浙江省衢州二中2019-2020学年第二学期高三第一 次模拟考试数学试卷
2019届浙江省衢州二中高三下学期第一次模拟考试数学试题
2019届浙江省衢州二中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、单选题1．集合{}25,M y N y x x Z =∈=-+∈的真子集个数是( ) A ．5B ．6C ．7D ．82．设i 是虚数单位，则复数53i i-=( ) A ．4i -B ．2i -C ．2iD ．4i3．已知直线m ，n 和平面α，m α⊂，则“n α⊄”是“n 与m 异面” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在梯形ABCD 中，//AD BC ，2224BC AB AD DC ====，AC 与BD 相交于O ，过点A 作AE BD ⊥于E ，则AE AC ⋅=u u u r u u u r( ) ABC ．3D．5．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．14π B ．12πC ．πD ．32π 6．已知定义在R 上的函数()||32x m f x -+=+m 为实数）为偶函数，记()0.2log 3a f =，()5log b f e =，()c f m π=+，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<7．等比数列{}n a 中，11a =，128a =，函数()()()1212()f x x x a x a x a =--⋅⋅-…，则(0)f '=（ ）. A ．122B ．152C ．182D ．2128．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右顶点是A ，B ，P 为双曲线右支上一点，()0BA BP AP +⋅=u u u r u u u r u u u r 且285ABP S a =△，则双曲线的离心率为( )A 15B 15C 15D 15 9．已知函数()222,2log 1,2x x x f x x x ⎧-+≤=⎨->⎩，设12116n x x x ≤<<<≤L ，若()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-++-≤L ，则M 的最小值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．610．设*N n ∈，n a 为()()41nnx x +-+的展开式的各项系数之和，7c t =-，R t ∈，1222555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L （[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.则()()22n n t b c -++的最小值为( )A ．12B ．22C ．22D ．32二、双空题11．已知()3sin cos f x x x ωω=-（0>ω）的最小正周期为2，则ω=________，函数()f x 在11,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是________.12．直线20(R)mx y m +-=∈与圆22:210C x y y +--=相交于A ，B 两点，弦长||AB 的最小值为________，若ABC ∆的面积为32，则m 的值为_________．13．袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是13，现从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个，有2次摸到红球即停止，则恰好摸4次停止的概率p =________；若记4次之内（含4次）摸到红球的次数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ=________.14．如图，在ABC V 中，2AB BC ==，150ABC ∠=︒，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，线段BC 上的点Q ，满足PD DA =，PB BA =，则四面体P BCD -的体积的最大值是________；当P BCD -体积取最大值时，min PQ =________. 三、填空题15．已知平面向量1e u r ，2e u u r ，c r 满足12121e e e e ==-=u r u u r u r u u r ，2123(2)02c e e c -+⋅+=u r u u r r r ，则对任意的R t ∈，1c te -的最小值记为M ，则M 的最大值为________. 16．在数列{}n a 及{}n b中，11111,1n n n n n n a a b b a b a b ++=++=+==．设112n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前n 项和为_____________．17．已知函数64,2()25,02x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-+⎩＜＜，若方程()f x a =恰有两个实数解12,x x ()12x x ＜，且126x x ⋅＞，则实数a 的取值范围是__________.四、解答题18．在ABC V 中，()sin 1A B -=，1sin 3C =. （1）求cos B 的值；（2）若AB =ABC V 的面积.19．数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +⋅=（*N n ∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()1,2121251,2n n n k n n b n ka ⎧=-⎪++⎪=⎨⎪-=⎪⎩（*N k ∈），求使2n S 取最小值时n 的值.20．如图，已知矩形BCDE 所在平面与ABE △所在平面互相垂直，AB AE ⊥，AB AE >.（1）若M 为AC 中点，N 为BE 中点，证明：//MN 平面ADE ； （2）若2BE =，1DE =，且DE 与平面DAC 所成角的正弦5，求ABE ∠的大小.21．已知抛物线L ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过点()5,0M 的动直线l 与抛物线L 交于A ，B 两点，直线AF 交抛物线L 于另一点C ，直线AC 的最小值为4.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点A 作y 轴的垂线m ，则x 轴上是否存在一点()0,0P x ，使得直线PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.22．已知函数()()21233ln 2f x ax b a x x =+-++，其中0a >，b R ∈. （1）当3b =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当3a =且0b <时.①若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：()192f x <-； ②若对任意的[]1,x t ∈，都有()213922e f x -≤≤-成立，求正实数t 的最大值.。
2020年浙江省衢州二中高考数学一模试卷
2020年浙江省衢州二中高考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设{1U =-，0，1，2}，集合2{|1A x x =<，}x U ∈，则(U A =ð ) A ．{0，1，2}B ．{1-，1，2}C ．{1-，0，2}D ．{1-，0，1}2．（4分）本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( ) A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-3．（4分）已知复数z 满足202020191z i i =+g （其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．（4分）已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12//l l ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．83B ．3C ．113D ．46．（4分）函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．()2(||1)xf x x =- B ．21()2x x f x -=C ．()||||f x ln x = D ．()1x f x xe =-7．（4分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且*112(1)(1,)n n n S S S n n N +-+=+>∈．则( ) A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =8．（4分）已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11(F AO AOF O ∠=∠为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为( ) A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±9．（4分）已知平面向量,,a b c r r r，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+r r r r r r 且21λμ+=，若对每一个确定的向量a r ，记||c r 的最小值为m ，则当a r变化时，m 的最大值为( )A ．14B ．13C ．12D ．110．（4分）已知函数2()1|21|()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则(a = ) A ．12B ．1-C ．1±D ．12±二、填空题：本大题共7小题，多空每空格3分，单空每空格4分，共36分. 11．（6分）若2log 3a =，3log 2b =，则a b =g ，lga lgb += ．12．（6分）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧¶AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧¶AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是 ，弧田的面积是 ．13．（6分）已知实数x 、y 满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩…„„，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为 ，若目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于 ．14．（6分）有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则1ξ=对应的排法有 种；()E ξ= ；15．（4分）已知函数2,()4,x x m f x x x x m <⎧=⎨+⎩…，且p m ∀<，q m ∃…，使得()()0f p f q +=，则实数m 的取值范围是 ．16．（4分）已知实数a ，b ，c 满足22221a b c ++=，则ab c +的最小值是 ． 17．（4分）若四棱锥P ABCD -的侧面PAB 内有一动点Q ，已知Q 到底面ABCD 的距离与Q 到点P 的距离之比为正常数k ，且动点Q 的轨迹是抛物线，则当二面角P AB C --平面角的大小为30︒时，k 的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，2223b c abc a +-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．19．（15分）已知等腰梯形ABCD 中（如图1)，4AB =，2BC CD DA ===，F 为线段CD 的中点，E ，M 为线段AB 上的点，1AE EM ==，现将四边形AEFD 沿EF 折起（如图2)． （Ⅰ）求证：||AM 平面BCD ；（Ⅱ）在图2中，若6BD =，求直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值．20．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)2n n S a =--．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：123n T n >-． 21．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为3e =，且短轴的一个端点B 与两焦点A ，C 3（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆E 上的一点，过点P 作椭圆E 的切线交圆222:O x y a +=于不同的两点M ，N （其中M 在N 的右侧），求四边形ACMN 面积的最大值． 22．（15分）已知函数()()f x ax lnx a R =+∈有两个零点1x ，2x ． （1）求a 的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意1x ，2x ，当012(1)0x x x λλ=+->时均有0()0f x '<？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．。
2019届浙江省衢州市衢州二中高三下学期高考适应性考试数学试题
1 2
p1
p2
1 和二次函数的性质求解.
