扩频通信第三章 伪随机编码理论

1 2 k
例题（验证差集）设n=7，k=3,λ=1，则在整数集
V ={0, 1 2, 3, 4, 5, 6} ,
中存在一个含有3个元素的子集 D = {1, 这个子集就具有差集的性质，因为
d1 − d 2 = 1 − 2 = −1 = 6 (mod7)
d1 − d 3 = 1 − 4 = −3 = 4 (mod 7) d 2 − d 3 = 2 − 4 = −2 = 5 (mod7)
当N为奇数时，上面定义的 i 号 N
{ai }
正是所谓的勒让德符
i为模N的平方剩余 为模N i 1 = N − 1 i为其它值
于是 因此，平方剩余序列又称为勒让德序列，简称L序列。
i ai = N
3.4 m序列 序列
一、线性反馈移位寄存器
3.2 伪随机编码的基本概念
（补充：游程：连续出现r个比特的同种元素叫做长度 为r比特的元素游程） 序列的自相关函数是一周期函数，且具有双值特性， 满足：
1 R( τ ) = k − N τ =0 τ ≠0 (mod N )
式中：N为二元序列的周期，又称码长或长度； k为小于N的整数；
{a k } = a0 a1 L a n −1 L
输出序列是一个周期序列
３. 举例
＋
c0 ＝1
an－1
an－2
an－３
an－４
输出 ak
假设初始状态为(an-４ an-３ an-2 an-1)＝ (1000)，其反馈逻辑为：
an −1 = an −3 ⊕ an − 4
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3、 m序列产生器 、 序列产生器 下图给出了产生m序列的线性反馈移位寄存器的一般结构图： 下图给出了产生 序列的线性反馈移位寄存器的一般结构图： 序列的线性反馈移位寄存器的一般结构图 1）、起始状态为： 0 a1 K an − 2 an −1 ）、起始状态为： ）、起始状态为 a 2）、 = c = 1 c0 n
τ码元延时。
3.2 伪随机编码的基本概念
作为扩频码的伪随机信号，应具有下列特点： (1) 伪随机信号必须具有尖锐的自相关函数，而互相关函 数值应接近零值； (2) 有足够长的码周期，以确保抗侦破和抗干扰的要求； (3) 码的数量足够多，用来作为独立的地址，以实现码分 多址的要求； (4) 工程上易于产生、加工、复制和控制。
i
1 若 α = − N ，则 {ai }为狭义伪随机码序列。
2、双值自相关码的产生：
有差集产生，即可以用构造差集的方法来构造 双值自相关码序列。
3、 差集的构建原理：
一个差集通常可用3个参数来表征：n，k和λ。 设有一个模v的整数集V ， V = {0, 1, 2, L, ν − 1} 存在一个含有k个元素的子集D，即 D = {d , d , L, d } 且di-dj(modv) i ≠ j 恰好遍取1，2，…，v-1各λ次，我们 把这样的整数集V的子集D，称为差集。
2, 4}
d 2 − d1 = 2 − 1 = 1 = 1 (mod7)
d 3 − d1 = 4 − 1 = 3 = 3 (mod7) d3 − d 2 = 4 − 2 = 2 = 2 (mod7)
可见D内各差恰好遍取1，2，3，4，5，6各1次 ，因 而是一个差集。
通常我们用n，k和λ这3个参数来表示一个差集，记 为 (ν, k, λ) 。 我们可以通过差集与双值自相关码的关系来构造双值 自相关码。方法： 对于给定的差集 (ν, k, λ) ，可以写出 V = {0, 1, 2, L ,ν − 1} D = {d1 , d 2 , L , d k } A = {a 0 , a1 , L , aν −1 } 令
an-1
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0
an-2
0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0
an-3
0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
