11 电容、电感、动态电路的方程和初始条件new
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电路课件_第7章(第五版_邱关源_高等教育出版社)
2. 非独立的初始条件 除电容电压、电感电流外，其它初始条件都为非独立初始条 件，都可以跃变。根据以求得的uc（0+）和iL（0+）及KVL、 KCL求之。 求 初 始 值 的 步 骤 : 1). 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2). 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。 a. 换路后的电路 3). 画0+等效电路。 b.电容用电压源、电感用电流源替代。 （取0+时刻值，方向与原假定的方向相同）。 4). 由0+电路求所需各变量的0+值。
0 0
0
i ()d
uC (0+) = uC (0－)
结论：
q =C uC
q (0+) = q (0－)
电荷守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
电感的初始条件：
1 t i L ( t ) i L (0 ) u()d L 0
iL
+
u
L
0+等效电路
电容用电 压源替代
10 8 iC ( 0 ) 0.2mA 10
iC(0－)=0 iC(0+)
例2
t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+) 解 先求 i L (0 ) 1 4 1 4 K
L
iL
+
uL
10V
0+电路
-
10V
电 感 短 路
1
4 uL
10 i L (0 ) 2A 1 4
+
48V
+
K L iL uL 2
3 C
电路第七章
48 / 4 12 A
uC (0 ) uC (0 ) 2 12 24V
iC (0 ) (48 24) / 3 8A
i(0 ) 12 8 20A
uL (0 ) 48 2 12 24V
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例5 求k闭合瞬间流过它的电流值
结论
有源 电阻 电路
一个动 态元件
一阶 电路
含有一个动态元件电容或电感的线性电 路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称 一阶电路。
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RLC电路
应用KVL和元件的VCR得：
Ri uL uC uS (t )
2
(t >0) R i + + uL Us C – －
di d uC duC uL L LC 2 i C dt dt dt 2 d uC duC LC 2 RC uC uS (t ) dt dt
结论
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
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④换路定律
qc (0+) = qc (0－)
换路瞬间，若电容电流保持 为有限值，则电容电压（电荷） uC (0+) = uC (0－) 换路前后保持不变。 换路瞬间，若电感电压保持 L (0+)= L (0－) 为有限值，则电感电流（磁链） iL(0+)= iL(0－) 换路前后保持不变。
-
uC(0－)=8V
(2)由换路定律
+ i
-
10k + 8V 10V
-
uC (0+) = uC (0－)=8V
《电路》第五版邱关源第七章
i=Us /R
i = 0 , uL =
注意 工程实际中在切断电容或电感电路时
会出现过电压和过电流现象。
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换路
电路结构、状态发生变化 支路接入或断开 电路参数变化
过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时 能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的 时间来完成。
注意 ①电容电流和电感电压为有限值是换路定
律成立的条件。 ②换路定律反映了能量不能跃变。
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⑤电路初始值的确定
(1) 由0－电路求 uC(0－)
+ 10k 10V 40k + uC 电 容 开 路
例1 求 iC(0+)
i 10k + 40k 10V iC S + uC iC
电 容 用 电 压
48 / 4 12 A
uC (0 ) uC (0 ) 2 12 24V
iC (0 ) (48 24) / 3 8A
i(0 ) 12 8 20A
uL (0 ) 48 2 12 24V
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例5 求k闭合瞬间流过它的电流值
1 4
+ 10V S L iL + uL ②应用换路定律: iL(0+)= iL(0－) =2A ③由0+等效电路求 uL(0+) 1 + 10V 4
电 感 用 2A 电 流 uL (0 ) 2 4 8V 源 注意 uL (0 ) uL (0 ) 替 代
