《电磁场理论》6.4 波动方程
麦克斯韦方程组推导波动方程
麦克斯韦方程组推导波动方程麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本定律。
它由四个方程组成，分别是高斯定律、高斯磁定理、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。
这四个方程联立起来可以推导出波动方程，从而揭示出电磁波的性质。
首先，我们来看麦克斯韦方程组的四个方程如下：1. 高斯定律：电场通量与电荷密度成正比。
∮E·dA = ε0∫ρdV这个方程告诉我们，电场的产生是由电荷所形成的，电场是由正负电荷相互引力或排斥所形成的。
2. 高斯磁定理：磁场的闭合环路积分与电流和变化的电场通量成正比。
∮B·ds = μ0∫(J+ε0∂E/∂t)·dA这个方程说明了磁场是由电流和变化的电场所引起的，磁场的产生是由电流流动所形成的。
3. 法拉第电磁感应定律：感应电动势与磁通量变化率成正比。
ε = -dΦB/dt这个方程告诉我们，磁场的变化会产生感应电动势，也就是电磁感应现象。
4. 安培环路定理：磁场的闭合环路积分与通过这个环路的电流成正比。
∮B·ds = μ0I这个方程说明了磁场是由电流产生的，磁场和电流之间存在一种紧密的联系。
通过以上四个方程的联立，我们可以推导出波动方程，即电磁波的方程：∇^2E - με∂^2E/∂t^2 = 0这个方程描述了电场的传播和波动，其中∇^2是Laplace算符，μ和ε分别是真空中的磁导率和介电常数。
波动方程的解满足行波解的形式，也就是取决于时间和空间的函数的乘积：E(r,t) = E0e^(i(k·r - ωt))其中，E0是振幅，k是波矢，r是位置坐标，ω是角频率。
这个解表明电场以速度c = ω/k传播，c是真空中的光速。
通过波动方程的推导，我们可以看出电磁波的传播是由电场和磁场相互耦合形成的。
电场和磁场相互垂直并相位差90度，它们交替地变化和传播，形成了电磁波。
这种波动的传播方式是以空间和时间的函数关系来描述的，从而揭示了电磁波的特性和行为。
总结起来，麦克斯韦方程组推导出的波动方程对我们理解电磁波的本质和行为有着重要的指导意义。
波动方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。
波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
对于一个标量(quantity) 的波动方程的一般形式是：
这里a通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。
对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。
但若a作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：
注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。
那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。
u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。
对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。
是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。
注意u可能是一个标量或向量。
波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太
宽泛了。
不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。
电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。
这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。
理想介质中的波动方程理想介质中的波动方程
利用余弦展开式：
Ex cos(t kz) cos 1 sin( t kz) sin 1 2 E1 Ex cos(t kz) cos 2 sin( t kz) sin 2 2 E2 (1) (2)
Ey 2 Ey Ex 2 Ex ( ) ( ) 2( )( ) cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 E1 2 E2 2 E1 2 E2
一、直线极化
( Ey 2 Ey Ex 2 E ) ( ) 2( x )( ) cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 E1 2 E2 2 E1 2 E2
（1）当 2 1 0 时，轨迹方程蜕化为：
Ey 2 Ex ( ) 0 2 E1 2 E2
将 Ex看成 x、Ey看成 y ，得到曲线方程：
x 2 y 2 x y ( ) ( ) 2( )( ) cos(2 1 ) sin 2 (2 1 ) 2 E1 2 E2 2 E1 2 E2
根据曲线轨迹的不同，均匀平面波的极化状态分 为以下三种情况：
2 1
无源、无耗、无反射、简谐变化
5.1 无耗媒质中的均匀平面波
无耗媒 质
理想介质
完纯介质
非导电媒质
和 为实常数 = 0的媒质
本节内容
一、理想介质中的波动方程 二、波动方程的解
三、均匀平面波的传播特性
一、理想介质中的波动方程
无源无耗媒质中电磁场满足麦克斯韦方程：
E H t H E t 0 H E 0
Ey 2 Ex ( ) 0 2 E1 2 E2
Ey Ex 2 E1 2 E2
电磁场理论知识点总结
