12+高斯过程(正态过程)
高斯过程控制
高斯过程控制高斯过程控制（Gaussian Process Control，简称GPC）是一种基于高斯过程模型的控制方法，它在控制系统中具有广泛的应用。
本文将从高斯过程的基本原理、GPC的核心思想以及其在实际应用中的优势等方面进行介绍和探讨。
高斯过程是一种概率模型，常用于对连续函数进行建模和预测。
它的基本思想是将函数看作是一组随机变量的集合，这些随机变量服从多变量高斯分布。
通过观测已知数据点，可以利用高斯过程模型对未知数据点进行预测和估计。
高斯过程模型具有灵活性和鲁棒性，可以适用于各种不同类型的数据。
在控制系统中，GPC利用高斯过程模型来对系统的动态特性进行建模和预测，并根据预测结果来进行控制决策。
GPC的核心思想是通过不断地观测和学习系统的反馈信息，来优化控制策略，使系统能够实现预期的控制目标。
与传统的控制方法相比，GPC具有以下几个优势：1. 鲁棒性：由于高斯过程模型的灵活性，GPC对系统的建模误差和不确定性具有较强的鲁棒性。
即使在模型存在误差的情况下，GPC 仍能够通过不断地学习和调整来实现优化的控制效果。
2. 适应性：GPC能够根据实时的反馈信息对系统进行动态调整，以适应系统动态特性的变化。
这使得GPC在应对复杂、非线性系统时具有较好的适应性和性能。
3. 高效性：由于高斯过程模型的特性，GPC能够通过较少的观测点来进行预测和估计。
这使得GPC在实际应用中具有较高的计算效率和实时性。
在实际应用中，GPC广泛应用于各种控制领域，例如工业过程控制、自动驾驶、机器人控制等。
以工业过程控制为例，GPC可以通过对生产过程中的关键参数进行实时监测和控制，实现生产过程的优化和稳定。
GPC还可以与其他控制算法和方法相结合，以进一步提高控制系统的性能和效果。
例如，可以将GPC与模糊控制、神经网络控制等方法相结合，以实现更精确、更鲁棒的控制效果。
总结起来，高斯过程控制是一种基于高斯过程模型的控制方法，它通过对系统的动态特性进行建模和预测，来优化控制策略并实现预期的控制目标。
第4讲高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声
r(t) Acos (ct ) n(t)
其中：
(2.7.1)
Acos (ct )
---正弦载波:假定A、ωc为常数;θ为随机变量，其一维 pdf 均匀分布，即： f(θ)=1/(2π)， 0≤θ≤2π
n(t) nc (t) cosct ns (t) sin ct (t) c (t) cosct s (t)sin ct
(x) 1
x
ez2 / 2dz
2
(2.5.9)
则正态分布函数可表示为：
F (x) （ x a ）
(2.5.8)
通信原理
第2章 随机过程
xa
x
x
F(x) f (z)dz
1 exp[ (z a)2 ]dz 1
et2 / 2dt
2
2 2
2
（3) 用误差函数表示
正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。
通信原理
第2章 随机过程
2. 表达式－－两种！
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
c (t) cosct s (t)sinct
(2.6.1/2)
c (t)=a (t) cos (t) (t)的同相分量 s (t)=a (t) sin (t) (t)的正交分量
R c s (0)=0 , f (c ,s )=f (c ) f (s )
通信原理
第2章 随机过程
2.5.3 已知ξ(t)的统计特性，求 aξ(t)、φξ(t)的统计特性
结论2
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
若ξ(t)：均值为0、方差为δ2、窄带平稳高斯随机过程。
则：
（1）其包络aξ(t)的一维分布呈瑞利分布； （2）其相位φξ(t)的一维分布呈均匀分布； （3） aξ(t)与φξ(t)统计独立。
通信原理第3章(樊昌信第七版)
3.3.3 高斯随机变量
定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的 随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为
1
(x a)2
f (x)
2
exp
2 2
式中 a － 均值
2 － 方差
f (x) 1 2
曲线如右图：
o
a
x
7
性质
