正弦型函数图像高考题

7.3.2 正弦型函数的图像

第七章三角函数7．3.2 正弦型函数的图像1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义．2.能借助图像理解参数ω，φ，A的含义，了解参数变化对函数图像的影响．3．会求y＝A sin(ωx＋φ)的参数，如周期，定义域，最大、最小值．4.通过学习，提高学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．(一)教材梳理填空1．正弦型函数的定义：一般地，形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，称为正弦型函数，其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0.2．φ，ω，A对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响3．正弦型函数的性质(1)一般地，正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)的定义域为R ，值域为[－|A |，|A |]，周期是T ＝2π|ω|，而且函数的图像可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到． (2)正弦型函数中的常数A ，ω，φ的实际意义：|A |称为振幅；φ称为初相；周期T ＝2π|ω|，f ＝1T ＝|ω|2π称为频率．(二)基本知能小试 1．判断正误(1)“五点法”只能作函数y ＝sin x 的图像，而不能作函数y ＝sin(x ＋φ)的图像. ( )(2)利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，“ωx ＋φ”依次取0，π2，π，3π2，2π五个值．( )(3)将y ＝sin x 的图像上的点的横坐标伸长到原来的3倍就得到y ＝sin 3x 的图像．( )答案：(1)× (2)√ (3)×2.函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1的最小正周期为( ) A. π2 B.π C ．2π D.4π答案：B3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像，只要将y ＝sin x 的图像( ) A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向上平移π4个单位D.向下平移π4个单位解析：选B 将y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像． 4．函数f (x )＝－8sin 3x 为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D.非奇非偶函数解析：选A 由于f (－x )＝－8sin 3(－x )＝8sin 3x ＝－f (x )，所以此函数为奇函数．第一课时正弦型函数的图像题型一 “五点法”作正弦型函数的图像[学透用活][典例1] 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图像．[解] 令t ＝x 2＋π6，列表如下：[方法技巧]用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像的步骤第一步：列表第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像．[对点练清]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像只可能是( )解析：选B 当x ＝0时，y ＝A sin φ＞0，排除C 、D ；另外，由－π2＜ωx ＋φ＜π2得到其中一个单调增区间为⎝⎛⎭⎫－π＋2φ2ω，π－2φ2ω，结合图像，排除A ，故选B.2．用五点法作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，并指出函数的单调区间．解：(1)列表：(2)描点．(3)连线．用光滑的曲线顺次连接各点，如图所示为该函数在一个周期内的图像，将图像左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R 内的图像．可见在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上递减，又因为函数的周期为π，所以函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．同理，递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．题型二正弦型函数的图像变换[学透用活]对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的系数A ，ω，φ的三点说明 (1)A 越大，函数图像的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图像的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图像向左平移，φ小于0时，函数图像向右平移，即“左加右减”． [典例2] (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像是由函数y ＝sin x 的图像通过怎样的变换得到的？(2)说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像是由y ＝sin x 的图像经过怎样变换得到的． [解] (1)法一：法二：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)[法一先伸缩后平移][法二先平移后伸缩][方法技巧]由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的步骤[提醒] 确定函数y ＝sin x 的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x ”而言．[对点练清]1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只要将函数y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以将函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π6个单位长度，就可得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像． 2．把函数y ＝f (x )的图像向左平移π4个单位长度，然后再把所得图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图像，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B.y ＝cos 2x C ．y ＝－cos 2xD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选C 将函数y ＝sin x 的图像上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin 2x 的图像，再将所得图像向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图像．故选C.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．用五点法作y ＝2sin 2x 的图像时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB.0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD.0，π4，π3，π2，2π3解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π，得x ＝0，π4，π2，3π4，π.2．把y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位长度，得到的图像的解析式为( )A ．y ＝－cos xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D.y ＝cos x解析：选D y ＝sin x ――――→向左平移π2个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x . 3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图像，只要将函数y ＝sin x2的图像( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D.