公式法解一元二次方程公开课
人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课说课稿
人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课说课稿一. 教材分析《公式法解一元二次方程》是人教版九年级数学上册的一节重要内容。
这一节内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义等知识的基础上进行学习的。
通过这一节内容的学习，使学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用公式法求解一元二次方程，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的概念和性质有一定的了解。
但是，对于公式法解一元二次方程的步骤和应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，要注重引导学生掌握公式法解题的步骤，培养学生的解题能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用公式法求解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究、合作交流，培养学生的解决问题能力和合作精神。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握公式法解一元二次方程的步骤和应用。
2.教学难点：如何引导学生理解并掌握一元二次方程的解法，能够灵活运用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生自主探究、合作交流。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，进行生动、直观的教学。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一元二次方程的定义和解法，引导学生进入本节内容的学习。
2.自主探究：让学生自主探究公式法解一元二次方程的步骤，引导学生发现解题规律。
3.案例教学：通过典型案例的讲解，使学生掌握公式法解题的方法和技巧。
4.小组合作：让学生进行小组合作，共同解决实际问题，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
5.总结提升：对本节内容进行总结，强化学生对公式法解一元二次方程的理解和掌握。
6.巩固练习：布置适量的练习题，让学生进行巩固练习，提高解题能力。
2022年初中数学精品教案《用公式法解一元二次方程》公开课专用
用公式法解一元二次方程教学目标【知识与能力】理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．【过程与方法】会熟练应用公式法解一元二次方程．【情感态度价值观】通过探索一元二次方程的求根公式，进一步培养推理能力和符号意识．教学重难点【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式法的推导．课前准备无教学过程复习引入1.(学生活动)解下列方程：(1)x 2-8x +7=0 (2)x 2+4x +1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x 的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：(1)x 2-8x +(-4)2+7-(-4)2=0(x -4)2=9x -4=±3即x 1=7，x 2=1(2)x 2+4x =-1x 2+4x +22=-1+22(x +2)2=3即xx 1，x 2-2运用配方法，我们已经会解解一般形式的一元二次方程02=++c bx ax 吗？试一试.因为0≠a ，方程两边都除以a ，得移项，得 两边都加上22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ，得a c ab a b a b x x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+2222222， 即.222442aac b a b x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 由于4a 2＞0，所以当b 2-4ac≥0时，由平方根的意义，得移项，得 即.aac b b x 242-±-= 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，它的根是用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．3.例题解析：例1 用公式法解方程：（1）2x 2+5x -3=0； （2）4x 2=9x .例2 用公式法解方程例3 用公式法解方程，并求根的近似值（精确到0.01）：（x +1）（3x -1）=1.4.随堂演练：用公式法解方程：2x 2-9x +8=0计算：b 2-4ab 的值；代入：把有关数值代入公式计算；定根：写出原方程的根.用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式，并写出a 、b 的值；2、求出b 2-4ab 的值；3、代入求根公式；4、写出方程的解；归纳小结本节课应掌握：公式法的概念及用其解一元二次方程的步骤． 第1课时 代入法1．会用代入法解二元一次方程组．(重点)一、情境导入《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上，另一部分在地上．树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子为整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子一样多．”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗？我们可以设树上有x 只鸽子，地上有y 只鸽子，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3（y －1），x －1＝y ＋1.可是这个方程组怎么解呢？有几种解法？二、合作探究探究点：用代入法解二元一次方程组 【类型一】 用代入法解二元一次方程组用代入法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝－19，①x ＋5y ＝1；② (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，①y ＋14＝x ＋23.