导数高三数学一轮复习习题

第 课时 导 数 ( 1 )

教学目标:

教学重点: 教学难点: 学情分析:

教学过程:

知识点梳理：

1．常用函数的导数：

(x α

)′＝ (

x

1

)′＝ )′＝ (sinx )′＝ (cosx )′＝ (x

e )′＝ (lnx )′＝ (x

a )′＝ (log a x )′＝ 2．导数的运算法则：若f (x )、g (x )有导数， 则 [f (x )±g (x )]′＝f (x )′±g (x ) ′ [c ·f (x )]′＝c ·f ′(x )

[f (x )·g (x )]′＝

)()()()()()()(2///

x g x g x f x g x f x g x f -=??

?

??? 3．复合函数的求导法则：若y ＝f (u )，u ＝g (x )，则x y '＝u y '·x u ' 4．函数的单调性：

'()f x ＞0?f (x )单调 '()f x ＜0?f (x )单调

注: f (x )单调递增?'()f x 特例：f (x )＝x 3

'()f x ≥0 ? f (x )单调递增 反例：f (x )＝c ( 常数)

但f (x )不是常函数，且 '()f x ≥0 ? f (x )单调递增 (1)求函数单调区间的方法:

①求导数; ②解不等式 得增区间， 得减区间. (2)勿忘定义域，不等式难解时可观察得'()=0f x 的根再分析， 如'()=1ln f x x x -+

5．求切线的方程:

(1) 函数()f x 在点P 处的切线: P 在()f x 上，P________切点. (2) 函数()f x 过点P 的切线: P 不一定在()f x 上，P________切点. 函数x

y e =过点(0，0)的切线方程为___________①

函数x y e =在点(0，1)处的切线方程为___________② 函数ln y x =在点(1，0)处的切线方程为___________③ 函数ln y x =过点(0，0)的切线方程为___________④ 由图象直观可知: (1) x

e ex ≥; (2) ___________;

(3) ___________ ; (4) ___________

这四个不等式是等价的:

(1) x

e ex ≥e

???→同除以1

x e

x -≥1x x

+→???

→(2) ??→ln(1)x x ≥+1x x

-→???→ (3)

??

→ln(e )x x ≤x x e

→???→(4) 题型一 求切线的方程:

例1 (2) 函数3

()f x x =在点A(1，1)处的切线方程是 ;

函数3

()f x x =过点A(1，1)处的切线方程是

(3) 过点P(3，a)作3

2

()31f x x x =--的切线有3条，求实数a 的取值范围.

(4) 已知两曲线f (x )＝2sin x ，g (x )＝a cos x ，x ∈???

?0，π

2相交于点P . 若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．

x

y 1

1

① ② ③

④

(5) 若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A. 1 B. 2 C.

2

2

D. 3 (6) (多选题)若函数f (x )＝e x －1与g (x )＝ax 的图像恰有一个公共点，则实数a 可能取值为( )

A. 2

B. 1

C. 0

D. －1 小结:

题型二 求函数的单调性

例2 (1) 求函数f (x )＝1

2x 2＋e x －x e x 的单调区间．

(2) 已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x ，试讨论f (x )的单调性．

变式 若本例中函数变为f (x )＝ e x (e x －a )－a 2x . 试讨论f (x )的单调性．

(3) 求函数f (x )＝ln x ＋ax ＋a －1

x

－3(a ∈R )的单调增区间． 小结:

题型三 已知函数的单调性求参数的值或取值范围. 例3 已知函数f (x )＝x 3－ax －b ，

（1）若f (x )在R 上为增函数，则实数a ∈ ．

（2）若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数a ∈ ．

（3）若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，则实数a ∈ ．

（4）若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，则实数a ∈ ．

（5）若f (x )在区间(－1,1)上不单调，则实数a ∈ ．

6. 熟练掌握三次函数3

2

()f x ax bx cx d =+++的图象特征：

"()620()3b f x ax b x f x a =+=?=-

?关于点,())33b b f a a

--（对称. 小结:

x

x

a>0有极值 '()f x 的0?> a>0无极值

'()f x 的0?≤ x

x

a ＜0有极值

'()f x 的0?> a ＜0无极值

'()f x 的0?≤

题型四 利用函数的单调性解不等式.

