全国2017年中考数学真题分类汇编 9 一元二次方程及其应用
中考数学专题题库∶一元二次方程的综合题含答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x ，根据题意得：10（1+x ）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y ，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y ）×90%+y ，∴（14.4×90%+y ）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题2．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0和（2）见解析,2【解析】 【分析】 （1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有， 由解得．∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-，2即AM的解析式为112y x=--．3．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，设AD=x ，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt △CFH 中，根据勾股定理，得. ∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴，即，解得.④设AD=x ，易知，即. 而， 当时，；当时，. ∴△FCD 的面积s 的取值范围是. 考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.4．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m 时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
中考数学 第一部分 考点研究复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第7课时 一元二次方程及其应用真
江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第二章方程（组）与不等式（组）第7课时一元二次方程及其应用真题精选（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第二章方程（组）与不等式（组）第7课时一元二次方程及其应用真题精选（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章方程(组）与不等式（组)第7课时一元二次方程及其应用江苏近4年中考真题精选(2013～2016)命题点1 一元二次方程及其解法（2015年3次，2014年4次，2013年5次)1. (2016泰州14题3分)方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m 的值为________．2. （2015徐州20（1）题5分)解方程：x2－2x－3＝0。
3。
（2014泰州17(2）题6分)解方程:2x2－4x－1＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(2016年5次，2015年7次，2014年6次，2013年3次）4。
(2014苏州7题3分）下列关于x的方程有实数根的是( )A。
x2－x＋1＝0 B. x2＋x＋1＝0C. (x－1）(x＋2)＝0 D。
（x－1)2＋1＝05. （2016淮安14题3分)若关于x的一元二次方程x2＋6x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝________．6. (2016宿迁12题3分)若一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．7。
中考数学真题分类汇编第一期专题9一元二次方程及其应用试题含解析
一元二次方程及其应用一、选择题1. （2018?山东菏泽?3 分）关于x 的一元二次方程（k+1）x 2﹣2x+1=0 有两个实数根，则k 的取值范围是（）A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0 且k≠﹣1 D．k≤0 且k≠﹣1【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0 且△=（﹣2） 2 ﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k+1≠0 且△=（﹣2） 2 ﹣4（k+1）≥0，解得k≤0 且k≠﹣1．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．2. （2018?江苏盐城?3 分）已知一元二次方程有一个根为1，则的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 48. 【答案】B【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解：把x=1 代入方程可得1+k-3=0 ，解得k=2。
故答案为： B【分析】将x=1 代入原方程可得关于k 的一元一次方程，解之即可得k 的值。
3．（2018?山西?3 分）用配方法将二次函数y x2 8x 9 化为y a x h 2 k 的形式为（）A. y x 4 2 7B. y x 4 2 25C. y x 4 2 7D. y x 4 2 25【答案】 B【考点】二次函数的顶点式【解析】y x2 8x 9 x2 8x 16 16 9 x 4 2 254．（2018?山西?3 分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. x2 2x 0B. x2 4x 1 0C. 2x2 4x 3 0D. 3x2 5x 21【答案】 C【考点】一元二次方程根的判别式【解析】△＞0 ，有两个不相等的实数根，△=0，有两个相等的实数根，△＜0 ，没有实数根.A. △=4B. △=20C. △=-8D. △=15. （2018·山东临沂·3 分）一元二次方程y2﹣y﹣=0 配方后可化为（）A．（y+ ）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+ ）2= D．（y﹣）2=【分析】根据配方法即可求出答案．2【解答】解：y ﹣y﹣=0y2﹣y=2y ﹣y+ =1（y﹣）2 =1故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．6. （2018?安徽?4 分）若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为（）A. B. 1 C. D.【答案】 A【解析】【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于 a 的方程，解方程即可得.【详解】x(x+1)+ax=0 ，x2+(a+1)x=0 ，由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2- 4×1×0=0，解得：a1=a2=-1，故选 A.【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0? 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0? 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0? 方程没有实数根．27. （2018?甘肃白银，定西，武威?3 分）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】【分析】关于的一元二次方程有两个实数根，得解不等式即可.【解答】关于的一元二次方程有两个实数根，得解得：故选 C.【点评】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.8. （2018?安徽?4 分）据省统计局发布，2017 年我省有效发明专利数比2016 年增长22.1% 假定2018 年的平均增长率保持不变，2016 年和2018 年我省有效发明专利分别为 a 万件和 b 万件，则（）A. B.C. D.【答案】 B【解析】【分析】根据题意可知2017 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a 万件，2018 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）?（1+22.1%）a，由此即可得.【详解】由题意得：2017 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a 万件，2018 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）?（1+22.1%）a 万件，即b=（1+22.1%）2a 万件，故选 B.【点睛】本题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键.29. （2018 年江苏省泰州市?3 分）已知x1、x2 是关于x 的方程x ﹣ax﹣2=0 的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论 A正确；3B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a 的值不确定，可得出B 结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1?x2=﹣2，结论C错误；D、由x1?x2=﹣2，可得出x1＜0，x2 ＞0，结论D错误．综上即可得出结论．22+8＞0，【解答】解：A∵△=（﹣a）﹣4×1×（﹣2）=a∴x1≠x2，结论 A 正确；2B、∵x1、x2 是关于x 的方程x ﹣ax﹣2=0 的两根，∴x1+x2=a，∵a 的值不确定，∴B 结论不一定正确；C、∵x1、x2 是关于x 的方程x2﹣ax﹣2=0 的两根，∴x1?x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1?x2=﹣2，∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．