② 解析：对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x ＝1－5y ，然后代入①求解；对于方程组(2)，应将方程组变形为⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，③4x －3y ＝－5，④观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x ＝3y ＋12. 解：(1)由②，得x ＝1－5y.③把③代入①，得2(1－5y)＋3y ＝－19，2－10y ＋3y ＝－19，－7y ＝－21，y ＝3.把y ＝3代入③，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝3. (2)将原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，③4x －3y ＝－5.④ 由③，得x ＝3y ＋12.⑤ 把⑤代入④，得2(3y ＋1)－3y ＝－5，3y ＝－7，y ＝－73. 把y ＝－73代入⑤，得x ＝－3. 所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－73. 方法总结：用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．【类型二】 整体代入法解二元一次方程组解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＝2y ，①2（x ＋1）－y ＝11.②解析：把(x ＋1)看作一个整体代入求解．解：由①，得x ＋1＝6y.把x ＋1＝6y 代入②，得2×6y－y ＝11.解得y ＝1.把y ＝1代入①，得x ＋13＝2×1，x ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.方法总结：当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．【类型三】 已知方程组的解，用代入法求待定系数的值已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．3解析：把解代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，. 方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，即将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．三、板书设计解二元一,次方程组)⎩⎪⎨⎪⎧基本思路是“消元”代入法解二元一次方程组的一般步骤 回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．充分体现了转化与化归思想．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力．第4课时“斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用 【类型一】 利用“HL ”判定线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【类型二】 利用“HL ”判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等． 证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt△ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL ”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL ”，除此之外，还可以选用“SAS ”“ASA ”“AAS ”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．。
《公式法》教案 (公开课)2022年(1)
公式法(一)教学目标(一)教学知识点1．一元二次方程的求根公式的推导2．会用求根公式解一元二次方程(二)能力训练要求1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步开展逻辑思维能力．2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．教学重点一元二次方程的求根公式．教学难点求根公式的条件：b 2-4ac ≥0教学方法讲练相结合教学过程Ⅰ．出示自学指导：小组讨论以下一元二次方程的解法，5分钟后交流解法．1．用配方法解方程2x 2-7x+3＝0．解：2x 2-7x+3＝0，两边都除以2，得x 2-2327+x =0． 移项，得 x 2-2327-=x . 配方，得x 2-,)47(23)47(2722-+-=-+x (x-1625)472=x . 两边分别开平方，得 x-4547±=, 即x- 4547=或x-4547-=. ∴x 1=3，x 2=21． 接下来大家来试着做一做下面的练习．1．用配方法解以下关于x 的方程：(1)x 2+ax ＝1；(2)x 2+2bx+4ac ＝0．(1)解x 2+ax ＝1， 配方得x 2+ax+(2a )2＝1+(2a)2，(x+2a )2=442a +．两边都开平方，得 x+2a ＝±242a +， 即x+2a ＝242a +，x+2a =-242a +. ∴x 1=242a a ++-， x 2＝242a a +-- (2)解x 2-2bx+4ac ＝0，移项，得x 2+2bx ＝-4ac ．配方，得x 2-2bx+b 2＝-4ac+b 2，(x+b)2=b 2-4ac ．两边同时开平方，得x+b ＝±ac b 42-，即 x+b ＝ac b 42-，x+b ＝-ac b 42-∴x 1=-b+ac b 42-，x 2＝-b-ac b 42-〔是否正确？〕根据平方根的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b 2-4ac ≥0时，才可以用开平方法解出x 来．所以，在这里应该加一个条件：b 2-4ac ≥0．同学们来想一想，讨论讨论， 有道理吗?从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的根本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．