07指数和指数函数课件-高三数学一轮复习
解: 函数f (x)＝ax (a 0 ，且a
a2 1 .又 a 0， a 2 .
2
2
1
f (1) 2 2. 2
1) 的图象经过点P 2 ，1 ， 2
三、例题讲解
例1
化简:
1
1 2
4
3
4ab1
8
1 a 0 ，b 0 ___5_____ .
0.1 1 a3 b3 2
解:原式 2
23
3
a2
正数的负分数指数幂是a
m n
=
1
a > 0，m ，n∈N*，且n >1 .
n am
0 的正分数指数幂是0，0 的负分数指数幂无意义.
(4)有理指数幂的运算性质
ar as _____a_r+_s___ a 0，r ，s∈Q；
ar s _____a_r_s ___ a 0，r ，s∈Q；
指数和指数函数
高三年级 数学
一、知识梳理
1.指数与指数运算 （1）根式的概念
一般地，如果 xn = a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1 ，且n∈N* .
式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
a 的n 次方根的表示： xn = a ⇒ x = n a，n为奇数，且n∈N*n 1，
abr ____a_r_b_r ___ a 0，b 0，r∈Q .
2. 指数函数的图象与性质
定义 底数
函数y = ax a > 0，且a ≠1叫做指数函数.
a 1
0 a 1
图象
性质
函数的定义域为R，值域为 0，+∞
函数图象过定点 0，1 ，即x 0 时，y 1
当x 0时，恒有y 1 ；
a
0，1 2
1 的图象过点 4x 1
.
1 ， 3 10
，若 1 ≤ (x) ≤ 0， 6
解：
ƒ(x)
a
1 的图象过点 4x 1
1， 3 10
，
a 1 3 ，即a 1 .
5 10
2
11 ƒ(x) 2 4x 1.
1 ≤ ƒ(x) ≤ 0 ， 6
1≤ 6
4
1 x
1
1 ≤ 0. 2
1 3
1
5
7
3
(A)a 2 (B)a 6 (C)a 6 (D)a 2
解：由题意得 a2
2 1 1
a 23
7
a 6，故选C．
a 3 a2
二、双基自测
3．设a 30.7，b 1 3
0.8
，c log0.7 0.8 ，则a ，b，c 的大小关系为( D).
(A) a b c
(B) b a c
(C) b c a
(D) c a b
解：因为a 30.7 1 ，b 1 3
0.8
30.8 30.7 a ，c log0.7 0.8 log0.7 0.7 1 ，
所以c 1 a b .故选D.
二、双基自测
4．若函数f (x)＝ax (a 0 ，且a 1) 的图象经过点P 2 ，1 ，则f ( 1) ＝___2___ . 2
3
3
b2
3
8. 5
10 a 2 b 2
三、例题讲解
例2
1
已知a 2
1
a 2
3 ，求下列各式的值
．
①a a1
；②a2 a2
；③
a2 a
a2 1 a1 1
.
1
解:①将a 2
1
a 2
3 两边平方
，得a a1 2 9 ，所以a a1
7.
②将a a1 7 两边平方，得a2 a2 2 49 ，所以a2 a2 47.
区间 3 ，0 上的值域求错；二是 2
不分类讨论，直接认为f (x)是单调 递增函数．
三、例题讲解
例5 已知函数f(x)＝ax2＋2x + b(a ，b是常数，a 0 ，且a 1)在区间 3 ，0 2
x = n a(a 0) ，n为偶数，且n∈N*.
负数没有偶次方根.0 的任何次方根都是0 .
（2）根式的性质
①
na
n
=a
n >1
，且n∈N*
.
a ，n为奇数
②n an =
| a | = aa，，a≥a <0，0，n为偶数.
(3)分数指数幂
m
正数的正分数指数幂是a n = ____n_a_m____ a > 0 ，m ，n∈N*，且n >1 .
， 恒不为0 ，所以(a2 a 1 )0 有意义且等于1 ，所以B 正确 ；
4
3 x4 y3不能化简为x 3 y ，所以C 错误；
因为3 -5 0 ， 6 (-5)2 0 ，所以 3 -5 6 (-5)2，所以D 错误．
故选A，C，D．
二、双基自测
2．设a 0 ，将 a2 表示成分数指数幂，其结果是( C ). a 3 a2
③由①②可得
a2 a2 1 a a1 1
47 1 7 1
6.
