体育中的数学模型
11.体育模型
（9.15）
（9.16）
E t2 E 0 t2
1
v 2 t2
2
1
t1
0
F 2 2(1 e )2dt
（9.17）
t
t
t2
1
v 2 t dt 0
D(v t )达到最大 所以问题为：在（9.17）下求 v t 使泛函（9.15） 值此为变分法中的条件极值问题，由Lagrange乘子法，构造L-函 数 L(v t ) D(v t ) E t2 (9.18) 2 为计算方便，右端与 v t 无关的项略掉，有 t2 2 L(v t ) v t v t dt t1 2
v t F (1 e )(0 t t1 )
t
（9.6）
把f=F及（9.6）代入（9.4）有
t dE 2 F (1 e ) dt E(0) E ,E(t) 0 0
（9.7）
其解是E(t) E 0 ( F 2 ) t F 2 2(1 e （ ) 9.8） 上式需有 2 F 2 0， lim E(t) 这不合乎实际. 否则
(9.21)
从而推得：
v t T 2t2
(t1 t t2 )
•
• 此表明：在 •
t2 定 t1 ，，。 t 2 及 的确定. 4 .t1 ， 因为v t 在t=t1 连续，所以由(9.6)及(9.21)得
2(t2 t ) (9.23) 2 2(t2 t ) v t2 e ) e dt= ，最优速度为常数，剩下的是确 t t1 ,t2
数学模型在体育中的应用教案
数学模型在体育中的应用教案。
一、概述近年来，随着数据分析技术的不断发展，数学模型在体育中的应用越来越广泛。
例如：对于足球比赛，可以通过分析球队的攻防特点、球员的技术特点、天气等多个因素来预测比赛结果；对于体操比赛，可以通过计算运动员的空中时间、旋转角度等数据，来评估每个动作的难度系数和得分点数。
这些数据的计算和分析离不开数学模型的支持和指导。
二、数学模型在足球比赛中的应用1.战术分析：基于位置数据和统计分析的足球战术分析模型，是通过记录足球比赛时的球员定位和动作，以数据为基础，运用数学模型对球队的战术进行分析，判断球队比赛的胜负情况，还可以对球队进行个性化的战术训练。
2.球员评估：现代足球对于球员身体素质和技术水平的要求越来越高，而基于数据的球员评估模型可以有效地分析球员的散步距离、持球时间、射门精度、传球完成率等多个指标，来判断球员的真实水平和发挥能力。
3.比赛结果预测：基于球队状态、防守强度、天气等多个因素的分析模型可以进行比赛结果预测，对于球迷和投注者来说，这是一种非常有用的参考。
三、数学模型在篮球比赛中的应用1.篮球技术评估：篮球比赛中，球员的得分、抢篮板、助攻、防守等数据是判断他们个人技术、成就和价值的重要指标，在解析数据的过程中需要运用到一些简单的数学模型，如：时间序列分析、多元线性回归等。
2.球队战术评估：篮球比赛中团队配合和团队士气的重要性不言而喻，通过尝试不同的数学模型，如神经网络、模拟系统、熵值法等，可以对球队的战术整体效果进行评估。
3.比赛结果预测：通过分析比赛记录，包括球队的历史比赛数据、运动员个人数据、场地状态等多个因素，构建预测模型，对比赛结果进行预测。
四、数学模型在田径比赛中的应用1.计时器时间调整/标准化：田径比赛中，计时器误差会影响比赛结果的精确度，通过使用数学模型，可以调整比赛的结果，对计时器误差进行标准化。
2.线速度跟踪：跑步者通过嵌入跑鞋的加速度和速度传感器，通过数字信号处理、差分算法等技术手段，将跑者绑定的数据转换成线速度图表，同时运用图像剪辑技术来展示跑者跑步的姿态和动作信息。
数学在体育竞技分析中的应用
数学在体育竞技分析中的应用在体育竞技中，数学已经成为了一种不可或缺的工具。
通过运用数学原理和方法，体育科学家们能够准确地分析运动员的表现、预测比赛结果以及改进训练方法。
本文将探讨数学在体育竞技分析中的应用，并以几个典型的例子来说明。
一、运动员数据分析1.1 运动员身体素质评估体育竞技的关键要素之一是运动员的身体素质。
通过数学统计分析运动员的身高、体重、肌肉含量等数据，可以帮助教练和训练师评估运动员的体能状况，并制定更加科学合理的训练计划。
例如，通过计算BMI指数（Body Mass Index），可以初步判断一个运动员的身体是否达到最佳状态。
1.2 运动员技术水平评估除了身体素质，技术水平也是体育竞技中至关重要的一环。
数学可以帮助分析运动员在比赛中的表现数据，如个人得分、命中率、传球成功率等。
通过运用数学模型，可以对某一项技术指标的变化进行预测和分析，进而指导运动员的技术训练。
