专题训练(八)解直角三角形常见的七种方法
解直角三角形的方法与技巧
解直角三角形常用解题方法与技巧 解直角三角形所涉及的知识面较广，题目灵活性、综合性较强，因而学习起来可能会有一定的困难，为帮助大家理解并掌握其中的解题方法与解题技巧，现结合实例归纳总结如下： 一、巧妙应变，走出解题陷阱 例1 如图①，在Rt △ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠A =90°，⑴、若a =15，b =12，求c ；⑵、若b =8，c=15，求a ．简析 由∠A =90°知，本题a 才是斜边，故应运用勾股定理222b c a +=求解．解 ⑴、∵∠A =90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∴222b c a +=，又∵c ＞0，∴222215129c a b =-=-=．⑵、由⑴知222b c a +=，∴222281517a b c =+=+=．评注 解直角三角形问题，审题很重要，有时候稍一疏忽就有可能导致错解或者漏解的产生．本例在求解时正是注意到了斜边这一特殊边长的变化从而避免了解题错误的发生．二、巧设参数，化繁难为简易例2 如图②，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =45，求tan B 的值． 简析 要算tan B ，必须先求出直角边AC 、BC 的长，注意到题中只有“sin A =35”而没有给出相应线段的长，故考虑采用设参数的办法进行解决．解 设BC =4k ，则AB =5k （k ＞0）．∵在△ABC 中，∠C =90°，∴AC =2222(5)(4)3AB BC k k k -=-=，∴tan AC B BC ==3344k k =． 评注 对于已知特殊角而求三角函数值（或线段比值）的解直角三角形问题，有时候适当引入参数可以帮助我们在解题过程中少走不少弯路．三、巧建模型，以不变应万变例3 如图③所示，某小岛周围40海里内布满暗礁，一艘船由西向东航行，起初在A 处测得小岛在北偏东60°方向，航行30海里后在B 处又测得小岛在东北方向，如果该船不改变航行方向而继续向前航行，那么它会有触礁危险吗？简析 过O 作OH ⊥AB 于H ，将实际问题转化为解直角三角形问题．不妨设OH =x ，则由AH －BH =AB 可得方程cot30°x －cot45°x =30，从中解出x 的值，接下去只需将OH 的值与40进行比较即可得解．解 过点O 作OH ⊥AB 于H ，设OH =x ，由题意可知∠OAH =30°，∠OBH =45°，AB =30．在Rt △OAH 与Rt △OBH 中，∵cot ∠OAH =AH OH ，cot ∠OBH =BH OH∴AB =AH －BH = OH (cot30°－cot45°)，即(cot30°－cot45°)x =30，解之得x =15＋153≈40.98＞40．所以如果不改变航向，该船不会有触礁的危险．例4 如图④所示，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A ，再在河这边沿河边取两点B 、C ，使得∠ABC =60°，∠ACB =45°，现量得BC =30m ，求河的宽度．简析 河的宽度即为△ABC 中BC 边上的高，为此，过点A 作AD ⊥BC于D ，则本实际问题也转化成了解直角三角形问题．和前例一样，通过设AD =x 然后建立方程即可求得AD 的长．解 过A 作AD ⊥BC 于D ，并设AD =x ．在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，∵cot cot 60BD ABC AD =∠=︒，cot cot 45CD ACB AD=∠=︒， ∴BC =BD ＋CD =AD (cot60°＋cot45°)，即(cot60°＋cot45°)x =30，解之得x =45－153， ∴所求河的宽度为(45－153)m ．评注 在解有双方位角或双视角类实际问题时，如果图形中没有直角三角形，则应通过添加辅助线的方法将原图形转化为两个具有公共边特征的直角三角形，然后再建立方程进行求解．为方便同类题型求解，以上两例还可归结为如下的数学模型——⑴如图⑤a ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的同侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，且α＜β，则有AB (cot α－cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β；⑵如图⑤b ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的两侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，则有AB (cot α＋cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β．。
(完整版)解直角三角形总结
解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。
1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。
（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。
(3）三条边之间的关系：。
以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。
由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。
所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。
这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。
解直角三角形口诀
解直角三角形口诀直角三角形是数学中常见的一种特殊三角形，它的特点是其中一个内角为90度。
在解直角三角形相关题目时，我们可以利用一些口诀来辅助记忆和计算。
本文将介绍一些常用的解直角三角形口诀，帮助你更好地理解和应用直角三角形的知识。
1. 度角口诀解直角三角形时，我们常常需要根据给定的角度和边长求解其他未知量。