Ⅱ．解决问题刚刚我们已经利用配方法求解了几个一元二次方程，那你能否利用配方法的根本步骤解方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)呢?大家可参照解方程2x 2-7x+3＝0的步骤进行．因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a ，得 x 2+ ac x a b +=0． 因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，需要说明a ≠0．以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，必须说明a ≠0．好，接下来该如何呢?移项，得x 2+ac x a b -= 配方，得x 2+22)2()2(a b a c a b x a b +-=+, (x+22244)2aac b a b -=. 这时，可以直接开平方求解吗?因为a ≠0，所以4a 2>0．当b 2-4ac ≥0时，就可以开平方．在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求2244aac b -≥0．因为4a 2>0恒成立，所以只需b 2-4ac 是非负数即可． 因此，方程(x+a b 2)2＝2244a ac b -的两边同时开方，得x+a b 2=±2244aac b -. 大家来想一想，讨论讨论：±2244a ac b -=±a ac b 242-吗? ……当b 2-4ac ≥0时， x+a b 2=±2244a ac b -=±||242a ac b - 因为式子前面有双重符号“±〞，所以无论a>0还是a<0，都不影响最终的结果：±aac b 242- 所以x+a b 2=±aac b 242-, x=-a b 2±aac b 242- =aac b b 242-±-−−−−→−a 两边都除以 −−→−配方x=aac b b 242-±- (b 2-4ac ≥0)， 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，当b 2-4ac ≥0时，它的根是 x=aac b b 242-±- 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(Solving by formular)由此我们可以看到：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提条件下，把各项系数a 、b 、c 的值代入，就可以求得方程的根．注：(1)在运用求根公式求解时，应先计算b 2-4ac 的值；当b 2-4ac ≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．(2)把方程化为一般形式后，在确定a 、b 、c 时，需注意符号．接下来，我们来看一例题． [例题]解方程x 2-7x-18＝0．分析：要求方程x 2-7x-18＝0的解，需先确定a 、b 、c 的值．注意a 、b 、c 带有符号．解：这里a ＝1，b ＝-7，c ＝-18．∵b 2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)＝121＞0，∴x=2117121217±=⨯±, x 1＝9，x 2＝-2．我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤．(1)把方程化为一般形式，进而确定a 、b ，c 的值．(注意符号)(2)求出b 2-4ac 的值．(先判别方程是否有根)(3)在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的直代入求根公式，求出a ac b b 242-±-的值，最后写出方程的根．接下来我们通过练习来稳固用公式法求解一元二次方程的方法．Ⅲ．课堂练习课本P 51随堂练习 1、2Ⅳ．课时小结−−→−≥-如果042ac b这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法——公式法．(1)求根公式的推导，实际上是“配方〞与“开平方〞的综合应用．对于a ≠0，b 2-4ac≥0。
18.2一元二次方程的解法(公式法)公开课
一元二次方程的解法——公式法教学目标：知识与技能目标1.让学生熟练应用一元二次方程求根公式解一元二次方程；2.通过公式的引入，培养学生抽象思维能力． 过程与方法目标1.让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，感受分类思想；2.让学生在实践中运用公式法解一元二次方程，体会求根公式的结构特点． 情感态度与价值观目标1. 通过一元二次方程求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想；2. 培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．重点和难点重点：让学生掌握一元二次方程求根公式解一元二次方程； 难点：对字母系数二次三项式进行配方．教具准备 多媒体课件教学过程一、创设情境，导入新课问题 思考如何用配方法解下列方程？二、探究归纳，讲解新课让学生独立解决问题，并思考：用配方法解一元二次方程的步骤怎样？关键是什么？用配方法解一元二次方程的步骤： （1）化二次项系数为1； （2）移项；（3）配方：方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）开方：如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．让学生仿问题（1），讨论尝试求解问题（2）；当二次项系数不为1时，如何应用配方法？指出 当二次项系数不为1时，只要在方程两边同除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程． 探索我们来讨论一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解． 用配方法来解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．22(1)1510(2)980x x x x +=-+= 2因为a ≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a ，得02=++ac x a b x，移项，得ac x ab x-=+2，配方，得22222⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛++a b a ca b x a bx ，即222442aac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+．