【详解】
因为随机变量 i
满足 P i
k
C2k
1
p 2k i
pik ， i
1, 2 ， k
0,1, 2 .
所以i 服从二项分布，
由二项分布的性质可得： E i pi ,D i pi 1 pi ，
因为
1 2
p1
p2
1，
所以 E 1 E 2 ，
2019 届浙江省衢州市衢州二中高三下学期高考适应性考试数 学试题
一、单选题
1．已知集合 M {x | x2 1}． N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
A． 1 M
B． M {1,1}
C． M
D． M N
【答案】D
【解析】集合 M {x | x2 1} 1,1 ． N 为自然数集，由此能求出结果．
（）
A．4
B． 28 9
C． 32 9
D． 32 7
【答案】C
【解析】根据 x2 y2 2t t2 t R 表示圆和直线 x y t 与圆
x2 y2 2t t2 t R 有公共点，得到 0 t 4 ，再利用二次函数的性质求解.
3 【详解】
因为 x2 y2 2t t2 t R 表示圆，
【详解】
由题意，“直线 ax 2y 1 0 与直线 (a 1)x 2ay 1 0 垂直”
则 a(a 1) 2(2a) 0 ，解得 a 0 或 a 3，
所以“直线 ax 2y 1 0 与直线 (a 1)x 2ay 1 0 垂直”是“ a 3”的必要不充分条
件，故选 B. 【点睛】 本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线 的位置关系求得 a 的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理 与论证能力，属于基础题.
2020年高考模拟浙江省衢州二中高考数学第一次模拟测试试卷 含解析
2020年高考模拟高考数学一模试卷一、选择题1．设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}，则∁U A＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，1，2}C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1} 2．本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）A．B．C．D．3．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i4．已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3C．D．46．函数f（x）的图象如图所示，则它的解析式可能是（）A．f（x）＝2x（|x|﹣1）B．f（x）＝C．f（x）＝|ln|x||D．f（x）＝xe x﹣17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且．则（）A．a4＝7B．S16＝240C．a10＝19D．S20＝3818．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO＝∠AOF1（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±x9．已知平面向量，满足且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，m的最大值为（）A．B．C．D．110．已知函数f（x）＝ax+1+|2x2+ax﹣1|（a∈R）的最小值为0，则a＝（）A．B．﹣1C．±1D．±二、填空题11．若a＝log23，b＝log32，则a•b＝，lga+lgb＝．12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是，弧田的面积是．13．已知实数x、y满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取值范围为，若目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于．14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ＝1对应的排法有种；E（ξ）＝；15．已知函数f（x）＝，且∀p＜m，∃q≥m，使得f（p）+f（q）＝0，则实数m的取值范围是．16．已知实数a，b，c满足a2+b2+2c2＝1，则ab+c的最小值是．17．若四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB内有一动点Q，已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角P﹣AB﹣C平面角的大小为30°时，k的值为．三、解答题18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若b＝1，求△ABC的面积．19．已知等腰梯形ABCD中（如图1），AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，F为线段CD的中点，E，M为线段AB上的点，AE＝EM＝1，现将四边形AEFD沿EF折起（如图2）．（Ⅰ）求证：AM||平面BCD；（Ⅱ）在图2中，若，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足：．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n．求证：．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：x2+y2＝a2于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值．22．已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0＝λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}，则∁U A＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，1，2}C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1}【分析】化简集合A，求出A的补集即可．解：设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}＝{0}，∴∁U A＝{﹣1，1，2}，故选：B．2．本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）A．B．C．D．【分析】根据弧度制的定义，即可求解．解：由于时针是顺时针转动，形成的角是负角，又由于时针转动1小时，转动的弧度数为，因此时针转过2小时所形成的弧度数为，故选：B．3．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【分析】由虚数单位i的运算性质可得z＝1﹣i，则答案可求．解：∵i4＝1，∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，则z•i2020＝1+i2019化为z＝1﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：A．4．已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由两直线平行的充要条件得：“l1∥l2”的充要条件为：，即：a＝﹣1，即“a＝﹣1”是“l1∥l2”的充分必要条件，得解．解：已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，又“l1∥l2”的充要条件为：，解得：a＝﹣1，即“a＝﹣1”是“l1∥l2”的充分必要条件，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3C．D．4【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：V＝＝．故选：C．6．函数f（x）的图象如图所示，则它的解析式可能是（）A．f（x）＝2x（|x|﹣1）B．f（x）＝C．f（x）＝|ln|x||D．f（x）＝xe x﹣1【分析】结合图象，运用排除法得解．解：当x＝﹣1时，函数值为0，由此排除D；当x＝0时，函数值为﹣1，由此排除C；当x→+∞时，函数值→+∞，由此排除B．故选：A．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且．则（）A．a4＝7B．S16＝240C．a10＝19D．S20＝381【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的项和数列的和．解：数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且．当n≥2时，S n+2+S n＝2（S n+1+1），当n＝2时，解得a3＝4，所以a n+2+a n＝2a n+1，所以数列{a n}是以2为首项公差d＝4﹣2＝2的等差数列．所以a n＝2+2（n﹣2）＝2n﹣2，所以，故＝226．a4＝2×4﹣2＝6．a10＝2×10﹣2＝18．S20＝a1+a2+…+a20＝1+＝381．故选：D．8．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO＝∠AOF1（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±x【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝x，对称点为A（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点A的坐标，A满足∠F1AO＝∠AOF1，可得|AF1|＝|OF1|＝c，由两点的距离公式，可得所求渐近线方程．解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝x，F2的对称点为A（m，n），即有＝﹣，且•n＝•，解得m＝，n＝，A满足∠F1AO＝∠AOF1，可得|AF1|＝|OF1|＝c，即有（+c）2+＝c2，结合c2＝a2+b2，化为c＝2a，即b＝a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：B．9．已知平面向量，满足且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，m的最大值为（）A．B．C．D．1【分析】先假设，＝，从而得到点A的轨迹是圆，再由计算，将其化简为关于λ的二次函数，因此得到的最小值为m 与x的关系，再利用导数求其最大值即可．解：设，＝，∵，∴（x+2）2+y2＝1即点A的轨迹是以（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆，x∈[﹣3，﹣1]．∵λ+2μ＝1，∴＝（λx+1﹣λ，λy），∴+2（x﹣1）λ+1＝（﹣6x﹣2）λ2+2（x﹣1）λ+1，∵x∈[﹣3，﹣1]，∴﹣6x﹣2＞0，则关于λ的二次函数开口向上，当时，取得最小值，即＝，令（x∈[﹣3，﹣1]），则，∴函数f（x）在[﹣3，]上单调递增，在（，﹣1]上单调递减，∴，即，∴m的最大值为．故选：B．10．已知函数f（x）＝ax+1+|2x2+ax﹣1|（a∈R）的最小值为0，则a＝（）A．B．﹣1C．±1D．±【分析】设，解得g（x），h（x）的解析式，通过图象的特点，结合f（x）的最小值为0，可得所求值．解：设，所以，则f（x）＝g（x）+h（x）+|g（x）﹣h（x）|＝，由于g（x）＝x（x+a）的图象恒过（0，0），（﹣a，0），h（x）的图象为开口向下，且过（﹣1，0），（1，0）的抛物线，且f（x）的最小值为0，结合图象可得﹣a＝1或﹣a＝﹣1，即有a＝±1．