an-4
1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1
输 出
4. 结论 线性移位寄存器的输出序列是一个周期系列 初始状态是０ 初始状态是０时，输出序列也是零； 输出序列也是零； 级数相同的线性移位寄存器的输出序列与寄存器的反 级数相同的线性移位寄存器的输出序列与寄存器的反 输出序列与寄存器的 馈逻辑有关 有关； 馈逻辑有关； 输出序列与初始状态有关； 输出序列与初始状态有关 序列周期p<＝ 为移位寄存器的级数） 序列周期 ＝2n-1（n为移位寄存器的级数）; （ 为移位寄存器的级数
N +k
k
N +k
k
i
i
ab
1 Rab ( τ ) = N
∑a b
i =1
N
i i+τ
若 Rab(τ ) = 0 ，则两码字正交。 长度为N的码序列{ai } 的自相关函数 R (τ) 定义为
a
1 Ra ( τ ) = N
∑a a
i =1 i
N
i+ τ
3.3.1 几个基本定义
计算自相关和互相关的另一种方法：
例题： 参照课本的64页。
3.3.3 狭义伪噪声序列
由n，k，λ所确定的差集D构成的伪随机码序 列，可能是广义的伪随机码序列，也可能是狭 义的伪随机码序列，要由具体的n，k，λ数值 来确定，当 ν + 1 = 4(k − λ ) 成立时，所得到的是 狭义伪随机码序列； 否则是广义伪随机码序 列。 介绍几种狭义伪随机码序列： 平方剩余码序列；双素数序列；霍尔序列；巴 克 码。 我们仅仅需要掌握平方剩余码序列
1、基本概念 、
确定序列： 确定序列：可以预先确定且能重复实现的序列。 随机序列： 随机序列：既不能预先确定也不能重复实现的序列，性能 与噪声性能类似（噪声序列）。 伪随机序列： 伪随机序列：貌似随机序列的确定序列（伪随机码、伪噪 声序列、ＰＮ码） 作用： 作用：误码率的测量、通信加密、数据序列的扰码和解码、 扩频通信等。
3.2 伪随机编码的基本概念
2、伪随机码的实现：
伪随机码都是周期码，可以人为的加以产生与复制。 通常用二进制移位寄存器产生。
3、工程上伪随机码的特点：
采用二元域{0，1}内的0和1的序列来表示伪随机码。 每一个周期内，0和1出现的次数近似相等，最后只 差一次。 在每一个周期内，长度为k比特的元素游程出现次数 比k+1比特的元素游程出现的次数多一倍。
平方剩余码序列
对于某个整数i是模N的平方剩余，是指存在某个与N互 为素数的整数i，使 i = a 2 (modN ) 有解。当 N = 4t −1 为一素 数(t为整数)时，模N的平方剩余构成一个差集。 例题： t = 3 N = 4t −1 =11 ，模11的平方剩余i = a2 (modN) ，
A− D A− D Rab ( τ ) = = A+ D N
Ra ( τ ) =
i
i+τ
A− D A− D = A+ D N
i +τ
A是码字{a } 和 {b }或者 {a }对应码元相同的数目(同为1或 同为0的数目)，D是对应码元不相同的数目。
伪随机码的具体定义： (1)若码序列{a } 的自相关函数具有
3.2 伪随机编码的基本概念
1、伪随机码定义以及特点：
定义：伪随机码又叫伪噪声码，简称PN码。简单 地说，伪随机码是一种具有类似白噪声性质的码。 特点：1）白噪声是一种随机过程；2）瞬时值服从 正态分布，功率谱在很宽的频带内均匀的；3）白 噪声具有优良的相关特性，但是至今无法实现。 工程上：只能用类似于白噪声统计特性的伪随机码 信号来逼近，并作为扩频通信系统的扩频码。
i
1 Ra ( τ ) = N
∑a a
i =1 i
N
i+τ
1 = 1 − N
τ = 0 (mod N ) τ ≠ 0 (mod N )
的形式，码序列 {a } 称为伪随机码，又称为狭义伪随 机码。 (2) 若码序列 {a } 的自相关函数具有
i i
τ = 0 (modN ) 1 1 N Ra (τ ) = ∑ ai ai+τ = N i=1 α < 1 τ ≠ 0 (modN )
的形式，码序列 {a } 称为广义伪随机码。 狭义伪随机码是广义伪随机码的特例。