二、比赛数据分析2.1 比赛结果预测在体育竞技中，比赛结果的预测一直是备受关注的话题。
数学模型的运用可以基于历史比赛数据，分析运动员和球队的表现情况，从而预测比赛结果。
例如，通过运用回归分析，可以建立运动员表现数据和比赛结果之间的数学模型，从而预测出某场比赛的胜负结果。
2.2 球队战术分析战术在体育竞技中起着举足轻重的作用。
数学可以帮助分析球队在比赛中的战术运用，如进攻策略、防守策略等。
通过分析球员位置、球权转移、传球路线等数据，可以发现不同战术之间的差异，从而指导教练制定更加有效的战术方案。
三、训练方法改进3.1 运动员训练量分析在体育竞技中，训练量的合理分配对于运动员的发展至关重要。
数学可以帮助分析运动员的训练数据，如训练强度、持续时间等，从而评估训练的合理性。
通过建立训练量和成绩之间的数学模型，可以找到最佳的训练量和训练方式。
3.2 运动员伤病风险评估伤病是体育竞技中常见的问题之一。
运动员伤病的风险评估可以通过数学建模来实现。
数学在体育竞技中的应用
数学在体育竞技中的应用数学作为一门普遍适用于各个领域的学科，不仅在工程学、物理学等领域具有重要的应用价值，而且在体育竞技中也发挥着重要的作用。
数学应用于体育竞技中，不仅能够提高竞技项目的规划和组织，还可以增加比赛的公平性和公正性。
本文将探讨数学在体育竞技中的应用，并介绍一些典型的例子。
一、统计分析与数据模型统计分析是数学在体育竞技中一项常用的应用方式。
通过对运动员的数据进行统计，可以了解他们的表现特点和潜力，还能够为战术分析和决策提供参考。
例如，在足球比赛中，教练和球队管理者可以通过统计分析来了解球队在不同场次、不同阶段的表现情况，根据这些数据制定相应的战术策略。
另外，数据模型也是数学在体育竞技领域中常用的应用之一。
数学家们可以利用运动员的数据建立模型，预测运动员未来表现和潜力。
例如，在篮球比赛中，利用运动员的身高、体重以及历史比赛数据，可以建立一个模型，预测运动员在比赛中的得分和篮板数量。
二、运动力学运动力学是将数学和物理学应用于运动分析的学科。
在体育竞技中，通过数学模型和物理学的知识，可以对运动员的体力消耗、力的作用、速度和加速度等进行研究和分析。
例如，在田径比赛中，数学家可以通过运动力学原理来研究运动员的起跑、转弯和终点冲刺等动作，并提供相应的训练建议。
此外，运动力学还可以应用于球类运动，如网球、高尔夫等。
通过运动力学的分析，可以了解球的运动轨迹、角度和速度等参数，为运动员提供更精确的击球技巧和策略。
三、排阵和布局优化在团队体育竞技中，排阵和布局优化是数学应用的另一个重要领域。
通过数学模型和算法，可以确定最佳的队伍配置、阵型和战术策略。
例如，在足球比赛中，通过数学模型可以计算出不同阵型下球队的控球率、射门效率等指标，从而帮助教练制定最佳的比赛战术和阵容。
类似地，在篮球比赛中，数学模型可以帮助教练确定哪些球员适合搭配，以及如何最优地配置球员的位置，从而提高球队的进攻和防守效率。
总结：数学在体育竞技中的应用是多方面而广泛的，本文只是涉及了其中的几个方面。
亚太杯比赛中常见的数学模型
亚太杯比赛中常见的数学模型亚太杯是一项备受关注的足球比赛，吸引了来自亚太地区的众多球队参与。
为了提高球队的竞技水平和比赛结果的预测准确性，数学模型在亚太杯比赛中得到了广泛应用。
本文将介绍一些常见的数学模型，并探讨其在亚太杯比赛中的应用。
一、Elo评分系统Elo评分系统是一种广泛应用于体育竞技的数学模型，它通过计算球队之间的积分差异来预测比赛结果。
在亚太杯比赛中，Elo评分系统可以根据球队之间的历史比赛成绩和实力差距，预测未来比赛的胜负关系。
通过该模型，球队可以更好地了解自己的实力，并制定相应的战术和策略。
二、概率模型概率模型是另一种常见的数学模型，它通过统计分析历史比赛数据和球队之间的对战记录，来计算每个球队获胜的概率。
在亚太杯比赛中，概率模型可以帮助球队预测比赛结果，并根据概率分布制定相应的防守和进攻策略。
此外，概率模型还可以用来评估球队的进攻和防守能力，为球队的训练和调整提供指导。
三、回归模型回归模型是一种用来分析和预测变量之间关系的数学模型。
在亚太杯比赛中，回归模型可以通过分析球队的历史比赛数据和球员表现，来预测球队在未来比赛中的得分情况。
通过回归模型，球队可以找到影响比赛结果的关键因素，并针对这些因素进行训练和调整，提高球队的竞技水平。