因为a ≠0，所以4a 2＞0，当b 2-4ac ≥0时，得22442aac b ab x -±=+，即aac bab x 2422-±=+．所以aac b ab x 2422-±-=，即aac b b x 242-±-=．上面的式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．从上面的结论可以发现：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a 、b 、c 确定的．(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入aacbb x 242-±-=(b 2-4ac ≥0)中，可求得方程的两个根．思考当 b 2-4ac ＜0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根怎样？三、实践应用，讲解例题 例1 解方程：242=+x x解:将方程化为一般式，得2x ＋4x －2＝0 (1)这里a=1 b=4 c=-2 ∴622244±-=±-=x原方程的解是x 1＝-2＋6,x 2＝-2-6.在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤 ：(1)确定a 、b 、c 的值；(2)算出b 2-4ac 的值；(3)代入求根公式求出方程的根．例2 运用公式法解下列方程： （1）32322=--x x （2）x x 3232=+解：（1）方程两边同乘以 3得 2 2x -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. ∴b 2-4ac =(-3) 2-4×2×(-2)=25.aac b b x 242-±-=()45322253±=⨯±--=∴x 1＝2,x 2＝21-.()242144422=-⨯⨯-=-ac b()3143243,32,10332x )2(222=⨯⨯--=-=-===+-ac b c b a x 移向，得3232120)32(==⨯±--=x321==x x四、交流反思1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式aacbb x 242-±-=(b 2-4ac ≥0)．利用公式法求一元二次方程的解的步骤：(1)化方程为一般式；(2)确定a 、b 、c的值；(3)算出b 2-4ac 的值；(4)代入求根公式求根．2.通过上面的例1和例2，可以发现，在应用求根公式时，一定要先算b 2-4ac的值．当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数解；当b 2-4ac ＝0时，方程有两个相等的实数解；当 b 2-4ac ＜0时，方程没有实数解．3.解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法和公式法，对于各种类型的一元二次方程，可以用不同的方法求解，在具体求解时，应当根据方程的特点，灵活运用各种方法．五、布置作业1、第二十九页 第四题2、预习下节课内容 六、教学后记1、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。
《用公式法求解一元二次方程》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (7)
在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地 上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒 地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若
可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
练习巩固
在一幅长90cm、宽60cm的风景画的 四周外围镶上一条宽度相同的金色 纸边，制成一幅挂图，如果要求风 景画的面积是整个挂图面积的72%， 那么金边的宽应该是多少？
例 填空
1 4
___ ____
11700 ___ ___
3018
____
________
201536 ___________
想一想:
时钟在8点20分 时,时钟的时针与 分针所成的角是多 少度?
4时15分呢？ 2时48分呢？
钟表上的数学
确定相应钟表上时针与分针所成的
角度
4：00
第二章 一元二次方程
第3节 用公式法求解一元二次方程(二)
学习目标
• 知道有些一元二次方程没有根， 会用判别式判定一个一元二次 方程根的情况
• 熟悉用求根公式解一元二次方 程
温故知新
1.你能举例说明什么是 方法求解一元二次方程？ 怎样用公式法求解一元二次方程？
A 共有10个角
D
E
E D
C
B
B
图1
C
O
A
图2
1、角是指( ) A.由两条线段组成的图形; B.由两条射线组成的图形 C.由两条直线组成的图形; D.有公共端点的两条射线组成的图形
2、如图所示，从点O出发有
三条射线，则图中有 个
角，它们分别是
．
C B
OA
D O AC B
(3)哈尔滨在北京的北 偏东大约多少度？
钟表上有12大格， 每小时时针走1大
《公式法解一元二次方程》课件
4
又因为二次项系数不为0，
1
所以m≠0，即m＞−
4
且m≠0．
4.（例2变式）若关于 x 的方程 kx2−4x+2=0有实数根，
则 k 的取值范围为 k≤2
．
解：分两种情况讨论：
（1）若方程为一元一次方程，则k=0，
1
方程化为−4x+2=0. 解得 x .
2
（2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0，
, x2
.
4
4
4
4
,
课堂导入
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解：移项，得ax2+bx=-c．
2
二次项系数化为1，得 +
配方，得 2 +
即 +
2
2
=
+
2
2
2 −4
．
2
4
=
=− ．
2
− +
．
2
这里可以直接开平
方吗？为什么？
实数根
有两个相等实数根
利用判别式判断方程根的情况的一般步骤：
一化：化一般式，确保二次项系数为正；
二找：找a,b,c，确定其值，注意带前面的符号；
三算：算b2-4ac的值，判断符号；
四判：判断方程根的情况.