故选：C．二、填空题：共7小题，多空每空格3分，单空每空格4分，共36分.11．若a＝log23，b＝log32，则a•b＝1，lga+lgb＝0．【分析】利用对数运算性质即可得出．解：∵a＝log23，b＝log32，则a•b＝•＝1，lga+lgb＝lgab＝lg1＝0．故答案为：1，0．12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是6，弧田的面积是12π﹣9．【分析】由已知利用弧长公式可求∠AOB，可得∠AOD＝，OA＝6，即可求解AB的值，由弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB即可计算得解．解：∵如图，弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OA sin＝2×＝6，∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案为：6，12π﹣9．13．已知实数x、y满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取值范围为m＞2，若目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于5．【分析】作出平面区域，结合线性规划的知识及目标函数的几何意义即可求解．解：作出可行域如图，则要为三角形需满足B（1，1）在直线x+y＝m下方，即1+1＜m，m＞2；目标函数可视为y＝x﹣z，则z为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点A时，此时z min＝﹣1，直线PA：y＝x+1，与AB：y＝2x﹣1的交点为A（2，3），该点也在直线AC：x+y＝m 上，故m＝2+3＝5，故答案为：m＞2；5．14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ＝1对应的排法有36种；E（ξ）＝1；【分析】ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ＝1对应的排法有：＝36．分别求出P （ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出E（ξ）．解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ＝1对应的排法有：＝36．∴ξ＝1对应的排法有36种；P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴E（ξ）＝＝1．故答案为：36，1．15．已知函数f（x）＝，且∀p＜m，∃q≥m，使得f（p）+f（q）＝0，则实数m的取值范围是（﹣∞，0]．【分析】根据条件转化为函数y＝﹣f（x）在（﹣∞，m）上的值域是函数y＝f（x）在[m，+∞）上的值域的子集；分别求值域即可得到结论．解：依题意，f（q）＝﹣f（p），即函数y＝﹣f（x）在（﹣∞，m）上的值域是函数y＝f（x）在[m，+∞）上的值域的子集．因为y＝f（x）在[m，+∞）上的值域为[﹣4，+∞）（m≤﹣2）或[m2+4m，+∞]（m＞﹣2），y＝﹣f（x）在（﹣∞，m）上的值域为（﹣m，+∞），故或，解得m≤0故答案为：（﹣∞，0]．16．已知实数a，b，c满足a2+b2+2c2＝1，则ab+c的最小值是﹣．【分析】先分离出a2+b2，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值．解：若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：1﹣2c2＝a2+b2，又由a2+b2≥2|ab|＝﹣2ab，即有1﹣2c2≥﹣2ab，则ab+c≥c2+c﹣＝（c+）2﹣，即2ab+c的最小值为﹣，故答案为：﹣．17．若四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB内有一动点Q，已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角P﹣AB﹣C平面角的大小为30°时，k的值为．【分析】二面角P﹣AB﹣C平面角为θ，点Q到底面ABCD的距离为|QH|，点Q到定直线AB得距离为d，则d＝．再由点Q到底面ABCD的距离与到点P的距离之比为正常数k，可得|PQ|＝，由此可得sinθ＝k，则由cosθ＝cos30°＝可求k值．解：如图，设二面角P﹣AB﹣C平面角为θ，点Q到底面ABCD的距离为|QH|，点Q到定直线AB得距离为d，则|QH|＝d sinθ，即d＝．∵点Q到底面ABCD的距离与到点P的距离之比为正常数k，∴＝k，则|PQ|＝，∵动点Q的轨迹是抛物线，∴|PQ|＝d，即＝．则sinθ＝k．∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为cosθ＝＝＝cos30°＝．解得：k＝（k＞0）．故答案为：．三、解答题：共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若b＝1，求△ABC的面积．【分析】（1）由题意可得，，结合余弦定理可求（2）由正弦定理可求B，C，代入三角形面积公式可得解：（1）由题意可得，，由余弦定理可得，cos A＝即＝，∴a＝（2）∵a＝，b＝1，由正弦定理可得，sin B＝＝＝∵a＞b，∴B＝，C＝π﹣A﹣B＝∴S△ABC＝＝＝19．已知等腰梯形ABCD中（如图1），AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，F为线段CD的中点，E，M为线段AB上的点，AE＝EM＝1，现将四边形AEFD沿EF折起（如图2）．（Ⅰ）求证：AM||平面BCD；（Ⅱ）在图2中，若，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）证明四边形ADCM为平行四边形，可得AM∥CD，进而得证；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，再根据已知条件求得点D的坐标以及平面BCEF 的一个法向量，利用向量公式即可得所求正弦值．解：（Ⅰ）证明：连接CM，由AD平行且等于EF，MC平行且等于EF可知，AD平行且等于MC，∴四边形ADCM为平行四边形，∴AM∥CD，又AM不在平面BCD内，CD在平面BCD内，∴AM||平面BCD；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设D（x，y，z），由，可得，∴，易知平面BCEF的一个法向量为，设直线CD与平面BCFE所成角为θ，则，即直线CD与平面BCFE所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足：．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n．求证：．【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（Ⅱ）运用数列的裂项相消求和和不等式的性质，可得证明．解：（Ⅰ）∵，∴，即，∴，当n≥2时，，得，即{a n}是等比数列；∴．（Ⅱ）证明：＝＝，由得，所以，从而＝＝．即．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：x2+y2＝a2于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值．【分析】（Ⅰ）结合已知可得，bc＝求出a，b的值，即可得椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得m2＝4k2+1，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得S△MCO+S△ANO，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出S△MON，得到S ACMN＝S△MON+S+S△ANO，整理后利用基本不等式求最值．△MCO解：（Ⅰ）可得，bc＝结合a2＝b2+c2，解得a＝2，c＝，b＝1．得椭圆方程；（Ⅱ）易知直线MN的斜率k存在，设MN：y＝kx+m，由，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由△＝64k2m2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＝0，得m2＝4k2+1，∵S ACMN＝S△MON+S△MCO+S△ANO，设点O到直线MN：kx﹣y+m＝0的距离为d，d＝，|MN＝2＝2．S△MON+＝＝d＝，由，得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4＝0，，，∴y1+y2＝kx1+m+kx2+m＝k（x1+x2）+2m＝k（﹣+2m＝．∴S△MCO+S△NAO＝×（|y1|+|y2|）＝（|y1+y2|＝，∴S ACMN＝S△MON+（S△NAO+S△MCO）＝+而m2＝4k2+1，k2＝，易知k2≥0，∴m2≥1，则|m|≥1，四边形ACMN的面积S＝＝当且仅当＝|m|，即m＝时取“＝”．∴四边形ACMN面积的最大值为4．22．已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0＝λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）f′（x）＝a+（x＞0），求导讨论a以确定导数的正负，从而确定函数的单调区间，求得f（﹣）＞0，求得a的取值范围；（2）由于（1）可知：f′（x0）＜0，f′（x1）•f′（x2）＜0可知λ≠0，且λ≠1，x1，x2是f（x）＝0的两个根，求得a的表达式，λ+（1﹣λ）＞，t＝，构造辅助函数g（t）＝lnt﹣（t＞0），求导化简整理，令μ＝，利用μ的取值范围，即可判断g（t）的单调性，即可求得λ的值．解：（1）f′（x）＝a+（x＞0），当a≥0时，f′（x）＞0对x＞0恒成立，与题意不符，当a＜0，f′（x）＝a+＝，∴0＜x＜﹣时，f′（x）＞0；x＞﹣时f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，﹣）单调递增，在（﹣，+∞）单调递减，∵x→0和x→+∞时均有f（x）→﹣∞，∴f（﹣）＝﹣1+ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可知：a的取值范围（﹣，0）；（2）由（1）可知f′（x0）＜0⇔x0＞﹣（﹣＜a＜0），由x1，x2的任意性及f′（x1）•f′（x2）＜0知，λ≠0，且λ≠1，∴a＝﹣，故x0＝λx1+（1﹣λ）x2＞，又∵λ+（1﹣λ）＞，令t＝，则t＞0，t≠1，且λ+（1﹣λ）t＞＞0恒成立，令g（t）＝lnt﹣（t＞0），而g（﹣1）＝0，∴t＞1时，g（t）＞0，0＜t＜1时，g（t）＜0．（*）∴g′（t）＝﹣＝，令μ＝，若μ＜1，则μ＜t＜1时，g′（t）＜0，即函数在（μ，1）单调递减，∴g（t）＞g（1）＝0，与（*）不符；若μ＞1，则1＜t＜μ时，g′（t）＜0，即函数g（t）在（1，μ）单调递减，∴g（t）＜g（1）＝0，与（*）式不符；若μ＝1，解得λ＝，此时g′（t）≥0恒成立，（g′（t）＝0⇔t＝1），即函数g（t）在（0，+∞）单调递增，又g（1）＝0，∴t＞1时，g（t）＞0；0＜t＜1时，g（t）＜0符合（•）式，综上，存在唯一实数λ＝符合题意．。
2019届浙江省衢州二中高三下学期第一次模拟考试数学试题(解析版)
15．已知平面向量 ， ， 满足 ， ，则对任意的 ， 的最小值记为M，则M的最大值为________.
【答案】