向右平移2π3个单位解析：选C 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝sin 12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，所以将函数y ＝sin x 2的图像向左平移2π3个单位即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图像．4．将函数y ＝sin 3x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得到函数________的图像．解析：将函数y ＝sin 3x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得，函数y ＝sin(3×3x )＝sin 9x 的图像.答案：y ＝sin 9x 二、创新应用题5．已知函数f (x )的图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图像沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图像与y ＝12sin x 的图像相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，三、易错防范题6．为了得到y ＝sin 12x 的图像，只需要将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图像( ) A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析：选C ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6＝sin 12⎝⎛⎭⎫x －π3，∴将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图像向左平移π3个单位，可得y ＝sin 12x 的图像． [易错矫正] 本题中有三个易错点：①审题不清，没有弄清楚哪一个函数图像移动变换得另一个函数图像．②平移方向上应该是“左加右减”．③平移的单位长度由于忽视了x 的系数导致错误．解决本类题目谨记平移只是针对x 而言的．[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．函数y ＝3sin 3x 的图像可看作是由y ＝sin x 的图像按下列哪种变换得到( ) A ．横坐标不变，纵坐标变为原来的13倍B ．横坐标变为原来的13倍，纵坐标变为原来的3倍C ．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍D ．横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的13倍解析：选B2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32＜0，排除B 、D.当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C ，故选A.4．用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝3π2，则x 2＋x 4等于( )A.π2 B ．π C.3π2D.2π解析：选C 由五点法作图原理知，x 2－x 1＝x 3－x 2＝x 4－x 3＝x 5－x 4＝T4，故x 1与x 5的中点是x 3, x 2与x 4的中点是x 3，所以x 2＋x 4＝2x 3＝x 1＋x 5＝3π2.5．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图像向右平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图像向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图像，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图像． 6．将函数y ＝sin x 的图像的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图像向右平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为________________．解析：y ＝sin x ―――――――――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标伸长到原来的3倍y ＝3sin x 3―――――→向右平移3个单位长度y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤13(x －3)＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －1. 答案：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －1 7．某同学给出了以下结论：①将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度，得到y ＝－sin x 的图像； ②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度，得到y ＝sin(x ＋2)的图像； ③将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图像．其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．解析：将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －π)＝－sin(π－x )＝－sin x ，所以①正确；将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －2)，所以②不正确；将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin [－(x ＋2)]＝sin(－x －2)，所以③正确．答案：①③8．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向右平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得图像对应的解析式为____________．解析：将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的图像，再将所得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －5π6的图像．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －5π6 9．将函数y ＝12sin 2x 的图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，求所得图像的函数解析式．解：y ＝12sin 2x ――――→横坐标变为原来的2倍y ＝12sin 2·⎝⎛⎭⎫12x ＝12sin x ――――→纵坐标变为原来的一半y ＝14sin x . 即所得图像的解析式为y ＝14sin x .10．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. (1)用“五点法”画函数的图像；(2)说出此图像是由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到的．解：(1)列表：描点：在坐标系中描出下列各点⎝⎛⎭⎫π2，0，⎝⎛⎭⎫3π2，3，⎝⎛⎭⎫5π2，0，⎝⎛⎭⎫7π2，－3，⎝⎛⎭⎫9π2，0. 连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图像，如图所示．这样就得到了函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4在一个周期内的图像，再将这部分图像向左或向右平移4k π(k ∈Z )个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像．(2)①把y ＝sin x 的图像上所有的点向右平行移动π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像； ②把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像；③将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像．B 级——高考水平高分练1．将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解析：选C 将函数y ＝sin x 的图像上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图像；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图像，所以所求函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 2．