三、例题讲解
例3 若函数f (x)＝a|2x4|(a 0 ，且a 1) 满足f (1) ＝1 ，则f (x) 的单调递减区间是( B ).
9
(A)( ， 2] (B)[2， ) (C)[2， )
(D) ， 2
解：由f (1) 1 得a2 1，
当x 0时，恒有0 y 1 ；
当x 0时，恒有0 y 1.
当x 0时，恒有y 1.
函数在定义域 R 上为增函数
函数在定义域 R 上为减函数
二、双基自测
1.(多选题)下列结论中不正确的是(
).
(A) n an a (B) 若a∈R，则 a2 a 1 0 1
4
(C) 3 x4 y3 x 3 y
(D) 3 -5 6 -5 2
1. (多选题)下列结论中不正确的是( ACD ).
(A) n an a (B) 若a∈R，则 a2 a 1 0 1
4
(C) 3 x4 y3 x 3 y
(D) 3 -5 6 -5 2
解：若n 是奇数，则n an＝a
；若n
是偶数，则n an
＝| a |
＝
a ，a≥0 -a ，a
9
9
a 0 ， a 1 .因此f (x) = (1)|2x4|. 设t | 2x 4 |，则有y (1)t .
3
3
3
y (1)t 为R上减函数， f (x)的减区间为t | 2x 4 | 的递增区间[2 ， ). 3
所以f (x)的单调递减区间是[2， )．
三、例题讲解
例4 已知函数ƒ(x) 则实数x 的取值范围是
≤
4
1 x
1
≤
1 2
.
2 ≤ 4x 1≤ 3.
即1≤ 4x ≤ 2， 0 ≤ x ≤ 1 . 2
三、例题讲解
例5 已知函数f (x)＝ax2＋2x + b(a ，b是常数，a 0 ，且a 1) 在区间 3 ，0 2
上有最大值3和最小值 5，试求a ，b 的值． 2
分析:本题易出现的错误有两 个，一是将二次函数t x2 2x 在
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指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
当 x＞0 时， 11 _y_＞___1__；
性质
当 x＜0 时， 12 __0_＜___y_＜__1_
当 x＜0 时， 13 ___y_＞__1__； 当 x＞0 时， 14 __0_＜__y__＜__1_
在(－∞，＋∞)上是 15增___函___数__ 在(－∞，＋∞)上是 16 _减__函___数__
C. x> y
D.13y<3－x
解析 由 4x－4y<5－x－5－y，得 4x－5－x<4y－5－y，令 f(x)＝4x－5－x，则 f(x)<f(y)．因
为 g(x)＝4x，h(x)＝－5－x 在 R 上都是增函数，所以 f(x)在 R 上是增函数，所以 x<y，
故 A 正确；因为 G(x)＝x－3 在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当 x<y<0 时，
1.010.6>1.010.5>1，即 b>a>1.因为函数 φ(x)＝0.6x 是减函数，且 0.5>0，所以 0.60.5<0.60
＝1，即 c<1.综上，b>a>c.故选 D.
解法二：因为函数 f(x)＝1.01x 是增函数，且 0.6>0.5，所以 1.010.6>1.010.5，即 b>a.
【课堂小结】2分钟
（1）根式注意被开方数和开方结果的范围 （2）利用指数函数的性质比较大小或解方程、 不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可 以借助中间量． （3）注意底数a范围的讨论
当堂训练（11分钟）
(4，＋∞) 4．0.25-12－(－2×160)2×(2-32)3＋3 2×(4-13)－1＝____3____．
高三第一轮复习指数及指数函数课件
THANKS
感谢观看
当 $a > 1$ 时，函数图像位于第 一象限和第四象限；当 $0 < a < 1$ 时，函数图像位于第一象 限和第二象限。
指数函数的过定点性质
无论 $a$ 的值是多少，函数图像 都会经过点 $(0,1)$。
指数函数的应用实例
01
02
03
复利计算
复利计算中，本金和利息 一起作为下一次的本金来 计算利息，可以使用指数 函数进行计算。
指数函数的图像与性质
指数函数的基本形式
$y = a^x$，其中 $a > 0$ 且 $a neq 1$
指数函数的单调性
当 $a > 1$ 时，函数在 $mathbf{R}$ 上单调递增；当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $mathbf{R}$ 上单调递减。
01 02 03 04
指数函数的图像特点
详细描述：提升练习题在基础练习题的基础上，增加了难度和综合性，旨在提高学生的解题能力和思维水平，帮助学生掌握 更复杂的问题解决技巧。
综合练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合练习题涉及的知识点更为广泛和深入，需要学生综合运用指数及指数函数的知识和其 他数学知识，解决复杂的问题。通过这类练习，可以提高学生的综合运用能力和问题解决能力。
复杂指数不等式的转化
将复杂的指数不等式转化为更容易处理的形式，如通过化简、分离 参数等手段。
指数函数与其他函数的综合应用
复合函数
理解复合函数的概念，掌 握如何将复合函数转化为 更简单的形式。
函数图像
理解指数函数图像的特点 ，掌握如何利用图像解决 一些实际问题。
导数与微积分
理解导数的概念和性质， 掌握如何利用导数研究函 数的单调性、极值等性质 。
指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
√B.0<a<1,0<b≤1
D.a>1,0<b≤1
若0<a<1，则函数y＝ax的图象如图所示， 要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上 平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或 －1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确； 若a>1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax －b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b >0，解得b<0，即C正确，D错误.
