (3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1) 将方程变3x-1=4x+1所以x=-2 这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意 用含有未知数的整式去除方程两边时 很可能导致方程失根．本题 确的解法如下．解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0(x-1)与(3x-1)-(4x+1)]=0(x-1)(x+2)=0所以 x1=1 x2=-2．例5 解方程 x2-3｜x｜-4=0．分析 本题含有绝对值符号 因 求解方程时 要考虑到绝对值的意义．解法1 显然x≠0．当x＞0时 x2-3x-4=0 所以x1=4 x2=-1(舍去)．当x 0时 x2+3x-4=0 所以x3=-4 x4=1(舍去)．所以原方程的根 x1=4 x2=-4．解法2 由于x2=｜x｜2 所以｜x｜2-3｜x｜-4=0所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0所以 ｜x｜=4 ｜x｜=-1(舍去)．所以 x1=4 x2=-4．例6 已知二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0有一个根 2 求另一个根 并确定a的值．解 由方程根的定义知 当x=2时方程成立 所以3×22-(2a-5)×2-3a-1=0故a=3．原方程3x2-x-10=0 即(x-2)(3x+5)=0例7 解关于x的方程 ax2+c=0(a≠0)．分析 含有字母系数的方程 一般需要对字母的取值范围进行讨论．当c=0时 x1=x2=0当ac＞0(即a c同号时) 方程无实数根．例8 解关于x的方程(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．分析 讨论m 由于二次项系数含有m 所以首先要分m-1=0 m-1≠0两种情况( 能认 方程一定是一元二次方程) 当m-1≠0时 再分△＞0 △=0 △ 0三种情况讨论．解 分类讨论．(1)当m=1时 原方程变 一元一次方程x-2=0所以x=2．(2)当m≠1时 原方程 一元二次方程．△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．例9 解关于x的方程a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．解 整理方程得(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0．(1)当a2-a≠0 即a≠0 1时 原方程 一元二次方程 因式分解后与ax-(a+1)]与(a-1)x-a]=0(2)当a2-a=0时 原方程 一元一次方程 当a=0时 x=0 当a=1时 x=2．例10 求k的值 使得两个一元二次方程x2+kx-1=0 x2+x+(k-2)=0有相同的根 并求两个方程的根．解 妨设a是这两个方程相同的根 由方程根的定义有a2+ka-1=0a2+a+(k-2)=0．- 有ka-1-a-(k-2)=0即 (k-1)(a-1)=0所以k=1 或a=1．(1)当k=1时 两个方程都变 x2+x-1=0 所以两个方程有两个相同的根没有相异的根(2)当a=1时 代入 或 都有k=0 时两个方程变x2-1=0 x2+x-2=0．解这两个方程 x2-1=0的根 x1=1 x2=-1 x2+x-2=0的根 x1=1 x2=-2．x=1 两个方程的相同的根．例11 若k 整数 且关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个 相等的 整数根 求k的值．解 原方程变形、因式分解(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0与(k+1)x-12]与(k-1)x-6]=0即4 7．所以k=2 3使得x1 x2同时 整数 但当k=3时 x1=x2=3 题目 符 所以 只有k=2 所求．例12 关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和平 且｜干｜+｜平｜ 6 确定m的取值范围．解 妨设方程的根干 平 由求根公式得｜干｜+｜平｜=干+平=5 6符合要求 所以m2 1．例13 设a b c △ABC的三边 且二次三项式x2+2ax+b2 x2+2cx-b2有一次公因式 证明 △ABC一定是直角三角形．证 因 题目中的两个二次三项式有一次公因式 所以二次方程x2+2ax+b2=0 x2+2cx-b2=0必有公共根 设公共根 x0 则两式相加得若x0=0 代入 式得b=0 这 b △ABC的边 符 所以公共根x0=-(a c)．把x0=-(a c)代入 式得(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0整理得a2=b2+c2所以△ABC 直角三角形．例14 有若 个大小相同的球 可将它们摆成 方形或 三角形 摆成 三角形时比摆成 方形时 边多两个球 求球的个数．解 设小球摆成 三角形时 边有x个球 则摆成 方形时 边有(x-2)个球． 时 三角形共有球时 方形共有(x-2)2个球 所以即 x2-9x+8=0x1=1 x2=8．因 x-2 1 所以x1=1 符合题意 舍去．所以x=8 时共有球(x-2)2=36个．练 习 九1．解方程(2)20x2+253x+800=0(3)x2+｜2x-1｜-4=0．2．解下列关于x的方程(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)．3．若对任何实数a 关于x的方程x2-2ax-a+2b=0都有实数根 求实数b的取值范围．4．若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根 求(a+b)2000的值．5．若a b c △ABC的三边 且关于x的方程4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根 试证△ABC 是等边三角形．。
初中数学竞赛辅导讲义：第5讲-一元二次方程的整数整数解(含习题解答)
第五讲 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根．(山西省竞赛题)6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0； (2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
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初中数学竞赛专题辅导一元二次方程
一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．
方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程．
一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即
当△=0时，方程有两个相等的实数根，即
当△＜0时，方程无实数根．
分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．
因为
所以
例2 解关于x的方程：
x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0．
解用十字相乘法分解因式得
[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0，
所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)．
例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．
解由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得
(20002x+1)(x-1)=0，
(x+1999)(x-1)=0，