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位，所得图像对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D.偶函数解析：选D 把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图像，y ＝－cos 2x 是偶函数．3．若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图像向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图像重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图像．因为所得函数图像与函数y ＝sin ωx 的图像重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：524．设ω＞0，若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图像向右平移4π3个单位长度后与原图像重合，求ω的最小值．解：将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图像向右平移4π3个单位长度后，所得图像的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2.因为平移后的图像与原图像重合，所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z )，即ω＝3k2(k ∈Z )，又因为ω＞0，所以k ≥1，故ω＝3k 2≥32.故ω的最小值为32.5．设m 为实常数，已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β. (1)求m 的取值范围； (2)求α＋β的值．解：作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在区间(0,2π)上的图像如图所示．(1)若方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像与y ＝m 有两个相异的交点．观察图像知，当－2＜m ＜2且m ≠1时有两个相异的交点，即方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m 的取值范围为(－2，1)∪(1，2)．(2)当m ∈(－2，1)时，由图像易知两交点关于直线x ＝5π4对称，∴α＋β2＝5π4，α＋β＝5π2. 当m ∈(1，2)时，由图像易知两交点关于直线x ＝π4对称，∴α＋β2＝π4，α＋β＝π2.故α＋β的值为5π2或π2.。

正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

正弦函数、余弦函数的图象[学习目标]1•了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. -=知识梳理自主学习知识点一正弦曲线正弦函数y = sin x(x€ R)的图象叫正弦曲线.利用几何法作正弦函数y= sin x, x€ [0,2 n]图象的过程如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示.②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0, £ n，扌，…，2n等角的正弦线.6 3 2③找横坐标：把x轴上从0到2 n (2 6.28一段分成12等份.④平移：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合.⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y= sin x, x€ [0,2 n]的图象.在精度要求不太高时,y= sin x, x € [0,2 诃以通过找出(0,0),(寸，1), ( n 0) , (# —1),(2 n 0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图.思考在所给的坐标系中如何画出y= sin x, x€ [0,2 7的图象？如何得到y= sin x, x€ R的图象？只要将函数y= sin x, x€ [0,2 n的图象向左、向右平行移动（每次2n个单位长度），就可以得到正弦函数y= sin x, x€ R的图象.知识点二余弦曲线余弦函数y= cos x（x€ R）的图象叫余弦曲线.n n 根据诱导公式sin x+ 2 = cos x, x€ R.只需把正弦函数y= sin x, x€ R的图象向左平移-个单位长度即可得到余弦函数图象（如图）.n 3要画出y = cos x, x€ [0,2従的图象，可以通过描出（0,1）,勺，0，（n - 1）, 0 , （2 n 1）五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y= cos x, x€ [0,2的图象.思考在下面所给的坐标系中如何画出y= cos x, x€ [0,2品的图象？答案题型探究重点突破题型一五点法”作图的应用例1利用五点法”作出函数y= 1-sin x（0 * 2曲）简图. 解（1）取值列表:⑵描点连线，如图所示:跟踪训练1作函数y = sin x , x € [0,2 n 与函数y =— 1 + sin x , x € [0,2冗的简图，并研究它们之间的关系. 解按五个关键点列表：x 0 n2 n3 n ~22 n sin x1 0—1 0—1 + sin x—1 0—1 —2—1利用正弦函数的性质描点作图:x € [0,2 的图象.题型二利用正弦、余弦函数图象求定义域例2 求函数f(x)= lg sin x +寸16 — x 2的定义域. sin x>0,解由题意得，x 满足不等式组216 — x 2 >0,—4 w x W 4,即作出y = sin x 的图象，如图所示.sin x>0,y =— 1 + sin x , 由图象可以发现，把结合图象可得定义域：x€ [ —4，—nU (0, n)跟踪训练2 求函数f(x)= lg cos x+ 25-x2的定义域.cos x>0解由题意得，x满足不等式组25—"0，cos x>0即—5W迄5，作出y= C0S x的图象，如图所示.结合图象可得定义域:x € —5,—3 nU题型三利用正弦、余弦函数图象判断零点个数例3在同一坐标系中，作函数y= sin x和y= lg x的图象，根据图象判断出方程sin x = lg x 的解的个数.解建立坐标系xOy,先用五点法画出函数y= sin x, x€ [0,2冗的图象，再依次向左、右连续平移2 n个单位，得到y= sin x的图象.描出点(1,0), (10,1)并用光滑曲线连接得到y= lg x的图象，如图所示.由图象可知方程sin x= lg x的解有3个.跟踪训练3方程x2—cos x = 0的实数解的个数是___________答案2解析作函数y= cos x与y= x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.思韻方法数形结合思想在三角函数中的应用例4函数f(x) = sin x+ 2|sin x|, x€ [0,2冗的图象与直线y= k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围.3sin x, x € [0 , n,解f(x)= sin x+ 2|sin x|=—sin x, x€ n 2 n ].图象如图,F当堂检测自查自纠1.函数y= sin x (x€ R)图象的一条对称轴是()A. x轴B. y轴C.直线y= x D .直线x = 22.用五点法画y= sin x, x€ [0,2的图象时，下列哪个点不是关键点()1 A.(6，2)% 八B.(2, 1)C. ( , 0)D. (2 , 0)3.函数y= sin x, x€ [0,21 亠的图象与直线y= —2的交点为A(X1, y1), B(x2, y2),贝U X1 + x24. 利用五点法”画出函数y= 2-sin x, x€ [0,2的简图.5. 已知O w x< 2 n^试探索sin x与cos x的大小关系.若使f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，根据图可得k的取值范围是(1,3).A'课时精练、选择题n 3 n1函数y= —sin x, x€ —2, y 的简图是()2. 在同一平面直角坐标系内，函数y= sin x, x€ [0,2 与y= sin x, x€ [2 n 4 n的图象（）A .重合B .形状相同，位置不同C.关于y轴对称sin x= 10的根的个数是3.方程4.D .形状不同，位置不同B. 8C. 9D. 10函数A'3 n n5.