第八章矩阵特征值问题的数值解法
矩阵特征值问题的数值方法.
矩阵特征值问题的数值方法矩阵特征值设A 是n 阶矩阵，x 是非零列向量. 如果有数λ 存在，满足那么，称x 是矩阵A 关于特征值λ的特征向量. 很显然一般地有主特征值的乘幂迭代法设n 阶矩阵A 的n 个特征值按模从大到小排序为：n 其对应的n 个线性无关的特征向量分别为：设是任意一个非零的n 维向量，则：假设，构造一个向量序列：则：或者：当时：如果是矩阵A 的关于特征值的一个特征向量，特征值个特征那么对于任意一个给定的，也是特征值的特征向量。
所以，是对主特征值对应的特征向量的近似。
如果则会变得很大或者如果，则会变得很大，或者如果，则会变得非常小，在实际计算中，为避免这种情况的出现需对做归一化处理况的出现，需对做归一化处理：由：左乘得：所以主特征值的近似值所以主特征值的近似值：残余误差向量定义为：当迭代次数充分大时，残余误差将充分小。
逆乘幂法：类似地，也可以求模最小特征值和对应的特征向量特征向量。
上述问题的主特征值问题就是矩阵A 的模最小特征值问题。
结果，逆乘幂法的迭代公式为：在实际应用中，无需计算逆矩阵，但需求解线性系统实对称矩阵的基本定理：对实对称矩阵A ，一定存在一个正交相似变换使得为对角矩阵且其对角矩阵P ，使得：为对角矩阵，且其对角的特征值元素为矩阵A 的特征值。
相似变换：相似变换保持矩阵特征值（但不是特征向量）不变不变。
(证明略)正交相似变换：中。
正交相似变换的例子—坐标旋转：叫旋转矩阵。
容易验证：。
适当选择旋转角，可消去xy 项—得到对角阵D 。
矩阵特征值问题的数值方法实对称矩阵的基本定理再看下面的例子：令：O 平面的坐标旋转变换适当同样地有：。
则是在x-O-z 平面的坐标旋转变换。
适当x z —D 。
选择旋转角可消去z 项得到对角阵实对称矩阵的Jacobi 方法：全部特征值和特征向量根据实对称矩阵的基本定理，求得矩阵A 的全部特征值的关键是找到正交相似变换矩阵P 使部特征值的关键，是找到正交相似变换矩阵P ，使得为对角阵。
矩阵的特征值问题求解
矩阵特征值问题求解矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，而研究矩阵的特征值是其中一个重要的问题。
矩阵的特征值对于矩阵的性质和行为具有重要的影响，因此求解矩阵的特征值是一项非常重要的任务。
什么是特征值和特征向量在矩阵理论中，矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，满足方程$A\\mathbf{v} = \\lambda\\mathbf{v}$的向量$\\mathbf{v}$存在且不为零。
其中，$\\mathbf{v}$被称为对应于特征值$\\lambda$的特征向量（eigenvector）。
特征值和特征向量的求解是矩阵理论和线性代数中的重要问题之一。
特征值问题的求解方法1. 特征值分解我们可以通过特征值分解的方法求解矩阵的特征值。
给定一个方阵A，我们可以将其表示为$A=Q\\Lambda Q^{-1}$的形式，其中Q是由A的特征向量所组成的矩阵，Λ是由A的特征值所组成的对角矩阵。
2. 特征多项式特征值问题的另一种求解方法是通过矩阵的特征多项式。
特征多项式是关于矩阵A的一个多项式，它的根就是矩阵A的特征值。
通过求解特征多项式的根，我们可以得到矩阵的特征值。
3. 幂法幂法是一种常用的求解特征值问题的迭代方法。
通过不断的迭代计算$A\\mathbf{v}^{(k)}$，其中$\\mathbf{v}^{(k)}$是第k次迭代得到的特征向量，我们可以逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。
应用和意义矩阵的特征值问题求解在计算机图形学、信号处理、物理学等领域都有着重要的应用和意义。
通过求解矩阵的特征值，我们可以分析矩阵的性质、系统的稳定性以及模式识别等问题，为我们深入理解和应用矩阵提供了重要的工具和方法。
综上所述，矩阵的特征值问题求解是一个具有重要意义和广泛应用的问题，通过不同的方法和技术，我们可以有效地求解矩阵的特征值和特征向量，为我们更好地理解和利用矩阵提供了重要的支持。
计算方法--矩阵特征值的数值计算方法(2011).