下面是一种度角口诀，它可以帮助我们快速记忆和运用解直角三角形的相关公式。
(1) 正弦定理：sin A = 对边 / 斜边，sin B = 邻边 / 斜边，sin C = 对边 / 斜边。
(2) 余弦定理：cos A = 邻边 / 斜边，cos B = 对边 / 斜边，cos C = 对边 / 斜边。
(3) 正切定理：tan A = 对边 / 邻边，tan B = 邻边 / 对边，tan C = 对边 / 邻边。
(4) 锐角三角函数的关系：sin^2 A + cos^2 A = 1，tan A = sin A / cos A。
2. 辅助角口诀在解直角三角形时，我们经常需要利用辅助角来求解未知量。
辅助角是指与所求角度相互对应的补角、余角或同角。
下面是一种辅助角口诀，帮助我们快速确定辅助角，并运用相关的解题方法。
(1) 补角关系：两个角相加等于90度。
如果所求角度大于90度，可以用补角的概念求解。
(2) 余角关系：两个角相加等于180度。
如果所求角度大于180度，可以用余角的概念求解。
(3) 同角关系：两个角相等。
如果已知某个角度的三角函数值或长度关系，可以利用同角关系来求解。
3. 特殊直角三角形口诀在解直角三角形时，有一些常见的特殊直角三角形口诀可以帮助我们快速计算。
下面是几个常见的特殊直角三角形口诀。
(1) 30-60-90三角形：边长比例为1：√3：2。
通过这个比例关系，我们可以快速求解30度和60度的三角函数值以及边长比例。
(2) 45-45-90三角形：边长比例为1：1：√2。
通过这个比例关系，我们可以快速求解45度的三角函数值以及边长比例。
解直角三角形(5种题型)(解析版)
解直角三角形（5种题型）【知识梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A=∠A的对边斜边=ac，cos A=∠A的邻边斜边=bc，tan A=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形1．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD ＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值．【分析】（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB=√2AC，由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣AE，计算即可得出答案；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE=√EF2+CF2，在Rt△ECF中，由cos∠ECB=CFCE 计算即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB=√2AC=6√2，∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，∴AE＝sin45°•AD=√22×4=2√2，∴BE＝AB﹣AE＝6√2−2√2=4√2；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，∵∠B＝45°，∴EF＝BF＝sin45°•BE=√22×4√2=4，∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE=√EF2+CF2=√42+22=2√5，在Rt△ECF中，cos∠ECB=CFCE =2√5=√55．【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性质，应用等腰直角三角形性质进行计算是解决本题的关键．2．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=45．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．【分析】（1）在Rt△BCD中，由已知条件cos∠ABC=BDBC =45，即可算出BC的长，根据勾股定理即可得出答案；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，可得CD∥EF，由E为BC的中点，可得EF是△BCD的中位线，即可算出EF=12CD，DF的长度，即可算出AF＝AD+DF的长度，在Rt△AEF中，根据tan∠EAB=EFAF即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC=BDBC =45，∴4BC =45，∴BC＝5，∴CD=√BC2−BD2=√52−42=3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12CD=12×3=32，DF=12BD=12×4=2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB=EFAF =3210=15．【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．3．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD 的长； （2）求∠EBC 的正切值．【分析】（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图，利用等腰三角形的性质得到AH ＝DH ，再证明∠ACH ＝∠ABC ，则sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13，然后利用正弦的定义求出AH ，从而得到AD 的长；（2）在Rt △ABC 中先求出AB ＝9，则BD ＝7，再证明∠HCD ＝∠EBD ，则sin ∠EBD =DE BD =13，利用正弦的定义求出DE =73，接着利用勾股定理计算出BE ，然后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图， ∵CD ＝CA ， ∴AH ＝DH ，∵∠ABC+∠BCH ＝90°，∠ACH+∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠ABC ， ∴sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13， 在Rt △ACH 中，sin ∠ACH =AH AC =13，∴AD ＝2AH ＝2；（2）在Rt △ABC 中，sin ∠ABC =AC AB=13，∴AB ＝3AC ＝9，∴BD ＝AB ﹣AD ＝9﹣2＝7， ∵∠E ＝90°， 而∠EDB ＝∠HDC ， ∴∠HCD ＝∠EBD ， ∴sin ∠EBD =DE BD =13，∴DE =13BD =73，∴BE =√72−(73)2=14√23，在Rt △EBC 中，tan ∠EBC =EC EB=3+7314√23=4√27．