如图所示，函数y= cos x阳n x|（0且x③的图象是（）D6. 若函数y= 2cos x(0< x< 2 n的图象和直线y= 2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是()A . 4B . 8C . 2 nD . 4 n二、填空题7. __________________________________________________ 函数y= ” . log^sin x的定义域是_________________________________________________________ .&函数y= _ 2cos x+ 1的定义域是 ___________ .___ 19. 函数f(x) = >,'sin 或为 ---------------- .10. _______________________________________________________________ 设0<x< 2 n,且|cos x—sin x|= sin x—cos x，贝U x 的取值范围为 ______________________ .三、解答题111. 用“五点法”画出函数y = 2 + sin x, x€ [0,2 n的简图.12. 根据y= cos x的图象解不等式:-于三cos x< 2, x€ [0,2 n]13. 分别作出下列函数的图象.(1) y= |sin x|, x€ R；(2) y= sin|x|, x€ R.当堂检测答案1答案 D 2. 答案 A 3. 答案 3n 解析如图所示， _ 3 nx i + X 2= 2 = 3 n. 4.解（1）取值列表如下:x 0 n2 n3n~22 n sin x 0 1 0 —i 0 y = 2— sin x21232⑵描点连线，图象如图所示:由图象可知 ①当x =m 或x = 5n时，sin x = cos x ；44③当 O W x <n或5n<x< 2 n时，sin x <cos x. 课时精炼答案一、选择题 1•答案 D 2.答案 B5 •解用“五点法”作出sin x>cos x ;解析根据正弦曲线的作法可知函数y= sin x, x€ [0,2 n与y= sin x, x€ [2 n 4n的图象只是位置不同，形状相同.3. 答案Ax解析在同一坐标系内画出y= 10和y= sin x的图象如图所示:¥=血JT根据图象可知方程有7个根.4. 答案D解析由题意得n 32cos x, 0或2 n 炸2,c 冗30, 2<x<2 n.显然只有D合适.5. 答案C解析当冗当2<x< n时，y= cos x • |tan| =—sin x;当n<<3n寸，y= cos x |tax|= sin x,故其图象为C.6. 答案D解析作出函数y = 2cos x, x€ [0,2 n]图象，函数y = 2cos x,x€ [0,2 n的图象与直线y = 2围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又••• OA= 2, OC= 2n,S阴影部分=S矩形OABC = 2 X 2 n= 4 n.、填空题7. 答案{x|2k n<<2k n+ n k€ Z}1解析由log2sin x> 0知0<sin x< 1,由正弦函数图象知2kn«2k n+n k€乙… 2 2& 答案2k n—3冗，2k n+ k€ Z1 2 2解析2cos x+ 1> 0 , cos x>—2,结合图象知x€ 2k n— " n, 2k n+" n , k€ Z.9.答案（一4,— nU [0 , n]sin x > 0, 2kx < 2k n+ n,解析2?16— x 2>0 — 4<x<4? — 4<x W — n 或 0 < x W n. 解析由题意知sin x — cos x >0, 即卩cos x W sin x ,在同一坐标系画出 y = sin x , x € [0,2 n 与三、解答题11•解（1）取值列表如下:x 0 n2 n3 2n 2 n sin x 0 1 0 —1 0 1 ,. 1 3 1 1 1 -+ sin x222222⑵描点、连线，如图所示.12.解函数y = cos x , x € [0,2 n 的图象如图所示: 根据图象可得不等式的解集为n, ,5 n 7 n, , 5 n{x|—W x < 或一W x < }3 6 63,.10.答案n 5 n 4，~4y = cos x , x € [0,2n 观察图象知x € 4, 5 n~4 .n 的图象,sin x 2k x< 2k n+n, 13.解(1)y= |sin x|=—sin x 2k n+n<W 2k n+ 2 n(k€ Z).其图象如图所示,sin x x>0 ,(2)y= sin |x| =—sin x x<0 .其图象如图所示,。

高考数学：三角函数的图像和性质问题(解析版)

【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。

要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数A, 的正负；第二步利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；第三步运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1 函数cos( 2 )y x 的单调递增区间是（）4A．[k π＋，kπ＋8 58π] B ．[k π－38π，kπ＋8]C．[2k π＋，2kπ＋8 58π] D ．[2k π－38π，2kπ＋8] （以上k∈Z）【答案】 B.考点：三角函数单调性.【点评】本题解题的关键是将 2x作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数y cos( 2x)的单调44递增区间转化为2x 在区间2k ,2k 上递减的.4【变式演练1】已知函数 f (x) sin( 2 x )( 0), 直线x x1,x x2 是y f (x) 图像的任意两条对称6轴，且x1 x 的最小值为2 2．求函数 f (x) 的单调增区间；【答案】[ k , k ], k Z .3 6【解析】试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求，根据公式求此函数的单调递增区间.试题解析：由题意得T , 则1, f (x) sin(2 x ). 由2k 2x 2k , 解得6 2 6 23 k , Z. 故 f ( x) 的单调增区间是k k ], k Z x k k [ .,6 3 6考点：1．y A sin x 的单调性；【变式演练2】已知函数sin( )+ ( 0 0 )f x A x B A ，，的一系列对应值如下表：2x6 3 5643116 [73176y 2 4 2 4 （1）根据表格提供的数据求函数 f x 的解析式；（2）求函数 f x 的单调递增区间和对称中心；【答案】（1） f x 3sin x 1（2）352k ，2k (k Z)（k + ，1）(k Z).6 6 3（2）当2 2 ( )k x k k Z，即2 3 25x k ，k k Z时，函数f x 单调递2 2 ( )6 6增．令= ( x k k Z)，所以函数 f x 的对称中心为+ 1 ( x k k Z)，得= + ( k k Z)（，）．3 33考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法[ 来源:Z*xx*]类型二由y A sin( x ) 的图象求其函数式使用情景：一般函数y A s in( x ) 求其函数式解题模板：第一步观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与x轴交点坐标等；第二步利用特殊点代入函数解析式计算得出参数A, , 中一个或两个或三个；第三步要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；第四步得出结论.例2 已知函数y A sin( x ) y A s in( x )( 0, , x R) 的图象如图所示，则该函数的2解析式是（）（A）y 4 sin( x ) （B）y 4 s in( x )8 4 8 4（C）y 4 s in( x ) （D）y 4 sin( x )8 4 8 4【答案】 D考点：y Asin x 的图像【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与x轴的交点坐标可得其周期为T ，进而可得的大小；然后观察图像知其振幅 A 的大小；最后将图像与x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到的大小.【变式演练3】已知函数 f x A sin x （其中 A 0, 0, ）的部分图象如图所示，则f x2的解析式为（）6A．2sinf x x B．f x2sin2x36C．2sin2f x x D．f x2sin4x6【答案】B【解析】考点：由y A s in(x)的部分图像确定解析式。

高三数学正弦型函数y=Asinωx+φ的图象及应用复习试题