10. （2018·四川宜宾·3 分）某市从2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017 年“竹文化”旅游收入约为 2 亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到亿元，据此估计该市2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】设该市2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017 年及2019 年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该市2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，2根据题意得：2（1+x），解得：x1=0.2=20%，x2=﹣（不合题意，舍去）．答：该市2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11. （2018·四川宜宾·3 分）一元二次方程x 1 和x2，则x1x2 为（）2 ﹣2x=0 的两根分别为xA．﹣2 B．1 C．2 D．04【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．【解答】解：∵一元二次方程x 1 和x2， 2﹣2x=0 的两根分别为x∴x1x2=0．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．12. （2018·台湾·分）若一元二次方程式x 2﹣8x﹣3×11=0 的两根为a、b，且a＞b，则 a ﹣2b 之值为何？（）A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11，b=﹣3，然后计算代数式a﹣2b 的值．【解答】解：（x﹣11）（x+3）=0，x﹣11=0 或x﹣3=0，所以x1=11，x2 =﹣3，即a=11，b=﹣3，所以a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．13. （2018·广东·3 分）关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=（﹣3）2 ﹣4×1×m＞0，∴m＜．故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0? 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0? 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0? 方程没有实数根．514. （2018?广西桂林?3 分）已知关于x 的一元二次方程有两个相等的实根，则k 的值为（）A. B. C. 2 或3 D. 或【答案】 A【解析】分析：根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：∵方程有两个相等的实根，2-24=0 ，∴△=k 2- 4×2×3=k2- 4×2×3=k解得：k= ．故选：A．点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根．”是解题的关键．15. (2018 四川省绵阳市) 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55 次，则参加酒会的人数为（）人人人人【答案】 C【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x 人，依题可得：x（x-1 ）=55，化简得：x 2-x-110=0 ，解得：x1=11，x2=-10 （舍去），故答案为： C.【分析】设参加酒会的人数为x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55 次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.16. (2018 四川省眉山市2 分) 我市某楼盘准备以每平方6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）。
全国中考数学一元二次方程的综合中考真题汇总及详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．2．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 【答案】x=15或x=1 【解析】【分析】 设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3,∴3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．3．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.5．关于x 的方程()2204k kx k x +++=有两个不相等的实数根．()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围. ()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404k k k =+-⋅>， 1k ∴>-，又0k ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-， 由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意， 因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
中考数学专题题库∶一元二次方程的综合题附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．2．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.3．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32.∴x －1＝±2.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.4．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
中考数学压轴题专题一元二次方程的经典综合题附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．2．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.4．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n .【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.5．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．6．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.7．解方程：（x 2+x ）2+（x 2+x ）＝6．【答案】x 1＝﹣2，x 2＝1【解析】【分析】设x 2+x ＝y ，将原方程变形整理为y 2+y ﹣6＝0，求得y 的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x 2+x ＝y ，则原方程变形为y 2+y ﹣6＝0，解得y 1＝﹣3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2+x ＝2，即x 2+x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝1；②当y ＝﹣3时，x 2+x ＝﹣3，即x 2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x 1＝﹣2，x 2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.8．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a ＞0，b ＞0时：∵）2=a ﹣b ≥0∴a +ba =b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x 的最大值为 ； （2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值； （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算； （2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x⋅=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥1x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++()411x x +⋅+5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥36x x⋅=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．9．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2，x 2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式x =求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝42±＝， ∴x1＝2，x 2＝210．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.。