电磁场理论知识点总结电磁场与电磁波总结第1章场论初步⼀、⽮量代数A ?B =AB cos θA B ?=AB e AB sin θA ?(B ?C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) A ? (B ?C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) ⼆、三种正交坐标系 1. 直⾓坐标系⽮量线元 x y z =++l e e e d x y z⽮量⾯元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位⽮量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系⽮量线元 =++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l ⽮量⾯元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = ρ d ρ d ? d z 单位⽮量的关系 ?=?? =e e e e e =e e e e zz z ρ??ρρ?3. 球坐标系⽮量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? ⽮量⾯元 d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ? 单位⽮量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ?θ??θcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ??=-sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A=--θ?θ?θ?θθ?θ?θ??sin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A=-θ??θθθθ三、⽮量场的散度和旋度1. 通量与散度=??A S Sd Φ 0lim→?=??=??A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=??A l ?ld Γ maxnrot =lim→A l A e ?lS d S3. 计算公式=++A y x zA A A x y z11()=++A zA A A z ?ρρρρρ? 22111()(sin )sin sin =++A r A r A A r r r r ?θθθθθ?x y z ?=e e e A x y z x y z A A A=?e e e A z z z A A A ρ?ρρρ?ρ sin sin=?e e e A r r zr r r A r A r A ρθθθ?θ 4. ⽮量场的⾼斯定理与斯托克斯定理=A S A SVd dV ?=A l A S ?l四、标量场的梯度 1. ⽅向导数与梯度00()()lim→-?=??l P u M u M u llcos cos cos =++P uu u ulx y zαβγ cos ??=?e l u u θ grad = =+e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式=++???e e e xy zu u uu x y z1=++???e e e z u u u u z ρρρ? 11sin =++???e e e r u u u u r r r zθ?θθ五、⽆散场与⽆旋场1. ⽆散场 ()0=A =??F A2. ⽆旋场 ()0=u =?F u六、拉普拉斯运算算⼦ 1. 直⾓坐标系222222222222222222222222222222=++?=?+?+??=++?=++?=++A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212=++ =?--+?-++? ? ??????A e e e z z u u uu zA A A A A A A ?ρρρρρρρρρ?ρρ?ρρ?3. 球坐标系22222222111sin sin sin =++ ? ??????????u u uu r r r r r r θθθ?θ? ???+-??+?+???--??+?+???----=θθθ?θ?θθθθ?θθθθθθθ?θθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2 22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果⽮量场F 在⽆限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当⽮量场的散度、旋度和边界条件（即⽮量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该⽮量场F 唯⼀确定为()()()=-?+??F r r A r φ其中 1()()4''??'='-?F r r r r V dV φπ1()()4''??'='-?F r A r r r V dV π第2章电磁学基本规律⼀、麦克斯韦⽅程组 1. 静电场基本规律真空中⽅程： 0d ?=SE S ?qεd 0?=?lE l ? 0=E ρε 0??=E 场位关系：3''()(')'4'-=-?r r E r r r r V q dV ρπε =-?E φ 01()()d 4π''='-?r r |r r |V V ρφε介质中⽅程： d ?=?D S ?S qd 0?=?lE l ? ??=D ρ 0??=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε极化电荷：==?P e PS n n P ρ =-??P P ρ 2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0+=?J tρ传导电流： =J E σ与运流电流：ρ=J v恒定电场⽅程： d 0?=?J S ?Sd 0l=E l 0=J 0E =3. 恒定磁场基本规律真空中⽅程：0 d ?=?B l ?lI µd 0?=?SB S ? 0=B J µ 0=B场位关系：03()( )()d 4π ''?-'='-?J r r r B r r r VV µ =??B A 0 ()()d 4π'''='-?J r A r r r V V µ 介质中⽅程：d ?=?H l ?l Id 0?=?SB S ? ??=H J 0??=B磁化：0=-BH M µ m 00(1)=+B H =H =H r χµµµµ 磁化电流：m =??J M ms n =?J M e4. 电磁感应定律d d ?=-SE l B S ?lddt =-BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律：d ()d ??