7-2平稳过程-相关函数的谱分解bak
定义平稳过程课件
自动回归整合移动平均模型（ARIMA）
该模型在ARMA模型的基础上引入了差分项，以处理非平稳时间序列数据。
季节性自动回归整合移动平均模型（SARIMA）
该模型在ARIMA模型的基础上引入了季节性因素，以处理具有季节性影响的时间序列数 据。
气候变化数据
01
气候变化数据也是一种常见的平 稳时间序列数据。这等。
02
通过对气候变化数据的分析，可 以了解气候变化的趋势和模式， 进而做出更明智的环境保护决策 和气候应对措施。
其他时间序列数据
其他常见的时间序列数据包括电力消耗数据 、交通流量数据、销售数据等。
平稳过程的判断方法
方法一
观察均值和方差是否随时间变化。如果均值和方差在任何时间点上都保持恒定 ，那么该过程是平稳的。
方法二
使用样本均值和方差。计算样本均值和方差，并观察它们是否随时间变化。如 果样本均值和方差在任何时间点上都保持恒定，那么该过程是平稳的。
平稳过程的实际应用
应用一
在金融领域，平稳过程被用于建模股 票价格的波动。通过使用平稳过程， 可以更好地理解股票价格的波动性和 风险。
计系统状态的目的。
小波变换滤波方法
利用小波变换的方法，将信号分 解成不同的频率成分，并对不同 频率成分进行滤波处理，以达到
信号处理的目的。
05
平稳过程的实例分析
股票价格数据
股票价格数据是一种常见的平稳时间 序列数据。这些数据通常记录了股票 价格的变动，例如每天的收盘价、最 高价、最低价等。
VS
平稳时间序列数据的分析对于股票市 场分析和预测非常重要。通过对股票 价格数据的分析，可以了解股票市场 的趋势和波动性，进而做出更明智的 投资决策。
常见平稳过程及相应谱密度计算过程
常见平稳过程及相应谱密度计算过程常见平稳过程及相应谱密度计算过程平稳过程是指随机过程的统计特性在时间推移下不发生变化的一类随机过程。
在许多工程和科学领域，平稳过程是非常常见的。
另外，谱密度也是在许多领域中用于分析信号和系统特性的重要工具。
在本文中，我们将介绍几种常见的平稳过程及对应的谱密度计算方法。
1.白噪声过程白噪声过程是指均值为零且具有常数功率谱密度的随机过程。
其谱密度为常数，表示该随机过程在所有频率上均有相同的能量分布，从而说明信号在所有频率上均匀分布。
其计算公式为：$$S_{xx}=N_0$$其中，$S_{xx}$是该过程的功率谱密度，$N_0$是噪声的谱密度。
2.布朗运动过程布朗运动是一种在物理学和金融学中常见的平稳过程。
它被定义为一个随机游走过程，其中每个步骤都是随机的，但总体趋势向前移动。
布朗运动可以用以下随机微分方程描述：$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中，$X_t$是在时间$t$的位置，$\mu$是平均漂移率，$\sigma$是扩散系数，$W_t$是布朗运动的随机因素。
布朗运动的功率谱密度为：$$S_{xx}=\frac{2\sigma^2}{\omega^2}$$其中，$\omega$是频率。
3.自回归过程自回归过程是一种用于时间序列分析的平稳过程。
它被描述为前一时间点的值与当前时间点的值之间的线性关系。
自回归过程可以表示为以下形式：$$X_t=\sum_{i=1}^{p}a_iX_{t-i}+e_t$$其中，$X_t$表示在时间$t$的值，$a_i$表示自回归系数，$e_t$是误差项。
自回归过程的功率谱密度可以用以下公式计算：$$S_{xx}=\frac{\sigma_e^2}{1-\sum_{i=1}^{p}a_i e^{-j\omega i}}$$其中，$\sigma_e^2$是误差项的方差。
4.滑动平均过程滑动平均过程是一种用于时间序列分析的平稳过程，它表示为随机误差项的加权和。
第七章_平稳过程
1 T →∞ 2T lim
因此 lim
−T
∫ Γ(τ )dτ = lim ∫ Φ T (w)dF (w) = F (0+) − F (0)
T →∞ −∞
1 T →∞ 2T
T
−T
∫ Γ(τ )dτ = 0 ⇔ F (w) 在 w = 0 处连续。
5
定理 7.5.2：设 X (t ),−∞ < t < ∞ 为实的均方连续的平稳过程，则均值具有遍历性，
第七章 平稳过程
7.1 定义与例子 定义 7.1.1：随机过程 X (t ), t ∈ T 称为严平稳过程(strictly stationary process)若对任 意 n 及 t1 < t 2 < L < t n ∈ T ， 任 意 h ， 随 机 向 量
( X (t1 ),L X (t n ) )
2
(ergodicity)，也称为遍历性。设 X (t ),−∞ < t < ∞ 为实的平稳过程， EX (t ) = m ，
相关函数为 R(τ ) ，协方差函数为 Γ(τ ) 。 定 义 7.5.1 ： 若 limΒιβλιοθήκη 1 T →∞ 2TT
−T
∫ X (t )dt = m
， 则 称 均 值 具 有 遍 历 性 ； 若
______ ______________ ______ _________
2)
X n = ∑θ i ε n −i ， 则 X n 是 一 个 平 稳 序 列 。 因 为 EX n = 0 ，
i =1
K
EX n X n + m