（3）对任意正整数 m ，m 是矩阵 A m 的特征值；
1 A （4）当矩阵 可逆时， 是矩阵 A 1 的特征值；
并且
x 仍然是矩阵 kA, kE A, A m 的分别对应于特征值
k , k , m , 1 的特征向量。
类似：若
是A的特征值，
( )是 ( A) 的特征值；
det(A3 2 A 4E)
设 f ( x) x 3 2x 4 ，则 f ( A) A3 2 A 4E 因为 A 的特征值为 1，2，3，所以
f ( A) A3 2 A 3E 的特征值为
f (1) ， 1
f (2) ， 4 f (3) 21
于是 det(A3 2 A 4E) (1) 4 21 84
AX X
成立，则 称为方阵A的特征值， X 称为A的对应于特征值 的特征向量。
矩阵的特征值与特征向量 如
1 A 2
1 4
取 2
1 X 1
1 AX 2
1 1 2 X 4 1 2
则特征向量 2 是特征值,
1 是特征向量. X 1
矩阵的特征值与特征向量
特征方程、特征根
A E 称为方阵A的特征多项式 记作f ( )
显然，A的特征值就是特征方程的根, 也称特征根。
注意
n阶方阵A有n个特征值。 （重根按重数计算），
1 0 0 求矩阵 A 2 5 2 的特征值和特征向量。 2 4 1
全部特征向量为 kp2 lp3
其中数 k , l 是不同时为零的任意常数。
矩阵特征值的数值解法
矩阵特征值的数值解法矩阵的特征值是在矩阵与其特征向量之间的关系中的数值解。
特征值在各个领域中都有广泛应用，包括物理、工程、金融等。
在解决实际问题时，我们经常需要计算矩阵的特征值，因此研究如何求解矩阵特征值的数值方法是非常重要的。
1. 幂迭代法（Power Iteration）幂迭代法是求解矩阵特征值的一种简单而常用的数值方法。
它的基本思想是通过不断迭代矩阵与向量的乘积，使得向量趋近于该矩阵的一个特征向量。
具体步骤如下：（1）初始化一个非零的初始向量x。
（2）进行迭代计算，即$x^{(k+1)}=Ax^{(k)}/，Ax^{(k)}，$。
（3）当向量x的相对误差小于一些预设的精度要求时，停止迭代，此时的x即为矩阵A的一个特征向量。
（4）将x带入特征值的定义式$\frac{Ax}{x}$，计算出特征值。
幂迭代法的优点是简单易实现，计算速度较快，缺点是只能求解特征值模最大的特征向量，而且对于存在特征值模相近的情况，容易收敛到错误的特征值上。
2. QR迭代法（QR Iteration）QR迭代法是一种较为稳定的求解矩阵特征值的数值方法。
它的基本思想是通过不断进行QR分解，使得矩阵的特征值逐渐收敛。
具体步骤如下：（1）将矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R，令$A_1=RQ$。
（2）将$A_1$再次进行QR分解，得到新的矩阵$A_2=R_1Q_1$。
（3）重复步骤（2），直到得到收敛的矩阵$A_k$，此时$A_k$的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
QR迭代法的优点是对于特征值模相近的情况仍然能够收敛到正确的特征值上。
缺点是每次QR分解都需要消耗大量的计算量，迭代次数较多时计算速度较慢。
3. Jacobi迭代法（Jacobi's Method）Jacobi迭代法是一种通过对称矩阵的对角线元素进行迭代操作，逐步将非对角元素变为零的求解特征值的方法。
具体步骤如下：（1）初始化一个对称矩阵A。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法矩阵特征值是线性代数中一个非常重要的概念，对于矩阵的特征值和特征向量的求解是解线性代数问题和应用的关键之一。
下面将从基本概念、性质、求解方法等方面全面介绍矩阵特征值的方法。
一、基本概念矩阵特征值是指对于一个n阶矩阵A，存在常数λ，使得线性方程组(A-λI)x = 0有非零解x存在。
其中，I是n阶单位矩阵。
λ称为矩阵A的特征值，而满足(A-λI)x = 0的非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
二、性质1. 矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值，但对应的特征向量不同。
2. 矩阵的特征值是与矩阵的倍数无关的。
3. n阶矩阵A的特征值个数不超过n个，包括相同特征值重数。
即重特征值可以有多个线性无关的特征向量。
4. 矩阵的特征向量是线性无关的。