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 二．解直角三角形的应用4．（2022•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【分析】（1）延长光线交CD 于点F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，根据题意可得∠AFG ＝29°，GF ＝BC ＝20米，GB ＝FC ，然后在Rt △AGF 中，利用锐角三角函数的定义求出AG ，从而求出GB 的长，进行比较，即可解答；（2）延长光线交直线BC 于点E ，根据题意可得∠AEB ＝29°，然后在Rt △ABE 中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，即可解答．【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E，则∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE=ABtan29°≈250.55≈45（米），∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．6．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）点在最高位置与最低位置时的高度差．（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？【分析】（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答；（2）先设小杰原计划x小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗﹣原计划每小时的能量消耗＝100，列出方程进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO•cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米；（2）设小杰原计划x小时完成锻炼，由题意得：，解得：，经检验：都是原方程的根，但不符合题意，舍去，答：小杰原计划锻炼1小时完成．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022•宝山区二模）某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）【分析】（1）根据每级台阶高度都是0.25米，然后计算出3个台阶的总高度，即可解答；（2）连接BC，根据题意可得：AB＝DC，AB∥DC，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题8．（2021秋•闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2022春•浦东新区校级期中）工厂的传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴BCAC =12.4，即5AC=12.4，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√122+52=13（米），故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．10．（2022•黄浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：2.4×10＝24，∴物体所经过的路程为：√102+242=26（米），故答案为：26．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．11．（2022•浦东新区二模）如图，一个高BE为√3米的长方体木箱沿坡比为1：√3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为米．【分析】根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．【解答】解：设AB、EF交于点D，∵斜坡的坡比为1：√3，∴tan∠DAF=√3=√33，∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BEDE，∴√3DE =√32，解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12AD＝1（米），∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题12．（2021秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米．A．20cotαB．20tanαC．1.5+20tanαD．1.5+20cotα【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．13．（2022•徐汇区二模）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为米．【分析】根据题意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，tanα＝0.3，∴DE＝AE•tanα＝5×0.3＝1.5（米），∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），∴点D到地面的距离CD的长为3.2米，故答案为：3.2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（2022•青浦区二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为米．