(完整)湖南省高一上学期期末考试数学试题(含详细答案).doc

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湖南师大附中2016－2017 学年度高一第一学期期末考试

数学

时量： 120 分钟满分：150分

得分： ____________

第Ⅰ卷 (满分 100 分 )

一、选择题：本大题共11 小题，每小题 5 分，共 55 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知两点A(a ， 3) ， B(1，－ 2) ，若直线 AB 的倾斜角为135°，则 a 的值为

A． 6 B ．－ 6 C． 4 D．－ 4

2．对于给定的直线l 和平面a，在平面 a 内总存在直线m 与直线l

A．平行B．相交C．垂直 D ．异面

3．已知直线l1： 2x＋ 3my － m＋ 2＝ 0 和 l2： mx＋ 6y－ 4＝ 0，若 l1∥ l2，则 l1与 l2之间的距离为

510 2 5 2 10

A. 5

B. 5

C. 5

D. 5

4．已知三棱锥P－ ABC 的三条侧棱PA 、PB、PC 两两互相垂直，且PA＝2，PB＝3， PC＝ 3，则这个三棱锥的外接球的表面积为

A． 16πB． 32πC． 36πD ． 64π

5．圆 C1： x2＋ y2－ 4x－ 6y＋ 12＝ 0 与圆 C2： x 2＋ y2－ 8x－ 6y＋ 16＝ 0 的位置关系

是A．内含 B．相交 C．内切 D ．外切

6．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是

A．若 m∥ n， m? β，则 n∥ β B ．若 m∥ α，α∩β＝ n，则 m∥ n

C．若 m⊥ β，α⊥β，则 m∥ α D ．若 m⊥ α， m⊥β，则α∥ β

7．在空间直角坐标系O－ xyz 中，一个四面体的四个顶点坐标分别为A(0 ，0，2) ，B(2 ，2，0) ，C(0 ，2，0) ，D(2 ， 2， 2) ，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则四面体ABCD的正视图为

8．若点 P(3， 1)为圆 (x － 2)2＋ y2＝ 16 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为

A． x－ 3y＝ 0 B． 2x－ y－ 5＝ 0

C． x＋ y－ 4＝ 0D． x － 2y－ 1＝ 0

9．已知四棱锥 P－ ABCD 的底面为菱形，∠ BAD ＝ 60°，侧面 PAD 为正三角形，且平面 PAD ⊥平面 ABCD ，则下列说法中错误的是

A．异面直线PA 与 BC 的夹角为60°

C．二面角 P－ BC － A 的大小为45°

D． BD ⊥平面PAC

10．已知直线l 过点 P(2， 4)，且与圆O： x2＋ y2＝ 4 相切，则直线 l 的方程为

A． x＝ 2 或 3x－ 4y＋ 10＝ 0

B． x＝ 2 或 x ＋ 2y－ 10＝ 0

C． y＝ 4 或 3x － 4y＋ 10＝ 0

D． y＝ 4 或 x＋ 2y－ 10＝ 0

11．在直角梯形BCEF 中，∠ CBF ＝∠ BCE ＝ 90°， A 、 D 分别是BF、 CE 上的， AD ∥ BC ，且 AB ＝ DE ＝2BC ＝ 2AF ，如图 1.将四边形ADEF 沿 AD 折起，连结 BE、 BF 、 CE，如图 2.则在折起的过程中，下列说法中错

误的是

A． AC ∥平面BEF

B．直线 BC 与 EF 是异面直线

C．若 EF⊥ CF，则平面 ADEF ⊥平面ABCD

D．平面 BCE 与平面 BEF 可能垂直

答题卡

题号1 23 4 567 8910 11得分

答案

二、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．

12．若直线 l： x － y＋ 1＝ 0 与圆 C： (x－ a)2＋ y2＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围是 ____________ ．

V 1 13．已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V 1，球的体积为V 2，则V2

＝________ ．

14．已知三棱锥 P－ ABC 的体积为10 ，其三视图如图所示，则这个三棱锥最长的一条侧棱长等于________ ．

三、解答题：本大题共 3 个小题，共 30 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15． (本小题满分8 分 )

已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3 ， 0) ， B(4， 6) ， C(0 ， 8) ．

(1)求 BC 边上的高所在直线l 的方程；

16.(本小题满分10 分 )