⎧ 2 K ⎪σ (∑θ iθ m + i ), m ≤ K − 1; 。 =⎨ i =1 ⎪ 0, m ≥ K . ⎩
平稳过程公式自协方差函数自相关函数的计算公式
平稳过程公式自协方差函数自相关函数的计算公式为了计算平稳过程的自协方差函数和自相关函数，我们首先需要了解平稳过程、协方差函数和自相关函数的定义和计算方法。
一、平稳过程的定义在时间序列分析中，平稳过程指的是具有稳定统计特性的随机过程。
简单来说，平稳过程是指整个时间序列的统计分布在不同时刻不发生明显变化的过程。
二、协方差函数的定义和计算公式协方差函数用来衡量两个随机变量之间的线性关系程度。
对于平稳过程，协方差函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。
对于平稳过程{X(t)}，其协方差函数γ(k)定义为：γ(k) = Cov(X(t), X(t+k))其中，Cov表示协方差的计算，k表示时间间隔。
根据简单的平均值计算公式，协方差函数的计算公式为：γ(k) = E[(X(t)-μ)(X(t+k)-μ)]其中，E表示期望操作，μ表示随机变量X(t)的均值。
三、自相关函数的定义和计算公式自相关函数用来衡量一个随机过程在不同时刻的相关性。
对于平稳过程，自相关函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。
自相关函数ρ(k)定义为：ρ(k) = Co v(X(t), X(t+k)) / Var(X(t))其中，Cov和Var分别表示协方差和方差。
根据协方差函数和方差的定义，自相关函数的计算公式为：ρ(k) = γ(k) / γ(0)其中，γ(k)表示协方差函数。
四、总结通过以上的论述，我们可以得出平稳过程的自协方差函数和自相关函数的计算公式：自协方差函数：γ(k) = Cov(X(t), X(t+k))自相关函数：ρ(k) = γ(k) / γ(0)需要注意的是，在实际计算中，协方差函数和自相关函数通常只计算一部分的值，比如只计算前几个滞后阶数的值，以节省计算时间和资源。
总而言之，平稳过程的自协方差函数和自相关函数提供了衡量序列内在关系的重要指标，对于分析时间序列的特征和预测未来数值具有重要作用。
正确理解和计算这些函数的公式是进行时间序列分析的基础。
随机过程-平稳过程
FX () S（） , d X
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对平稳时间序列有相类似的结果.
设X={Xn, n=0, ±1, ±2,…}是平稳时间序列,则其 相关函数可以表示为 1 jm R（m） X e dFX (), m 0, 1, () 2
1 t T s( )s( )d T t
只与 有关系.
所以X是平稳过程.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例2 对复随机过程 Z t=Xt +jYt 若mZ(t)是复常数， RZ(t,t+τ )=RZ(τ ),则称 Z={Zt, -∞<t<+ ∞}为复平稳过程. 设Ak和ω k分别是实随机变量和实常数(k=1,2…,n),
随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解定理551是均方连续的平稳过程则其相关函数可以表示为上非负有界单调不减右连续且f随机过程西安电子科技大学数学系冯海林所以f是某个随机变量w的特征函数即存在分布函数g随机过程西安电子科技大学数学系冯海林随机过程西安电子科技大学数学系冯海林称函数f为平稳过程x相关函数的谱展开式或谱分解式
k 1
E[Ak ]=0时，上式与t无关.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
R（t , t ) E[Zt Z t ] Z E[ Ak e jk t Ak e jk ( t ) ]
k 1 k 1 n n
= E[ Ak Al ]e j (l k )t e jl
令
Zt Ak e
k 1
n
jk t
平稳过程的谱密度
,
RX
(
)
1
2
2019/5/14
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RX ( )
GX ()
2 /(a2 2)
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20
引理3.1 傅立叶变换及其逆变换具有下列 性质：
（i）线性性质 当 k1, k2 是常数时，
F k1R1( ) k2R2( ) k1F R1( ) k2F R2( )
，它是 x 的复合函数。对任意一个连续函
数 f x ， x-x0 必定满足
f
x
x-x0 dx
f
x0
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15
下面对这个公式作一个直观解释：设 x0 0
由积分中值定理推得：
f x xdx
2019/5/14
5
赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数 RX (m) 满
足 RX (m) 时， SX () m
存在（即上述傅立叶级数收敛） ，且相关函数
RX
(m)
1
2
S
X
()eind,
m
0,
1,
2,…….