【解析】由题意设 ， ， ， ，化 为 ，它表示圆；由 表示该圆上的点 到点 的距离，即到直线 的距离，求得 的最大值为 ．
【详解】
由平面向量 ， ， 满足 ，
则 与 的夹角为 ，设 ， ， ， ，
,设弦AB的中点为N，又 ，故 ，
即直线的倾斜角为，则m的值为 .
故答案为2，
【点睛】
本题考查直线、圆的方程、直线与圆的位置关系，属于中档题．
13．袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是 ，现从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个，有2次摸到红球即停止，则恰好摸4次停止的概率 ________；若记4次之内（含4次）摸到红球的次数为 ，则随机变量 的数学期望 ________.
，
的最小值 ．
∴ 的最小值为 .
故选： ．
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
二、双空题
11．已知 （ ）的最小正周期为2，则 ________，函数 在 上的值域是________.
【答案】
【解析】先化简函数的解析式即得 的值，再利用不等式的性质结合三角函数的图象逐步求出函数的值域.
【详解】
实数 ， ，对任意实数 ，满足 的可行域如图：
可行域是扇形， 个圆，面积为： ．
故选： ．
【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
6．已知定义在R上的函数 m为实数）为偶函数，记 ， ， ，则( )
【20套精选试卷合集】浙江省衢州第二中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
高考模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}{}{22,4A x x B x x x =≤=<，则RA B =（ ）A ．(],0-∞B ．(),0-∞C ．[]1,1-D ．()0,2 2．已知(),0,a b ∈+∞，则“2ab >”是“22log log 0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，这是计算111124620+++⋅⋅⋅+的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A ．19?i >B ．20?i >C ．20?i <D ．21?i <4．下列函数中既有奇函数，又在区间[]1,1-上单调递增的是（ ） A ．()sin 2f x x = B ．()tan f x x x =+ C ．()3f x x x =-D ．()22x x f x -=+5．甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数是（ ） A ．18B ．24C ．36D ．486．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使得122130,120PF F PF F ∠=∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．31+D ．31+ 7．已知函数()23,11,0121,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪+<⎩，若数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且()111,3n n a a f a +==，则2014S =（ ）A ．895B ．896C ．897D ．8988．函数()f x 的图像如图，则()f x 的解析式可能是 （ ） A ．()cos 2f x x =B ．()sin 4f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()3cos 28f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()5sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9．如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=90，AD ：BC ：AB=234，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折．给出四个结论：①DF ⊥BC ；②BD ⊥FC ；③平面DBF ⊥平面BFC ；④平面DCF ⊥平面BFC ．在翻折过程中，可能成立的结论是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④10．若直线1ax by +=与不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，则23a b +的取值范围是（ ）A ．()7,1--B ．()3,5-C ．()7,3-D ．R二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知复数z 满足()21z i i -=+（i 是虚数单位），则z =__________． 12．等比数列{}n a 前n 项的乘积为n T ，且2342a a =，则9T =__________．13．若()()8880182121x x a a x a x ++-=++⋅⋅⋅+，则02468a a a a a ++++=__________．14．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是_________．15．如图在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=2，D 、E 是线段BC 上的两点，且13DE BC =，则AD AE ⋅的取值范围是___________．16．焦点为F 的抛物线24y x =上有三点A 、B 、C 满足：①△ABC 的重心是F ；②|FA|、|FB|、|FC|成等差数列．则直线AC 的方程是________________________． 17．已知集合()()()()}222,0,,1,2,32a A f x y f x y x a y a a ⎧⎪===-+--=±±±⎨⎪⎩，()(){},0,,1,2,3A g x y g x y x y b b ===+-=±±±，则A 中方程的曲线与B 中方程的曲线的交点个数是_________．三． 解答题 本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． (本题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin b Ca A=（Ⅰ）若512C π=，求角B 的大小； （Ⅱ）若2,32b C ππ=≤<，求△ABC 面积的最小值．19． (本题满分14分)如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=θ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若60θ=，求证：AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角P —CD —A 的平面角最小．20． (本题满分14分)有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别． （Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求P （S ）和P （T ）；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ．21． (本题满分15分)如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线2y x b =+．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2a =,过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Ｑ，求PQ QB的取值范围．•BACEPD（第19题）21． (本题满分15分)已知a R ∈，函数()()()2,ln 2m x x n x a x ==+． （Ⅰ）令()()(),0,0m x x f x n x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()f x 的图像上存在两点Ａ、Ｂ满足OA ⊥OB （O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()()()g x m x n x =+存在两个极值点1x 、2x ，求()()12g x g x +的取值范围．理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．D ；7．A ；8．D ；9．B ；10．C ．第9题提示：考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立；考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射 影为点P ，当CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确；考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立.第10题提示：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域是由)1,0(),1,1(),1,1(--C B A 围成的三角形区域（包含边界）．因为直线1=+by ax 与⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公共点, 所以b a ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101b b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+010101b b a b a ． ),(b a 在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．所以b a 32+的取值范围是)3,7(-． BAC DEFP二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．10； 12．512；13．138+（或6562）； 14．38； 15．]38,916[； 16．012=-±y x ； 17．14． 第17题提示：集合A 中的方程表示圆心在直线x y =上的六个圆, 由对称性只需考虑第一象限. 记3,2,1=a 对应的圆分别为⊙1C , ⊙2C ,⊙3C ,易知⊙1C 与⊙3C 外切, ⊙2C 与⊙1C , ⊙3C 相交,且经过⊙1C 的圆心.3,2,1=b 对应的三条直线321,,l l l ，1l 与⊙1C 外切，2l 与⊙2C 外切且与⊙1C 相交，3l 与⊙1C 与⊙3C 的外公切线且与⊙2C 相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ACa b sin 2sin =． （Ⅰ）若π125=C ，求角B 的大小； （Ⅱ）若2=b ，23ππ<≤C ，求△ABC 面积的最小值．18．（Ⅰ）（本小题7分）由正弦定理，得ACA B a b sin 2sin sin sin ==． ∴ 2165sin 2sin sin ===πC B ．∴ 6π=B （65π=B 舍）．（Ⅱ）（本小题7分）由（Ⅰ）中C B 2sin sin =可得C B 2=或π=+C B 2． 