三、求解方法1. 特征值的定义法根据特征值的定义，我们将(A-λI)x = 0进行变换，得到(A-λI)x = 0，即(A-λI)x = 0。
利用行列式的性质求解此方程，得到特征值λ的值，再带入方程组中求解特征向量。
2. 特征值的代数重数和几何重数特征值λ是使(A-λI)x = 0有非零解的λ值，λ称为矩阵的代数重数。
而对应特征值λ的解向量x称为矩阵的特征多项式的零空间，零空间的维数称为矩阵的几何重数。
通常，代数重数大于等于几何重数。
3. 矩阵的特征向量特征向量是矩阵A与特征值λ的关联，通过求解(A-λI)x = 0可以得到特征向量。
特征向量是在特征值确定的情况下，通过解方程组取出的非零向量。
4. 特征值和特征向量的计算法常用的计算特征值和特征向量的方法有幂法、反幂法、QR方法、稀疏特征问题求解方法等。
（1）幂法幂法是求解矩阵最大特征值和特征向量的一种迭代方法。
首先初始化一个非零向量b0，然后进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
迭代过程为：b(k+1) = A*b(k)，其中b(k)表示第k次迭代后的向量。
最后得到的向量b即为矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
矩阵的特征值与特征向量的数值解法
第八章 矩阵地特征值与特征向量地数值解法某些工程计算涉及到矩阵地特征值与特征向量地求解 .如果从原始矩阵出发，先求 出特征多项式，再求特征多项式地根，在理论上是无可非议地•但一般不用这种方 法,因为了这种算法往往不稳定•常用地方法是迭代法或变换法•本章介绍求解特 征值与特征向量地一些方法•§ 1乘幂法乘幕法是通过求矩阵地特征向量来求特征值地一种 迭代法，它适用于求矩阵 地按模最大地特征值 及对应地特征向量.b5E2RGbCAP 定理8 • 1设矩阵Ai x n 有n 个线性无关地特征向量 X<i=1,2,…,n ）,其对应地特征 值入 i （i =1,2,…,n> 满足 plEanqFDPw|入1|>|入2|三…三|入n |则对任何n 维非零初始向量 乙,构造Z k = AZ k-1（k=1,2.其中（Z k >j 表示向量Z<地第j 个分量. 证明：只就入i 是实数地情况证明如下 因为A 有n 个线性无关地特征向量X,<i = 1,2,用X<i = 1,2, …,n ）线性表示，即Z 0=a 1X 1 + 用A 构造向量序列｛Z k ｝其中由矩阵特征值定义知 AXm i X(i=1,2,…,n>,故Z k 二A k Z^ ：1A k X^ ： 2A k X 2nA kX n 「T ；X1 *〉2'；X2- :'n'n Xn同理有li m (ZQ j_______________ <22?=■ 1<8 • 1) Z 1 二 AZ 0,乙二 AZ= A^Z。
,川，Zk-AZ kj-A Zo(8・2>- k' nkTX ii zz2-nJ 2-7k -AZk」=人X ii =2<A1」<8.3)<8.4 ),设a 1工0,并且注意到…,n )所以任何非零向量Z o 都可 a 2茨 + …+a nX <a 1 工 0) DXDiTa9E3d将<8.3 ）与<8.4 ）所得乙及Z k-1地第j个分量相除| 入i|<| 入…,n> 得RTCrpUDGiT1|(i=1,2,定理8 • 1地证明过程实际上是给出了矩阵地按模最大特征值地计算方法:1） 先任取一非零向量Z 0, 一般可取Z o =（1,1,1> T； 2） 按<8.2 ）式计算 乙=AZ -i （k=1,2,…>;3）当K足够大时,即可求出詔;=6为了减少"1对于所选地第j个分量地依赖性，还可用各个分量比地平均值来代替，即关于对应于入1地特征向量地计算：由<8.1 ）知，当k 充分大时,Z k =入1Z k-1,又由迭代式 Z k = AZ k-1,可知AZ k-1 =入1Z k-1故 由特征值定义知 Z k-1即为入1对应地特征向量，或Z k =入1Z k-1为入1对应地特征向 量.5PCzVD7HxA这种求矩阵地按模最大特征值及其对应特征向量地方法称为 乘幕法. 应用乘幕法计算A 地按模最大特征值入1和对应特征向量时，由<8.3）易知Z k = *-n厲入+送码J y1X ii 2当|入1|>1或|入1|<1时,Z k 中不为零地分量将会随 K 地增大而无限增大，或随K 地 「 ------------ 增大而趋于零，用计算机计算就会出现“上溢”或“下溢” .为了克服这个缺点，一」无 穷 常将迭代向量 乙先规范化，然后再计算，具体做法是:jLBHrnAILg 一，一用max （Z>S 示向量Z k 地绝对值最大地分量，任取一初始向量Z o =a 1X 1+ a 汎+…+ a n X^V a 1工0）构造与<8.2 ）对应地向量序列.xHAQX74J0XAZ o由<8.3）可知Yk = maZk A kZ o max A kZ o max n:X 亠1 1 j ii =2X inM • r ii -2X i丿丿(k tmax X i<8.7J 二 AYA 2Z omax AZ0J 'max 乙max AZ oA 2Z 。
