式与方程

式与方程

知识点复习

一、用字母表示数

1、用字母表示数的意义和作用

用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，也可以表示运算的结果。

2、用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式

（1）常见的数量关系

①路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系：

s=vt、v=s/t、t=s

②总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系:

a=bc、b=a/c、c=a/b

（2）运算定律和性质

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：（ab)c=a(bc)

乘法分配律：（a+b)c=ac+bc

减法的性质：a-(b+c) =a-b-c

（3）用字母表示几何形体的公式

①长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用C表示，面积用S表示：

C=2(a+b)、S=ab

②正方形的边长a用表示，周长用C表示，面积用S表示：

C=4a、S=a2

③平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用S表示：

S=ah

④三角形的底用a表示，高用h表示，面积用S表示：

s=ah/2

⑤梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位线用m表示，面积用 S表示：

S=(a+b)h/2 、S=mh

⑥圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用C表示，面积用S表示：

C=πd=2πr 、 S=πr2

扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用S表示：S=πnr2/360

⑦长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用S表示，体积用V 表示：

h、V=abh

C=4（a+b+c）、 S=2(ab+ah+bh)、 V=S

底

⑧正方体的棱长用a表示，底面周长C用表示，表面积用S表示，体积用V表示： C=12a、S=6a2 、V=a3

⑨圆柱的高用h表示，底面半径用r表示、直径用d表示，底面周长用C表示，

表面积用S表示，体积用V表示：

C=πd=2πr、S

侧=Ch、S

底

=πr2、S=S

侧

+2S

底

=Ch+πr2、V=S

底

h=πr2h

⑩圆锥的高用h表示，底面半径用r表示、底面积用S表示，体积用V表示： V=Sh/3=πr2h/3

3、用字母表示数的写法

①数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。

②当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。

③在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。

用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。

4、将数值代入式子求值

把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。

同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。

二、简易方程

1、方程和方程的解、解方程

方程：含有未知数的等式叫做方程。注意：

①方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可；

②方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

三、比和比例

1、比的意义和性质

（1）比的意义

两个数相除又叫做两个数的比。

“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

比的后项不能是零。

根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

比除法分数

联系3 ：2 = 1.5

┇┇┇┇

前比后比

项号项值

3 ÷ 2 = 1.5

┇┇┇┇

被除除商

除号数

数

分子 (3)

分数线…——=1.5

分母… 2 ┇

分数值

区别表示两个数的关系是一种运算是一种数

（2）比的性质

比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

（3）求比值和化简比

求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

（4）比例尺

图上距离：实际距离=比例尺

要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。

线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

（5）按比例分配

在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

2、比例的意义和性质

（1）比例的意义： a:b=c：d

表示两个比相等的式子叫做比例，即a:b=c：d，其中bd≠0；

组成比例的四个数，叫做比例的项，即a、b、c、d；

两端的两项叫做外项（即a、d），中间的两项叫做内项（即b、c）。

（2）比例的性质

在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积，即ad=bc，这叫做比例的基本性质。

（3）解比例

根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。

3、正比例和反比例

（1）成正比例的量

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示y/x=k(一定）

（2）成反比例的量

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k(一定)

（3）正比例和反比例的比较

正比例反比例

相同点1、都有两种相关联的量；2、一种量随着另一种量变化。

不同点1、一种量扩大或缩小，另一

种量也扩大或缩小。（变化方

向相同）

2、相对应的两个数的比值

（商）是一定的。

1、一种量扩大或缩小，另一种量反

而缩小或扩大。（变化方向相反）

2、相对应的两个数的积是一定的。

巩固练习

一、填空：

1、一种贺卡的单价是a元，小英买了5张这样的贺卡，用去元；小明

买n张这样的贺卡，付出10元，应找回元。

2、比m的8倍少n的一半是；温度由10℃上升t℃是

3、三个连续偶数，中间一个是m，另外两个分别是和。

4、四年级同学订《中国少年报》120份，比五年级多订x份，

120-x表示，

每份《中国少年报》a元，120a表示，

（120 －x)a表。

5、某校排练团体操，有108男生和84名女生参加，如果男生和女生都排成每行 a人，男生比女生多排几行用含有字母的式子表示是或

二、下面的式子，哪些是方程？哪些不是方程，为什么？

①4

5

－x＜

1

5

②x＋

1

2

＝4 ③2x－5.6 ④

7

6

＋1.2x＝48

三、判断题：

1、含有未知数的式子叫方程（）

2、n表示自然数，2n就可以表示偶数（）

3、因为22=2×2，所以a2=a×2 （）

4、56－X＜0.7不是方程（）

5、c +c=2c，a×a=2a （）

四、选择题：

1、x=25是（）方程的解。

A、100÷x=4

B、x÷12.5=3

C、25+3x=90

2、一辆摩托车t小时行s千米，a小时行（）千米。

A 、as t

B 、s at

C 、at s

3、7＋x 15

是以15为分母的最简真分数，则x 可取的自然数有（ ）个。 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2

4、△代表一个不为0的自然数。那么，得数最大的是（ ）

A 、△× 45

B 、 △÷45

C 、45

÷△ 五、填表：

服装公司用公式C ＝10＋12n 计算成本费。C 表示成本费，n 表示做一件服装所需时间。试根据公式填写下表：

n （小时） 2 3.5 4.2

C (元)