f (x)对称于直线 x = a，即
f a x f a x
1 1 xa
erf
2 2 2σ
式中
erf (x)
2
x 0
et
2
dt
－误差函数，可以查表求出其值。10
用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：
式中
F
(x)
1
1 2
erfc
x
a
2
erfc(x) 1 erf (x) 2 et2dt
x
当x > 2时，
erfc(x) 1 ex2 x
11
用Q函数表示正态分布函数：
➢ Q函数定义： Q(x) 1 et2 /2dt
2 x
➢ Q函数和erfc函数的关系：
Q(x)
1 2
erfc
x 2
erfc(x) 2Q( 2 x)
➢ Q函数和分布函数F(x)的关系：
F ( x)
1
1 2
erfc
x
a
2
1
Q
x
a
➢ Q函数值也可以从查表得到。
f (x) 1 2
f (x)dx 1
a
1
f (x)dx f (x)dx
Байду номын сангаас
随机过程-正态马尔可夫过程
所以， 是马尔可夫过程。 所以， ξ(t) 是马尔可夫过程。
例3.6
图示电路，输入为零均值平稳正态白噪声， 图示电路， 输入为零均值平稳正态白噪声，求
输出过程的特性。 输出过程的特性。
R
ξ(t)
C
η(t)
解：系统传递函数的模平方为
α2 H( jf ) = 2 α + (2π f )2
2
1 α 其中， 输入平稳正态白噪声， 1。 其中， = 。输入平稳正态白噪声，即Sξ ( f ) = 1。于 RC
2 n
设 a= C(1)/C(0)，由于 C(1) ≤C(0)，故|a|≤1 ，因此 ， ，
C(n) = anC(0)(n ≥ 0)
充分性：如果 C(n)/C(0)=an，设n=n1+n2，则 充分性：
C(n1) C(n2 ) C(n1)C(n2 ) C(n) = an1 an2 = ⇒ C(n) = C(0) C(0) C(0) C(0)
C(τ ) = eaτ C(0)
因为|C(τ)|<C(0)，故τ >0 时，a<0 ， 因为 充分性：如果 充分性：如果C(τ)=eaτC(0) ，则
C(τ + s) C(τ ) C(s) = ea(τ +s) = eaτ eas = C(0) C(0) C(0)
即
C(τ )C(s) C(τ + s) = C(0)
是输出为
α2 Sη ( f ) = H( jf ) Sξ ( f ) = 2 α + (2π f )2
2
由此可得
Rη (τ ) =
α
2
e
−α τ
由E{ξ(t)}=0得E{η(t)}=0 ，因此 得
高斯过程回归算法的原理与应用
高斯过程回归算法的原理与应用高斯过程回归(Gaussian Process Regression, GPR)是一种基于贝叶斯概率理论的非参数回归方法，具有优秀的预测能力和不确定性估计能力，近年来在机器学习和数据挖掘领域得到广泛应用。
本文将介绍高斯过程回归算法的原理和应用，并分析其优缺点。
一、高斯过程回归原理高斯过程(Gaussian Process, GP)是一种能描述随机变量之间的关系的方法，通常被用于回归和分类问题中。
高斯过程回归将所研究的现象看作是一个随机过程，并假设该随机过程服从一个高斯分布。
换言之，对于任意输入$x$，函数$f(x)$的取值服从一个以$f(x)$为均值、以$k(x,x')$为协方差矩阵的高斯分布，即：$$f(x) \sim \mathcal{N}(m(x), k(x,x'))$$其中$m(x)$为均值函数，$k(x,x')$为协方差函数。
协方差函数描述了$f(x)$和$f(x')$之间的相关性，通常使用一些特定的函数形式来表示，例如：1.线性函数：$k(x,x')=x^T x'$2.多项式函数：$k(x,x')=(x^T x' + c)^d$3.高斯核函数：$k(x,x')=exp(-||x-x'||^2/(2\sigma^2))$高斯核函数是高斯过程回归中最常用的协方差函数，它是基于欧几里得距离的指数衰减函数。