矩阵特征值问题的数值计算
矩阵特征值问题的计算方法特征值问题：A V=λV¾直接计算：A的阶数较小,且特征值分离得较好 特征值：det(λI-A)=0,特征向量：(λI-A)V=0¾迭代法：幂法与反幂法¾变换法：雅可比方法与QR方法内容：一、 特征值的估计及其误差问题二、 幂法与反幂法三、 雅可比方法四、 QR方法一、 特征值的估计及其误差问题 （一）特征值的估计结论 1.1：n 阶矩阵()ij n n A a ×=的任何一个特征值必属于复平面上的n 个圆盘：1,||||,1,2,ni ii ij j j i D z z a a i n =≠⎧⎫⎪⎪=−≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑"（10.1） 的并集。
结论1.2：若（10.1）中的m个圆盘形成一个连通区域D，且D与其余的n-m个圆盘不相连，则D中恰有A的m个特征值。
（二）特征值的误差问题结论1.3：对于n 阶矩阵()ij n n A a ×=，若存在n 阶非奇异矩阵H ，使得11(,,)n H AH diag λλ−=Λ="， （10.2）则11min ||||||||||||||i p p p i nH H A λλ−≤≤−≤∆ （10.3）其中λ是A A +∆的一个特征值，而(1,,)i i n λ="是A 的特征值，1,2,p =∞。
结论1.4：若n 阶矩阵A 是实对称的，则1min ||||||i p i nA λλ≤≤−≤∆。
（10.4）注：（10.4）表明，当A 是实对称时，由矩阵的微小误差所引起的特征值摄动也是微小的。
但是对于非对称矩阵而言，特别是对条件数很大的矩阵，情况未必如此。
二、 幂法与反幂法（一） 幂法：求实矩阵按模最大的特征值与特征向量假设n 阶实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,1,iV i n ="，则对于任意的0nX R ∈，有 01ni ii X a V ==∑，从而有01111112((/))n nk k k i i i i ii i nk k i i i i A X a A V a V a V a V λλλλ======+∑∑∑.若A 的特征值分布如下：123||||||||n λλλλ>≥≥≥"，则有01111()k kk A X a V λλ→∞⎯⎯⎯→为对应的特征向量须注意的是，若1||1λ<，则10kλ→，出现“下溢”，若1||1λ>，则1kλ→∞，出现“上溢”，为避免这些现象的发生，须对0kA X 进行规范化。
特征值问题的计算方法
Gi ( A) = { z ∈ C : z − aii ≤ ∑ aij }; i = 1,L , n
j≠i
则 λ ( A) ⊂ G1 ( A) ∪ G2 ( A) ∪ L ∪ Gn ( A)
（ 分解定理） Th8.1.4 谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ n× n n× n 对称矩阵 则存在正交 矩阵， 正交矩阵 设 A ∈ R 为对称矩阵，则存在正交矩阵Q ∈ R T 使得 Q AQ = Λ = diag ( λ1 ,L , λn ) 个特征值。 其中 λ1 ,L , λn 是 A 的n个特征值。 个特征值 定理） （极大极小定理 Th8.1.5 极大极小定理） 对称矩阵 矩阵， 设 A ∈ R n× n 为对称矩阵，且 A的特征值为 λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn
∀u0 , u0
∞
=1
设
yk = Auk −1 µk = yk ∞ yk uk =
For k=1,2,3,…
uk 和 µk均收敛，由算法知 收敛， 算法知 Auk −1 = µk uk
lim Auk −1 = lim µk lim uk
k →∞ k →∞ k →∞
Ax = λ1 x
uk
∞
µk → λ1
其中J (λi ) = diag( J1 (λi ), ,L , J k (λi )) ∈ C ni ×ni ;1 ≤ i ≤ r i