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相
k<2且k ≠0
等的实数根，则 k 的取值范围为
解：∵ Δ= (-5)2-4×1×7= -3<0，
公式法解一元二次方程说课课件
这个课件将介绍公式法解一元二次方程的步骤，展示一元二次方程在现实生 活中的例子，以及探讨一元二次方程与二元一次方程的联系。
一元二次方程的定义
一元二次方程是一个包含未知数的二次方程，可用形如ax²+bx+c=0的标准形式 表示，其中a、b、c是已知常数。
公式法求解一元二次方程的步骤
一元二次方程与二元一次方程的联系
一元二次方程
只有一个未知数，但该未知数的次数是2的方程。
二元一次方程
有两个未知数，且它们的次数都是1的方程。
桥面高低
桥面的设计通常会考虑抛物线形状，以提供稳定的承重能力。
如何判断一元二次方程行判断，若判别式大于0，则方程有两个不相等的实数根。
2 因式分解法
当判别式等于零时，可以将一元二次方程因式分解。
3 复数解
当判别式小于0时，方程在复数域内有两个共轭复数根。
Step 1
将一元二次方程变换成标准形式。
Step 2
根据公式 x = ∓−±√(²−̅ 4·a·c) / (2·a)，计算x的值。
Step 3
将x的值代入一元二次方程，验证结果是否满足。
现实生活中的一元二次方程例子
抛物线轨道
一架投掷物体的轨迹往往可以用一元二次方程来描述。
抛物线喷泉
喷泉中的水柱以抛物线形状向上喷射。
如何判断一元二次方程的根的性质
1 顶点图形法
通过绘制一元二次方程的顶点图形来确定其根的性质。
2 判别式的正负
根据判别式的正负来判断一元二次方程的根是实数还是复数。
3 系数的符号
根据方程的系数的符号来判断一元二次方程的根的正负性。
一元二次方程的图像
《用公式法求解一元二次方程》PPT课件 (公开课)2022年北师大版 (4)
b b2 4ac
x 2a
(b2-4ac≥0 )
练一练，巩固新知
一、判断下列方程解的情况： （1）x2-7x=18 （2）2x2+3=7x
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）16x2+8x=3 （6） 2x2-9x+8=0
比一比谁简洁
（3）3x2+2x+1=0
解:a=3,b=2,c=1
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解方程应注意的问题是什么？ 4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
作业
1、课本47页1,2题.
2、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是 多少?
3、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下 垂的长度相同,求台布的长和宽
第二章 一元二次方程
第3节 用公式法求解一元二次方程(一)
回忆巩固
用配方法解下列方程：
(1)2x2+3=7x
(2)3x2+2x+1=0
解:
73 x2 x 0
22
x2 7 x (7)2 49 3 0
2 4 16 2
(x 7)2 25 0 4 16
(x 7)2 25 4 16
x 1 22
练一练，巩固新知
二、解下列方程 （1） x2-7x=18 （2）2x2+3=7x
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）16x2+8x=3 （6） 2x2-9x+8=0
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2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 4a2 04a2 b20当4acb2 04ac 0 时
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
b b2 4ac x
2a
ห้องสมุดไป่ตู้
特别提醒
一元二次方程的 求根公式
一元二次方程的 求根公式
求根公式 x b b2 4ac 2a
例 1 解方程： x2 7x 18 0
解： 这里 a 1 b 7 c 18
b2 4ac （ 7）2 41（- 18） 121
x 7 121 7 11
21
2
即 ： x1 9 x2 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
练习：判别下列方程的根的情 况解方程。
例：当k取什么值时，已知关于x的方程：
（1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等 的实根； （3）方程无实根；
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根 为互为相反数？
当堂 检测
用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0;
（2）9x2+6x+1=0;
（3）16x2+8x=3. (4) m取什么值时，关于x的方程方程
x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数 解
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
求根公式 x b b2 4ac 2a
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0
这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
一、用配方法解一元二次方程:
(1)x2 4x 1 0 (2)2x2 3x 1 0
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） x
02
3
3
21
2
即 ： x1 x2 3
求根公式 x b b2 4ac 2a
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
49 96 - 47 0
方程没有实数解。
合作探究
对于一元二次方程 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解? 有什么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 b2 4ac
记住了， 别搞错!
一元二次方程的根的情况：
1.当 ___b_2 __4_a_c__0_时，方程有两个不相等的实数根 2.当____b2___4_ac___0_时，方程有两个相等的实数根 3.当____b_2 __4_a_c__0_时，方程没有实数根
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时，___b_2 __4_a_c_ 0 2.当方程有两个相等的实数根时，____b_2 __4_a_c__0_ 3.当方程没有实数根时，___b_2__4_a_c___0_