【分析】设CD＝x米，用含x的代数式表示出AD和BD的长，再根据AD﹣BD＝100可得x的值．【解答】解：设CD＝x米，在Rt△ACD中，tanα=CDAD，∴AD=xtanα，在Rt△BCD中，tanβ=CDBD，∴BD=xtanβ，∵AD﹣BD＝100，∴xtanα−xtanβ=100，解得x=100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα，故答案为：100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．五．解直角三角形的应用-方向角问题15．（2021秋•黄浦区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长AB交l于D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA•cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．在Rt△ABC中，AB＝．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．理由：延长AB交l于点D．∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．∴△ABC∽△DBO，∴，∴，∴OD＝60（千米）．∵60＞58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．16．（2021秋•嘉定区期末）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．【解答】解：（1）由题意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，在Rt△ACM中，，∴cos60°＝，∴AM＝6，在Rt△BDM中，，∴cos60°＝，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在Rt△ACM中，，∴，∴，在Rt△BDM中，，∴， ∴， ∴，在Rt △BDN 中，，由题意，得∠DBN ＝53°∴， ∴DN ＝4tan53°，∴，设该轮船航行的速度是V 千米/小时，由题意，得，∴V ≈40.7（千米/小时 ），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题 九年级假期作业）已知在ABC 中，【答案】B 【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，根据60A ∠=︒，得出30ACD ∠=︒,进而求得CD ，由已知条件得出CD BD =，进而得出45BCD ∠=︒，即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt ADC 中，60A ∠=︒，∴30ACD ∠=︒, ∴sin ,cos CD AD A A AC AC ==sin 602CD =︒∴⨯=11BD AB AD ∴=−=∴CD BD =，在Rt BCD 中，CD BD =45BCD ∴∠=︒75ACB ACD BCD ∴∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．【答案】D【分析】在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点B ，则可求得α的正余弦、正余切值，从而可得答案．【详解】如图，在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P作x 轴的垂线，垂足为点B则OB=|a|，PB=2|a| 由勾股定理得：|OPa ==在直角△POB 中，sin 5PB OP α==，cos 5OB OP α===， 2tan =2a PB OB a α==，1cot =22a OB PB a α==故选项D 正确故选：D【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，锐角三角函数，关键是画出图形，并在直线任取一点，作x 轴的垂线得到直角三角形．【答案】D【分析】先求出120°的补角为60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，在Rt△ACD中可求出AD与CD的长，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，在Rt△ACD中，AC=2，∴AD=ACcos60°=2×12=1，CD=ACsin60°=2×∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，∴tanB=CD BD=， 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，45ACB ∠=︒，125PRQ ∠=︒，ABC 底边BC 上的高为1h ，PQR 底边QR 上的高为2h ，则有（ ）A ．12h h =B ．12h h <C ．12h h >D ．以上都有可能【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高12,h h∵45,5ACB AC ∠=︒=∴1sin 455sin 45h AC =⨯︒=︒ ∵125,5PRQ PR ∠=︒=∴()2sin 1801255sin55h PR =︒−︒=︒ ∵sin 55sin 45︒︒＞∴21h h ＞ 故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．5．（2023·上海·九年级假期作业）小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰【答案】C 【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，在Rt ACE △中，已知了CE 的长，可利用俯角CAE ∠的正切函数求出AE 的值；进而在Rt ABE △中，利用仰角BAE ∠的正切函数求出BE 的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 是矩形，CE AD h ==．