对于训练数据集$D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}$，我们可以根据高斯过程回归的原理计算出先验分布$p(f)$和后验分布$p(f|D)$，并得到对新数据点$x$的预测结果$f_*$和预测误差$\sigma_*^2$：$$p(f)=\mathcal{N}(m_0,k_0)$$$$p(f|D)=\mathcal{N}(m(x),\sigma^2(x))$$$$f_*=\mathbf{K}_*^T (\mathbf{K}+\sigma^2_n \mathbf{I})^{-1} \mathbf{y}$$$$\sigma_*^2=k(x,x)-\mathbf{K}_*^T (\mathbf{K}+\sigma^2_n \mathbf{I})^{-1} \mathbf{K}_*$$其中$\mathbf{K}$为$K_{ij}=k(x_i,x_j)$的矩阵形式，$\mathbf{y}=(y_1,y_2,...,y_n)^T$为训练数据的向量形式，$\mathbf{K}_*$为$k(x,x_i)$的向量形式，$\sigma_n^2$为噪声的方差，通常假设为常数。
通信原理重点知识总结
1. 离散信道容量
编码信道是一种离散信道，可以用离散信道的信道 容量来表征。
香农公式
对于带宽有限、平均功率有限的高斯白噪声连续信道，
可证，其信道容量为
S Ct Blog2 1 N (b/s)
信息熵定义
设：一个离散信源是由M个符号组成的集合，其中每个符号xi (i = 1, 2, 3, …, M)按一定的概率P(xi)独立出现，即
x1,
x2, , xM
Px1,
Px2,
,
PxM
且有
M
则x1 ,
x2,
x3,…i 1,
P( xM
x所i ) 包 1含的信息量分别为
l o g 2 P ( x 1 ) ， l o g 2 P ( x 2 ) ， ， l o g 2 P ( x M )
• 能量信号和功率信号的定义 • 广义平稳与严平稳的关系 • 高斯随机过程 • 高斯白噪声
能量信号和功率信号的定义
信号分成两类：
能量信号：能量等于一个有限正值， 但平均功率为0.
功率信号：平均功率是一个有限值， 但能量为无限大。
广义平稳与严平稳的关系
把同时满足（1）和（2）的过程定义为 广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程 必定是广义平稳的，反之不一定成立。
• 1.2 通信系统的一般模型
Terminal
信 源
MODEM
发送设备
PSTN
信道
MODEM
接收设备
Host
信 宿
•把各种 •对原始发信端号
消息转换 完成某种变
12高斯过程(正态过程)
yi
dyi
n i 1
exp{
1 2
vivi }
exp{
1 2
vT
v}
于是
Y (ν)
exp{
1 2
vT v}
x = Ly + a,
(x)
=
L
=
1
C2
(y)
X (ν) exp{ jaT v}Y (Lν)
exp{
jaT v}exp{
1 2
(Lv)T
Lv}
exp{
jaT v}exp{
2
v T LT Lv}
本次作业
P189
– 第5, 7练习题。
谢谢大家
exp
1 2
y
T F -1 y
等价定义 — 重要
X1, X 2 , , X n 为联合正态分布的
充分必要条件
a1, a2 ,
n
, an ak X k k 1
正态分布
8、n维高斯随机矢量各阶矩
一阶矩 二阶矩
EE[[XXkk
]]
11 jj
nn((vv1,1,
vvk k
vnv)n ) akak
]T
,
aTv
=
[a1TaT2
]
v1 v2
=
a1T v1
+
aT2 v2
n (v) exp
jaT
v
-
1 2
vTPv
exp
ja1T v1
+
aT2 v2
-
1 2
(v1TP11v1
+
v
T 2
P22
v
2
)
(v1)(v2 )
高斯过程分类方法
高斯过程分类方法
高斯过程（Gaussian Process，GP）是一种基于概率模型的非参数方法，常用于回归和分类问题。
以下是几种基于高斯过程的分类方法：
1. 基于最大边缘化（Maximum Marginal）的分类方法：对于二分类问题，通过对训练数据集进行最大边缘化（Maximum Marginalization）来得到分类器。
该方法需要先估计高斯过程的超参数，然后利用最大边缘化得到后验概率密度函数，再通过概率阈值判断分类结果。
2. 基于拉普拉斯近似（Laplace approximation）的分类方法：将高斯过程的先验概率密度函数通过拉普拉斯近似转化为一个近似的正态分布，然后利用训练数据集计算出后验概率密度函数的平均值和方差。
最终分类结果通过对后验概率密度函数的平均值应用概率阈值得到。
3. 基于期望传播（Expectation Propagation，EP）的分类方法：通过近似方法得到近似的高斯分布，然后利用期望传播算法进行高斯分布的近似，并使用近似的高斯分布来计算分类器。
以上是基于高斯过程的几种分类方法，具体应用时需要根据数据集的特征和需求灵活选择。
