有限单元法课件第二章有限单元法的基本原理

u x
x
0
0
x
y
z xy
v y w z u v
0
0
yz
zx
y x y
v
w
0
y
0
x
0
z
u
v
0
w
z y z y
w x
u z
z
0
x
3.物理方程
物理方程描述应力分量和应变分量之间的关系,这
对于平面弹性体而言,上述外力的虚功为
W f T Pc f T PvdV f T Psds V
四、平面问题的定义
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
1.平面应力问题
当结构满足以下两个条件时,则认为是平面应力问题。
(1)几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸,即结构 形状成薄板形。
(2)载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均 匀分布,而板平面不受任何外力作用。
参照下图,判断是否是平面应力问题。
一般地,当结构厚度 t L 15 时,结构可作为平面应力问题.
平面应力问题的应力特点:
z zx zy 0
根据物理方程， 应变特点:
zx zy 0
z
1
( x
y)
这类结构的应力分量和应变分量分别为:
x
y
T xy
x
y
T
xy
这时,几何方程变为: 物理方程变为:
弹性体在平衡状态下发生虚位移时,外力要做虚功, 大小为
W f T R
虚功 虚位移 外力
在发生虚位移的过程中,弹性体内将产生虚应变 。
应力在虚应变上所做的虚功是储存在弹性体内的虚
应变能,若用U 表示虚应变能,则
U T dV V
单位体积内的虚应变能为
U T
U
U
o
2.虚位移原理
虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.
1 2
x xdxdy
如果微分体上还有 y 和 xy 的作用,弹性体单位
体积应变能:
U
1 2
(
x
x
y y
xy xy )
虚位移 是指在约束条件允许的范围内弹性体可能发 生的任意微小的位移。
➢它并未实际发生，只是说明产生位移的可能性。 ➢它的发生与时间无关,与弹性体所受的外载无关。
弹性体在外载作用下的实位移是可能的虚位移。
yz
切应力互等定律 xy yx , xz zx , yz zy
y
应力矩阵
x xy
yx
T
x y z xy yz zx
y
x
z
微分体的应力分量
3.应变
注意!
z
y
o
z
正应变
zx xz
zy
yz y
伸长为正,缩短为负 切应变
xy yx
直角减小为正,增大为负
二、弹性力学的基本方程
弹性力学中的基本假设： 1、连续性假设：物体是连续的 2、均匀性假设：物体由同一材料组成 3、各向同性假设：物体各个方向的性能相同 4、物体是完全弹性的 （符合上述4个条件的称为理想弹性体） 5、位移和形变是微小的。
弹性力学基本方程描述弹性体内任一点应力,应变,位 移以及外力之间的关系,它包括平衡方程,几何方程和 物理方程三类.
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
dx
xdx
U
1 2
x
x
应变能:
U
体力矩阵
T
{Pv} Pvx Pvy Pvz
面力矩阵
T
{Ps} Psx Psy Psz
集中力矩阵
T
{Pc} Pcx Pcy Pcz
2.应力
当弹性体受到载荷作用,其内部将产生内力。弹性体
内某一点作用于某个截面单位面积上的内力称为应
力,它反映了内力在截面上的分布密度。
z
y
o
zx
xz
z zy
x
y 应变的矩阵表示：
x
z
x
y
zxyyz NhomakorabeaT zx
微分体的应变分量
4.位移
●弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置发生变 化,这种位置的改变称为位移,用d表示.
●位移可分解为x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、
w,称为位移分量. 沿坐标轴正方向的位移分量为正,反之为负.
●位移的矩阵表示 d u v wT
种关系与材料的物理特性有关.
物理方程有六个:
x
1 E
( x
y
z )
E:弹性模量 G:切变弹性模量
:泊松比
y
1 E
(
y
z
x )
z
1 E
( z
x
y)
xy
1 G
xy
矩阵形式
G E
2(1 )
D
yz
1 G
yz
D 称为弹性矩阵,由弹性模量和泊松比确定,
与坐标无关
zx
1 G
zx
三类基本方程中包括15个方程. (平衡方程3个,几何方程6个,物理方程6个)
虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的, 那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等 于弹性体的虚应变能,即
W U
一般表达式: f T R T dV V
※对于虚位移原理,在虚位移发生过程中,原有的外 力,应力,温度及速度应保持不变,也就是说,不能有热 能或动能的改变。
※外力的形式有集中力 Pc,体力 Pv 和表面力 Ps ,
1.平衡方程
弹性体受力以后仍处于平衡状态,因此其上的应力 和体力在x,y,z三个方向上分别满足以下平衡方程
x
x
xy
y
xz
z
pvx
0
xy
x
y
y
yz
z
pvy
0
xz
x
yz
y
z
z
pvz
0
平衡方程是弹性体内部必须满足的条件
2.几何方程
几何方程描述几何量应变和位移之间的关系,其矩
阵形式为
1 第一章 绪论 2 第二章 有限元法的基本原理 3 第三章 轴对称问题的有限元解法 4 第四章 杆件系统的有限元法 5 第五章 空间问题的有限元法
第二章 有限元法的基本原理
线性弹性平面问题
第一节 弹性力学相关知识
一、弹性力学中的物理量: 载荷,应力,应变,位移
1.载荷 载荷是外界作用在弹性体上的力,又称外力.它包括 体力,面力和集中力三种形式.
含有6个应力分量,6个应变分量,3个位移分量 (共15个未知量)
三种解题方法:位移法,应力法,混合法
目前有限元法主要采用的是位移法,它是以三个位移 分量作为基本未知量的.
三、虚位移原理
1.虚功与虚应变能
➢应变能
弹性体在外力作用下要发生变形,外力对弹性体 做功。若不考虑变形中的热量损失,弹性体的动能及 外界阻尼,则外力功将全部转换为储存于弹性体内的 位能---应变能。当外力去掉后,应变能将使弹性体恢 复原状。