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为
√A.a＝b √C.a<b<0
√B.0<b<a
D.0<a<b
由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数 y＝3x和y＝6x的图象，如图所示， 由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A 正确； 作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确； 作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确； 当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误.
因为 f(－x)＝ee－－xx－＋11＝ee11xx－＋11＝11－＋eexx＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，故C正确；
因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1， 所以函数 y＝ex＋2 1是减函数，所以函数 y＝－ex＋2 1是增函数， 故 f(x)＝eexx－＋11＝1－ex＋2 1是增函数，故 D 不正确.
自主诊断
4.(2023·福州质检)3
幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
标轴没有公共点，则 f ( 2 )＝(
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
指数+课件-2025届高三数学一轮复习
16的4次方根有两个，为±2，故B正确；
负数没有偶次方根，故C错误；
x + y 2 是非负数，所以
x+y
2
= |x + y|,故D正确.
)
例1-2 ［教材链接题］已知a,b ∈ ，下列各式总能成立的有( B )
A.
3
a−b
4
3
=b−a
B.
4
C. a4 − b 4 = a − b
【解析】
3
a−b
3
【答案】 − = − =
− ,∴
− =
∴
+
− = − ,
−
− =
=
−
+−
=
−
=
−
,
,
故 − + �� − = − +
−
.
− × = ( − ) =
再将x + x −1 = 7平方并化简得x 2 + x −2 = 47,
3
2
x +x
3
−2
1
2
= x +x
1
−2
1
2
x−x ⋅x
3
2
1
−2
方和公式展开求解，也可由x + x
解）
从而
3
3
−
x2 +x 2 +2
x2 +x−2 +3
=
18+2
负数没有偶次方根，故C错误；
x + y 2 是非负数，所以
x+y
2
= |x + y|,故D正确.
)
例1-2 ［教材链接题］已知a,b ∈ ，下列各式总能成立的有( B )
A.
3
a−b
4
3
=b−a
B.
4
C. a4 − b 4 = a − b
【解析】
3
a−b
3
【答案】 − = − =
− ,∴
− =
∴
+
− = − ,
−
− =
=
−
+−
=
−
=
−
,
,
故 − + �� − = − +
−
.
− × = ( − ) =
再将x + x −1 = 7平方并化简得x 2 + x −2 = 47,
3
2
x +x
3
−2
1
2
= x +x
1
−2
1
2
x−x ⋅x
3
2
1
−2
方和公式展开求解，也可由x + x
解）
从而
3
3
−
x2 +x 2 +2
x2 +x−2 +3
=
18+2
高考数学理一轮复习 2-7指数与指数函数精品课件
[规律总结]
根式运算或根式与指数式混合运算时，将
根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统 一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结 果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母 又含有负指数.
备选例题1 计算：
解法二：可令 x＝ 5－2 6＋ 5＋2 6，则 x＞0. 两边平方得 x2 ＝ (5 － 2 6) ＋ (5 ＋ 2 6) ＋ 2 52－(2 6)2 ＝ 12.∴x＝2 3(x＞0)， 即 5－2 6＋ 5＋2 6 ＝2 3. 3 3 (2)令 x＝ 2＋ 5 ＋ 2－ 5 ，两边立方，得 3 3 3 3 x ＝ 2 ＋ 5 ＋ 2 － 5 ＋ 3· 2＋ 5 · 2－ 5 · ( 2＋ 5 ＋ 3 2－ 5)， 即 x3＝4－3x⇒x3＋3x－4＝0⇒(x－1)(x2＋x＋4)＝0， 3 3 2 x＝1(x ＋x＋4＝0，Δ＜0 无解)．∴ 2＋ 5 ＋ 2－ 5 ＝1.