又 C B 2=时，23ππ<≤C ，π32≥B ，即π≥+C B ，矛盾． 所以π=+C B 2，ππ=+--C C A 2，即C A =． 所以3tan 21≥==∆C hb S ABC ， 即当3π=C 时，ABC S ∆的最小值是3．19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //,22====BC AD AB PA ，θ=∠BAD ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若︒=60θ，求证：⊥AE 平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角A CD P --的平面角最小． 19．（Ⅰ）（本小题7分） 当︒=60θ时，∵BC AD //,22===BC AD AB ． ∴AD CD ⊥．又⊥PA 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ∴⊥CD 平面PAD ． 又⊂AE 平面PAD ， ∴AE CD ⊥．又AD PA =，E 是棱PD 的中点， ∴AE PD ⊥． ∴⊥AE 平面PCD ．（Ⅱ）（本小题8分）如图，建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,0,0(P ，)0,cos 2,sin 2(θθB ， )0,1cos 2,sin 2(+θθC ，)0,2,0(D ．∴)2,2,0(-=DP 、)0,1cos 2,sin 2(-=θθDC ． 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =， 则⎩⎨⎧=-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧⇒⊥⊥0)1cos 2()sin 2(022y x z y DC n DP n θθ 取1=y ，得)1,1,sin 21cos 2(θθ-=n ．又易知平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=m ． 设二面角A CD P --的平面角为α， 则2)sin 21cos 2(1||||cos 2+-=⋅=θθαn m要使α最小，则αcos 最大，即0sin 21cos 2=-θθ，∴ 21cos =θ，得3πθ= 20．（本题满分14分）有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别． （Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求)(S P 和)(T P ；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ．（第19题）20．（Ⅰ）（本小题6分）271313131)(=⨯⨯=S P ，92)(131313111213==C C C C C C T P ． （Ⅱ）（本小题8分）ξ的可能值为2,1,0．①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为31，此时B 盒中有2红2非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43．故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为32，此时B 盒中有1红3非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为41，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为43，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为41．故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．③1272452451)1(=--==ξP ． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 P245127 245 ξ的数学期望1245212712450=⨯+⨯+⨯=ξE ． 21．（本题满分15分）如图，设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线b x y +=2．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2=a ，过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Q ，求||||QB PQ 的取值范围．21．（Ⅰ）（本小题6分） 由四边形ABCD 是菱形， 得),(2b a a D +，且⎩⎨⎧=+=+b b a b b a 22222，解得33=a ，31=b ， 所以椭圆方程为19322=+yx ．（Ⅱ）（本小题9分） 不妨设),(2b t t P +（0≠t ）， 因为t x y t x t x 2|2|'====，所以PQ 的方程为b t t x t y ++-=2)(2，即b t tx y +-=22． 又因为直线PQ 过点B ，所以b b t -=+-2，即22t b =．所以PQ 的方程为222ttx y -=．联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=144224222t y x t tx y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ． 所以点Q 的横坐标为64322+=t tx Q ， 所以132||||22+=--=t x x x x QB PQ B Q Q P ．又)4,0(22∈=b t ，所以||||QB PQ 的取值范围为)89,1(． 22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．（Ⅰ）令⎩⎨⎧>≤=0,)(0,)()(x x n x x m x f ，若函数)(x f 的图象上存在两点A 、B 满足OB OA ⊥（O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值集合；（Ⅱ）若函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x g x g +的取值范围． 22．（Ⅰ）（本小题6分）由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ， ∴0=⋅OB OA ，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)2ln(1+=t a ．∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ， ∴a 的取值集合是}2ln 10|{<<x x ． （Ⅱ）（本小题8分）)2ln()(2++=x a x x g ，242)('2+++=x ax x x g ． 要使)(x g 存在两个极值点，则0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根．令a x x x p ++=42)(2，∵)(x p 的图象的对称轴为1-，∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ． ∴20<<a ．由上知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+222121a x x x x ． ∴)2ln()2ln()()(22212121+++++=+x a x x a x x g x g]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22ln[22)2(2+-⋅++⋅--=aa a 42ln+-=a aa ． 令42ln )(+-=x xx x q ，)2,0(∈x ， ∴02ln )('<=xx q ，)(x q 在)2,0(上单调递减， ∴ 442ln2<+-<a aa ． 故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．高考模拟数学试卷第Ⅰ卷(共60分)一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合}0|{≥=x x A ，且B B A = ，则集合B 可能是 A.}2,1{B.}1|{≤x xC.}1,0,1{-D.R2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是A.)62sin(π+=x y B.)32sin(π+=x yC.)32sin(π-=x yD.)62sin(π-=x y3.已知110a b<<，则下列结论错误的是 A.22b a < B.2b aa b+> C.2b ab > D.2lg lg a ab <4.规定2,a b ab a b a b R +⊗=++∈ 、，若14k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域A.(2,)+∞ B ．),1(+∞ C ．7[,)8+∞ D ．7[,)4+∞ 5.设命题:p 函数xy 1=在定义域上为减函数；命题:q ,(0,)a b ∃∈+∞,当1a b +=时,113a b +=，以下说法正确的是A.p ∨q 为真B.p ∧q 为真C.p 真q 假D.p ，q 均假6.若向量a 、b 满足)1,2(-=+b a ，)2,1(=a，则向量a 与b 的夹角等于A.︒45 B ．︒60 C ．︒120 D ．︒135 7.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的 函数是 A ．()x f x x=B ．()()2ln1f x x x =+-C ．()x x x xe ef x e e --+=- D ．|4||3|1)(2x x x x f -++-= 8.已知锐角α且α5的终边上有一点)130cos ),50(sin(0-P ，则α的值为 A ．08 B ．044 C ．026 D ．040 9．下列命题正确的个数是①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的否命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“01,23>+-∈∃x x R x ”. A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知锐角B A ,满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为A ． 22B ．2 C ．22 D ．42 11.已知函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若c b a 、、互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2，2015] 12.下列四个图中,函数10ln 11x y x +=+的图象可能是二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知2||=a，3||=b，b a,的夹角为60，则=-|2|b a___________.14.设420cos =a ,函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩,则211()(log )46f f +的值等于 ．15. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知6π=C ，1=a ，3=b ，则=B ____________.16.