第4讲正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日【2021年高考会这样考】1．考察正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考察y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用．3．考察y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径．【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点〞作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．根底梳理1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0 π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0 A 0 －A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤3．当函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，详细如下： (1)函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝xk(其中 ωxk ＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk ＋φ＝kπ，k ∈Z)成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，假设最大值为M ，最小值为m ，那么A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．两个注意作正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1． y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )．A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.简谐运动f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的局部图象如下图，那么该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x(x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，那么g(x)的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，那么ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 5．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如下图，那么ω＝________.考向一作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．(1)“五点法〞作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω来确定平移单位．【训练1】函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？考向二求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式【例2】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的局部图象如下图，那么f(0)的值是________．解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．【训练2】函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一局部如下图．(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程．考向三函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的间隔为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f(x)的值域．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的间隔为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的递增区间．标准解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否那么容易产生错误．(2)主要题型：①求三角函数的值域(或者最值)；②根据三角函数的值域(或者最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或者最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】 ①形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a2＋b2，sin φ＝b a2＋b2，将原式化为y ＝a2＋b2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或者最值)；②形如y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或者最值)；③形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a(t2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【例如】►(此题满分是12分)函数f(x)＝4cos xsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．首先化为形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式，由T ＝2πω求得：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4，求得ωx ＋φ的范围，从而求得最值．[解答示范] (1)因为f(x)＝4cos xsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，(4分) 所以f(x)的最小正周期为π.(6分)(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分)于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f(x)获得最大值2；(10分)当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f(x)获得最小值－1.(12分)解决这类问题常常借助三角函数的有界性或者转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin2x ＋acos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1？假设存在，求出对应的a 值？假设不存在，试说明理由． [尝试解答] y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a24＋58a －12，当0≤x≤π2时，0≤cos x≤1，令t ＝cos x ，那么0≤t≤1，∴y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a24＋58a －12，0≤t≤1.当0≤a 2≤1，即0≤a≤2时，那么当t ＝a 2，即cos x ＝a2时．ymax ＝a24＋58a －12＝1，解得a ＝32或者a ＝－4(舍去)．当a2＜0，即a ＜0时，那么当t ＝0，即cos x ＝0时， ymax ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，那么当t ＝1，即cos x ＝1时， ymax ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上知，存在a ＝32符合题意．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

正弦型三角函数的图像-简单难度-讲义