已知圆 C 经过 A( －2， 1) ， B(5， 0) 两点，且圆心 C 在直线y＝ 2x 上．

(1)求圆 C 的标准方程；

(2)设动直线l： (m ＋2)x ＋ (2m ＋ 1)y － 7m － 8＝ 0 与圆 C 相交于 P， Q 两点，求 |PQ|的最小值．

17． (本小题满分12 分 )

如图，在三棱柱ABC － A 1B 1C1中， A 1A ⊥平面 ABC ， AB ⊥ AC ， AB ＝ AC ＝ AA 1， D 为 BC 的中点．

(1)证明： A 1B ⊥平面AB 1 C;

(2)求直线A1 D 与平面 AB 1C 所成的角的大小．

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第Ⅱ卷 (满分 50 分 )

一、本大题共 2 个小题，每小题 6 分，共 12 分．

2

<1 ， N ＝ {y|y ＝ lg (x2＋ 1)} ，则 N∩ ?RM＝ ______ ．

18．已知集合 M ＝ x|

x

19．已知函数 f(x)在定义域R 上单调递减，且函数 y＝ f(x－ 1)的图象关于点A(1 ， 0)对称．若实数t 满足 f(t2

－ 2t)＋ f(－ 3)>0 ，则t－1

的取值范围是 ( ) t－ 3

1 1

A. 2，＋∞

B. －∞，2

2 1

C. 0，3

D. 2， 1 ∪ (1 ，＋∞ )

二、本大题共 3 个大题，共 38 分．

20． (本小题满分12 分 )

如图，四棱锥S－ ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍， P 为侧棱 SD 上的点．

(1)求证： AC ⊥ SD；

(2)若 SD ⊥平面 PAC ，侧棱 SC 上是否存在一点E，使得 BE∥平面PAC ？若存在，求 SE∶ EC 的值；若不存在，试说明理由．

21.(本小题满分13 分 )

f（ x）

设函数 f(x) ＝ mx 2－ mx－ 1， g(x) ＝.

(1)若对任意x∈ [1 ， 3]，不等式f(x)<5 － m 恒成立，求实数m 的取值范围；

(2)当 m＝－1

4时，确定函数g(x) 在区间 (3，＋∞ )上的单调性．

22.(本小题满分13 分 )

已知圆 C： (x － a)2＋ (y － a－ 2)2＝ 9，其中 a 为实常数．

(1) 若直线 l： x＋ y－ 4＝ 0 被圆 C 截得的弦长为 2，求 a 的值；

(2) 设点 A(3 ， 0) ， O 为坐标原点，若圆 C 上存在点 M ，使 |MA| ＝ 2|MO|，求 a 的取值范围．

湖南师大附中2016－ 2017 学年度高一第一学期期末考试

数学参考答案

第Ⅰ卷 (满分 100 分 )

一、选择题：本大题共11 小题，每小题 5 分，共 55 分 .

题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

答案D C B A C D B C D A D 二、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．

3

14. 34

12． [－ 3， 1] 13.2

三、解答题：本大题共 3 个小题，共 30 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．【解析】 (1) 因为点 B(4 ， 6) ， C(0 ， 8) ，则 k BC＝8－6

＝－ 1 .(1 分 ) 0－ 4 2

因为 l ⊥ BC ，则 l 的斜率为 2.(2 分 )

又直线 l 过点 A ，所以直线 l 的方程为 y ＝ 2(x － 3)，即 2x－ y－ 6＝ 0.(4 分 ) (2)因为点 A(3 ， 0) ， C(0 ， 8) ，则 |AC|＝9＋ 64＝73.(5 分 )

又直线 AC 的方程为x

＋

y

＝ 1，即 8x＋ 3y－ 24＝ 0， (6 分 ) 3 8

则点 B 到直线 AC 的距离 d＝32＋18－24

＝

26

.(7 分 ) 64＋ 9 73

1

所以△ ABC 的面积 S＝2|AC| × d＝ 13. (8 分 )

3 1 1 1

16．【解析】 (1) 方法一：因为线段 AB 的中点为2，

2 ，k AB＝－7，则线段 AB 的垂直平分线方程为y－2 ＝

7 x－3

，即 y＝ 7x － 10. (2 分 ) 2

联立 y＝ 2x，得 x＝ 2， y＝ 4.所以圆心C(2 ， 4)，

半径 r＝ |AC|＝16＋ 9＝ 5.(4 分)

所以圆 C 的标准方程是(x － 2)2＋ (y－ 4)2＝ 25.(5 分 )

方法二：设圆 C 的方程为x2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey＋ F ＝ 0，则

－2D ＋ E＋ F＋ 5＝ 0，

5D＋ F＋ 25＝ 0，解得D＝－4，E＝－8，F＝－5.(3分)

E＝ 2D ，

所以圆 C 的方程是x2＋ y2－ 4x－ 8y－ 5＝ 0，

即(x－ 2) 2＋ (y－ 4) 2＝ 25.(5 分 )

(2)直线 l 的方程化为(2x ＋ y－ 8) ＋ m(x ＋ 2y－ 7)＝ 0.