∵在Rt ACE △中，CE h =，60CAE ∠=︒，∴tan 60CE AE ==︒，∵在Rt ABE △中，30BAE ∠=︒，∴1tan 303BE AE h =︒==，∴1433BC BE CE h h h =+=+=． 即旗杆的高度为43h ．故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）【答案】C【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，设BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝1sin sinAEαα=，∴BC＝AB＝1sinα，∴重叠部分的面积是：1sinα×1＝1sinα．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．二、填空题7．（2023·上海·九年级假期作业）小球沿着坡度为1:1.5i=的坡面滚动了13m，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m．【答案】【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =∴水平距离为1.5⨯=故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．【答案】13【分析】根据斜坡AB 的坡度1i =AB 的值先求出AH ，再根据斜坡AC 的坡度21:2.4i =，求得AC ，即可求解．【详解】解：∵1i =∴tan 3ABH ∠==， ∴30ABH ∠=︒，∴152AH AB ==, ∵21:2.4i =，∴1tan 2.4AH ACB CH ∠==，∵5AH =，∴12=CH ，在Rt ACH 中，13AC ==,故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【答案】10【分析】作BH AC ⊥于H ．由四边形ABCD 是矩形，推出OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，由余切函数，可得4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，求出a 即可解决问题．【详解】解：如图，作BH AC ⊥于H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，则10AC a =．∵根据题意得：3cot 4OH BOH BH ∠==， ∴4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，∴1a =，∴10AC =．故答案为10．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 10．（2023·上海·九年级假期作业）已知：在ABC 中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，8AB =．则ABC 的面积为____（结果可保留根号）．【答案】48−【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，利用直角三角形的性质求得CD 的长．已知AB 的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90CDA ∠=︒Q ，∴tan tan 60CD DAC AD =∠=︒=即AD 在Rt BDC 中，45B ∠=︒， 45BCD ∴∠=︒， CD BD ∴=．8AB DB DA CD =+==，12CD ∴=−．118(124822ABC S AB CD ∴=⨯=⨯⨯−=−故答案为：48−【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形的性质及三角形的面积公式，熟练掌握通过作三角形的高，构造直角三角形是解题的关键．分别在DEF 的边，ABE 沿直线 【答案】67【分析】根据题意和翻折的性质可得ABCABE 是等腰直角三角形，ABC 是等腰直角三角形，所以AC BE ∥，得23DA AC DE HE ==，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，所以7FE x =，6DE x =，然后根据锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图所示：90DEF ∠=︒，45EBA ∠=︒，ABE ∴是等腰直角三角形，AE BE ∴=，ABE 沿直线AB 翻折，翻折后的点E 落在DEF 内部的点C ，ABC ∴是等腰直角三角形，∴∥AC BE ，∴23DA AC DE HE ==，FH AD =，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，7FE x ∴=，6DE x =， ∴67DE FE =，6cot 7DE D FE ∴==． 故答案为：67．【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 统考二模）在ABC 中，，那么ABC 的重心到【答案】4【详解】解：如下图所示，设点D 为BC 的中点，点E 为三角形的重心，∵AB AC =，∴AD BC ⊥，∵152BD BC ==，5cos 13B =，cos BD B AB = ∴13AB =，∴12AD ==，∵点E 为三角形的重心，∴21AE ED =， ∴4ED =，∵AD BC ⊥，∴ABC 的重心到底边的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考查解直角三角形、三角形重心的性质和勾股定理，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1． 13．（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点()1,2P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角为α，tan α=________．【答案】2【分析】过点P 作PA x ⊥轴于点A ，由P 点的坐标得PA 、OA 的长，根据正切函数的定义得结论．【详解】解：过点P 作PA x ⊥轴于点A ，如图：∵点PA x ⊥，∴2PA =，1OA =，∴2an 21t PA OA α===．故答案为：2．【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形． 一模）如图，已知在ABC 中， 【答案】95【分析】如图，设AP m =．证明AP MQ m ==，根据3cos cos 5A CMQ =∠=，构建方程求解．。