正弦型三角函数的图像知识讲解一、正弦型三角函数的性质1.函数()sin y A x ωϕ=+的图像与函数sin y x =图像的关系振幅变换：()sin 0,1y A x A A =>≠的图像，可以看成是sin y x =图像上所有点的纵坐标都伸长()1A >或缩短()01A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．周期变换：)1,0(sin ≠>=w w wx y 的图像，可以看成是sin y x =的图像上各点的横坐标都缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原点的1ω倍（纵坐标不变）而得到的，由于sin y x =的图像得到()sin y A x ωϕ=+的图像主要有下列两种方法：()()()sin sin sin sin y x y x y x A x ϕωϕωϕ=−−−−→=+−−−−→=+−−−−→+相位变换周期变换振幅变换()()sin sin sin sin y x y x y x y A x ωωϕωϕ=−−−−→=−−−−→=+−−−−→=+周期变换相位变换振幅变换2.三角函数的性质函数 sin y x =cos y x =tan y x = cot y x =定义域 R R{|,,}2x x R x k k ππ∈≠+∈Z 且{|,,}x x R x k k π∈≠∈Z 且值域 [1,1]-[1,1]-RR奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数3.sin y x=与sin y x=的性质典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•全国）要得到y=cosx，则要将y=sinx（）A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：要将y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）=cosx的图象，故选：C．2．（2018•榆林一模）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2【解答】解：根据曲线=sin（x﹣），把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象；再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin（x﹣）的图象，故选：B．3．（2018•岳阳二模）若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象对应的函数解析式为y=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故所得图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，故选：D．4．（2018•四川模拟）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin（2x++）=2sin（2x+）的图象，令2x+=kπ+，可得x=﹣，k∈Z，则平移后图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z，故选：A．5．（2018•一模拟）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos （4x﹣）．故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，故选：B．6．（2018•通渭县模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．7．（2018•一模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得==+，∴ω=2，根据+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．故选：A．8．（2018•红桥区二模）设函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）A．g（x）在（0，）上单调递增B．g（x）在（，）上单调递减C．g（x）在（0，）上单调递减D．g（x）在（，π）上单调递增【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵T==π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，∴令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可解得：k，k∈Z，当k=0时，x∈[0，]，即g（x）在（0，）上单调递减．故选：C．9．（2018•佛山一模）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x ﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．10．（2018•渭南二模）函数y=Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数y=Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象，可得A=2，•=﹣（﹣），∴=2．再根据当x=﹣时，y=2sin（﹣+φ）=2，可得sin（﹣+φ）=1，故有﹣+φ=2kπ+，求得φ=2kπ+，结合0＜φ＜π，求得φ=，故函数y=Asin（2x+），故选：A．二．填空题（共3小题）11．（2016•淮安一模）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ），图象中AB两点距离为5，设A（x1，2），B（x2，﹣2），∴（x2﹣x1）2+42=52，解得：x2﹣x1=3，∴函数的周期T=2×3=，解得：ω=．故答案为：．12．（2016•海淀区模拟）把函数y=sin（﹣2x）向右平移个单位，然后把横坐标变为原来的2倍，则所得到的函数的解析式为y=cosx．【解答】解：函数向右平移个单位，得，把横坐标变为原来的2倍，得函数的解析式为y=cosx．故答案为：y=cosx．13．（2016春•南通期末）函数y=sin2x图象的振幅为．【解答】解：函数y=sin2x图象的振幅为，故答案为：．三．解答题（共2小题）14．（2018春•双台子区校级期末）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期及图象的对称中心；（2）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x+=sin2x﹣•+=sin2x﹣cos2x=•sin（2x﹣），故它的最小正周期为=π，令2x﹣=kπ，求得x=+，可得函数的图象的对称中心为（+，0）．（2）在闭区间[﹣，]上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为．15．（2010•广州模拟）已知函数，x∈R．（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的简图；（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解答】解：（1）函数的振幅为，周期为π，初相为．（2）列表：x0π2π00画简图：（3）函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的一半得到函数的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的一半得到函数的图象．。

2021年高考数学真题逐题解析：正弦型函数的单调性及应用(解析)

第4题正弦型函数的单调性及应用一、原题呈现【原题】下列区间中,函数 π7sin 6x x f单调递增的区间是（）A.π0,2B.π,π2C.3ππ,2D.3π,2π2【答案】A 【解析】解法一：因为函数sin y x 的单调递增区间为 ππ222π,2πk k kZ ,对于函数 π7sin 6x x f,由 πππ2π2π262k x k kZ ,解得 π2π2π2π33k x k k Z ,取0k ,可得函数 f x 的一个单调递增区间为π2π,33,则ππ2π0,,233 ,ππ2π,π,233,A 选项满足条件,B 不满足条件；取1k ,可得函数 f x 的一个单调递增区间为5π8π,33,3ππ2ππ,,233 且3π5π8ππ,,233 ,3π5π8π,2π,233,CD 选项均不满足条件.,故选A.解法二：利用复合函数的单调性逐个验证.设π6t x 对于A,当π0,2x时ππ,63t ,由7sin y t 在ππ,63上是增函数,可得A 满足条件；对于B,当π,π2x时π5π,36t ,由7sin y t 在π5π,36上不单调,可得B 不满足条件；对于C,当3ππ,2x时5π4π,63t ,由7sin y t 在5π4π,63上是减函数,可得C 不满足条件；对于D,当3π,2π2x 时4π11π,36t ,由7sin y t 在4π11π,36上不单调,可得D 不满足条件；故选A.解法三： π7sin 6x x f在区间 ,a b 上单调递增,则 ,x a b 时 π7cos 06f x x恒成立.