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=的最大值为4，则实数a 的值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知α为锐角，且tan()24πα+=．（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos sin cos 2αααα-的值．18．（本小题满分12分）已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x k =-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知函数]1)1()1lg[()(22+++-=x a x a x f ，设命题p ：“()f x 的定义域为R ”; 命题q “()f x 的值域为R ” ．（Ⅰ）分别求命题p 、q 为真时实数a 的取值范围； （Ⅱ）p ⌝是q 的什么条件?请说明理由.21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且55sin ,43==A C π． （Ⅰ）求B sin 的值；（Ⅱ）若105-=-a c ，求ABC ∆的面积．22.（本小题满分12分）已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中R a ∈).（Ⅰ）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值； （Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭.因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 所以21sin 10α=，…………………9分 又α为锐角，所以10sin α=所以sin 2cos sin 10cos 2αααα-=.…………………10分 18.解：（Ⅰ）依题意得：2(1)1,0m m -=⇒=或2m =当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去∴0m =． ……………5分（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，()f x ，()g x 单调递增，∴[1,4],[2,4]A B k k ==--，A B A ⋃=，∴B A ⊆，∴210144k k k -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩． ……………12分 19. (Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . ……………4分当226222πππππ+≤-≤-k x k 时，解得36ππππ+≤≤-k x k ，)62sin()(π-=∴x x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ. ……………8分(Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈. ]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-. ……………12分20.解(Ⅰ)命题p 为真,即)(x f 的定义域是R ,等价于01)1()1(22>+++-x a x a 恒成立,等价于1-=a 或⎩⎨⎧<--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得1-≤a 或35>a .∴实数a 的取值范围为-∞(,35(]1 -,)∞+ ……………4分命题q 为真,即)(x f 的值域是R , 等价于1)1()1(22+++-=x a x a u 的值域),0(∞+⊇,等价于1=a 或⎩⎨⎧≥--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得351≤≤a .∴实数a 的取值范围为1[,]35……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,p ⌝]35,1(-∈a ;q ]35,1[∈a .而]35,1[]35,1(≠⊃-,∴p ⌝是q 的必要而不充分的条件 ……………12分 21. 解：（1）因为55sin ,43==A C π 所以552sin 1cos 2=-=A A 由已知得A B -=4π.所以A A A B sin 4coscos 4sin)4sin(sin πππ-=-=1010552225222=⋅-⋅=……………………………………………………6分 （2）由（1）知43π=C 所以22sin =C 且1010sin =B .由正弦定理得510sin sin ==C A c a .又因为105-=-a c ，所以10,5==a c .所以25101051021sin 21=⋅⋅==∆B ac S ABC ………………………………12分 22. (Ⅰ)因为()()()22211x f x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦()()()()()22222221111x x x f x ax a e ax a x a a e ax a x a e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤'∴=+-++-+--=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =检验,当0a =时,()xf x xe '=,当0x <时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =. ……………4分 (Ⅱ) 当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭, 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭,()()()1x h x g x e x '==-+,()1x h x e '=-, 当0x >时,()10xh x e '=->；当0x <时,()10xh x e '=-<,所以()h x 在(),0-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增,所以()()00h x h >=,即()0g x '>, 所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =； 故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔>⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭, 所以原不等式的解集为{}01x x x <>或. ……………12分高考模拟数学试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将答题卡收回． 参考公式：圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长．第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知2(1)z m mi =-+在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ． (1,1)- B ．(1,0)- C ．(,1)-∞ D ． (0,1) 2．已知集合{|05}A x R x =∈<≤，2{|log 2}B x R x =∈<，则()A CB Z =（ ）A ．{4}B ．{5}C ．[45]，D ．{45}，3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n 粒，若这批米合格，则n 不超过（ ） A ．6粒 B ．7粒 C ．8粒 D ．9粒 4．已知332333233332612201+2=()1+2+3=()1+2+3+4=()222，，，，若333331+2+3+4++=3025n ，则n =（ ）A ．8B ． 9C ．10D ．11 5．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数sin ()2xxf x e=的图象的大致形状是（ ）4226sin360°否结束输出ns ≥3.102nn=6开始7．已知直线:=-l y kx k 与抛物线C ：24=y x 及其准线分别交于,M N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM MN =，则实数k等于（ ）A ．B ．1±C ．D ．2±8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B ．2C ．1D9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）A ．12B ．24C ．36D ．48 10．已知函数'()f x 是函数()f x 的导函数，1(1)f e=，对任意实数都有()()0f x f x '->，则不等式2()x f x e-<的解集为（ ）A. (,)e -∞ B ．(1,)+∞ C. (1,)e D ．(,)e +∞11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A ．72 B ．48 C ．24 D ．16 12．函数2231119()cos(2)4cos 2([,])331212f x x x x x ππππ=-+--∈--所有零点之和为（ ） A ．3π2 B ．43π C ． π2 D ． 83π第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知6(1)(1)x ax -+展开式中含2x 项的系数为0，则正实数a = .14.已知向量(,),(1,2)a m n b ==-，若||25,(0)a a b λλ==<，则m n -= .15.对任意[1,5]k ∈，直线:1l y kx k =--都与平面区域620x a x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩有公共点，则实数a 的最大值是 .16.定义域为R 的函数()f x 满足(+3)=2()f x f x ，当[1,2)x ∈-时，2|1|,[1,0)()=1(),[0,2)2x x x x f x x -⎧+∈-⎪⎨-∈⎪⎩ ．若存在[4,1)x ∈--，使得不等式234()t t f x -≥成立，则实数t 的取值范围是 ． 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足2312232222nn a a a a n n ++++=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(1)2n nn a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本小题满分12分) 为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拨赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为35，丙胜甲的概率为34，乙胜丙的概率为p ，且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为110. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）设在该次对抗比赛中，丙得分为X ，求X 的分布列和数学期望.19．