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Δw p Δt
Δt 0
p
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第三章 RLC电路的特性
图3-1 一阶电路
【例3-1】试分别求出图3-2（a）、（b）两电路的开关S从2拨向1，当电路 处在稳态以后，又从1拨向2这两个动态过程，电容两端的电压uC和电感上 的电流iL随时间变化的函数关系。
图3-2 例3-1图
【解】开关S从2拨向1由KVL可得
uR uC 0
将 i C ddut的C 关系式代入可得
对信号电压的放大作用是100倍的电路，说成电路的增益是40dB
对信号电压的放大作用是1 000倍的电路，说成电路的增益是60dB
（2）当f>10fP时 当f>10fP时，式3-24中的
f 项f P 比10大，公式中的1可忽略，式3-24的结果为
20 lg |
•
Au
| 0 20 lg(
f
)
fP
（3-27）
因为该电路在τ<<tW的条件下 uc ui uo 根u据i 输出电压u0=iR的关系可
得
u0
Ri
RC duc dt
RC dui dt
由上式可见，输出信号是输入信号的微分，所以该电路称为微分电路。
3.3.2 RC（阻容）耦合电路
图3-13所示的电路，当电路的时间常数不满足τ<<tW的条件时，输入和输出信号 的波形如图3-14示波器屏幕所示的形式
（2）换路瞬间，电感元件当作恒流源。如果iL(0-)=0，则iL(0+)＝0，电 感元件在换路瞬间相当于开路。
（3）运用KCL、KVL及直流电路中的分析方法，可计算电路在换路瞬间 其他元件的电压、电流的初始值。
【例3-2】利用换路定则确定例3-1解中的积分常数。 【解】根据换路定则可得开关S从2拨向1时的初始条件为
用戴维南定理 化简后的电路
【例3-1】试分别求出图3-2（a）、（b）两电路的开关S从2拨向1，当电路 处在稳态以后，又从1拨向2这两个动态过程，电容两端的电压uC和电感上 的电流iL随时间变化的函数关系。
图3-2 例3-1图
【解】开关S从2拨向1由KVL可得
uR uC 0
将 i C ddut的C 关系式代入可得
对信号电压的放大作用是100倍的电路，说成电路的增益是40dB
对信号电压的放大作用是1 000倍的电路，说成电路的增益是60dB
（2）当f>10fP时 当f>10fP时，式3-24中的
f 项f P 比10大，公式中的1可忽略，式3-24的结果为
20 lg |
•
Au
| 0 20 lg(
f
)
fP
（3-27）
因为该电路在τ<<tW的条件下 uc ui uo 根u据i 输出电压u0=iR的关系可
得
u0
Ri
RC duc dt
RC dui dt
由上式可见，输出信号是输入信号的微分，所以该电路称为微分电路。
3.3.2 RC（阻容）耦合电路
图3-13所示的电路，当电路的时间常数不满足τ<<tW的条件时，输入和输出信号 的波形如图3-14示波器屏幕所示的形式
（2）换路瞬间，电感元件当作恒流源。如果iL(0-)=0，则iL(0+)＝0，电 感元件在换路瞬间相当于开路。
（3）运用KCL、KVL及直流电路中的分析方法，可计算电路在换路瞬间 其他元件的电压、电流的初始值。
【例3-2】利用换路定则确定例3-1解中的积分常数。 【解】根据换路定则可得开关S从2拨向1时的初始条件为
用戴维南定理 化简后的电路
电路第五版 罗先觉 邱关源 课件(第七章)课件
2
零输入响应：仅由电路初始储能引起的响应。
（输入激励为零） 零状态响应：仅由输入激励引起的响应。 （初始储能为零）
1. RC电路的放电过程：
如右图，已知uc(0-)=U0，S 于t=0时刻闭合，分析t≧0 时uc(t) 、 i(t)的变化规律。 +
i(t)
S uc(t) R
+ uR(t) -
(a)
i ()=12/4=3A
例3：如图(a)零状态电路，S于t=0时刻闭合，作0+图 并求ic(0+)和uL(0+)。 S Us ic
+ uc -
R2 L
S
↓iL
ic(0+) C
Us R1
R2 L
C R1
+ uL -
+ uL(0+) -
(a) 解: ① t<0时，零状态 →uc(0-)=0 iL(0-)=0 ② 由换路定理有：uc(0+)= uc(0-) =0 iL(0+)= iL(0-) =0 作0+图： 零状态电容→零值电压源 →短路线 零状态电感→零值电流源 →开路 ③ 由0+图有：ic(0+)=Us/R1 uL(0+)=uR(0+)=Us
uc(0+)= uc(0-) =8V
② 由换路定理有： iL(0+)= iL(0-) =2A 作0+等效图（图b）
S i 12V + R3 Us
2 R1 + uc (a) + R2 5 ic + iL 12V uL 4 i(0+) Us
R1 +
5
ic(0+) 8V
动态电路的计算
动态电容电路的方程式
动态电容电路的方程式为 i(t) = C * (dQ(t)/dt)，其中 i(t) 是电流，C 是电容， Q(t) 是电荷量。该方程描述了电容器充电和
放电过程中电流与电荷量之间的关系。
动态电容电路的求解方法
初始条件和边界条件
求解动态电容电路需要确定初始条件和边 界条件。初始条件指电路在 t=0 时的状态 ，边界条件指电路在 t>0 时需要满足的条 件。
动态电阻电路的计算实例
例子1
一个RC串联电路，已知R=10kΩ， C=0.1μF，输入电压u(t)=5V，求电流i(t) 。
VS
例子2
一个RL串联电路，已知R=10kΩ， L=1mH，输入电压u(t)=5V，求电流i(t) 。