=+D H l J S ?lSt =+DH J t位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0=+?=-??==D H J S B E S D S B Sl S l S SV S l t l t V d ρ 0=+???=-?==?D H J B E D B t t ρ ()() ()()0=+???=-?==?E H E H E E H t t εσµερµ ⼆、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00=-??==+??=--?=?=?????=?=??B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ??=--?=+==B E J D H J D B tt ρρ三、边界条件 1. ⼀般形式12121212()0()()()0-=-=-=-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界⾯和理想介质界⾯111100?=??===e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0-=-=-=-=e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章静态场分析⼀、静电场分析1. 位函数⽅程与边界条件位函数⽅程： 220?=-电位的边界条件：121212=??-=-?s nn φφφφεερ 111=??=-?s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解⽅法：2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ连续分布： 12=?e V W dV φρ电场能量密度：12D E ω=?e⼆、恒定电场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件位函数微分⽅程：20?=φ边界条件：121212=??=?nn φφφφεε 12()0?-=e J J n 1212[]0?-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦⽿定律欧姆定律的微分形式： =J E σ焦⽿定律的微分形式： =??E J V3. 任意电阻的计算2211d d 1??====E l E l J SE SSSUR G Id d σ（L R =σS ）4. 静电⽐拟法：C —— G ，ε —— σ2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε 2211d d d ??===J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件⽮量位：2?=-A J µ 12121211A A e A A J n s µµ()=?-=标量位：20m φ?= 211221??==??m m m m n nφφφφµµ 2. 电感定义：d d ??===??B S A l ?SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ连续分布：m 1d 2A J =??V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=? 第4章静电场边值问题的解⼀、边值问题的类型●狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ●纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()?=?f s nφ●混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()?==?f s f s nφφ●⾃然边界：lim r r φ→∞=有限值⼆、唯⼀性定理静电场的惟⼀性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表⾯电荷分布）下，空间静电场被唯⼀确定。
电磁波波动方程要点共37页文档
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
电磁波波动方程要点
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道
电磁场中的波动方程
电磁场中的波动方程电磁场是一种无处不在的现象，它伴随我们的生活始终存在。
电磁波是电磁场的一种传播方式，其性质包含了电场和磁场的相互作用。
电场和磁场的变化会引发电磁波的产生和传播。
这种现象是由电磁波方程描述的，也被称作麦克斯韦方程。
麦克斯韦方程是描述电磁现象的基本方程。
它包含了四个方程式，分别是麦克斯韦-安培定律、麦克斯韦-法拉第定律、高斯定律和安培定律。
这些定律可以描述电荷间的运动、电场和磁场的相互作用，以及电磁波的产生和传播。
其中最重要的是麦克斯韦-安培定律和麦克斯韦-法拉第定律，它们描述了电磁场的本质和演化过程。
麦克斯韦-安培定律表明电场和磁场的变化率决定了电流的存在和方向。
这个定律可以用于解释通过电导体产生的电流和磁感应线圈产生的感应电流。
麦克斯韦-法拉第定律则描述了电磁场相互作用的本质。
当磁变化时，会引发磁场的旋转，在这个过程中，会引发电场的变化，从而产生电磁波。
在电磁波的产生和传播的过程中，麦克斯韦方程的重要性不言而喻。
其波动方程描述了电场和磁场的演化过程，并且预测了电磁波的存在和性质。
电磁波的波长和频率是可以计算的，这在天线设计和电磁波工程中起着至关重要的作用。
电磁波波动方程具有非常特殊的形式。
它是由电场和磁场的空间导数和时间导数的求和组成的。
其中，导数的正负性质决定了电场和磁场变化的速率和方向。
这个方程式被广泛应用于电磁场的研究和电磁波的传播预测。
对于这个方程的求解，可能会需要使用不同的方法。
例如分离变量法或Fourier变换可以用于解决电磁场的向空间分布的傅立叶系数，从而找出能量传递的频带。
这些方法在研究电磁波的传播、天线设计和电磁波工程中都具有重要的应用。
总的来说，电磁波波动方程是描述电磁场演化和电磁波产生和传播的核心方程式之一。
通过这个波动方程，我们可以深入了解电磁波的物理特性、预测电磁波的传播和预测电磁波的频带等。
这对于电磁场的研究和电磁波工程具有重要的意义。
电磁场波动方程
t
B
t
E t
?