全国中考数学一元二次方程的综合中考真题汇总附详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣13．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，与之间的函数关系式；4．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．7．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.8．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【解析】【分析】设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．解得110x =，230x =．经检验，110x =，230x =都符合题意．当10x =时，5060x +=，50010400x -=；当30x =时，5080x +=，50010200x -=．所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解9．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式24b b ac x -±-=求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝420±＝2±5 ， ∴x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.10． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的） 则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．∴m=50【解析】。
中考数学一元二次方程综合题及详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t ，则：原式＝（1﹣t ）（t +）﹣（1﹣t ﹣）t ＝t +﹣t 2﹣+t 2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a 2﹣5a +3）（a 2﹣5a +7）+4 （3）解方程：（x 2+4x +1）（x 2+4x +3）＝3 【答案】（1）；（2）（a 2﹣5a +5）2；（3）x 1＝0，x 2＝﹣4，x 3＝x 4＝﹣2【解析】 【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t 代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a 2﹣5a ＝t 代入原式进行因式分解，最后要记得把t 换为a ．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x 2+4x ＝t 代入原方程，即得到关于t 的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣4当x2+4x＝﹣4时，x2+4x+4＝0（x+2）2＝0解得：x3＝x4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．3．关于x的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.4．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．【详解】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，整理得：a2+75a﹣2500＝0，解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），∴80（1+a %）＝80×（1+25%）＝100．答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． (1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0．∴∴另一根是2； (2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根6．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=.（1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值； （2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值． 【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根，∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥， ∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-；（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-， 由22212121184x x x x m ++=-得： ()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=， 解得：3m =或5m =-； ∵92m ≥-， ∴3m =. 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12bx x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.7．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每 千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元． （1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的 售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a %出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a %，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值． 【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35.【解析】 【分析】（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克 年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克， 11月的进货价为： 340602元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去) 所以a =35. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.8．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ，AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】 【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可. 【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==， ∵QB 16t =-， 当t=2时，则BQ=14，则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =,即212t 16t -=-： 解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2=； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ , 所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ , 得 1163t =，216t =（不合题意，舍去）；综上所述，当7t 2=或163时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.9．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) . (1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）552t ±=。
中考数学——一元二次方程的综合压轴题专题复习附详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0和（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有， 由解得． ∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．3．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍． （1）求A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了45m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．【解析】【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+45m%）+1.5×（1+45m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．4．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.5．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，∵1632160=-=-<，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.6．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.7．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0． ∴∴另一根是2；(2)∵， ∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根8．