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6
例3.11 设 Xn , n 0、1、 2，……
从定义
S XY
()
lim
T
1 2T
E{FX
(,T )FY (,T )}
和施瓦茨不等式
|
S XY
() |2
lim
T
1 2T
E[ FX
(,
T
)
随机数学 第12讲 第七章平稳过程的谱分析(1)
简称谱密度。
2 即有： Ψ X =
求期望,再求极限，得随机过程的平均功率：
T →+∞
⎧ 1 lim E ⎨ ⎩ 2T
∫
T
−T
1 2 ⎫ 1 +∞ X 2 (t )dt ⎬ = ∫ lim E FX (ω , T ) dω ⎭ 2π −∞ T →+∞ 2T
1 +∞ S (ω )dω 2π ∫− ∞ X
性质2 S X (ω )是 ω的实的、非负的函数，对于实平稳过程，
S X (ω )还是偶函数.
注2： 由于
若X ( t ) 是实平稳过程，则S (ω ) 为偶函数.
S X (ω ) = ∫
+∞ −∞
RX (τ ) e − iωτ dτ
+∞ −∞
证明： 由定义 S (ω ) = Tlim 2T E FX (ω , T ) →+∞
+∞
−∞
X T2 (t )dt =
T −T
∫
T
−T
X 2 (t )dt =
1 +∞ 2 FX (ω , T ) dω. 2π ∫−∞
1 2T
∫
X 2 (t )dt =
1 +∞ 1 2 FX (ω , T ) dω. 2π ∫−∞ 2T
⎧ 1 T 2 ⎫ ⎬ ∫ X (t )dt ⎭ 称为X(t)的平均功率， ⎩ 2T −T 1 2 S X (ω ) = lim E FX (ω , T ) 称为X(t)的功率谱密度， T →+∞ 2T
lim 1 2 Fx (ω , T ) 为 x(t) 的功率谱密度 2T
称
T →+∞
称上面的等式 为 x(t) 的平均功率的谱表达式。 下面，讨论随机过程X(t)的平均功率及谱表达式
7第七章平稳过程谱分析(上)
方法2:留数定理的利用 方法 留数定理的利用
1 RX (τ ) = 2π
+∞
w2 + 4 jwτ ∫ w4 + 10w + 9e dw −∞
2
1 w +4 jw|τ | = {2π j 2 e |w = j + 2π ( w + 9)( w + j ) w +4 jw|τ | 2π j e |w = 3 j } 2 ( w + 3 j )( w + 1) 3 −|τ | 5 −3|τ | = e + e 16 48
0
1
∞
例 题2： 平稳随机过程 X t ) = A cos( w0 t + θ ), 其中 A, w0 （ 为常数， θ 在（0，π ）上均匀分布，求 X t )的功率谱密度。 2 （ 解： R X (τ ) = E{[ A cos( w0 t + θ ) A cos[ w0 (t + τ ) + θ ]} =∫
1 ∫ [ x(t )] dt = 2π −∞
2 ∞ ∞ −∞
∫
Fx ( w) dw
2
其中, Fx ( w) 称为能谱密度 能谱密度 证明: +∞
1 2 x (t )dt = ∫ x(t )[ Fx ( w)e jwt dw]dt ∫ ∫ 2π −∞ −∞ −∞ 1 = ∫ Fx ( w)[ x(t )e jwt dt ]dw ∫ 2π −∞ −∞ =
例题1：平稳随机过程X (t )的谱密度为： w2 S x ( w) = 4 , 2 w + 10 w + 9 求平均功率E[ X 2 (t )].