03
动态电容电路计算
动态电容电路的方程式
电容器的充电和放电过程
动态电容电路中，电容器的电荷量会随时间 变化。充电时，电流从电源流入电容，电荷 量增加；放电时，电流从电容流出，电荷量 减少。
时域分析法主要Leabharlann 括经典法、图解法和数 值分析法。频域分析法主要包括频率特性法和 变换域法。
02
动态电阻电路计算
动态电阻电路的方程式
微分方程式
动态电阻电路的微分方程式可以表示为 `i(t) = C * du(t) / dt + 1/R * u(t)`，其中 i(t) 是电流，u(t) 是 电压，C 是电容，R 是电阻。
复杂动态电路的计算实例
RC电路
RC电路是一种常见的动态电路，由电阻 和电容组成。通过应用基尔霍夫定律和法 拉第电磁感应定律，我们可以建立RC电 路的微分方程，并使用数值解法来求解。 计算结果可以用来分析RC电路的充电和 放电过程，以及电压和电流的变化规律。
电路分析第13讲：电感,动态方程
电感的VAR关系
dψ di u = = L dt dt
t t i(t) = 1 ∫− ∞ udξ = 1 ∫− ∞ udξ + 1 ∫tt udξ L L L = i(t ) + 1 ∫tt udξ L
0 0 0 0
20120514
北语信科院2011级计算机、数媒专业
3
讨论
(1) u的大小取决与 i 的变化率，与 i 的大小无关； u = L di 的大小无关； 的大小取决与 的变化率， (微分形式 微分形式) 微分形式 (2) 电感元件是一种记忆元件；(积分形式 电感元件是一种记忆元件； 积分形式 积分形式) (3) 当 i 为常数 直流 时，di/dt =0 → u=0。 为常数(直流 直流)时 。 电感在直流电路中相当于短路； 电感在直流电路中相当于短路； (4) 表达式前的正、负号与 ，i 的参考方向有关。当 表达式前的正、负号与u， 的参考方向有关。 u，i为关联方向时，u=Ldi/dt； 为关联方向时， ， 为关联方向时 u，i为非关联方向时，u= –Ldi/dt 。 ， 为非关联方向时， 为非关联方向时
U=RI ⇔ I=GU
20120514
I=U/R ⇔ U=I/G
北语信科院2011级计算机、数媒专业
10
知识拓展
电磁感应的应用
知识拓展：电磁感应的应用
20120514
北语信科院2011级计算机、数媒专业
12
喇叭的工作原理
20120514
北语信科院2011级计算机、数媒专业
13
喇叭的工作原理：续
21
建立动态方程的一般步骤
根据电路建立KCL和KVL方程，写出各元件 的伏安关系； 在以上方程中消去中间变量，得到所需变量 的微分方程。
电路与模拟电子学-第3章-动态电路分析
大家好
第三章 动态电路分析
本章的学习目的和要求
了解“暂态”与“稳态”之间的区 别与联系；熟悉“换路”这一名词的含 义；牢固掌握换路定律；理解暂态分析 中的“零输入响应”、“零状态响 应”“全响应”及“阶跃响应”等概念； 充分理解一阶电路中暂态过程的规律； 熟练掌握一阶电路暂态分析的三要素法； 了解二阶电路自由振荡的过程。
R1 R2 2k 1k
uC
已知: K 在“1”处停留已久，在t=0时合向
符号和特性曲线：
q
斜率为C
i(t)+ q(t) + u(t) -
u
线性时不变电容的特性
线性电容——特性曲线是通过坐标 原点一条直线，否则为非线性电容。 时不变——特性曲线不随时间变化， 否则为时变电容元件。
线性非时变电容元件的数学表达式：
q(t)C(ut)
系数 C 为常量，为直线的斜率，称 为电容，表征积聚电荷的能力。 单位是法[拉],用F表示。
t0
0＋ 换路后一瞬间
f (0)lt i0mf (t)
t0
f(t)
f(0)f(0)
0－0 0＋
t
注意 初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数
的值。
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例 图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求
开关闭合后电容电压随时间的变化。
解 Ru ic0(t0 )
(t=0) +
RCduc dt
换路瞬间 iL(0)iL(0)2m 0 A
(大小,方向都不变)
K UV
L
iL iL(0)iL(0)20m A
R
t=0+
时的等 效电路
uV(0)iL(0)RV
第三章 动态电路分析
本章的学习目的和要求
了解“暂态”与“稳态”之间的区 别与联系；熟悉“换路”这一名词的含 义；牢固掌握换路定律；理解暂态分析 中的“零输入响应”、“零状态响 应”“全响应”及“阶跃响应”等概念； 充分理解一阶电路中暂态过程的规律； 熟练掌握一阶电路暂态分析的三要素法； 了解二阶电路自由振荡的过程。
R1 R2 2k 1k
uC
已知: K 在“1”处停留已久，在t=0时合向
符号和特性曲线：
q
斜率为C
i(t)+ q(t) + u(t) -
u
线性时不变电容的特性
线性电容——特性曲线是通过坐标 原点一条直线，否则为非线性电容。 时不变——特性曲线不随时间变化， 否则为时变电容元件。
线性非时变电容元件的数学表达式：
q(t)C(ut)
系数 C 为常量，为直线的斜率，称 为电容，表征积聚电荷的能力。 单位是法[拉],用F表示。
t0
0＋ 换路后一瞬间
f (0)lt i0mf (t)
t0
f(t)
f(0)f(0)
0－0 0＋
t