解直角三角形的方法和技巧
解直角三角形的方法和技巧直角三角形是三角形中最为基础和重要的一类三角形，因为它具有很多特殊的性质和应用。
解直角三角形的方法和技巧在数学的学习过程中非常重要，本文将为大家介绍10条关于解直角三角形的方法和技巧，并展开详细描述。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的定理，也是解直角三角形的最快捷的方法。
勾股定理的公式为：a² + b² = c²。
a和b表示直角边，c表示斜边。
当已知a和b的长度时，可以通过计算c的长度来确定直角三角形的大小和形状。
勾股定理非常广泛地应用于工程、科学和数学等领域，可以帮助我们计算物体的大小、距离和位置等。
二、正弦定理正弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
a、b、c分别表示三角形任意两边和斜边，A、B、C表示这些边对应的角度。
如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过正弦定理计算第三个长度。
正弦定理的应用十分广泛，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。
三、余弦定理余弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它也是一个三角形中的三角函数，公式为：c² = a² + b² - 2abcosC。
a、b表示三角形中两个边的长度，c表示斜边的长度，C表示斜边对应的角度。
如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过余弦定理计算第三个长度。
余弦定理也是应用广泛的一个数学公式，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。
四、正切定理正切定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：tanA = a/b或tanB = b/a。
a、b分别表示三角形中的两个直角边，A、B是它们对应的角度。
通过正切定理可以求得角度的大小或两直角边的比例。
五、特殊直角三角形的知识特殊直角三角形是指那些具有特殊边长和角度的直角三角形。
其中最为常见的是边长为3、4、5的特殊直角三角形。
解直角三角形的基本类型及解法
解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形是初中数学中的重要内容之一，也是后续高中数学和物理学的基础。
解直角三角形的基本类型及解法是学习这一内容的关键。
下面将为大家介绍关于“解直角三角形的基本类型及解法”的相关内容。
一、基本类型1. 已知两边求斜边在直角三角形中，如果已知其中两条边的长度，那么通过勾股定理可以求出第三条边（即斜边）的长度。
勾股定理是一种用勾股定理求斜边的基本方法，即a²+b²=c²。
其中a、b分别为直角三角形的两个直角边，c为斜边的长度。
2. 已知斜边求直角边如果已知斜边和另一条直角边的长度，那么可以使用直角三角形定理来求出另外一条直角边的长度。
这个定理是勾股定理的一个特例，即c²=a²+b²。
其中c为斜边的长度，a、b为直角三角形的两条直角边的长度。
3. 已知三角形内角求其它角的大小在直角三角形中，根据三角形内角的和为180°，其中一个直角角度已知，另外一个角度可以用90°来计算，从而可以求出第三个角度的值。
因为在直角三角形中，除直角外的另外两个内角一定是锐角或钝角，所以得到的答案只能是其中一个锐角或一个钝角的大小。
二、解法1. 勾股定理解法勾股定理是解直角三角形的基本公式，在题目中如果已知两条边中的任何一条边和直角，则可以使用勾股定理求出第三边的长度。
此方法适用于已知两个边长，求第三条边长的情况。
2. 直角三角形定理解法在已知直角和一条直角边的情况下，可以利用直角三角形定理来确定另外一个边的长度。
在这种情况下，直角三角形定理c²=a²+b²可以用来求解问题。
如果仅知道斜边和其中一个直角边，则可以利用直角三角形定理求解另一个直角边的长度。
3. 正弦定理及余弦定理解法在某些情况下，可能需要求解一个已知的直角三角形内的其它角度，此时可以使用正弦定理或余弦定理。
正弦定理是指sinA/a=sinB/b=sinC/c，其中A、B、C为任意三角形的角度，a、b、c为对应边的长度。
解直角三角形
解直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
解直角三角形，就是通过已知的信息，求取直角三角形的各边长或者角度的过程。
下面将介绍两种解直角三角形的常用方法：勾股定理和三角函数。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的方法之一。
它表明，直角三角形的斜边长度的平方等于另外两边长度的平方之和。
设直角三角形的两个边长分别为a和b，斜边长为c，则有勾股定理的表达式为：c² = a² + b²利用勾股定理可以解决以下两种问题：1. 已知两条边的长度，求解第三条边的长度：若直角三角形的两条边分别为3cm和4cm，求解斜边的长度c。
根据勾股定理的表达式可得：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = √25c = 5所以，斜边的长度为5cm。
2. 已知一条边的长度和斜边的长度，求解另一条边的长度：若直角三角形的斜边长度为5cm，一条边的长度为3cm，求解另一条边的长度b。