例4 (1) 已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1

e ，对任意实数

都有f (x )－f ′(x )>0，设函数F (x )＝f (x )e x ，则不等式F (x )<1e 2

的解集为( )

A. (－∞，1)

B. (1，＋∞)

C. (1，e)

D. (e ，＋∞)

(2)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则 f (x )>2x ＋4的解集为_____．

(3)已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底，则满足f (x )＜0的x 的取值范围为________．

7. 利用导数条件构造函数的常见情形:

(1)'()()+()'()f x g x f x g x >0 构造函数:()()()h x f x g x = (2)'()()()'()f x g x f x g x ->0 构造函数: (3)'()()xf x f x ->0 构造函数: (4)'()()f x f x ->0 构造函数: (5)'()f x >m 构造函数: (6)'()+()f x f x >0 构造函数: (7)'()+()f x f x >m 构造函数: (8)

1212

()()

f x f x m x x ->-

(一) [填空题] '()f x m ≥

(二) [解答题] 不妨设12x x >，则1122()()f x mx f x mx ->-

∴ 函数()()g x f x mx =-单调递增

∴ ()()0g x f x m =-≥‘

’ ∴ '()f x m ≥ 小结:

教学反思:

第课时导数(2 )

教学目标:

教学重点:

教学难点:

学情分析:

教学过程:

知识点梳理：

1. 判断f(x0)是极值的方法: 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧单调________，右侧单调________，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧单调________，右侧单调________，那么f(x0)是极小值．

2. 求可导函数极值的步骤

f x；②求方程________的根；

①求'()

f x在根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个

③检查'()

根处取得________；

如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________. 这个根称为极值点．

可导函数在极值点导数为____，但导数为____的点未必是极值点，如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．

3.函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件:如果函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值．

4.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；

②将函数y＝f(x)的各极值与_______比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

5. 能作几个重要函数的图象 (1) ln y x x = (2) ln x y x =

(3) ln x

y x

= (4) x

y xe = (5) x e y x = (6) x x

y e

=

题型一 求函数的极值

例1 (1) 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，

则a －b ＝________.

(2) 已知函数3

()1f x ax bx =++，当且仅当1,1=-=x x 时，)(x f 取得极值，并且极大值比极小值大4. 求常数b a ,的值及)(x f 的极值.

小结:

y O

1 1e

1e

-y

O 1 e

1e

x

y

O

y

O

x

y

O

1- 1e

-x

y

O 1

e

题型二 求函数的最值

例2 (1) 求函数2

1()ln(1)4

f x x x =+-在[0，2]上的最大值和最小值.

(2) 设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x ＞0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线 y ＝－1

2相切， (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )在????1e ，e 上的最大值．

(3) 已知函数f (x )＝ax －e x (a ＞0)．

(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )在[1,2]上的最大值． 小结:

题型三 函数极值(最值)的应用 例3 (1) 已知函数f (x )＝

23

x 3＋x 2

＋ax ＋1在(－1,0)上有两个极值点， 则实数a 的取值范围是________．

(2) 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋c ，是否存在实数a 、c ，使f (x )在 [－1，2]上取得最大值3，最小值－29？ 若存在，求出a 、c 的值，若不存在，请说明理由． 小结:

题型四 恒成立问题

例4 (1) 已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈????

12，2恒成立，则a 的最大值为________．

(2) 已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式x e x <1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k

的取值范围为________．

小结: 教学反思:

导数综合题选讲

1.设直线l 与曲线C 1：y ＝e x 与C 2：y ＝－1

e

x 均相切，切点分别为

A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝________.

2. x>0时，x

2

ae x ≥恒成立，则a ∈ .

3. (2018全国I 理) 讨论函数()1

ln f x x a x x

=-+的单调性.

4.已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )

A. 4f (1)

B. 4f (1)>f (2)

C. f (1)<4f (2)

D. f (1)>4f (2)

5. (多选题)若函数f (x )＝2x 3－ax 2(a ＜0)在????

a 2，a ＋63上有最大值，则a

的取值可能为( )

A. －6

B. －5

C. －4

D. －3

6. (2015山东)设函数2

()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈． 讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由.

7.已知函数)(,)1(ln )(R k x k x x f ∈--=，若对任意],[2

e e x ∈，都有x x

f ln 4)(<成立，求实数k 的范围.

8.已知函数f (x )＝e x 2－x ln x . 求证：当x ＞0时，f (x )＜x e x ＋1

e .