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a ＞0，b ＞0时：∵a b ）2=a ﹣ab b ≥0∴a +b ab a =b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ； （2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值； （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算； （2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x⋅=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥1x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++()411x x +⋅+5=4+5=9，∴y 的最小值为9．（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥13+236x x⋅=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．9．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）55t ±= 【解析】【分析】 （1）首先根据勾股定理计算AB 的长，再根据相似比例表示PE 的长度，再结合矩形的性质即可求得t 的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可.【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，90,8,6C AC BC ︒∠===，22228610AB AC BC ∴=+=+=102//,,1068PA PE AE t PE AE PE BC AB BC AC -∴==∴== 34(102),(102)55PE t AE t ∴=-=-，当PE CF =时，四边形PECF 是矩形， 3(102)5t t ∴-= 解得3011t =（2）由题意22424116825552t t =+=⨯⨯⨯整理得2t 550t -+=，解得52t =52t ∴=，ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。
《一元二次方程》专项练习和中考真题(含答案解析及点睛)
《一元二次方程》专项练习1．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．1-【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案.【解析】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，∴210a -=，10a -≠，则a 的值为：1a =-．故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 2．用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是( ) A ．y 2﹣2y +1=0B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=0 【答案】A 【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设21x x+=y ，则原方程化为y+1y =2，再转化为整式方程y 2-2y+1=0即可求解． 【解析】把21x x+=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0．故选：A ． 【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3．如果关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．94k …B ．94k -…且0k ≠C ．94k …且0k ≠D ．94k -… 【答案】C【分析】根据关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【解析】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤94且k≠0，故选：C ． 【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x >，则4323x x x -+的值为（ ）A ．1B ．3C ．1+D ．3【答案】C【分析】先求得2=+1x x ，代入4323x x x -+即可得出答案．【解析】∵210x x --=，∴2=+1x x ，x == ∴4323x x x -+=()()21213x+-x x++x =2221223x +x+-x -x+x =231-x +x+=()131-x++x+=2x ，∵x =，且0x >，∴x =，∴原式=2，故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．5．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【解析】解：设参加此次比赛的球队数为x 队，根据题意得：12x （x ﹣1）＝36， 化简，得x 2﹣x ﹣72＝0，解得x 1＝9，x 2＝﹣8（舍去），答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题． 6．国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ．则可列方程为( )A ．()5000127500x +=B ．()5000217500x ⨯+=C ．()2500017500x +=D ．()()2500050001500017500x x ++++=【答案】C【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，∵2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元即2019年我国快递业务收入为7500亿元，∴可列方程：()2 500017500x +=，故选C ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．7．如图是一张长12cm ，宽10cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积224cm 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______cm ．【答案】2【分析】根据题意设出未知数,列出三组等【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为解得a =10－2x ,b =6－x ,代入ab =24中得:整理得:2x 2－11x +18=0．解得x =2或x 【点睛】本题考查一元二次方程的应用8．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个A ．2023B ．2021 【答案】A【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1解.【解析】a ，b 是方程230x x +-=的两∴222201932019a b a b -+=-++【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数9．一个三角形的两边长分别为2和5，【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x 2-8周长可求．【解析】解：∵x 2-8x +12=0，∴()x -∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式10．若关于x 的一元二次方程22x x ﹣A ．1m ＜ B ．1m £三组等式解出即可．边长为x,由题意得:2()1221024x b a x ab +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,(10－2x )(6－x )=24,=9(舍去)．故答案为2．,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程的两个实数根，则22019a b -+的值是( )C ．2020D ．2019，ab =-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，ab9()2220161620162023a b ab =+-+=++=；与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行，第三边长是方程28120x x -+=的根，则该三角形x +12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的()260x -=，∴x 1=2，x 2=6，三边长是方程x 2-8x +12=0的根，当x =2时，2+2＜5形的周长为：2+5+6=13．故答案为：13．的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性0m +＝有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）C ．1m ＞D ．m 1≥出方程．019=（a+b ）2-2ab+2016即可求-3b =， 3；故选A ． 子进行化简代入是解题的关键．三角形的周长为_______． 三边的长，则该三角形的 ，不符合题意，相关性质及定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据方程的系数结合根的判别式0≥V ，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．【解析】Q 关于x 的一元二次方程220x x m +﹣＝有实数根，2240m ∴=≥-V （-），解得： 1m ≤．故选B ． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0≥V 时，方程有实数根”是解题的关键．