故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以
α-β=1-(-1999)=2000．
例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．
分析本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为
3x-1=4x+1，
所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．
解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，
(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，
(x-1)(x+2)=0，
所以 x1=1，x2=-2．
例5 解方程：x2-3｜x｜-4=0．
分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．
解法1 显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．
所以原方程的根为x1=4，x2=-4．
解法2 由于x2=｜x｜2，所以
｜x｜2-3｜x｜-4=0，
所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，
所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．
所以 x1=4，x2=-4．
例6 已知二次方程
3x2-(2a-5)x-3a-1=0
有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．
解由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以
3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，
故a=3．原方程为
3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，
例7 解关于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．
分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．
当c=0时，x1=x2=0；
当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．
例8 解关于x的方程：
(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．
分析讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论．
解分类讨论．
(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程
x-2=0，
所以x=2．
(2)当m≠1时，原方程为一元二次方程．
△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．
例9 解关于x的方程：
a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．
解整理方程得
(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0．
(1)当a2-a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0，
(2)当a2-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2．
例10 求k的值，使得两个一元二次方程
x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0
有相同的根，并求两个方程的根．
解不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有
a2+ka-1=0，①
a2+a+(k-2)=0．②
①-②有
ka-1-a-(k-2)=0，
即 (k-1)(a-1)=0，
所以k=1，或a=1．
(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根
没有相异的根；
(2)当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为
x2-1=0，x2+x-2=0．
解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2．x=1为两个方程的相同的根．
例11 若k为正整数，且关于x的方程
(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0
有两个不相等的正整数根，求k的值．
解原方程变形、因式分解为
(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，
[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，
即
4，
7．所以k=2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．
例12 关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m的取值范围．
解不妨设方程的根α≥β，由求根公式得
｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，
符合要求，所以m2≤1．
例13 设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．
证因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程
x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x0，则
两式相加得
若x0=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x0=-(a ＋c)．把x0=-(a＋c)代入①式得
(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0，
整理得
a2=b2+c2
所以△ABC为直角三角形．
例14 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．
解设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球
此时正方形共有(x-2)2个球，所以
即 x2-9x+8=0，
x1=1，x2=8．
因为x-2≥1，所以x1=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球
(x-2)2=36个．
练习九
1．解方程：
(2)20x2+253x+800=0；
(3)x2+｜2x-1｜-4=0．
2．解下列关于x的方程：
(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0；
(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)．
3．若对任何实数a，关于x的方程
x2-2ax-a+2b=0
都有实数根，求实数b的取值范围．
4．若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，求(a+b)2000的值．5．若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程
4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC 是等边三角形．。