对于A,当π0,2x时πππ663x , 0f x 恒成立,A 满足条件；对于B,当π,π2x时,由5π2π1cos 0632f,可得B 不满足条件；对于C,当3ππ,2x时,由7πcos π106f,可得C 不满足条件；对于D,当3π,2π2x时,由19π17πcos 01212f,可得D 不满足条件；故选A.【就题论题】本题以正弦型函数为载体,考查三角函数的单调性,试题简洁流畅,属于常规题型,侧重对重要基础知识的考查.三角函数单调性是三角函数的一个重要性质,也是高考考查的热点,对于求正弦型函数的单调性课本有不少类似的题,这说明课本是高考试题的生长点,复习时不要丢掉课本.二、考题揭秘【命题意图】本题考查三角函数的单调性,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易.【考情分析】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题,1道解答题,解答题一般考查解三角形,客观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质.【得分秘籍】(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解；(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解；如已知ω>0,函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π2,π)上单调递增,求ω的取值范围．可先根据函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π,2k π],k ∈Z ,＋π4≥－π＋2k π，＋π4≤2k π，k ∈Z ,解得4k －52≤ω≤2k －14,k ∈Z ,再根据4k －52－kk ∈Z 且2k －14＞0,k ∈Z ,得k ＝1,求得ω的取值范围是32，74.(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间 ,a b 上的值域或最值,一般根据y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间 ,a b 上的单调性来求；(4)研究sin cos y a x b x 的单调性,要先利用辅助角公式把函数化为构造y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式；(5)研究22sin sin cos cos y a x b x x c x d的单调性,要先利用21cos21sin ,sin cos 2,22x x x x x21cos 2cos 2xx降幂,再利用辅助角公式把函数化为构造y ＝Asin(2x ＋φ)+B 的形式.【易错警示】(1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性时,如果ω＜0,一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；(2)把sin cos y a x b x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时忽略φ所在象限,导致φ值求错.(3)单调区间表示不规范,如没有用区间表示,没有写k Z 等.三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题1．（2021福建省宁德市高三质量检查）若偶函数())cos(2)f x x x 在,04上为减函数,则φ的可能取值为（）A ．6B ．3C ．56D ．23【答案】D【解析】因为())cos(2)2sin(2)6f x x x x为偶函数,所以62k,k Z ,即3k ,k Z ,故A ,C 错误,当23时,()2cos 2f x x 在[4,0]上为减函数,故D 正确；当3时,()2cos 2f x x 在[4 ,0]上为增函数,故B 错误；故选D2．（2021广东省燕博园高三3月数学综合能力测试）已知函数 sin f x A x （A , , 均为正常数）,相邻两个零点的差为π2 ,对任意x , 2π3f x f恒成立,则下列结论正确的是（）A ． 220f f f ＜＜B ． 022f f f ＜＜C ．202f f f ＜＜D ．202f f f ＜＜【答案】A【解析】函数sin f x A x （A , , 均为正常数）,相邻两个零点的差为π2,所以πT ,所以2 ,对任意x , 2π3f x f 恒成立,即2πsin 23A A,故π6所以πsin 26f x A x ．故 ππ2sin 4sin 42π066f A Aπ2sin 406f A, π5π0sin sin 066f A A ,由于3ππ5π42π26π2 ,函数在π3π,22上单调递减,故 220f f f ．故选A ．3．（2021河北省沧州市高三三模）把函数2sin 2y x 的图象向左平移3个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可得到函数 f x 的图象,则（）A ． 2sin 213f x xB ． f x 的最小正周期为2C ． f x 的图象关于直线6x对称D ． f x 在5,612上单调递减【答案】D【解析】将函数2sin 2y x 图象向左平移3 个单位长度得到22sin 22sin 233y x x的图象,再向上平移1个单位长度可得到 22sin 213f x x的图象,故A 错误.22T ,故B 错误；令22,32x k kZ ,得,122k x k Z ,当0k 时,12x ；当1k 时,512x ,故C 错误.令23222,232k x k k Z ,5,1212k x k k Z ,所以 f x 在5,612上单调递减,故D 正确.故选D.4．（2021湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中高三下学期二模）已知函数()sin (0)f x x x 的零点依次构成一个公差为π2的等差数列,把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位,得到函数()g x 的图象,则函数()g x （）A ．是偶函数B ．其图象关于直线π2x 对称C ．在ππ,42 上是增函数D ．在区间π2π,63上的值域为【答案】D【解析】 sin 2sin 3f x x x xQ ,由于函数 y f x 的零点构成一个公差为2的等差数列,则该函数的最小正周期为 ,0 ∵,则22,所以 2sin 23f x x,将函数 y f x 的图象沿x 轴向右平移6个单位,得到函数 2sin 22sin 263g x x x的图象.对于A 选项,函数 y g x 的定义域为R , 2sin 22sin 2g x x x g x ,函数 y g x 为奇函数,A 选项错误；对于B 选项,2sin 022g,所以,函数 y g x 的图象不关于直线2x对称,B 选项错误；对于C 选项,当,42x 时,22x ,则函数 y g x 在,42上是减函数,C 选项错误；对于D 选项,当263x 时,4233x,则sin 212x , 2g x .所以,函数 y g x 在区间2,63 上的值域为 ,D 选项正确.故选D.5．（2021湖南省三湘名校教育联盟高三下学期第三次大联考）函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递增区间为（）A ．[kπ﹣512 ,k 12],k ∈Z B ．[kπ+12,kπ+712],k ∈ZC ．[kπ﹣2 ,kπ+2],k ∈Z D ．[kπ+12,kπ+512],k ∈Z 【答案】A 【解析】由图象知,74123T ,∴T =π,∴2 ,ω=2,∴())f x x过点7,12 ,∴722,122k k Z,所以223k ,k Z ,且|φ|<π,∴23,∴2()23f x x,当23222232k x k ,k Z ,即7131212k x k,k Z 时,函数单调递增,∴ f x 的单调递增区间为713,,1212k k k Z,∴ f x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z.故选A .6．（2021湖南省怀化市高三联考）已知函数()sin (0)6f x x在区间2,43上单调递增,则的取值范围为（）A ．80,3B ．10,2C ．18,23D ．3,28【答案】B【解析】由函数解析式知：()f x 在 2,222k k k Z上单调递增,∴121(2)(2),33k x k k Z,()f x 单调递增,又∵()f x 在区间2,43上单调递增,∴12(23412(233k k,解得8831320k k k Z,所以当0k 时,有102 ≤,故选B7．（2021江苏省镇江市四校高三联考）函数()sin()0,0,||2f x A x A的部分图象如图所示,将函数()f x 的图象向左平移3个单位长度后得到()y g x 的图象,则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2C ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k kZ D ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k kZ 【答案】D【解析】由图象可知3A ,33253441234T ,∴2 ,则()3sin(2)f x x .