11．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数与实数b 的取值有关【答案】A【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．【解析】解：∵△＝b 2﹣4×（﹣1）＝b 2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．12．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ ） A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4 【答案】A【分析】通过根与系数之间的关系得到22m αβ+=-+，2m m αβ=-，由()2222αβαβαβ+=+-可求出m 的值，通过方程有实数根可得到[]()222(1)40m m m --≥-，从而得到m 的取值范围，确定m 的值． 【解析】解：∵方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，∴()21221m m αβ-+=-=-+，221m m m m αβ-==-， ∵()2222αβαβαβ+=+-，2212αβ+=∴()()2222212m m m -+-=-， 整理得，2340m m --=，解得，11m =-，24m =，若使222(1)0x m x m m +-+-=有实数根，则[]()222(1)40m m m --≥-， 解得，1m £，所以1m =-，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．13．关于x 的一元二次方程22(2)620k x x k k ++++-=有一个根是0，则k 的值是_______．【答案】1【分析】把方程的根代入原方程得到220k k +-=，解得k 的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．【解析】∵方程22(2)620k x x k k ++++-=是一元二次方程，∴k+2≠0，即k ≠-2；又0是该方程的一个根，∴220k k +-=，解得，11k =，22k =-，由于k ≠-2，所以，k=1．答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．14．已知1x ，2x 是一元二次方程240x x --=的两实根，则12(4)(4)x x ++的值是_____．【答案】16【分析】由根与系数的关系可得121x x =+， 124x x =-，然后把所求式子利用多项式乘法法则展开后代入进行计算即可.【解析】1x Q ，2x 是一元二次方程240x x --=的两实根，121x x ∴+=， 124x x =-，12(4)(4)x x ∴++12124416x x x x =+++12124()16x x x x =+++44116=-+⨯+4416=-++16=， 故答案为：16．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. 15．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____．【答案】-2017【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【解析】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为：-2017．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键． 16．已知12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，则2211224x x x x ++的值是_________．【答案】2【分析】由已知结合根与系数的关系可得：12x x +=4，12x x ⋅= -7，2211224x x x x ++=()212122x x x x ++，代入可得答案.【解析】解：∵12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，∴12x x +=4，12x x ⋅= -7，∴2211224x x x x ++=()212122x x x x ++=()2427+⨯-=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，难度不大，属于基础题17．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A．12x（x+1）＝110 B．12x（x﹣1【答案】D【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足【解析】解：设有x个队参赛，则x（x 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为___【答案】x＝2或x＝﹣或x＝﹣1【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣于x的方程求解可得．【解析】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用19．若菱形ABCD的一条对角线长为8，A．16 B．24【答案】B【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分两种6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABC【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次键．）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比﹣1）＝110．故选：D．的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．_____．．x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形C．16或24 D．48分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成的周长．BCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，+4＝8，不能构成三角形；ABCD的周长＝4AB＝24．故选：B．元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌110共要比赛110场，可列出方程．的关键．：）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．x2+nx﹣1＝0，1]＝0，据此得到两个关1）＝0，或x＝﹣1．方法．该菱形ABCD的周长为（ ）能构成三角形；②当AB＝AD＝熟练掌握并灵活运用是解题的关21．已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根，则1c a+的值等于_______． 【答案】2. 【分析】根据“关于x 的一元二次方程ax 2+2x+2﹣c ＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a 和c 的等式，整理后即可得到的答案．【解析】解：根据题意得：△＝4﹣4a （2﹣c ）＝0，整理得：4ac ﹣8a ＝﹣4，4a （c ﹣2）＝﹣4，∵方程ax 2+2x+2﹣c ＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a 得：12c a -=-，则12c a+=，故答案为2． 【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．22．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为____________．【答案】x(x+12)=864【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．【解析】因为宽为x ，且宽比长少12，所以长为x+12，故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，故答案：x(x+12)=864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可．23． 1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b =（ ）A ．2-B ．3-C ．4D ．6-【答案】A【分析】先把x=1代入方程220x ax b ++=得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值【解析】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2.故选A. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键24．已知1x ，2x 是方程2320x x --=的两根，则2212x x +的值为（ ）A ．5B ．10C ．11D ．13【答案】D 【分析】先利用完全平方公式，得到2212x x +21212)2x x x x =+-（，再利用一元二次方程根与系数关系：12b x x a+=-，12c x x a=即可求解．【解析】解：2212x x +()221212)232213x x x x =+-=-⨯-=（故选：D ． 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用和一元二次方程根与系数关系，灵活运用完全平方公式和一元二次方程根与系数关系是解题关键．25．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于_____．【答案】2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x 12-4x 1=2020，x 1+x 2=4，代入原式=x 12-4x 1+2x 1+2x 2=x 12-4x 1+2（x 1+x 2）计算可得．