2x＋ y－ 8＝ 0，x ＝ 3，

令得所以直线l 过定点 M(3 ， 2)． (7 分 ) x ＋ 2y－ 7＝ 0，y ＝ 2，

由圆的几何性质可知，当 l⊥ CM 时，弦长 |PQ|最短．

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2

则 |PQ|min ＝ 2 r 2

－ |CM | ＝ 2 25－ 5＝ 4 5.(10 分 )

17． 【解析】 (1) 因为 A 1A ⊥平面 ABC ，则 A 1A ⊥ AC.

又 AC ⊥ AB ，则 AC ⊥平面 AA 1 B 1B ，所以 AC ⊥ A 1B.(3 分 )

由已知 ，侧面 AA 1 B 1 B 是正方形 ，则 AB 1⊥ A 1 B.

因为 AB 1∩ AC ＝ A ，所以 A 1B ⊥平面 AB 1 C.(5 分 )

(2)方法一： 连结 A C ，设 AB

1 ∩ A

B ＝ O ，连 CO ，交 A D 于 G.

1

1

1

因为 O 为 A 1 B 的中点 ， D 为 BC 的中点 ，则 G 为 △ A 1BC 的重心．

因为 A 1O ⊥平面 AB 1 C ，则 ∠ A 1 GO 是 A 1D 与平面 AB 1 C 所成的角． (8 分 ) 设 AB ＝ AC ＝ AA 1＝ 1，则 A 1 B ＝ BC ＝ A 1C ＝ 2.

2

2

2

6

得 A 1O ＝ 2 ， A 1 G ＝ 3A 1D ＝ 3 × 2sin 60°＝ 3 .

A 1 O

3

在 Rt △ A 1OG 中， sin ∠ A 1GO ＝ A 1 G ＝ 2 ，则 ∠ A 1GO ＝ 60° . 所以直线 A 1 D 与平面 AB 1 C 所成的角为 60° .(12 分 )

方法二： 分别取 AB ， B 1B 的中点 E ， F ，连 DE ， EF ， DF ，

则 ED ∥ AC ， EF ∥ AB 1 ，

所以平面 DEF ∥ 平面 AB 1 C.

因为 A 1B ⊥平面 AB 1C ，则 A 1B ⊥平面 DEF. 设 A 1B 与 EF 的交点为 G ，连 DG ，

则 ∠ A 1DG 是直线 A 1 D 与平面 DEF 所成的角 . (8 分 ) 设 AB ＝ AC ＝ AA 1 1 1

＝ 1，则 A B ＝ BC ＝ A C ＝ 2. 得 A 1G ＝ 3A 1B ＝

3 2

， A 1D ＝ 2sin 60°＝

6

.

4

4

2

在 Rt △ A 1

1

DG A 1 G

＝ 3

，则 ∠ A 1

DG ＝ 60° .

GD 中， sin ∠ A ＝

A 1 D 2

所以直线 A 1 D 与平面 AB 1C 所成的角为 60° . (12 分 )

第 Ⅱ 卷 (满分 50 分 )

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【解析】 M ＝ (－ ∞ ， 0) ∪ (2，＋ ∞ )， N ＝ [0，＋ ∞)，所以 N ∩ ?RM ＝ [0 ， 2]．

19． B 【解析】 因为 y ＝ f(x － 1)的图象关于点 A(1 ， 0)对称 ，则 y ＝ f(x)的图象关于原点对称

，即 f(x)为奇函

数．

由 f (t 2 － 2t)＋ f(－ 3)>0 ，得 f(t 2 － 2t )>－ f(－ 3)＝ f(3)， 因为 f(x)在 R 上是减函数 ，

则 t 2－ 2t<3，即 t 2－ 2t － 3<0，得－ 1＜ t ＜ 3.

t － 1 2 t － 1 1

因为 y ＝ t － 3 ＝ 1＋ t － 3 在区间 (－ 1， 3) 上是减函数 ，则 t － 3< 2，选 B.