根据勾股定理的表达式可得：5² = 3² + b²25 = 9 + b²16 = b²b = √16b = 4所以，另一条边的长度为4cm。
二、三角函数除了勾股定理外，三角函数也是解直角三角形的重要方法。
在直角三角形中，正弦、余弦和正切是最常用的三角函数。
下面以解决两个常见的问题为例介绍三角函数的运用。
1. 已知一条边的长度和夹角，求解另一条边的长度：若直角三角形的一条边长为6cm，夹角为30°，求解另一条边的长度a。
根据正弦函数的定义可得：sin(30°) = a / 6a = 6 * sin(30°)a ≈ 3所以，另一条边的长度约为3cm。
2. 已知两条边的长度，求解夹角的大小：若直角三角形的两条边分别为4cm和7cm，求解夹角θ。
根据正弦函数的定义可得：sin(θ) = 4 / 7θ = arcsin(4 / 7)通过计算可得，θ约为42.48°。
解直角三角形的基本类型及解法
解直角三角形的基本类型及解法直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为直角（即90度）。
解直角三角形的基本类型及解法是初中数学中非常重要的一部分。
本文将详细介绍直角三角形的基本类型和解法，并给出一些例题。
一、基本类型直角三角形的基本类型包括三种情况：已知两条直角边，已知直角边和一条锐角边，已知一个直角边和一条直角边上的中线（中线一端是直角边，另一端平分对边）。
情况一：已知两条直角边此时可以直接用勾股定理进行计算。
勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它指出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即a² + b² = c²，其中a、b分别为直角边，c为斜边。
情况二：已知直角边和一条锐角边此时需要利用正弦定理、余弦定理或解直角三角形的“特殊三角形”。
正弦定理指出，对于任意三角形ABC，有sinA/a=sinB/b=sinC/c。
对于直角三角形ABC，可以得到sinA/a=sinB/b=1/c，即c=b/sinB。
余弦定理指出，对于任意三角形ABC，有a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC。
对于直角三角形ABC，可以得到a²=b²+c²，即代码中常见“a²+b²=c²” 的形式。
“特殊三角形”指的是30度-60度-90度和45度-45度-90度两种特殊情况。
这两种直角三角形的比例关系可以用解方程的方法求得。
30度-60度-90度三角形中，大边对应60度，小边对应30度，斜边对应90度。
而45度-45度-90度三角形中，两条直角边相等，斜边是直角边的根号二倍。
情况三：已知一个直角边和一条直角边上的中线因为中线是直角边的一半，此时可以利用勾股定理计算求出另一条直角边，然后按照情况一或情况二的方法来求解。
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专题训练(八) 解直角三角形常见的七种方法►方法一已知两边解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形．(1)b＝6，c＝2 2；(2)a＝4，b＝4 3.2．如图8－ZT－1，已知AD为△BAC的角平分线，且AD＝2，AC＝3，∠C＝90°，求BC的长及AB的长．图8－ZT－1►方法二已知一边和一个锐角解直角三角形3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)∠A＝60°，a＝6；(2)∠A＝30°，b＝10 3.4．已知：如图8－ZT －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长．(结果保留根号)图8－ZT －2► 方法三 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形5．2018·自贡改编如图8－ZT －3，在△ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，BC ＝12，tan A ＝34，∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．图8－ZT －36．如图8－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E .(1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值．图8－ZT －4►方法四“化斜为直法”解三角形7．如图8－ZT－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3.求AB的长．图8－ZT－58．如图8－ZT－6，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝22，tan A＝12，AC＝3 5.(1)求∠B的度数及AB的长；(2)求tan∠CDB的值．图8－ZT －6► 方法五 “参数法”解直角三角形9．2018·马鞍山一模如图8－ZT －7，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，E 是AB的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．图8－ZT －7► 方法六 “等角代换法”解直角三角形10．2018·当涂县六校联考如图8－ZT －8，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，相交于点O ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD 是锐角，BD ＝BC .求证：sin ∠BCD ＝BD AC.图8－ZT －8► 方法七 “等比代换法”解直角三角形11．如图8－ZT －9所示，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点B ，A ，与反比例函数的图象交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4，OE ＝2.(1)求该反比例函数的表达式；(2)求直线AB对应的函数表达式．图8－ZT－9教师详解详析1．