【解析】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝4，x 12﹣4x 1﹣2020＝0，即x 12﹣4x 1＝2020，则原式＝x 12﹣4x 1+2x 1+2x 2＝x 12﹣4x 1+2（x 1+x 2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 26．解方程：x 2﹣5x +6＝0【答案】x 1＝2，x 2＝3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【解析】利用因式分解法求解可得．解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.27．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）k =【分析】（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=-，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论．【解析】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴2(2)4(2)0k ∆=--+…解得1k ≤-；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=-，∴1212222x x k x x k +==-+即(2)(2)2k k +-=，解得k =．又由（1）知：1k ≤-，∴k =【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=-，找出关于k 的方程． 28．已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.（1）求m 的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且124x x -=，求m 的值.【答案】（1）2m ≤.（2）1m =.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，结合|x 1-x 2|=4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x 2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x 1-x 2|=4，找出关于m 的一元一次方程．29．已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1. 【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m=2代入原方程可得：x 2+3x+1=0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．【解析】（1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥解得134m ≤ （2）当m=2时，方程为x 2+3x+1=0，∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1=0，x 22+3x 2+1=0，∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）=（x 12+2x 1+x 1-x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）=（-1-x 1）（-1+x 2+2）=（-1-x 1）（x 2+1）=-x 2-x 1x 2-1-x 1=-x 2-x 1-2=3-2=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键． 30． 2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x 元，每个月的销量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？【答案】（1）y ＝220﹣2x ；（2）当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当x ＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．【分析】（1）根据月销量等于涨价前的月销量，减去涨价（x-60）与涨价1元每月少售出的件数2的乘积，化简可得；（2）月销售量乘以每件的利润等于利润2250，解方程即可；（3）根据题意列出二次函数解析式，由顶点式，可知何时取得最大值及最大值是多少．【解析】（1）由题意得，月销售量y ＝100﹣2（x ﹣60）＝220﹣2x （60≤x ≤110，且x 为正整数）答：y 与x 之间的函数关系式为y ＝220﹣2x ．（2）由题意得：（220﹣2x ）（x ﹣40）＝2250化简得：x 2﹣150x +5525＝0解得x 1＝65，x 2＝85答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元．（3）设每个月获得利润w 元，由（2）知w ＝（220﹣2x ）（x ﹣40）＝﹣2x 2+300x ﹣8800∴w ＝﹣2（x ﹣75）2+2450 ∴当x ＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题关键在于理解题意得到等量关系列出方程. 31．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x （元），日销量为y （件），日销售利润为w （元）．（1）求y 与x 的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润w （元）与销售单价x （元）的函数关系式，当x 为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）10280y x =-+；（2）10元；（3）x 为12时，日销售利润最大，最大利润960元【分析】（1）根据题意得到函数解析式；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意得到()()()26128010171210w x x x =--+=--+，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】解：（1）根据题意得，()20010810280y x x =--=-+，故y 与x 的函数关系式为10280y x =-+；（2）根据题意得，()()610280720x x --+=，解得：110x =，224x =（不合题意舍去），答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；（3）根据题意得，()()()261028010171210w x x x =--+=--+， 100-<Q ，∴当17x <时，w 随x 的增大而增大，当12x =时，960w =最大，答：当x 为12时，日销售利润最大，最大利润960元．【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．32．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？【答案】销售单价为180元时，公司每天可获利32000元【分析】根据题意设降价后的销售单价为x 元，由题意得到1003005200[32000]x x -+-（）（）＝，则可得到答案. 【解析】解：设降价后的销售单价为x 元，则降价后每天可售出3005200[]x +-（）个， 依题意，得：1003005200[32000]x x -+-（）（）＝， 整理，得：2360324000x x +﹣＝，解得：12180x x ＝＝．180200＜，符合题意． 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的实际应用.《一元二次方程》中考真题1．已知2是关于x 的一元二次方程240x x m -+=的一个实数根，则实数m 的值是（ ） A ．0 B ．1C ．−3D ．−1【答案】B【分析】把x ＝2+代入方程就得到一个关于m 的方程，就可以求出m 的值．【解析】解：根据题意得2(24(20m -⨯++=，解得1m =；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2．定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．只有一个实数根 【答案】A【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【解析】解：根据定义得：2110,x x x =--=☆1,1,1,a b c ==-=-Q ()()22414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0, ∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选.A【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，依题意，得：2143x x ++=， 解得： 17x =-（舍去），26x =．故选C ．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程4．关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 【答案】A【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【解析】△=(k-3)2-4(1-k)=k 2-6k+9-4+4k=k 2-2k+5=(k-1)2+4，∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2 B ．m≤2 C ．m ＜2且m≠1 D ．m≤2且m≠1【答案】D【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解析】解：因为关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b 2－4ac ＝22－4(m －1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m －1)x 2＋2x ＋1＝0是一元二次方程，所以m －1≠0．