四、优化模型优化模型是一种通过最大化或最小化目标函数来求解最优解的数学模型。
在亚太杯比赛中，优化模型可以帮助球队制定最佳的阵容和战术安排，以取得最好的比赛结果。
通过优化模型，球队可以在有限的资源和时间内做出最优决策，提高球队的整体竞技水平。
五、神经网络模型神经网络模型是一种模拟人脑神经元工作原理的数学模型，可以用来处理复杂的非线性关系。
在亚太杯比赛中，神经网络模型可以通过分析球队的历史比赛数据和球员表现，来预测未来比赛的结果。
通过神经网络模型，球队可以更准确地评估自己的实力和对手的实力，制定相应的战术和策略。
六、决策树模型决策树模型是一种通过构建树状结构来进行决策的数学模型。
NBA赛程安排的数学模型与分析
赛程安排的数学模型与分析1．前言n支球队在同一场地上进行单循环赛有多种赛程安排，问题是如何编制符合公平性的赛程，数学上这是一个满足一定指标要求的配对排序问题。
本文在合理假设的基础上，由问题的数学实质，建立出问题的线性规划模型；由问题的特殊性将n分为偶数与奇数分别研究，获得关于各队每两场比赛之间相隔场次数上限的一般公式，用构造性方法加以证明；运用归纳的方法发现了这种特殊排序中的对称规律，由此设计出符合上限要求的计算机算法与实际人工编制法。
文中对赛程优劣的评价指标也作了较多的探讨。
本文一个特点是，分析研究迄今体育界实际使用的赛程“循环编制法”，发现其对n为奇数时编制的赛程公平性差，给出了一种n 为奇数时编制简便、结果合理的人工编制法。
2．问题的提出你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛, 共要进行10场比赛. 如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢. 下面是随便安排的一个赛程: 记5支球队为A, B, C, D, E，在下表左半部分的右上三角的10个空格中, 随手填上1,2,⋯10, 就得到一个赛程, 即第1场A对B, 第2场B对C, ⋯, 第10场C对E. 为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角.这个赛程的公平性如何呢, 不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等. 表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数, 显然这个赛程对A, E有利, 对D则不公平.从上面的例子出发讨论以下问题:1) 对于5支球队的比赛, 给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程.2) 当n支球队比赛时, 各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少.3) 在达到2) 的上限的条件下, 给出n=8, n=9的赛程, 并说明它们的编制过程.4) 除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外, 你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣, 并说明3) 中给出的赛程达到这些指标的程度.赛程安排直接影响比赛的公平性，如何建立衡量一个赛程的优劣的指标，建立编制公平合理的排列问题的数学研究，也有数学意义。
体育教案初中数学模型
教案名称：初中体育与数学模型相结合的教学设计一、教学背景随着新课程改革的不断深入，初中体育教学逐渐重视与学科知识的融合。
数学模型作为一种抽象的、简化的描述客观现象的方法，可以有效地应用于体育教学中，帮助学生更好地理解体育知识，提高运动技能。
本教案旨在通过初中体育与数学模型的结合，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新思维和实践能力。
二、教学目标1. 知识与技能：使学生了解数学模型在体育领域的应用，掌握简单的数学建模方法，能够运用数学模型解决体育问题。
2. 过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对体育运动的热爱，提高学生的综合素质，培养学生的创新精神和实践能力。
三、教学内容1. 数学模型概述：介绍数学模型的概念、分类及特点。
2. 体育中的数学模型：分析体育比赛中数学模型的应用，如篮球比赛中的进攻策略、足球比赛中的防守布局等。