1 ∞ 解：Ψ = E[ X (t )] = ∫−∞ S X (w)dw 2π 1 ∞ w2 + 4 = ∫−∞ w4 + 10w + 9 dw 2π
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7.4 线性系统中的平稳过程
本节论述实平稳过程输入到线性系统得到 的输出仍为平稳过程，从而利用输入的自 相关函数、自谱密度去确定输出的自相关 函数和自谱密度，并确定输入和输出的互 相关函数和互谱密度．
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卢
设系统的输入随机过程 X（ t），相应的输出 为随机过程Y（t），系统记为L（.），则有
输出Y（t），称为系统L对输入X（t）的响 应
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定义： 设 Y1 (t ) L[ X1 (t )], Y2 (t ) L[ X 2 (t )] ， c1 和 c2 为常数，若有
L c1 X1 (t ) c2 X 2 (t ) c1Y1 (t ) c2Y2 (t )
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设系统为稳定的、物理上可实现的线性时不变系统。 { X (t ), t 是平稳过程系统的输出是随机 } 输入 过程
Y ( ) H (i ) X ( )
Y (t ) X (t )* h(t ) h(t )* X (t )
频率响应函数
其中
[am (i )m am1 (i)m1 a1 (i)1 a0 ] H (i ) [bn (i )n bn1 (i)n1 b1 (i)1 b0 ]
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定理：设平稳过程 X (t )t R 的普密度函数满足
S X () 0 并且在 | | c 时，S X ( ) 当 | | 时，
c
满足Dirichlet条件，即在 | | 内只有有限个
c
第一类间断点或极值点。则 T c
时，便有
sin[c (t nT )] X (t ) X (nT ) c (t nT )
即若令
ˆ (t ) X (nT ) sin[c (t nT )] X c (t nT )
则
2 ˆ E | X (t ) X (t ) | 0
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则有 Y ( ) H (i ) X ( )
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频率响应 函数
卢
Y () H (i) X ()
当输入是脉冲 X (t ) (t ) ，记脉冲响应为h(t)
由于 F [ (t )] (t )eit dt 1
所以 H (i) F[h(t )]
采样定理
定理：设 F () 是x(t)的傅立叶变换，如果满足
x
当 | | 时，F () 0, 并且在| | c 时， Fx ()
c
x
满足Dirichlet条件，即在 | | 内只有有限个
c
第一类间断点或极值点。则 T c
时，便有
sin[c (t nT )] x(t ) x(nT ) c (t nT )
则称L为线性系统。 定义： 如果对任意T有 L[ X (t T )] Y (t T ) 则称系统L为时不变系统。
，
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工程中很多时不变线性系统，输入X （ t） 和输出 Y （ t ）的关系可常用常系数线性均 方微分方程来描述：
d nY (t ) d n1Y (t ) dY (t ) bn bn 1 b1 b0Y (t ) n n 1 dt dt dt d m X (t ) d m1 X (t ) dX (t ) am am1 a1 a0 X (t ) m m 1 dt dt dt
为脉冲响应的傅立叶变换
线性系统的频率响应函数 H (i ) 和脉冲响应函 数h（t）是一对傅氏变换：
H (i ) F[h(t )]
h(t ) F
1
h(t )e
it
dt
it
1 [ H (i )] 2
H () H (i) X ()
由卷积定理得
Y (t ) X (t )* h(t ) h(t )* X (t )
Y (t )
X (t )h( )d X ( )h(t )d
0 0
由此可知，线性时不变系统的输出Y（t） 是输入X（t）和系统脉冲响应函数h（t）的 卷积。
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物理上可实现的系统的一个限制是输入出 现以前不能有输出，这就意味着脉冲响应 函数应符合条件 h(t ) 0, t 0
系统是稳定的
h(t ) dt
Y (t )
X (t )h( )d X ( )h(t )d
0 0
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两边取傅氏变换
F[ x '(t )] iFx ()
[bn (i )n bn1 (i ) n1
b1 (i )1 b0 ]Y ( ) a1 (i )1 a0 ] X ( )
[am (i )m am1 (i ) m1
[am (i )m am1 (i)m1 a1 (i)1 a0 ] 令 H (i) [bn (i )n bn1 (i)n1 b1 (i)1 b0 ]
h(t)为脉冲X (t ) (t ) 响应
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证略
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证明：
d nY (t ) d n1Y (t ) bn bn 1 n n 1 dt dt
dY (t ) b1 b0Y (t ) dt dX (t ) a1 a0 X (t ) dt
d m X (t ) d m1 X (t ) am am1 m m 1 dt dt
卢
线性系统输出的均值、自相关函数和自谱密度
设系统为稳定的、物理上可实现的线性时不变系统。 { X (t ), t 是平稳过程系统的输出是随机 } 输入 过程
Y (t ) X (t )h( )d , t .