(本小题满分12分) 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为平行四边形，平面⊥PAB 平面ABCD ，PC PB =,︒=∠45ABC ，点E 是线段PA 上靠近点A （Ⅰ）求证AB PC ⊥；（Ⅱ）若PAB ∆是边长为2的等边三角形， 求直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值.20．(本小题满分12分) 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，直线1,l l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线1l （Ⅰ）求1k k ⋅的值；（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()axf x ebx =+(0)a <在点(0,(0))f 处的切线方程为51y x =+,且(1)(1)12f f '+=.（Ⅰ）求函数()y f x =的极值；（Ⅱ）若2()3f x x >+在[1,]x m ∈上恒成立，求正整数m 的最大值.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换2xxy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设(,)M x y 为曲线C '上任一点，求224x y --的最小值，并求相应点M 的直角坐标.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|23||1|.f x x x =++- （Ⅰ）解不等式()4f x >； （Ⅱ）若存在3[,1]2x ∈-使不等式1()a f x +>成立，求实数a 的取值范围．理科数学 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13．25; 14. 6-; 15. 2; 16. (,1][2,)-∞+∞ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）2312232222nn a a a a n n ++++=+……①， ∴当2n ≥时，23112231(1)12222n n a a a a n n --++++=-+-② ①②得2(2)2nn a n n =≥，∴12(2)n n a n n +=⋅≥. …………5分 又∵当1n =时，1112a =+， ∴14a =，∴12n n a n +=⋅. …………6分 （Ⅱ）(1)(2)2n n nn a b n -==-,1231(2)2(2)3(2)(2)n n S n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-……③2341(2)1(2)2(2)3(2)(1)(2)+(2)n n n S n n +-=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯--……④∴234112[1(2)]3(2)+(2)(2)(2)(2)(2)(2)3n nn n n S n n ++---=--+-+-++---=--∴1(31)(2)29n n n S ++-+=-. …………12分18.【解析】（Ⅰ）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为110. 即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为110， …………2分 ∴311(1)5410p ⨯⨯-=， ∴13p =. …………6分 （Ⅱ）依题意丙得分X 可以为0,3,6,丙胜甲的概率为34，丙胜乙的概率为23…………7分 111(0)4312P X ==⨯=,31125(3)434312P X ==⨯+⨯=,326(6)4312P X ==⨯= …………10分∴ 1()0361212124E X =⨯+⨯+⨯=. (12)分 19.【解析】（Ⅰ）作PO AB ⊥于O ……①,连接OC ， ∵平面⊥PAB 平面ABCD ，且PABABCD AB =面面 ，∴PO ⊥面ABCD . ………2分∵PC PB =，∴POB POC ∆≅∆,∴OB OC =， 又∵︒=∠45ABC ，∴OC AB ⊥……② 又POCO O =,由①②，得AB ⊥面POC，又PC ⊂面POC ，∴AB PC ⊥. ………6分（Ⅱ）∵PAB ∆是边长为2的等边三角形，∴1PO OA OB OC ====如图建立空间坐标系，(1,0,0)P - 设面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,0,3),(1,1,0)PB BC=-=-0n PB x n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =(3,3,1)n = 11(1,0,3),(,0,33AP AE AP ===，(1,1,0)CB DA ==- 4(,1,33DE DA AE =+=-，设DE 与面PBC 所成角为θsin |cos ,|||||16n DE n DE n DE θ-⋅====∴直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值7. …………12分 20.【解析】（Ⅰ）设直线l 上任意一点(,)P x y 关于直线1y x =+对称点为000(,)P x y 直线l 与直线1l 的交点为(0,1)，∴11:1,:1l y kx l y k x =+=+01011,y y k k x x --==，由00122y y x x ++=+ 得002y y x x +=++……..① 由1y y x x -=--得00y y x x -=-…….②， 由①②得 0011y x y x =+⎧⎨=+⎩0000100()1(1)(1)(2)11yy y y x x x x kk xx xx -++++-+++===. …………6分（Ⅱ）设点1122(,),(,)M x y N x y ，由12211114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2211(41)80k x kx ++=， ∴2841M kx k -=+，∴221441M k y k -=+. 同理：122188414N k k x k k --==++，221221144414N k k y k k--==++ …………8分 224222222144881414888(33)3414M N MNM N k k y y k k k k k k k x x k k k k k-----+++====------++ …………9分 :()M MN M MN y y k x x -=-，∴22221418()41341k k ky x k k k -+--=--++即：22222218(1)141533(41)4133k k k k y x x k k k k ++-+=--+=--++ …………11分 ∴当k 变化时，直线MN 过定点5(0,)3-. …………12分21.【解析】（Ⅰ）()ax f x e bx =+，那么'()axf x ae b =+由'(0)5(1)'(1)12f f f =⎧⎨+=⎩，得512a aa b ae b b e +=⎧⎨+++=⎩，化简得(2)(1)0a e a -+= 由0a <得1,6a b =-=，∴()6xf x e x -=+ …………3分即'()60xf x e-=-+=，得ln6x =-，∴()f x 在(,ln 6)-∞-单调递减，在(ln 6,)-+∞单调递增，∴ln6()(ln6)6ln666ln6f x f e =-=-=-极小值，无极大值. …………5分（Ⅱ）2()3f x x >+在[]1,x m ∈上恒成立，等价于2630x e x x --+->在[]1,x m ∈上恒成立.设2()63xg x ex x -=-+-，则'()26x g x e x -=--+设()'()26xh x g x e x -==--+，则'()2x h x e -=-， …………6分∵1x m ≤≤，有'()0h x <， ∴()h x 在区间[]1,m 上是减函数， 又∵123(1)40,(2)20,(3)0h eh e h e ---=->=->=-<，∴存在0(2,3)x ∈，使得00()'()0h x g x ==，当01x x ≤<时，有'()0g x >，当0x x >时，有'()0g x <.∴()y g x =在区间[]01,x 上递增，在区间0(,)x m 上递减， 又∵123(1)20,(2)5>0,(3)6>0,g e g eg e ---=+>=+=+456(4)5>0,(5)20,(6)30.g e g e g e ---=+=+>=-<∴当15x ≤≤时，恒有()0g x >；当6x ≥时，恒有()0g x <；∴使命题成立的正整数m 的最大值为5. …………12分 22.【解析】（I ）由 1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）得曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. …………4分（Ⅱ）22(1)1x y -+=，向左平移一个单位再经过伸缩变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '的直角坐标方程为2214x y +=，设(2cos ,sin )M αα，则2222cos cos sin 4x y a a αα-=--cos222cos(2)3a παα==+ …………7分当3k παπ=+时，224x y -的最小值为2-，此时点M的坐标为(1,2或(1,2--. …………10分 23.【解析】（Ⅰ）()|23||1|.f x x x =++-33223()412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，∴3311()42232432444x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或211x x x ⇔<-<≤>或0或. 综上，不等式()4f x >的解集为(,2)(0,)-∞-+∞. …………5分（Ⅱ）存在3[,1]2x ∈-使不等式1()a f x +>成立min 1(())a f x ⇔+> 由（Ⅰ）得，3[,1]2x ∈-时，()4f x x =+，()4f x x =+时，min 5(())2f x = ∴512a +>， ∴32a >，∴实数a 的取值范围为3+2∞（，）. …………10分高考模拟数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第(22)- (23)题为选考题，其他题为必考题。
衢州二中2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题含解析
设 ,计算可得 ，再结合图像即可求出答案.
【详解】设 ，则 ，
则 ，
由于函数 的最小值为0，作出函数 的大致图像，
结合图像， ，得 ,
所以 .
故选：C
【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想,属于中档题。
二、填空题
11。若 ,则 =______， =______.
【答案】 (1)。 （2）.
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义,结合目标函数 的最小值，利用数形结合即可得到结论.
【详解】作出可行域如图，
则要为三角形需满足 在直线 下方，即 , ;
目标函数可视为 ，则 为斜率为1的直线纵截距的相反数,
该直线截距最大在过点 时，此时 ，
即函数 在 上的值域是函数 在 上的值域的子集.
因为 在 上的值域为 （ ）或 （ ），
在 上的值域为 ，
故 或 ,
解得
故答案为： .