3. 实践操作：让学生运用数学模型解决实际体育问题，如设计合理的跑步路线、计算运动距离和时间等。
四、教学过程1. 导入：以篮球比赛为例，引导学生思考如何运用数学模型优化比赛策略。
2. 知识讲解：介绍数学模型的基本概念和特点，分析体育比赛中数学模型的应用。
3. 实践操作：让学生分组讨论，运用数学模型设计合理的跑步路线，计算运动距离和时间。
4. 案例分析：分析具体体育比赛中的数学模型应用，如足球比赛中的防守布局、篮球比赛中的进攻策略等。
5. 小组讨论：让学生结合所学内容，讨论如何运用数学模型解决实际体育问题。
6. 总结与反思：让学生总结本节课所学内容，反思自己在体育学习中如何运用数学模型。
五、教学评价1. 学生对数学模型概念的理解程度。
2. 学生运用数学模型解决体育问题的能力。
3. 学生团队协作、讨论交流的表现。
4. 学生对体育运动的热爱程度及综合素质的提高。
六、教学建议1. 注重理论与实践相结合，让学生在实际体育活动中感受数学模型的作用。
评选举重总冠军数学模型总结
评选举重总冠军数学模型总结评选举重总冠军数学模型总结举重运动的特点是：用力过程连续性、快速性和高度紧张性，这与举重竞赛规则中明确规定“每个举重项目的比赛只进行一次”有关。
因此在我国竞技体育中，通常采取将若干个单项按一定方法组成数学模型来计算参赛队获胜概率的方法。
具体地说，首先建立各种数学模型（有时称为简化模型），然后对这些不同的简化模型的结果分别求出相应数值，最终根据各自所得的实际数值，计算出该队夺取该单项总冠军的可能性，从而推测出该队获胜的期望值，再乘以预期值，就是该队夺取该项目总冠军的概率。
其中 X、 Y 为随机变量， Z 为某个举重单项冠军对应的事件， Q、 E 为两个可供选择的假设变量。
当今世界上许多举重强国都非常重视举重运动员的智力开发工作，他们十分注意挖掘教练员潜力，使之掌握更新的训练手段。
下面仅介绍以智力发展为基础的举重运动员智力发展系统模型，对于教练员等也很适用。
举重运动的特点是：用力过程连续性、快速性和高度紧张性，因此对于青少年运动员来说，如何保持头脑清醒、冷静，并合理利用好主观能动性来提高运动水平显得尤为重要。
一般认为，人类的运动技能主要是由三部分构成的：动作反应时间（包括动觉、本体感受器及其它神经反射活动时间）；动作准备时间；运动速度或动作幅度。
针对这三部分技能，可以分别建立不同的数学模型。
动作反应时间反映了人体对外界环境变化的敏感程度，因此动作反应时间越短，人体对外界刺激做出的反应越灵敏，即在其他条件不变的情况下，人体的动作反应时间减去动作执行完毕所需要的时间就是其表现速度。
动作准备时间指的是人体调整自身状态的时间，一般以几秒钟到半分钟左右为宜。
运动速度是由负荷与动作速度决定的。
一般将人体对运动负荷的承受能力（包括反应速度、肌肉收缩速度等），归纳为最大摄氧量，通常可按公式 C= Q/(2 V)×100%来估算，但实践证明，上述的计算结果只是接近于真正水平，并未考虑负荷性质和强度等问题。
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29/30
数学建模—从自然走向理性之路
13/30
例2 设一次比赛有A、B、C、D 4支队伍参加，成 绩如下： A：1 2 3 25 26 27 28（57） B：4 9 11 14 16 18 20（54） C：5 7 12 13 19 21 22（56） D：6 8 10 15 17 23 24（56） B队第一，A队垫底！ 但在与A队两两对决中，A队前5名名次为：1 2 3 11 12，得分29，而其他队名次都是4~10，得分30, A队胜！ 结论2 （5,2）规则不满足孔多塞准则。
此时得分为：33,45,42，Ｂ队被淘汰。
1 2 3 4 5 6 ７ ８ ９ 10
C 1 C 2 A1 A 2 A3 A4 C 3 C 4 C 5 A5
第二轮得分为：A:28, C:27。 A队被淘汰！Ｃ队夺冠！ 故迭代（5,0）规则不满足单调性。
19/30
结论7
顺序孔多塞规则满足孔多
塞准则和单调性，但不满足二元独立
3:51:21
6 14153 跑吧
3:57:36
7 17275 跑吧
4:04:18
时间
标准分 名次 报名号
420 8 18408
286 9 18153
214 10 18560
162 11 13308
125 12 11138
95 13 17897