λi J j ( λi ) =
1
λi
且除了 J j (λi ) 的排列 O 次序外 J 唯一的 次序外， 是唯一的。 O 1 λi J 称作 A 的Jordan标准型 标准型
n× n
是可对角化的 存在如下分解： 是可对角化的，即 A 存在如下分解： 对角化
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(X (k))j ( X (k1) )
j
1
幂方法
k充
分
大
时
，( X (X(
(k) ) j k1) )
j
1
即1
x ( k 1) i x(k) i
,
i 1,2,...n
此式说明了什么？
当k充分大时，相邻两次迭代向量对应的非零
分量的比值近似等于主特征值。
解题步骤： (1)任给n维初始向量X (0) 0
雅克比方法的一般推广
如果a 0,取使得tan 2 2a /(a a ) ( / 4)则有
ij
ij
jj
ii
a(1) a(1) 0, 得到一个使A中非零的非对角元素a a
ij
ji
ij
ji
变成零的正交相似变换。
对A(1)重复上述过程 A(2) ，得到一个矩阵序列{A(k) }。
可证，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零 元素的个数增加，但是可以保证非对角元的平方和递减。
运行结果：
程序运行结果
预备知识：
E预ig备en知-ve识ctor
定义: 设A Rnn ,若存在数 及非零向量x, 使得
Ax x
则称 为A的特征值，x为A的属于的特征向量。
重要结论：
Eigen-value
(1) c 为cA的特征值（c为常数c 0）;
(2) k为Ak的特征值；
(3) 设A为非奇异阵，那么 0且 1 为A1特征值，
Print[“矩阵A的精确特征值及对应的特征向量为”]； Eigensystem[A]
运行结果：
8.3 反幂法运算及程序
原理：设A为非奇异阵，那么 0且 1 为A1特征值，
即A1 x 1 x, 对应的特征向量仍是x.
显然：A的模最小特征根的倒数正是A1的模最大特征根 反幂法就是计算矩阵A的模最小特征值（即求A
引言
如何计算矩阵的特征值和特征向量？在线性代数中 要历经下列步骤：
（1）计算特征多项式 即计算 E A的行列式
（2）计算特征多项式的根
即计算 Det（E A）＝0 的n个根
（3）将所求的特征根逐个代入方组中，所有 解的全体组成A的特征向量。
程序
（1）求A的全部特征值、特征向量: Eigensystem[A] （2）求A的特征值： Eigenvaluse[A] （3）求A的特征向量组: Eigenvectors[A]
则则有有Vij(aaaaai(((kji(j)k(aa11aj1ika11l是)))))i(((jijk(11j1ik1))))正aaaaa交ki(k(lai(aai1akii1j1)s)ki()kc(ii1ii1ji矩o)s)ncison2a阵a2si2akak2li，iakckoicks若aosaisansjaijjn记jjcjjsjcoisonsians2a2Aaj2k2aj(kjs1kj)skicnicnoaaoaVsaiisjijijijsjsssiAiininnnV222i2jT( k((a(,kkli(j1))
1 2
(a22
a21)sin 2
a21 cos 2
0,
雅克比方法的实例分析
则上式简写为： y1
y2 01
0
2
y1 y2
1
或R
a11 a21
a12 a22
RT
1
0
0
2
,
其中R
cos sin
sin
cos
容易验证R是一个正交矩阵。正交变换R把对称
矩阵A变成为对角矩阵，1与2即是矩阵A的特征值。
下面以二阶实对称矩阵为例分析
平面上的一条二次曲线a11x12 2a12 x1 x2 a22 x22 1
雅克比方法的实例分析
矩阵形式为：
x1
x2
a11 a21
a12 x1
a22
x2
1, 其中a12
a21
可以
通
过
坐标轴的旋转
x1 x2
y1 cos y1 sin
y2 y2
sin cos
即
A1 x 1 x.
预备知识
(4) 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵P使
B P1AP），则A与B有相同的特征值；
(5) A Rnn可对角化，即存在非奇异矩阵P使
1
P 1 AP
2
...
n
的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量.