第七节
指数与指数函数
知识自主· 梳理
1.理解分数指数幂的概念． 2．掌握有理指数幂的运算性质． 最新考纲 3．掌握指数函数的概念、图象和性质． 4．能够利用指数函数的性质解决某些简单的实 际问题． 1.以选择题或填空题的形式考查有关函数值的 求法、数值的计算或数值的大小比较问题． 高考热点 2．与函数性质、二次函数、方程、不等式等内 容结合，以综合题的形式出现.
1 例 1 已知 a＝9，b＝9.求： 3 7 3 －8 3 15 －3 (1) a2 a ÷ a ·a ； a－1＋b－1 (2) －1 . (ab)
解法二：利用运算性质解． － － － － a 1＋b 1 a 1 b 1 1 1 －1 ＝ －1 －1＋ －1 －1 ＝ －1＋ －1＝b＋a. (ab) a b a b b a 1 82 ∵a＝9，b＝9，∴a＋b＝ 9 .
一轮基础知识复习12、指数与指数函数课件
x
1 2
＋x
1 2
＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
3
3
x 2＋x 2＝(
1
x2
)3＋(
x
1 2
)3＝(
1
x2
＋ 1
x2
)(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.
∴
3
3
x2 x 2 3
x2 x 2
＝13.
总结：指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数
√A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
2
2
2
解析 a＝43 ，b＝45 ，c＝53 ，
∵y＝4x 在 R 上单调递增，23>52，
2
2
∴ 43 > 45 ，即a>b，
2
∵y＝ x 3 在(0，＋∞)上单调递增，4<5，
2
∴43
2
< 53
，即a<c.∴b<a<c.
例题3、若偶函数f (x)满足f (x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f (x－2)>0的解集为
√C.1<b<a
D.1<a<b
解析 ∵当x>0时，1<bx，∴b>1. ∵当 x>0 时，bx<ax，∴当 x>0 时，abx>1. ∴ab>1，∴a>b，∴1<b<a，故选 C.
指数与指数函数课件——2025届高三数学一轮复习
第7课时 指数与指数函数
第二章
函数的概念与性质
第7课时 指数与指数函数
第7课时 指数与指数函数
掌握根式与分数
通过实例，了解
指数幂的互化，
指数函数的实际
掌握指数幂的运
意义，会画指数
算性质.
函数的图象.
考试
要求
理解指数函数的单调性、特殊点等
性质，并能简单应用．
第7课时
第7课时指数与指数函数
指数与指数函数
[因为f (x)的图象过原点，所以f (0)＝a
核心考点
1
2
课时分层作业
+b的图象过原
3
4
(－2)＝________．
1 0
＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f
2
(x)
的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f (x)
＝－
1
2
＋1，所以f (－2)＝－
1 2
3
＋1＝ .]
小关系为(
)
A．f (cx)≥f (bx)
A
B．f (cx)≤f (bx)
C．f (cx)>f (bx)
D．f (cx)＝f (bx)
2
[根据题意，函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (x＋1)＝f (1－x)，则有 ＝1，即b＝2.
又由f (0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x.
若x<0，则cx<bx<1，而f (x)在(－∞，1)上单调递减，此时有f (bx)<f (cx)；
2
3
)
＜
3
4
2
3
2
3
为减函数，所以
第二章
函数的概念与性质
第7课时 指数与指数函数
第7课时 指数与指数函数
掌握根式与分数
通过实例，了解
指数幂的互化，
指数函数的实际
掌握指数幂的运
意义，会画指数
算性质.
函数的图象.
考试
要求
理解指数函数的单调性、特殊点等
性质，并能简单应用．
第7课时
第7课时指数与指数函数
指数与指数函数
[因为f (x)的图象过原点，所以f (0)＝a
核心考点
1
2
课时分层作业
+b的图象过原
3
4
(－2)＝________．
1 0
＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f
2
(x)
的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f (x)
＝－
1
2
＋1，所以f (－2)＝－
1 2
3
＋1＝ .]