【点睛】本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围，属于中档题。
16。已知实数a，b，c满足 ，则 的最小值是______。
【答案】
【解析】
【分析】
先分离出 ，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值.
【答案】 (1）。 6 （2)。 12π﹣9
【解析】
【分析】
过 作 ,交 于 ，先求得圆心角 的弧度数，然后解解三角形求得 的长.利用扇形面积减去三角形 的面积，求得弧田的面积。
【详解】∵如图，弧田的弧AB长为4π,弧所在的圆的半径为6，过 作 ,交 于 ,根据圆的几何性质可知， 垂直平分 .
∴α＝∠AOB＝ ＝ ，可得∠AOD＝ ，OA＝6，
浙江衢州二中高三数学模拟卷(理)
浙江衢州二中高三数学模拟卷(理)高三数学（理）一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合A={1,2,3}，B={2,4,6}，C={|,,}x x a b a A b B =⋅∈∈，则集合C 的元素之和为（A ）84 （B ）50 （C ）38 （D ）18 2．0a =是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ）条件（A ）充分 （B ）必要 （C ）充要 （D ）既非充分又非必要3．正三棱锥V-ABC 的底面边长为2，那么侧棱VC 在平面V AB 上的射影长（A ）0 （B ）1 （C （D ）234．已知二次函数2()2(0)f x ax x a =->对任意[0,1],|()|1x f x ∈≤恒成立，则a 的取值范畴（A ）0a <≤ （B ）1a <≤（C ）1a << （D ）1a ≤≤ 5．已知数列11{},1,(2)2n n n a a a S n ==≥，则S 8= （ ）（S n 为数列的前n 项和） （A ）127 （B ）128 （C ）256 （D ）2576．已知,l P αα⊂∉，过点P 引与直线l 成60°角的直线交平面α于Q ，则Q 点的轨迹是（A ）两个点 （B ）抛物线 （C ）椭圆 （D ）双曲线 7．O 为∆ABC 内一点，且3OA OC OB O ++=，则:AOB AOC S S ∆∆=（A ）1:2 （B ）1:3 （C ）2:1 （D ）3:18．已知双曲线22221x y a b-=，F 为右焦点，右准线与一条渐近线的交点P ，且|OP|、|PF|、|OF|成等差数列，则双曲线的离心率（A （B （C ）53 （D ）549．矩形的边长为2和5，通过它的短边上的点作直线，使得所截得的直角三角形的周长为8，则矩形留下部分面积的最小值（A）6+ （B）38 （C ）223（D）48- 10．已知函数1()ln2f x x x =++有以下命题： ①方程()0f x =只有一个实根②(2,1]--上为减函数，[1,)-+∞上为增函数 ③有极小值1- ④21lim0()x f x →-= 其中正确的命题是（A ）①③④ （B ）②③④ （C ）②③ （D ）①②④二、填空题（每小题4分，共16分）11．一个平均的四面体，一个面上标0，两个面上标1，一个面上标2，连续抛掷两次，则面向下的数之和的数学期望________________12．已知实数,x y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则|1|z x y =+-取值范畴______________13．过抛物线214y x =的焦点F 作弦|AB|，若||2||FA FB =，则|AB|=_________ 14．已知函数()y f x =的反函数11(),(1)fx f x --+若的反函数(1)f x +，且(1)2,(2007)f f ==则_____________高三数学（理）模拟考试答题卷二、填空题（每题４分，共12分）11 12 13 14 三、解答题（每题14分，共84分） 15．已知向量2(sin,1),(2,sin )2xm n x ==. （1）当0x π≤≤时，求m n ⋅的取值范畴.（2）定义函数()|1|f x m n =⋅-，求函数的递增区间.16．正三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 分别为各边的中点，三角形ABC 的面积为4.（1）以上述七个点为顶点的三角形全体记为集合M ，那么集合M 中共有几个元素？其中面积为1的三角形有几个？（2）从集合M 中，任取两个元素，面积均为1的概率是多少？（3）从M 中有放回地取三角形，若取出面积为1时停止，求恰好取3次后停止摸取的概率.班级________________ 姓名_______________ 准考证号___________________………………………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………………17．已知M 68(,)55-关于直线2y x =的对称点N 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，离心率2e =. （1）求椭圆方程.（2）过N 点引两条互相垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，求证直线AB 恒过定点，并求出定点坐标.18．如图，三棱锥P-ABC 中，ABC ∆为正三角形，D 为AC 的中点，E 为PD的中点，,36PB PBD BE PB AC =∠==⊥. （1）求证：平面PAC PBD ⊥平面. （2）求三棱锥P-ABC 的体积.AC19．已知函数()lg(1)f x x =+，当点M (,)x y 在()y f x =的图象上运动时. （1）求对应点1(,2)()2x a N y a R -+∈确定的函数关系()y g x =. （2）若[0,1]x ∈时，()(2)g x f x ->恒成立，求参数a 的取值范畴.20．数列11{},(1),n n n n a a S n+=-是数列的前n 项和，S n 具有以下性质： 11=11122-=111112323-+=+11111123434-+-=+111111112345345-+-+=++11111111123456456-+-+-=++（1）依照以上规律，写出n=9与n=10时，S n 满足的等式； （2）依照以上规律，归纳出S n 满足的等式关系，并加以证明．.高三理科模拟考试参考答案一、BBADB DBCCC 二、2 []0,4922004- 三、15. （1）2sin()4mn x π⋅=-1⎡⎤∈⎣⎦ （2）3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦16. （1）27629C -=，面积为1的三角形的个数有10个；（2） 21022945406C C = （3）23191036102924389⨯= 17. （1）2222(2,0),,4,1,124x N e a b y -===+= （2）设AN (2)y k x =+ BN 1(2)y x k=-+， 由22(2)440y k x x y =+⎧⎨+-=⎩得222284(,)4141k k A k k -++，因此222284(,)44k kB k k --++ 因此254(1)ABkk k -=-，AB 的方程为22224528()414(1)41k k k y x k k k --=--+-+ 令0y =，可得2224665(41)5k x k --==-+，即过定点（6,05-）18. （2）由题意2BD BP BE +=，两边平方得28280,0,233x x x x +-=>=13PBDV AC S =⋅⋅=19. （1）用代入法得()2lg(2)g x x a =+（2）由(),(2)g x f x -的定义域得122ax -<<，它包含[]0,1，因此2a >， ()(2)g x f x >得22211024a a x x +--+>，令22211()24a a h x x x +-=-+其对称轴为2114a x +=>（2a >），2min 41()(1)04a a h x h -+==>，2a >+20.(1) 11111111119,12348956789n =-+-+-+=++++ 1111111111110,12348910678910n =-+-+-+-=++++(2)n 为偶数时1111111112234112n n n n n-+-++-=++++--n 为奇数时1111111111234112n n n n n-+-++-=++++--用数学归纳法证，当1,2n =时由已知等式成立 假设n=2k 时等式成立，即1111111112342121212k k k k k-+-++-=+++-+-， 当n=2k+2时，111111112342122122111111212212211111()22211221111222122k k k k k k k k k k k k k k k k k k -+-++-+-=-+-++++-+--+=++++-+--+=+++++-+等式也成立因此，当n 为偶数时，1111111111234112n n nn n-+-++-=++++-- 成立。