六、解方程：

①7.8×3x =3.6 ②x ÷1.98=0.4 ③（4.5－x ）×0.375=0.75

④12 x ＋23 x ＝14 ⑤x －0.52 x ＝3.2×0.15 ⑥12

x ＋25％＝10

七、列方程计算： 1、一个数乘以2，加上3，减5得数是52，这个数是多少？

2、一个数的8倍加上30的23

的36，这个数是多少？

3、54减去某数的4倍等于6，求这个数。

4、一个数的35

加上16的和是28，求某数。

5、一个数的15 比它的16

多60，这个数是多少？ 6、125减去一个数的23

，差是5，这个数是多少？

7、根据下面的条件，找出数量间的相等关系。

①某班男生人数比女生人数多7人。

②小明买来4副乒乓球拍和12个乒乓球，共付128元。

③参加美术活动小组的女生比男生的2倍还多7人。

④两根同样长的铁丝，一根围成正方形，一根围成圆。

巩固练习详解

一、填空：

1、一种贺卡的单价是a 元，小英买了5张这样的贺卡，用去 5a 元；小明 买n 张这样的贺卡，付出10元，应找回 10-an 元。

2、比m 的8倍少n 的一半是 2

8n m ；温度由10℃上升t ℃是 （10+t ）℃ 。 3、三个连续偶数，中间一个是m ，另外两个分别是 m-2 和 m+2 。

4、四年级同学订《中国少年报》120份，比五年级多订x 份，

120-x 表示 五年级订的《中国少年报》份数 ，

每份 《中国少年报》a 元，120a 表示 四年级订 《中国少年报》 的总钱数 ， （120 －x)a 表 五年级订 《中国少年报》 的总钱数 。

6、某校排练团体操，有108男生和84名女生参加，如果男生和女生都排成每行

a 人，男生比女生多排几行用含有字母的式子表示是 108÷a-84÷a 或 24a 。

二、下面的式子，哪些是方程？哪些不是方程，为什么？

①45 －x ＜15 ②x ＋12 ＝4 ③2x －5.6 ④76

＋1.2x ＝48 【详解】②、④是方程，满足方程的定义，含未知数x ，同时是等式；①、③不是方程，不满足等式的条件。

三、判断题：

1、含有未知数的式子叫方程 （ × ）必须同时满足等式这个条件

2、n 表示自然数，2n 就可以表示偶数 （ √ ）

3、因为22=2×2，所以a 2=a ×2 （ × ）a 2表示两个a 相乘，所以a 2=a ×a

4、56－X ＜0.7不是方程 （ √ ）

6、c +c=2c ，a ×a=2a （ × ）a 2表示两个a 相乘，所以a 2=a ×a

四、选择题：

1、x=25是（ A ）方程的解。

A 、100÷x=4

B 、x ÷12.5=3

C 、25+3x=90

2、一辆摩托车t 小时行s 千米，a 小时行（ A ）千米。

A 、as t

B 、s at

C 、at s

3、7＋x 15

是以15为分母的最简真分数，则x 可取的自然数有（ A ）个。 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2

【详解】15=3×5，所以7+x 不能有约数3、5，同时不能大于15，所以x=0、1、 4、6、7，选A

4、△代表一个不为0的自然数。那么，得数最大的是（ B ）

A 、△× 45

B 、 △÷45

C 、45

÷△ 【详解】 △÷45 =4

5△，所以B ＞A ；而△代表一个不为0的自然数，所以△最 小为1，此时B ＞C ；随着△的变大，C 的值会越来越小，所以无论△ 表示多少，B 的值最大。

五、填表：

服装公司用公式C ＝10＋12n 计算成本费。C 表示成本费，n 表示做一件服装所需时间。试根据公式填写下表：

n （小时） 2 3.5 4.2

C (元) 34 52 60.4

六、解方程： ①7.8×3x =3.6 ②x ÷1.98=0.4 ③（4.5－x ）×0.375=0.75 23.4x=3.6 x=0.4×1.98 4.5-x=2

x=13

2 x=0.792 x=2.5 ④12 x ＋2

3 x ＝1

4 ⑤x －0.52 x ＝3.2×0.1

5 ⑥12

x ＋25％＝10 6

7x=14 0.48x=0.48 12 x=9.75 x=12 x=1 x=19.5

七、列方程计算：

1、一个数乘以2，加上3，减5得数是52，这个数是多少？

解：设这个数是x ，根据题意列方程

2x+3-5=52

2x=54

x=27

答：这个数是27。

2、一个数的8倍加上30的23

的36，这个数是多少？ 解：设这个数是x ，根据题意列方程

8x+30×23

=36 8x=16

x=2

答：这个数是2。

3、54减去某数的4倍等于6，求这个数。

解：设这个数是x ，根据题意列方程

54-4x=6

4x=48

x=12

答：这个数是12。

4、一个数的35

加上16的和是28，求某数。 解：设这个数是x ，根据题意列方程

35

x+16=28 35

x=12 x=20

答：这个数是20。

5、一个数的15 比它的16

多60，这个数是多少？ 解：设这个数是x ，根据题意列方程

15 x- 16

x=60

30

1x=60 x=1800

答：这个数是1800。

6、125减去一个数的2

3

，差是5，这个数是多少？

解：设这个数是x，根据题意列方程

125- 2

3

x=5

2

3

x=120

x=180

答：这个数是180。

7、根据下面的条件，找出数量间的相等关系。

①某班男生人数比女生人数多7人。

答：男生人数-女生人数=7人

②小明买来4副乒乓球拍和12个乒乓球，共付128元。答：4×每副乒乓球拍的价钱+12×每个乒乓球的价钱=128 ③参加美术活动小组的女生比男生的2倍还多7人。

答：女生人数-2×男生人数=7人

④两根同样长的铁丝，一根围成正方形，一根围成圆。答：正方形边长×4=2π×圆的半径=π×圆的直径