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T 1 -1 exp x - a C x - a 12 2 C
2
n2
f x
1
2
n2
T 1 -1 exp x - a C x - a 12 2 C
a1 x1 C11 C12 a x C C 2 2 21 22 a C x M L L M C C a x n 1 n2 n n
i 1
n
1
R1
2
1/ 2
1 2 exp - xi dxi 1 2
3、 n 维高斯联合概率密度
p x 1
2
n2
1 T -1 exp - (x - a) C (x - a) 12 2 C
Rn
p x dx 1
1 2
X ( ν ) exp{ ja v}Y (Lν )
T
exp{ ja T v}exp{ exp{ ja v}exp{
T
1 2 1 2
(Lv)T Lv} v L Lv}
1 2 T
T T
X (ν) exp{ ja v - v Cv}
T
5、多维高斯随机矢量的边沿分布 T X [ X1，X 2， L ，X n ]
为什么？ n边形n个内角之和等于(n-2)180度 n边形n个外角之和等于360度
3、 n维高斯联合概率密度
先看n元完全独立标准高斯随机变量
p x
1
2
n2
1 T -1 exp - (x - a) C (x - a) 12 2 C
n 1 1 a 0, C In 2 exp x d x i n n 2 R 2 2 k 1
r1 2 1 1 2 2 C 2 2 1 2 (1 r ) r1 2 1
2 2
2、二维高斯分布的矩阵形式
x1 引入：x x2
2
a1 a a2
2
x1 a1 x2 a2 ( x2 a2 ) 1 ( x1 a1 ) 2r 2 2 2 1 r 1 2 1 2
(x - a) C (x - a)
T -1
2、二维高斯分布的矩阵形式
于是： 于是： 1 T T 11 1 1 -1 p( x ) exp ( x a) C (x a ) p exp ( x a ) C ( x a ) X 2 1/ 2 1/ 2 ( 2 C |C| 2 （ 2) |） 2
L L L L
C1n C2 n L Cnn
C ji Cij E X t a j j X ti ai i, j 1, 2, L , n
2、高斯过程的重要性
广泛性
– 中心极限定理：大量独立的，均匀微小的随 机变量总和近似地服从高斯分布 – 例如，无线电设备中的热噪声（前置放大 器）、通信信道中噪声信号、大气湍流、宇 宙噪声、维纳过程（布朗运动）等等
jvx
特别地
1 1 2 p( x) exp x 2 2 1 2 ( ) exp v 2
2、二维高斯（正态）分布
p( x1 , x2 ) 1 2 1 2 1 r 2 exp
2 2 ( x1 a1 ) ( x1 a1 ) ( x2 a2 ) ( x2 a2 ) 1 2r 2 2 2 1 2 2 2(1 r ) 1 1 2 2 2 2 ( 1 , 2 ) exp j (a1v1 a2v2 ) ( 1 v1 2r 1 2v1v2 2 v2 ) 2
p x
1
2
n2
1 T -1 exp - (x - a) C (x - a) 12 2 C
n
p x 0, x R ;
R
n
p x dx 1
【补充】 陈省身“ 好数学”
三角形三个内角之和等于180度
三角形三个外角之和等于360度
数学优点
– 二阶矩、广义平稳与狭义平稳等价，高斯随 机过程通过线性系统还是高斯随机过程
二、多维高斯随机变量
一维高斯（正态）分布 二维高斯（正态）分布
n维高斯（正态）分布
1、一维高斯（正态）分布
1 ( x a) 2 1 p ( x) exp 2 2 2 1 2 2 ( ) e p( x)dx exp jav v 2 1 jvx p( x) e ( )dv 2
p ( x) 1 ( x a) 2 1 exp 2 2 2
与一元高斯分布相比，可以推 测n元高斯分布的形式
3、 n维高斯联合概率密度
L ，X n 均值 n维高斯随机变量 X1，X 2，
矢量 a ，且它的协方差矩阵 C 是 正定矩阵，则概率密度函数为：
在数学中：以高斯命名的有
高斯公式、高斯曲率、高斯分布、
高斯方程、高斯曲线、高斯平面、 高斯记号、高斯概率、高斯变换、 高斯分解、高斯和、高斯素数、高 斯级数、高斯系数、高斯准则、高 斯原理、高斯消元法、高斯映射、 高斯测度、高斯二次型、高斯多项 式、高斯不等式、高斯随机过程、 高斯随机变量……等等.