i
3.3.2 双值自相关序列
1、定义： 如果一个码长为N的周期序列 {a } ，自相关函数满足
i
τ = 0 (modN) 1 Ra (τ) = α < 1 τ ≠ 0 (modN)
把具有双值自相关函数特性的序列 {a } 叫作双值自相关 序列。 根据前面伪随机码的定义，双值自相关序列属于广义 伪随机码序列。
3.3 伪随机编码的分类及构造原理
3.3.1 几个基本定义
讨论前提：仅限等长二进制码，即码字长度(周期)相等， {b } 且码元都是二元域的{-1，+1}元素。设 和{a } 是周期为 {b } b，码字 和 {a } =b a ，a = N的两个码序列，即 的互相 R (τ ) 关函数 定义为
i i
第三章 伪随机编码理论
3.1 有限域理论简介 3.2 伪随机编码的基本概念 3.3 伪随机编码的分类及构造原理 3.4 m序列 3.5 Gold序列 3.6 M序列 3.7 截短序列 3.8 其他扩频序列
3.1 有限域理论简介
自学（掌握的基本概念） 自封的或封闭； 有限域； 。。。。。。
3.1 有限域理论简介
a : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, i: 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1
1 即 { , 3, 4, 5, 9} 是n=11，k=5，λ=2的差集，于 是可写出对应的伪随机序列为 {−1, 1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, 1, −1} 它的自相关函数为
ci = 1表示此线接通，参与反馈；
ci = 0表示此线断开，不参与反馈；
＋ ＋ ＋
c 0＝1 1
c1 2
c2 n－1 a1
c n－1 n
c n＝1
a n－1
a n－2
a0
输出 a k
1）. 线性反馈移位寄存器的递推关系式 ） 线性反馈移位寄存器的递推关系式 递推关系式
an = C1an −1 ⊕ C2 an − 2 ⊕ C3 an −3 ⋅ ⋅ ⋅ ⊕Cn a0 = ∑i =1 Ci an −i
3.4.1 m序列的定义 序列的定义
1、m序列：由n级线性移位寄存器产生的最大周期的序列 、 序列： 级线性移位寄存器产生的最大周期的序列 序列 最大长度序列） 其周期为： （最大长度序列） ，其周期为：2n-1 （经历除全零外的所 有可能状态的） 有可能状态的） 反馈移位寄存器输出序列周期越长，越接近随机序列。 反馈移位寄存器输出序列周期越长，越接近随机序列。 周期越长 2、 m序列产生的条件 、 序列产生的条件 找到相应的反馈逻辑 若改变起始状态，只能改变 序列的起始相位 序列的起始相位， 若改变起始状态，只能改变m序列的起始相位，而周期序 列排序规律不变。 列排序规律不变。
在讲解m序列之前，首先讲讲回顾一下移位 寄存器的基本原理。 1、可由移位寄存器和反馈逻辑 移位寄存器和反馈逻辑产生。 移位寄存器和反馈逻辑
＋
c0 ＝1
an－1
an－2
an－３
an－４
输出 ak
图 线性反馈移位寄存器
正状态（状态）：各级移位寄存器的寄存数从右至左的顺 序排列（逆着移位脉冲的方向）。 由于带有反馈，因此在移位脉冲作用下，移位寄存器各级 的状态将不断变化 通常移位寄存器的最后一级做输出，输出序列为
, 则 A={ai ; i =0, 1, L ν −1} 就是一个双值自相关的广义伪随机 码，可以证明其自相关函数为
1 Ra ( τ ) = ν − 4(k − λ) ν τ = 0 (mod ν) τ ≠ 0 (mod ν)
+ 1 ai = 为一长度等于v的码，且 − 1 i∈ D i∉ D
τ = 0 (mod 11) 1 R(τ ) = 1 − 11 τ ≠ 0 (mod 11)
这样得到的伪随机序列，称为平方剩余序列或平方余数序列。
若 N = 4t −1 为素数，则存在一个周期为N的伪随机码 序列{a0，a1，…，aN-1}，其中，
i为模N的平方剩余 1 ai = − 1 i为其它值