小关系为(
)
A．f (cx)≥f (bx)
A
B．f (cx)≤f (bx)
C．f (cx)>f (bx)
D．f (cx)＝f (bx)
2
[根据题意，函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (x＋1)＝f (1－x)，则有 ＝1，即b＝2.
又由f (0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x.
若x<0，则cx<bx<1，而f (x)在(－∞，1)上单调递减，此时有f (bx)<f (cx)；
2
3
)
＜
3
4
2
3
2
3
为减函数，所以
指数与指数函数(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)
4 3
25
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得3 ⋅ 4 = 3+4 = 12 ≠ ，选项A错误；
对于B，8 = 2，故 = ± 8 2，选项B正确；
1
1
1
1
1
对于 C， + = 3， (2 + −2 )2 = + −1 + 2 = 3 + 2 = 5，因为 > 0，所以2 + −2 = 5，选项C错误；
立，
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，所以实数的取值范围是(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
考向典题讲解
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式4 − ⋅ 2 + 2 > 0，对于 ∈ (−∞, 3]恒成立，则实数
的取值范围是_________．
当 n 为偶数时， an＝|a|＝
－a，a<0.
n
考点知识梳理
2.分数指数幂
m
n
n
m
a
正数的正分数指数幂， a ＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).
1
m
n
m
n
1 (a>0，m，n∈N*，n>1).
a
正数的负分数指数幂，a ＝____＝
n m
a
0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂没有意义.
当() = 0时，e = ，结合图象可知，此时 < 0，所 > 0，则e > e0 = 1，所以 > 1，
故选：C．
）
考向典题讲解
指数与指数函数课件高三数学一轮复习
1
1
误;当 a>1 时,0< <1,平移距离小于 1,所以 B 错误;当 0<a<1 时, >1,平移距离大于
1,所以 C 错误,D 正确.
B
【解析】由题设知,∃x>0 使 x+a<e 成立,令 y=x+a,y1=e ,所以 x>0 时有 y1=e ∈(0,1),
-x
-x
而 y=x+a∈(a,+∞),所以当 a<1 时,∃x>0,使得 ex(x+a)<1 成立.
-x
B
1
【解析】当 a>1 时,如图①所示,使得两个函数图象有交点,需满足 ×22≥a2,即
2
1
1
1
2
2
2
1<a≤ 2;当 0<a<1 时,如图②所示,需满足 ×12≤a1,即 ≤a<1,综上可知,a∈[ ,1)∪
(1, 2].
B
【解析】指数函数
x
y=( ) 的图象位于
x 轴上方,据此可区分两函数图象.二次函数
y=|3x-1|的图象如图所示.故当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与 y=|3x-1|的图象有唯一的交
点,即函数 y=|3x-1|-k 有一个零点.
[变式2]若本例(4)的条件变为:若函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限,则实数m
的取值范围是
.
答案:(-∞,-1]
【解析】作出函数 y=|3x-1|+m 的图象如图所示.由图象知 m≤-1,即实数 m 的取值范
是
.
答案:(-∞,4]
1
误;当 a>1 时,0< <1,平移距离小于 1,所以 B 错误;当 0<a<1 时, >1,平移距离大于
1,所以 C 错误,D 正确.
B
【解析】由题设知,∃x>0 使 x+a<e 成立,令 y=x+a,y1=e ,所以 x>0 时有 y1=e ∈(0,1),
-x
-x
而 y=x+a∈(a,+∞),所以当 a<1 时,∃x>0,使得 ex(x+a)<1 成立.
-x
B
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【解析】当 a>1 时,如图①所示,使得两个函数图象有交点,需满足 ×22≥a2,即
2
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1
2
2
2
1<a≤ 2;当 0<a<1 时,如图②所示,需满足 ×12≤a1,即 ≤a<1,综上可知,a∈[ ,1)∪
(1, 2].
B
【解析】指数函数
x
y=( ) 的图象位于
x 轴上方,据此可区分两函数图象.二次函数
y=|3x-1|的图象如图所示.故当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与 y=|3x-1|的图象有唯一的交
点,即函数 y=|3x-1|-k 有一个零点.
[变式2]若本例(4)的条件变为:若函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限,则实数m
的取值范围是
.
答案:(-∞,-1]
【解析】作出函数 y=|3x-1|+m 的图象如图所示.由图象知 m≤-1,即实数 m 的取值范
是
.
答案:(-∞,4]