综合知，m 的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．6．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．180（1﹣x ）2=461B ．180（1+x 【答案】B【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的180万只，4月份的利润将达到461万只【解析】解：从2月份到4月份，该厂家口故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应7．关于x 的一元二次方程22x mx +A ．2m =- B ．3m = 【答案】A【分析】设1x ，2x 是2220x mx m ++再由()2221212122x x x x x x +=+-⋅代入即可【解析】设1x ，2x 是222x mx m ++∴40m ∆=-≥，∴0m ≤，∴1x +∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅4=∴3m =或2m =-，∴2m =-，故选【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的8．已知关于x 的一元二次方程x 2+5x ﹣A ．﹣7 B ．7【答案】A【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解析】解：设另一个根为x ，则x +2【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系9．设1x ，2x 是方程2234x x +-=的两）2=461 C ．368（1﹣x ）2=442 D ．368（1+x 增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增万只”，即可得出方程．厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方实际应用，理解题意是解题关键．20m m ++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值C ．3m =或2m =- D ．3m =-或m =m +=的两个实数根，由根与系数的关系得12x x +=入即可. 0m +=的两个实数根，22x m =-，212x x m m ⋅=+，222222212m m m m m --=-=，A ．系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式m ＝0的一个根是2，则另一个根是（ ） C ．3D ．﹣3出答案．＝﹣5，解得x ＝﹣7．故选：A ．根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的0的两个实数根，则1211+x x 的值为______． ）2=442 设这个增长率为x ，根据“2月份可得方程：180（1+x ）2=461，的值为（ ） 22m -，212x x m m ⋅=+，方公式是解题的关键． 系数的关系是解题关键．【答案】34【分析】由韦达定理可分别求出1x +【解析】解：由方程2234x x +-=12121231132·24x x x x x x -++===-．故答案为【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的10．如图，在一块长15m 、宽10m 的矩形空面积为126m 2，则修建的路宽应为_____【答案】1【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形式列方程求解即可．【解析】解：设道路的宽为x m ，根据题意解得：x 1＝1，x 2＝24（不合题意，舍去【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应本题的关键．11．已知关于x 的一元二次方程2x 【答案】1【分析】利用因式分解法求出x 1,x 2，再根【解析】解22430(0)x mx m m -+=解得x 1=3m,x 2=m ，∴3m-m=2解得m=1【点睛】此题主要考查解一元二次方程，12．一元二次方程()()32x x --=的根【答案】123,2==x x【分析】利用因式分解法把方程化为x-【解析】解：30x -=或20x -=，所以2x 与12x x g 的值，再化简要求的式子，代入即可得解0可知1232x x +=-，124·22x x -==- 案为：34 系数的关系，利用韦达定理可简便运算．矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，___米． 到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方据题意得：（10﹣x ）（15﹣x ）＝126， ），则道路的宽应为1米；故答案为：1．程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地2430(0)mx m m -+=>的一个根比另一个根大2，再根据根的关系即可求解．> （x-3m ）（x-m ）=0 ∴x-3m=0或x-m=0 =1故答案为：1． ，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 0的根是_____． -3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可． 所以123,2==x x ．故答案为123,2==x x ．可得解． ，剩余分栽种花草，要使绿化个长方形，根据长方形的面积公矩形地面的最上边和最左边是做，则m 的值为_____．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程28120x x -+=的解，则这个三角形的周长是________． 【答案】17【分析】先利用因式分解法求解得出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案． 【解析】解：解方程28120x x -+=得x 1=2，x 2=6，当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去； 当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.故答案为：17．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为_____． 【答案】x （x ﹣12）＝864．【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解析】解：∵长为x 步，宽比长少12步，∴宽为（x ﹣12）步．依题意，得：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．用配方法求一元二次方程()()23616x x +-＝的实数根．【答案】1x 2x ． 【分析】首先把方程化为一般形式为2x 2-9x-34=0，然后变形为29x x 172﹣＝，然后利用配方法解方程． 【解析】原方程化为一般形式为22x 9x 340﹣﹣＝，29x x 172﹣＝，298181x x 1721616-++，29353x 416-（＝，9x 4-±＝，所以12x ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16．已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根12,x x ． （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．。
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一元二次方程及其应用考点一、 一元二次方程的解法 （10分） 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
考点二、一元二次方程根的判别式 （3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆考点三、一元二次方程根与系数的关系 （3分）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
考点四、分式方程 （8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法 换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
一、选择题1. （2017²湖北随州²3分）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2017年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1＋2x）＝28.8 B．28.8（1＋x）2＝20C．20（1＋x）2＝28.8 D．20＋20（1＋x）＋20（1＋x）2＝28.82. （2017²江西²3分）设α、β是一元二次方程x2＋2x﹣1＝0的两个根，则αβ的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣13.（2017²四川攀枝花）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2＋ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或44．（2017²广西桂林²3分）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞55.（2017²贵州安顺²3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（）A．b＝﹣3 B．b＝﹣2 C．b＝﹣1 D．b＝26．（2017广西南宁3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和正比例函数y＝x的图象如图所示，则方程ax2＋（b ﹣）x＋c＝0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定7. （2017²云南省昆明市²4分）一元二次方程x2﹣4x＋4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定8.