二、本大题共 3 个大题 ，共 38 分．

20． 【解析】 (1) 连接 BD ，设 AC 交 BD 于点 O ，连接 SO ，由题意得 SO ⊥AC ，

又因为正方形 ABCD 中， AC ⊥ BD ，

所以 AC ⊥ 平面 SBD,

∵ SD? 平面 SBD ，所以 AC ⊥ SD. (6 分 )

(2)在棱 SC 上存在一点 E ，使得 BE ∥ 平面 PAC.

设正方形边长为

a ，则 SD ＝ 2a.

由 SD ⊥平面 PAC 得 PD ＝ 42a

，

故可在 SP 上取一点 N ，使 PN ＝ PD.

过点 N 作 PC 的平行线与

SC 的交点为 E ，连接 BN ，

在 △ BDN 中，易得 BN ∥ PO ，又因为

NE ∥ PC ，

所以平面 BEN ∥平面 PAC ，所以 BE ∥ 平面 PAC.

因为 SN ∶ NP ＝ 2∶ 1，所以 SE ∶ EC ＝ 2∶ 1. (12 分 )

21． 【解析】 (1) 由 f(x)<5 － m ，得 mx 2－ mx － 1<5－ m ，即 m(x 2 － x ＋ 1)<6.

因为 x 2

－ x ＋ 1＝ x － 1 2 ＋ 3

>0，则 m< 2 6 .(3 分 )

2 4 x － x ＋ 1

6 设 h(x) ＝ x 2－ x ＋ 1，则当 x ∈ [1 ， 3]时， m ＜ h(x)恒成立．

因为 y ＝ x 2 － x ＋ 1 在区间 [1 ，3] 上是增函数 ，则 h(x) 在区间 [1， 3] 上是减函数 ， h(x) min

6

＝ 7.

＝ h(3) 所以 m 的取值范围是 6

－ ∞ ， 7 . (6 分 )

1

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1

x

＋ 1

当 m ＝－ 4时， g(x) ＝－

4

.(7 分 )

x － 1

x 2 1 x 1 1 设 x 1>x 2>3，则 g(x 1)－ g(x 2)＝ 4 ＋ 2 － 4 ＋

1 － 1 ＝ x － 1 x

x 2 － x 1 ＋

1 － 1 ＝ x － x ＋ x － x

2

＝

2 1 1

4 4

x 2 － 1 x 1－ 1

4 （ x 1－ 1）（ x 2－ 1）

1

－ 1

.(10 分 )

(x 1－

x 2)

（ x 1－ 1）（ x 2－ 1）

4

因为 x 1－ 1>x 2－ 1>2 ，则 (x 1 － 1)(x 2－ 1)>4 ，

得 1 1 ，又 x 1

（ x 1－ 1）（ x 2 － 1） <

4 2 1 ) 2 )<0，

－ x >0，则 g(x － g(x

即 g(x 1)

d 2 ＋ 1＝ 9，即 d ＝ 2 2.(4 分 )

所以 |a ＋（ a ＋ 2）－ 4|＝ 2 2，即 |a － 1|＝ 2，所以 a ＝－ 1 或 a ＝ 3.(6 分 )

2

(2)设点 M(x ， y)，由 |MA| ＝ 2|MO| ，得 （ x － 3） 2＋ y 2＝ 2 x 2＋ y 2，即 x 2＋ y 2＋ 2x － 3＝ 0. 所以点 M 在圆 D ： (x ＋ 1)2＋ y 2＝ 4 上．其圆心为 D( － 1， 0)，半径为 2.(8 分 ) 因为点 M 在圆 C 上，则圆 C 与圆

D 有公共点 ，即 1≤ |CD| ≤ 5.(9 分 )

a 2＋ 3a ＋ 2≥ 0， 所以 1≤

（ a ＋ 1） 2＋（ a ＋ 2） 2≤ 5，即

a 2＋ 3a － 10≤ 0，

（ a ＋ 2）（ a ＋ 1） ≥ 0，

即 (11 分 )

（ a － 2）（ a ＋ 5） ≤ 0，

a ≤ － 2或 a ≥ － 1， 解得 即－ 5≤ a ≤ － 2 或－ 1≤a ≤ 2.

－ 5≤ a ≤ 2，

故 a 的取值范围是 [－ 5， － 2] ∪ [－ 1， 2] ． (13 分 )

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