注意 初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数
的值。
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例 图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求
开关闭合后电容电压随时间的变化。
解 Ru ic0(t0 )
(t=0) +
RCduc dt
换路瞬间 iL(0)iL(0)2m 0 A
(大小,方向都不变)
K UV
L
iL iL(0)iL(0)20m A
R
t=0+
时的等 效电路
uV(0)iL(0)RV
第7章 一阶电路的时域分析
Chapter 7 一阶电路主要内容1.动态电路的方程及其初始条件；2.一阶电路（RC 电路、RL 电路）的时间常数；3.零输入响应、零状态响应、全响应、瞬态分量、稳态分量；4.三要素法；5.阶跃响应、冲激响应。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。
2.动态电路的方程： 电路中有储能元件（电容或电感）时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的。
根据KCL 、KVL 和支路方程式（VAR ）所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。
一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC 电路、RL 电路）。
3.动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。
换路：电路或参数的改变引起的电路变化。
0=t ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 +0；-=0t ：换路前的最终时刻； +=0t ：换路后的最初时刻；4.经典法（时域分析法）：根据KCL ，KVL 和VAR 建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。
用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。
电路独立初始条件：)0(+C u 和 L i )0(+。
二、电路的初始条件1.电容的电荷和电压⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎰⎰ξξξξd tt i C t u t u d tti t q t q C C C C C C 0000)(1)()()()()(取 +-==0 ,00t t , 则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰⎰+-+--+-+ξξξξd i c u u d i q q C C C C C C 0000)(1)0()0()()0()0(若有限）( M i C ≤， 则 0)(00=⎰+-ξξd i C ，且⎩⎨⎧==-+-+)0()0()0()0(C C C C u u q q 电容上电荷和电压不发生跃变！① 若 -=0t 时，0)0(q q C =-, 0)0(U u C =-, 则有 0)0(q q C =+,)0(U u C =+, 故换路瞬间，电容相当于电压值为 0U 的电压源；② 若 -=0t 时，0)0( ,0)0(==--C C u q , 则应有)0( ,0)0(==++C C u q , 则换路瞬间，电容相当于短路。
动态电路
明确
① 公式3、公式11和公式12务必牢 记。
幻灯片28
几点注意事项：
① 由公式11和公式12可看出：电压、电流是随时间按同一指数 规律衰减的函数；
U0
uC
连续 函数
I0
0
公式12
i 跃变
0
公式11
t
t RC
uc (t ) uc (0 )e
U 0 RC i e R
t
t
② 由公式11和公式12可看出：响应与初始状态成线性关系，其 衰减快慢与RC有关;
前一个稳定状态
新的稳定状态 US k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路 R
?
i uC = U s i=0 , 有一过渡期
t
返 回
0
t1
过渡状态
幻灯片10
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电感电路（动态电路） (t = 0) R i + Us k + uL – L
+ Us -
(t →) R i + uL –
i k未动作前，电路处于稳定状态： US/R i = 0 , uL = 0
(t >0) + Us -
R i + uC –
C
duC RC uC uS (t ) dt
幻灯片15
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（8） 一阶RL电路的电路方程 应用KVL和电感的VCR得：
Ri uL uS (t )
di uL L dt
(t >0) R i + + uL Us – -
di Ri L uS (t ) dt
2.由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 根据已求得的uC(0+)和iL(0+),根据替代定理将电容所在处 用电压等于uC(0+)的电压源替代，电感所在处用电流等于iL(0+)的