数学(冀教版)九年级上册同步练习：25.7 相似多边形和图形的位似

自我小测
基础巩固JICHU GONGGU
1．下列说法中，正确的是()
A．两个菱形一定相似B．两个正五边形一定相似
C．两个梯形一定相似D．两个等腰梯形一定相似
2．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是()
A．87°B．60°C．75°D．120°
3．若五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且AB＝20cm，A′B′＝16cm，则五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′的周长比为__________．
4．如图，△ABC与△DFE是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DF的长为__________．
5．已知两个相似六边形一组对应边的比是3∶5，如果它们的面积之差为80cm2，则较大的六边形的面积是__________．
6．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是__________．
7．如图，在△ABC内任意取一点O，连接OA，OB，OC，在OA，OB，OC上分别取点A′，B′，C′，使得A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，则△A′B′C′与△ABC是位似图形吗？为什么？
(第6题图) (第7题图)
能力提升NENGLI TISHENG
8．我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．
(1)选择：如图，点O 是等边三角形PQR 的中心，P′，Q′，R′分别是OP ，OQ ，OR 的中点，则△P′Q′R′与△PQR 是位似三角形．此时△P′Q′R′与△PQR 的位似比、位似中心分别为( )
A ．2，点P
B ．1
2
，点P
C ．2，点O
D ．1
2
，点O
(2)如图，用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形．阅读后证明相应问题．
画法：
①在△AOB 内画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上，点D 在OB 上；
②连接OE 并延长，交AB 于点E′，过点E′作E′C′∥EC ，交OA 于点C′，作E′D′∥ED ，交OB 于点D′；
③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB 的内接等边三角形． 求证：△C′D′E′是等边三角形．
9．如图：已知A(0，－2)，B(－2，1)，C(3，2)．
(1)求线段AB，BC，AC的长．
(2)把A，B，C三点的横坐标，纵坐标都乘以2，得到A′，B′，C′的坐标，求A′B′，B′C′，A′C′的长．
(3)△ABC与△A′B′C′的形状相同吗？
(4)△ABC与△A′B′C′是位似图形吗？若是，请指出位似中心和位似比．
参考答案
1．B 点拨：对应角相等，对应边成比例的两个多边形是相似多边形，对于菱形，各边对应成比例，但各角不一定对应相等，所以两个菱形不一定相似；对于两个梯形或两个等腰梯形，它们的各角不一定相等，各边也不一定成比例，所以选项C ，D 错误；只有正五边形同时满足这两个条件．
2．A 点拨：相似多边形的对应角相等．
3．5∶4 点拨：相似多边形的周长比就是对应边的比．
4．6 点拨：位似图形的对应线段的比等于位似比，AB DF ＝2
3
，DF ＝6.
5．125cm 2 点拨：因为两个相似六边形的相似比是3∶5，所以其面积比为9∶25，设较大的六边形面积为x cm 2，较小的六边形面积为(x －80)cm 2，列比例式解答即可．
6．(2，0)或⎝⎛⎭⎫－43，2
3 点拨：(1)当两个位似图形在位似中心O′同旁时，位似中心就是CF 与x 轴的交点，
设直线CF 解析式为y ＝kx ＋b ，将C(－4，2)，F(－1，1)代入，得⎩
⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝2，
－k ＋b ＝1，
解得⎩⎨⎧
k ＝－13
，
b ＝2
3，
即y ＝－13x ＋2
3
.
令y ＝0，得x ＝2，∴O′坐标是(2，0)．
②当位似中心O′在两个正方形之间时，可求直线OC 解析式为y ＝－1
2
x ，直线DE 解析
式为y ＝1
4x ＋1，联立⎩⎨⎧y ＝－1
2x ，
y ＝1
4x ＋1，
解得⎩⎨⎧x ＝－4
3，y ＝23，
即O′⎝⎛⎭⎫－43，23.
7．分析：△A′B′C′与△ABC 是位似图形要满足两个条件：对应顶点所在直线交于一点，两三角形相似．
解：∵A′B′∥AB ，∴∠A′B′O ＝∠ABO. ∵B′C′∥BC ，∴∠OB′C′＝∠OBC. ∴∠A′B′C′＝∠ABC. 同理，∠A′C′B′＝∠ACB ， ∴△A′B′C′∽△ABC.
又∵直线AA′，BB′，CC′都经过点O ， ∴△A′B′C′与△ABC 是位似图形．
8．分析：(1)根据中位线定理，可知△P′Q′R′∽△PQR ，且相似比是1∶2，所以位似比是1∶2，位似中心为点O.
∵△P′Q′R′∽△PQR ，且相似比是1∶2， ∴位似比是1∶2，位似中心为点O.故选D.
(2)根据作法，可知E′C′∥EC ，E′D′∥ED ，可证得△OCE ∽△OC′E′，△ODE ∽△OD′E′，根据相似可证对应边的比相等，对应角相等，即可根据对应边的比成比例且夹角相等的三角形相似，可证得△CDE ∽△C′D′E′，即可得结果．
解：(1)D
(2)因为EC ∥E′C′，所以∠CEO ＝∠C′E′O. 又∠COE ＝∠C′OE′，所以△OCE ∽△OC′E′. 所以CE C′E′＝OE
OE′
.
因为ED ∥E′D′，所以∠OED ＝∠OE′D′. 又∠DOE ＝∠D′OE′， 所以△ODE ∽△OD′E′.所以
ED E′D′＝OE
OE′
. 所以CE C′E′＝ED E′D′，∠CED ＝∠C′E′D′.
因为△CDE 是等边三角形， 所以CE ＝ED ，∠CED ＝60°. 所以C′E′＝E′D′，∠C′E′D′＝60°. 所以△C′E′D′是等边三角形．
9．解：(1)AB ＝13，BC ＝26，AC ＝5， (2)A′(0，－4)，B′(－4，2)，C′(6，4)， A′B′＝213，B′C′＝226，A′C′＝10. (3)∵
AB A′B′＝BC B′C′＝AC A′C′＝1
2
，∴△ABC ∽△A′B′C′，即此两个三角形形状相同． (4)△ABC 与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O ，位似比为1
2
.。