2E t 2
均匀、稳定的介质也不行！！
Dt Et Bt H t
一般不成立
介质的色散性质
一般的介质具有色散性质，即介质对电磁场的响应性质与电磁场
的变化频率有关：
D E B H
一、自由空间的电磁场波动方程
麦克斯韦方程组
E
B t
H
J
D t
D
B 0
无源情况下
f 0,
Jf 0
真空中： D 0E, B 0H
E
t
B
0 0
2E t 2
1电磁场波动方程亥姆霍兹方程和平面电磁波2反射和折射定律的导出振幅的位相关系3导体内的电磁波特性良导体条件趋肤效应4了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式电磁场波动方程电磁场波动方程时谐电磁波时谐电磁波平面电磁波平面电磁波电磁波的能量和能流电磁波的能量和能流一自由空间的电磁场波动方程在真空中电磁场满足波动方程磁波动方程横波条件但不能替代麦克斯韦方程还需要考虑电场与磁场的联系其中称为真空中光速一般不成立对介质的考虑介质中电磁场方程能否写成波动方程的形式
2E 1 2E 0 c2 t 2
E 0
电波动方程＋横波条件
2B 1 2B 0 c2 t 2
其中 c 1
00
B 0
磁波动方程＋横波条件
称为真空中光速
但不能替代麦克斯韦方程，还需要考虑电场与磁场的联系
E B t
电磁场波动方程
电磁场波动方程：宇宙中的震动之声电磁场波动方程是描述电磁波在空间中传播的数学公式。
它不仅是现代物理学的基础，也是人类观测宇宙中“震动之声”的重要手段。
在宇宙中，电磁波是各种星体之间交流信息的主要方式。
例如，从远处的星系中观察可见光波谱，可以告诉我们这些星系的物理属性、组成和运动状态。
类似地，从宇宙空间中捕捉到的微波信号可以揭示宇宙初期的温度分布，雷达信号可以检测近地天体的运动轨迹等。
这些信息均依赖于电磁波的传播和探测技术，其中的核心就是电磁场波动方程。
电磁场波动方程的基本形式是：∇²E - με∂²E/∂t² = 0∇²H - με∂²H/∂t² = 0其中E和H分别表示电场强度和磁场强度，μ和ε分别为真空中的磁导率和电介质常数，∇²表示Laplace算符，∂²/∂t²表示对时间的二阶导数。
这两个方程描述了电场和磁场的演化规律，可以用于计算和预测电磁波在不同介质中的传播方式、速度、波长等物理特性。
电磁场波动方程的研究历史可以追溯到19世纪，当时人们刚刚发现了电和磁的关系，并发现电磁波在真空中以光速传播。
经过不断的理论修正和实验验证，最终得到了现代电磁场波动方程的形式。
这一成就不仅是纯粹科学的进步，还为今后电磁波谱学、计算物理、通信工程等应用领域提供了有力支撑。
总之，电磁场波动方程是探索宇宙奥秘的重要工具，展示了人类对自然界规律精深的认知。
未来，随着技术的不断进步和深入研究，我们相信这一方程仍将为人类发现更多神秘的科学现象和应用价值提供帮助。
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波动方程
时变电磁场问题的求解
1)由麦克斯韦方程组导出 E和H 各自所满足的波动方程，结合边 界条件和初始条件解波动方程， 得到 E和H 。 2)推导出辅助位函数 A和U 所满 足的方程，求解方程得 A和U ， 然后再根据场和位的关系得到电 场和磁场。
1
在线性、均匀和各向同性的无源媒质 ( 0, J S 0) 中，电 磁场满足的麦克斯韦方程为 E 2 E t E ( H ) 2 H E t t t t H 两边取旋度 E E H t t H 0
4
2 E 2 E 2 t 2 H 2 H t 2
齐次矢量波动方程
上两式也称为时变亥姆霍兹方程，它表明电磁 场在无耗媒质中的传播是不衰减的。
3
在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程
2 Ex 2 Ex 2 E x 2 Ex 2 2 2 0 2 x y z t
E 0
将矢量恒等式 E ( E ) 2 E
2
H 得 E E t
2 H H 2 H t t 2
得
2 E
E E 2 t t
2
同理
无源区电场波动方程
非齐次矢量波动方程
无源区磁场波动方程
2
2 E E 2 E 2 t t
2 H H 2 H 2 t t
在上面的两个式子中， 这些方程支配着无源均匀导 电媒质中电磁场的行为。 在二阶微分方程中， 一阶 项的存在, 表明电磁场在导电媒质中的传播是有衰减 的（有能量损耗）。 因此导电媒质称为有耗媒质。 当媒质为完全电介质或无耗媒质， 即媒质的电导 率 0 ，上面两式变为
2 Ey x
2
2 Ey y
2
2 Ey z
2
2 Ey t
2
0
பைடு நூலகம்
2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 2 2 0 2 x y z t
波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。
电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下 求解波动方程。但需要注意的是：只有少数特殊情况可 以通过直接求解波动方程求解。