3、n维高斯联合概率密度
协方差矩阵C为对称正定的，根据矩阵论定 理，存在可逆线性变换Ｌ，可以对角化，也即：
C = LL
线性变换
雅可比：
-1
T
y = L (x - a) x = Ly + a
1 (x) T 1 T 2 = L = C (x - a) C (x - a) y y (y)
6、不相关＝独立
L ，X n 互不相关， n维高斯随机变量 X1，X 2，
则协方差矩阵为对角矩阵，于是
|C|
1/ 2
i
i 1
n
2 n ( x a ) 1 1 T -1 i i exp (x - a) C (x - a) exp 2 i 2 i 1 2
第12讲
高斯随机过程
北京航空航天大学 主讲人：张有光 电话：82314978，F806
高斯 — 数学王子
他的思想深入数学、
空间、大自然的奥 秘.……他推动了数 学的进展直到下个 世纪。 数学是科学的皇后 1777～1855 德国
拉普拉斯认为：高斯是世界上最伟大的数学家
主要贡献
数据拟合中最小二乘法 正态分布公式
1 T T ( v ) exp ja v v Cv 2
子矢量
[ X k1，X k 2， L ，X km ] m n
T
1 T T (vk 1 , vk 2 , L , vkm ) exp jak v k - v k Ck v k 2 1 T p ( xk 1 , xk 2 , L , xkm ) exp( j v （v k ）d v k k x k ) m R m (2 ) 1 1 T -1 exp ( x a ) C (x a ) k k k k k m/2 1/ 2 (2 ) | Ck | 2
T
n 2
1 exp jvi yi yi yi dyi R 2 i 1 n 1 1 T exp{ vi vi } exp{ v v} 2 2 i 1
n
1 2
于是 Y ( ν) exp{ v v}
1 2 T
(x) x = Ly + a, = L = C (y)
标准化可得：
1 2 2 p( x1 , x2 ) exp ( x1 2rx1 x2 x2 ) 2 2 2 1 r 2(1 r ) 1 2 2 ( ) exp (v1 2rv1v2 v2 ) 2 1
1 1 2 2 p( x1 , x2 ) exp ( x1 x2 ) 2 2 1 2 2 ( ) exp (v1 v2 ) 2
n2
1
n2
1
2
1 T L exp y y dy L dy 1 n 2
1
4、n 维高斯分布－特征函数
1 T T ( ) exp ja v v Cv 2
p x 1
2
n2
1 T 1 exp (x - a) C (x - a) 12 2 C
和高斯曲线 代数基本定理：多项式解的存在性 对数论、复变函数、椭圆函数、超几 何级数、统计数学等各个领域都有卓 越的贡献 第一个成功地运用复数和复平面几何
《算术探究》奠定了近代数论的基础
《一般曲面论》开创了近代微分几何；
最先领悟到存在非欧几何的数学家 现代数学分析学大师，《无穷极数的 一般研究》，引入了高斯级数的概念， 对级数的收敛性第一次作了系统的研 究，从而开创了关于级数收敛性研究 的新时代，开辟了通往19世纪中叶分 析学的严密化道路。
特别地 r=0
n维联合分布？
( v 2r1 2v1v2 v )
2 2 1 1 2 2 2 2
r 1 2
2 1Байду номын сангаас
2
r 1 2 2 2
C
2
( x1 a1 ) ( x2 a2 ) ( x2 a2 ) 1 ( x1 a1 ) 2r 2 2 2 (1 r ) 1 1 2 2