反之，如果A Rnn有m个(m n)不同的特征值
1 , 2 ,...m, 则对应的特征向量x1, x2 ,...xm线性无关.
8.2 幂法运算及程序
设n阶方阵A, 任取初始向量X (0) ,进行迭代计算： X (k1＝) AX (k )
得到迭代序列：｛X (k)｝，{k 1,2,3,...},
分析X (k1)与X (k)，就可得到A的模最大特征值.
运行结果为：
反幂法程序运行结果
8.4 雅克比方法
雅克比方法概述
雅克比方法是求实对称矩阵的全部特征值及相应
特征向量的一种方法。
预备知识
（1）任意实对称矩阵A 可通过正交相似变化成 对角阵，即存在正交矩阵Q，使得
QT AQ diag(1 , 2 ,, n )
其中i (i 1,2,, n)是A的特征值，Q中各列即为 相应的特征向量。
X (k ) a11kv1 此式说明了什么？
当k足够大时,X(k)近似等于主特征向量
设v1 0,为求1，观察：
( X (k) ) j ( X (k1) ) j
1
a1(v1 ) j
n i2
ai
(
i 1
)k (vi ) j
a1(v1 ) j
n i2
ai
(
i 1
)k 1 (vi
)
j
i 1
1
lim
y1
y2
b11 b21
b12
b22
y1 y2
1
其中b11 a11 cos2 a22 sin2 a21 sin 2 ,
b22 a11 sin2 a22 cos2 a21 sin 2 ,
b12
b21
1 2
(a22
a21)sin 2
a21
cos 2
,
若取使得b12
b21
A={{2,-1,0},{0,2,-1},{0,-1,2}}; y0={0,0,1.}; Do[x1=LinearSolve[A,y0]; Print[k," ","v",k,"=",x1," ","v",k,"与v",k-1,"的第1个 分量比值是",y0[[1]]/x1[[1]]]; y0=x1/Max[Abs[x1]],{k,1,22}] Print["最小特征值对应的特征向量是",x1] Eigensystem[A]
(4) 求A的特征多项式：Det[A-λ*IdentityMatrix[n]]
A={{1,2,1},{-1,2,1},{0,4,2}}; Print["特征多项式为："] Det[A-λ*IdentityMatrix[3]] Print["特征值为："] Solve[Det[A-λ*IdentityMatrix[3]]==0] Eigenvalues[A]; Print["特征向量为："] Eigenvectors[A] Print["特征值和特征向量为："] Eigensystem[A]
会产生一个向量 x(k )， 它在u1方向上的分量不为零，
这样，以后的计算就满足所设条件。 或由初始向量的任意性，选取其它不为零的初始向量。
幂方法说明
2)幂法的规范化
为避免 x(k) 过大或过小，幂法可按下面的规范运算进行：
X (k1) AY (k)
Y (k1)
X (k1) X (k1)
(2)按X (k) AX (k1) Ak X (0)计算X (k)
(3)如果k从某个数后分量比((XX（（kk）1）))j j c（常数）
则取1 c,而X（k）就是与1对应的一个近似特征向量。
幂方法说明
几点说明： 1）如果x (0的) 选取恰恰使得a1＝0，幂法计算仍能进行。
因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然
正交矩阵R的两个列向量分别为对应于两个特征 值的单位特征向量。
上述结果可推广到一般情况。
雅克比方法的一般推广
矩阵的旋转变换
设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵
1
1
cos
sin
1
Vij ( )
1
sin
cos
1
1
雅克比方法的一般推广
Vij ( )是正交矩阵，若记 A(1) Vij AVijT (ai(j1) )
AX (k1) Y (k )
然后任取X (0) , 规范迭代
Y
(
k
1)
X (k1) X (k1)
AX (k1) Y (k )
k 0,1,2,...其中：Y (0) X (0) X (0)
最终迭代求得结果。
反幂法例题
例2
用反幂法的规范运算求矩阵
2 1 0 A 0 2 1
的模最小特征值及其特征向量. 0 1 2
A={{2,-1,0},{0,2,-1},{0,-1,2}};
v0={0.5,0.5,1.1};
Do[v1=A.v0;Print[k," ","v",k,"=",v1," ","v",k,"与 v",k-1,"的第1个分量比值是",v1[[1]]/v0[[1]]," ","v",k,"与v",k-1,"的第2个分量比值是 ",v1[[2]]/v0[[2]]];v0=v1/Max[Abs[v1]],{k,1,35}]