67 14 18213
团体
时间 标准分
风
4:13:19
风
数学建模—从自然走向理性之路
吴 孟 达 苏州·西交利物浦
2014-6
【本节简介】 体育科学的研究中，也有大量的数学建模问题，例
如：棒球的最佳击球点问题，滑板滑雪赛道的设计，划
艇比赛中运动员的体力分配，NBA赛程的科学性评价，
体操团体赛出场队员的最佳组合等等，本讲重点介绍一
个案例：越野长跑团体赛的排名规则，通过对排名规则 的公平性的不同度量，可以得到不同的结果。
不存在这样的选民 i ，使得
( x y)i ( x y)
5/30
Arrow定理
对于至少有三名候选人和
两名选民的投票，不存在满足Arrow公理的选
举规则。
6/30
阿罗的结论是：根本不存在一种能保证效率、尊重个人 意向、并且不依赖程序的多数规则的投票方案。或者说 ，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个 人意向来达到合意的公共决策。
独立性与帕累托条件，则该规则是非团体规则。
23/30
四、实际竞赛方案探讨
时间排序规则：
按各队前5名队员的竞赛时间之和排名。
容易验证，这个方案满足上述所有4条准则！
但在合理性上是否完美无缺呢？
24/30
准则五：成绩与训练难度匹配原则 一个团队的成绩，应体现获得该成绩所需要的训练 难度。 合理计分规则：采用（m，l）竞赛方案，记录所有 运动员比赛时间，按照《国际田联田径项目分值表》转 换为得分，取各队前m名队员的总得分为排序依据。
都不变，则A队仍应是获胜者。
准则四：帕累托条件（ Pareto Condition）
如果A、B两队各有m个队员参赛，且有 ai < bi（
i=1,2，„m），则A队排名应优于B队。
11/30
孔多塞
（Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet，
规则。比赛进行到一半时，成绩如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C1 C2 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 B5 A4 C3 C4 C5 A5
三队目前得分为：38,40,42.淘汰Ｃ队后成绩如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 B5 A4 A5
1743年－1794年）
● 数学家、哲学家。 ● 1782年当选法兰西科学院院士。 ● 在生命最后时刻，完成了自己的思想绝唱——《人类 精神进步史表纲要》。
12/30
二、（5,2）规则的公平性判断
我们按照上述准则来判断（5，2）规则的公平性。 例1 设一次越野团体赛有33个队231名队员参加， 其中3个队的队员成绩如下： 风队： 1，2，3，8，27，36，45（41） 越野者队： 4，12，15，24，35，49，55（90） 酷跑队： 10，11，13，28，30 ，43，69 （92） 不算风队 1，8，11，20，30，43，48（70） 6，7，9，23，25，37，62（70） 仅算两队 1，4，6，7，10，12，13（28） 2，3，5，8，9，11，14 （27） 结论1 （5,2）规则不满足二元独立性。
14/30
结论3 （5, 2）规则满足单调性。
结论4 （5, 2）规则满足帕累托条件。
15/30
三、其他几种竞赛规则评价
考虑以下几种其他规则：
1、名次加权（m，l）规则；
名次差异非均匀化。
2、迭代（m，0）规则；
每次淘汰最后一名，然后重新计算名次。
3、顺序孔多赛规则；
按任意顺序，前两队对决，胜者与下一队对决，如此进
性与帕累托条件。
20/
例4 考虑4个队参加的一次比赛，采用顺序孔多赛规 则，两两对决时采用（3,0）规则。比赛结果为：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C1
B1
A1
B2
A2
A3
D1 D2 D3
C2
C3
B3
设两两对决顺序为ABCD。 首先 A：B —11:10 — B胜； A B C 2 1 3 5 6 4 5 然后 B：C —11:10 — C胜； D B C 1 2 4 3 5 4 6 最后 C：D — 12:9 — D胜！ 但是有：ai < di，i=1~3，所以不满足帕累托条件。 更有甚者，a3 < d1 !