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得a ＝c 2－b 2＝8－6＝ 2. ∵tan B ＝b a ＝62＝3，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.(2)∵在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.∵sin A ＝a c ＝48＝12，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.2．解：∵AD ＝2，AC ＝3，∠C ＝90°， ∴cos ∠CAD ＝AC AD ＝32，∴∠CAD ＝30°.∵AD 为△BAC 的角平分线， ∴∠BAC ＝2∠CAD ＝60°，∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝3×tan60°＝3×3＝3. ∵△ABC 是直角三角形，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝9＋3＝2 3.3．解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝6sin60°＝632＝4 3.∵sin B ＝bc，∴b ＝4 3×sin30°＝4 3×12＝2 3.(2)∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°. ∵tan A ＝ab，∴a ＝10 3×tan30°＝10 3×33＝10. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝10sin30°＝1012＝20.4．解：在Rt △ADC 中，∵sin ∠ADC ＝ACAD ，∴AD ＝AC sin ∠ADC ＝3sin60°＝2，∴BD ＝2AD ＝4. ∵tan ∠ADC ＝ACDC ，∴DC ＝AC tan ∠ADC ＝3tan60°＝1，∴BC ＝BD ＋DC ＝5.在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝2 7，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝2 7＋5＋ 3. 5．解：在Rt △BCH 中，∵BC ＝12，∠B ＝30°， ∴CH ＝12BC ＝6，BH ＝BC 2－CH 2＝6 3.在Rt △ACH 中，tan A ＝34＝CHAH ，∴AH ＝8，∴AC ＝AH 2＋CH 2＝10，6．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝45.又∵BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，∴BE ＝6×82×5＝245.在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD ＝2455＝2425.7．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3， ∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝3，答：AB 的长是3＋ 3.8．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .设CE ＝x .在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3，∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22，∴∠B ＝45°， ∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3，∴AB ＝AE ＋BE ＝9. (2)∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5， ∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2. 9．解：∵AC ⊥BD ， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32， ∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD＝2， ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝2 5x ＝2 5×25＝4 55.10．证明：如图，过点B 作AD 的垂线BE 交DA 的延长线于点E ，延长CB 与DA 交于点F .∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∠FBA ＝∠FDC ， ∴∠BCD ＋∠BAD ＝180°， ∠EAB ＝∠BCD .∵∠F ＝∠F ，∠FBA ＝∠FDC ， ∴△FBA ∽△FDC ，∴FB FD ＝F AFC ，∴FB F A ＝FD FC. ∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△F AC ，∴∠FDB ＝∠BCA . ∵∠BED ＝∠ABC ＝90°， ∴△BED ∽△ABC ，∴BD AC ＝BEAB＝sin ∠EAB ＝sin ∠BCD ， 即sin ∠BCD ＝BDAC.11．解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2， ∴EB ＝OB ＋OE ＝6. ∵tan ∠ABO ＝AO OB ＝12＝CEEB ，∴CE ＝3，AO ＝2，∴A (0，2)，B (4，0)，C (－2，3)． 设反比例函数的表达式为y ＝kx .∵点C 在反比例函数的图象上， ∴将点C (－2，3)代入，得k ＝－6， 即反比例函数的表达式为y ＝－6x.(2)设直线AB 对应的函数表达式为y ＝k 1x ＋b .将A (0，2)，B (4，0)代入y ＝k 1x ＋b ，可得b ＝2，k 1＝－12，∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝－12x ＋2.。