(2017河北3分）a，b，c为常数，且（a－c）2>a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．有一根为09．（2017²四川泸州）若关于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤110.（2017²湖北荆门²3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或1111．（2017²湖北荆门²3分）若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为（）A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝712.（2017²内蒙古包头²3分）若关于x的方程x2＋（m＋1）x＋＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（）A．﹣ B． C．﹣或 D．113. （2017²山东潍坊²3分）关于x的一元二次方程x2﹣x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°二、填空题14. （2017²辽宁丹东²3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为________．15．（2017²山东省菏泽市²3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝．16.（2017河南）若关于x的一元二次方程x2＋3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___．18．（2017²四川宜宾）已知一元二次方程x2＋3x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x12＋x1x2＋x22＝___．19．（2017²四川攀枝花）设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则＋的值为___ ．20. （2017²湖北黄石²3分）关于x的一元二次方程x2＋2x﹣2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是___．21.（2017²四川眉山²3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2017年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为_____ ．22. （2017²四川眉山²3分）设m、n是一元二次方程x2＋2x﹣7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝．三、解答题23．（2017²四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x＋（2m＋1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．24．（2017²四川内江12分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．图1425.（2017²黑龙江齐齐哈尔²5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2＋2x﹣15＝0．26．（2017²湖北荆州²12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n ＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k＝m＋2，n＝1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．27.（2017²内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．28. （2017²青海西宁²10分）青海新闻网讯：2017年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？（2）请你求出2017年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．29. （2017²山东潍坊）关于x的方程3x2＋mx﹣8＝0有一个根是，求另一个根及m的值．30．（2017²山东省德州市²4分）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？31．（2017²山东省济宁市²3分）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2014年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？32.（2017²广西百色²10分）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．（1）求这地面矩形的长；（2）有规格为0.80³0.80和1.00³1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？33.（2017贵州毕节）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2017年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．答案一元二次方程及其应用一、选择题1. （2017²湖北随州²3分）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2017年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1＋2x）＝28.8 B．28.8（1＋x）2＝20C．20（1＋x）2＝28.8 D．20＋20（1＋x）＋20（1＋x）2＝28.8【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2017年约为28.8万人次”，可得出方程．【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1＋x）2＝28.8，故选C．2. （2017²江西²3分）设α、β是一元二次方程x2＋2x﹣1＝0的两个根，则αβ的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【考点】根与系数的关系．【分析】根据α、β是一元二次方程x2＋2x﹣1＝0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2＋2x﹣1＝0的两个根，∴αβ＝，故选D．3.（2017²四川攀枝花）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2＋ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4【考点】一元二次方程的解．【分析】把x＝﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．【解答】解：根据题意，将x＝﹣2代入方程x2＋ax﹣a2＝0，得：4﹣3a﹣a2＝0，即a2＋3a﹣4＝0，左边因式分解得：（a﹣1）（a＋4）＝0，∴a﹣1＝0，或a＋4＝0，解得：a＝1或﹣4，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．4．（2017²广西桂林²3分）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．5.（2017²贵州安顺²3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（）A．b＝﹣3 B．b＝﹣2 C．b＝﹣1 D．b＝2【分析】根据判别式的意义，当b＝﹣1时△＜0，从而可判断原命题为是假命题．【解答】解：△＝b2﹣4，当b＝﹣1时，△＜0，方程没有实数解，所以b取﹣1可作为判断命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，必有实数解”是假命题的反例．故选C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．6．（2017广西南宁3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和正比例函数y＝x的图象如图所示，则方程ax2＋（b ﹣）x＋c＝0（a≠0）的两根之和（）【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】设ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1＋x2＞0，a＞0，设方程ax2＋（b﹣）x＋c＝0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1＋x2＞0，a＞0，∴﹣＞0．设方程ax2＋（b﹣）x＋c＝0（a≠0）的两根为a，b，则a＋b＝﹣＝﹣＋，∵a＞0，∴＞0，∴a＋b＞0．故选C．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．7. （2017²云南省昆明市²4分）一元二次方程x2﹣4x＋4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△＝0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2﹣4x＋4＝0中，△＝（﹣4）2﹣4³1³4＝0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．8.(2017河北3分）a，b，c为常数，且（a－c）2>a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．有一根为0答案：Ｂ解析：由（a－c）2>a2＋c2得出－２ac＞０，因此△＝b２－４ac＞０，所以两根，故选Ｂ项。