合理计分规则满足所有5条公平性准则！
26/30
例6 从《2010北京马拉松男子全程成绩表》中取 出十四名选手分作两个团体，成绩及转换分数如表：
名次 报名号 团体 1 17260 风
3:10:53
2 17891 风
3:26:22
3 10280 跑吧
3:36:20
4 11342 跑吧
3:44:36
5 10656 跑吧
完美无缺的程序民主不存在！
7/30
“人们一直以来都在谋求理想的民主制度，即完美 的选举制度„„但Arrow却证明要想寻找这样一个完美 的理想选举方案是不可能的，历史上不知有多少伟大的 人物都在寻找这种完美民主，并留下记录，但他们实际 上都是在寻找一个逻辑上自相矛盾的怪物„„。从 Arrow以后关于民主的理论将完全改写。” —— 美国经济学家萨缪尔森
第二轮得分为：25,30，故最终Ａ队将夺冠。
18/30
在A队教练的督促下，A4 从第11名前进到了第6名。
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15
C 1 C 2 A1 A2 A3 B A 5 C 3 C 4 C 5 A5 A4 1 B1 2 B2 3 B3 4 B5 4 B4
21/30
例5 （非团体规则的例子）考虑2个队的比赛，每个队派两名 队员，共有6种可能结果： 1. A1 A2 B1 B2 2. A1 B1 A2 B2 4. B1 B2 A1 A2 5. B1 A1 B2 A2
3. A1 B1 B2 A2
6. B1 A1 A2 B2
假设帕累托条件满足，则A赢得1.2.，B赢得4.5.。
准则一：二元独立性（ binary independence）
A与B两个队的相对顺序不应当依赖于任何其他队
的表现。
准则二：孔多塞准则（Condorcet Criterion）
一个队如果在与任一个队的两两对决中获胜，则
这个队应当是整个比赛的优胜者。
10/30
准则三：单调性（Monotonicity Criterion） 如果A队是一次竞赛的获胜者。假如在另一次竞赛 中所有的参赛队与选手都不变，A队的一个选手a提高了 名次，而除a之外的其他所有参赛选手之间的相对顺序
行下去，最后留下的队就是获胜队。
4、非团体规则
存在 i，使得 A < B
16/30
ai < bi
结论5
名次加权（m，l）规则不满足二元独
立性与孔多塞准则，但满足单调性与帕累托条件。
结论6
迭代（m，0）规则满足孔多塞准则与
帕累托条件，但不满足单调性，也不满足二元独立 性。
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例3 考虑3个队参加的一次比赛，采用迭代（5,0）
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越野长跑团体赛竞赛规则的公平性
越野长跑团体赛的竞赛规则如下：每个参赛团体
由7名队员组成，取该团体跑在前面的5个队员在所有
参赛选手中的排名顺序之和为该团体的得分，然后根
据各参赛队得分（由小到大）的顺序决定比赛排名（
简称5-2规则）。试讨论该竞赛规则的合理性并提出
改进方案。
9/30
一、比赛公平性的几个判断准则
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肯尼斯·阿罗
（Kenneth J. Arrow, 1921- ）
美国著名数理经济学家。 1951年出版著名著作《社会选择和个 人价值》。
最著名的工作：“阿罗不可能定理”。
1972年荣获诺贝尔经济学奖。
3/30
Arrow公理
公理1 （选举的完全性） 选民对候选人的任何一种排序都是允许的。 公理2（个体选择与群体选择的正相关性） 如果对所有选民i，都有（x＞y）i ，那么，应当有 （x＞y）。 此性质又称为Pareto效应。