将点5,312的坐标代入()3sin(2)f x x 中,整理得5sin 2112,∴522,Z 122k k ,即2,Z 3k k ；||2,∴3,∴()3sin 23f x x.∵将函数()f x 的图象向左平移3 个单位长度后得到()y g x 的图象,∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R. ()3sin 23sin 233g x x x g x,∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数,故A 错误；∴()g x 的最小正周期22T,故B 不正确.令2,32x k k Z ,解得,122k x k Z ,则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z .故C 错误；由222,232k x k kZ ,可得5,1212k x k k Z ,∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z.故D 正确；故选D.8．（2021山东省淄博市高三一模）已知cos cos f x x x x 在区间,3m上的最大值是32,则实数m 的最小值是（）A ．12B ．3C ．12D ．6【答案】D【解析】cos cos f x x x x 2cos cos x x x1cos 211sin 2sin 2cos 222222x x x x1sin 262x .由于1131sin 21,sin 262622x x,即 f x 的值域为13,22,211sin 33622f ,即 f x 在3x 处取得最小值,而 f x 的最小正周期为22 ,其一半为2 ,则326,所以 f x 在,36上递增,且在6x 处取得最大值32,故m 的最小值为6 .故选D9．（2021山东省日照第一中学高三第二次联合考试）已知函数 f x 在定义域上是单调函数,且 20202021xf f x,当 sin g x x x kx 在,22上与 f x 在R 上的单调相同时,实数k 的取值范围是（）A ． ,1B ．C ．, D ．【答案】C【解析】∵函数 f x 在定义域上是单调函数,且 20202021x f f x ,2020x f x 为定值,设 2020x f x t ,则 2021f t ,且 2020t f t t ,20212020t t ,解之得1t , 20201xf x , f x 在R 上的单调递增,sin 2sin3g x x x kx x kx ∵, 2cos 3g x x k,sin g x x x kx ∵在,22上与 f x 在R 上的单调性相同,2cos 03g x x k在,22 上恒成立,2cos 3x k在,22 上恒成立,5636x ,3cos 123x,2cos 23x ,k .故选C10．（2021广东省惠州市高三下学期一模）切割是焊接生产备料工序的重要加工方法,各种金属和非金属切割已经成为现代工业生产中的一道重要工序.被焊工件所需要的几何形状和尺寸,绝大多数是通过切割来实现的.原材料利用率是衡量切割水平的一个重要指标.现需把一个表面积为28π的球形铁质原材料切割成为一个底面边长和侧棱长都相等的正三棱柱工业用零配件,则该零配件最大体积为（）A ．6B ．C ．18D ．2二、多选题11．（2021广东省珠海市高三二模）已知函数 22cos cos sin f x x x x x ,则（）A ．是函数 f x 的一个周期B ．6x是函数 f x 的一条对称轴C ．函数 f x 的一个增区间是,36D ．把函数2sin 2y x 的图像向左平移12个单位,得到函数 f x 的图像【答案】ACD【解析】依题意： 2cos 22sin(26f x x x x,对于A 选项： f x 的周期22T,即A 正确；对于B 选项：因2sin[2(]2sin(16666f,则6x 不是函数 f x 的对称轴,即B 不正确；对于C 选项：222()262k x k k Z 得()36k x k k Z,即 f x 单调递增区间是(,)()36k k k Z,k =0时,,36是 f x 的一个增区间,即C 正确；对于D 选项：函数2sin 2y x 的图像向左平移12 个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x,即D 正确.故选ACD12．（2021广东省汕头市高三三模）已知函数 sin cos 0f x a x b x ab ,且对任意x R 都有66f x f x,则以下正确的有（）A ． f x 的最小正周期为2B ． f x 在7,66上单调递减C ．23x是 f x 的一个零点D ．33a b 【答案】ACD【解析】由题意可知函数 f x 的图象关于直线6x对称,则6f即1322a b ,整理可得2230a b ,即20b,所以,b,0ab ∵,所以,33a b ,D 选项正确；sin cos 2sin 3f x a x x a x,故函数 f x 的最小正周期为2 ,A 选项正确；当766x 时,可得3232x ,若0a ,则函数 f x 在7,66上单调递增,B 选项错误；22sin 03f a,故23x 是 f x 的一个零点,C 选项正确.故选ACD.13．（2021河北省石家庄市高三下学期质检）函数 2sin 0,0f x x 的图象如图,把函数 f x 的图象上所有的点向右平移6个单位长度,可得到函数 y g x 的图象,下列结论正确的是（）A ．3B ．函数 g x 的最小正周期为C ．函数 g x 在区间,312上单调递增D ．函数 g x 关于点,03中心对称【答案】BC【解析】由图可知：1112113124T T,所以11211129 ,所以18241111 ,又因为02sin f ,0 ,所以3或23,又因为11112sin 21212f,所以112,122k k Z ,又因为113,2122 ,所以113,3122,所以1k ,当3时,1113126 ,解得2611 ,这与18241111 矛盾,不符合；当23 时,1111126,解得2 ,满足条件,所以 22sin 23f x x,所以 22sin 22sin 2633g x x x,A ．由上可知A 错误；B ．因为 2sin 23g x x,所以 g x 的最小正周期为2=2,故B 正确；C ．令222,232k x k k Z,所以5,1212k x k k Z,令0k ,此时单调递增区间为5,1212,且5,,3121212,故C 正确；D ．因为2sin 20333g,所以,03 不是对称中心,故D 错误；故选BC.14．（2021湖北省武汉市武昌区高三下学期5月质量检测）已知函数 sin sin 03f x x x在 0, 上的值域为,12,则实数的值可能取（）A ．1B ．43C ．53D ．2【答案】ABC 【解析】1sin sin sin sin cos cos sin sin cos 33322f x x x x x x x xsin 3x,因为 0,x ,所以,333x,又函数 f x 在 0, 上的值域为,12, 02f ,所以由正弦函数的对称性,只需4233 ,则5563,因此ABC 都可能取得,D 不可能取得.故选ABC.15．（2021湖北省十堰市高三下学期4月调研）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x (0,0)a ,若()f x 的最小正周期为 ,且对任意的x R , 0()f x f x 恒成立,下列说法正确的有（）A ．2B ．若06x,则aC ．若022f x,则a D ．若()()2|()|g x f x f x 在003,4x x上单调递减,则324 【答案】BCD【解析】因为2()2sin cos 2cos 1f x a x x x sin 2cos2)a x x x ,其中cossin．因为()f x 的最小正周期为 ,所以1 ,故A 错误．因为对任意的x R , 0()f x f x 恒成立,以 0f x 是()f x 的最小值．若06x,则22()62k kZ ,2()6k k Z ．所以3cos 2,a 故B 正确．因为 0f x 是()f x 的最小值,所以02f x为最大,2 ,所以a 故C 正确．因为当003,42x x x时,()0f x ,所以()() g x f x ．因为()f x 在003,42x x 上单调递增,所以()g x 在003,42x x上单调递减．当00,24x x x时,()0f x ,所以()() g x f x ．因为()f x 在00,24x x 上单调递减,所以()g x 在00,24x x上单调递增,所以000342x x x,所以324,故D 正确．故选BCD16．（2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期月考）将曲线23sin )sin()2y x x x ,上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,得到 g x 的图像,则下列说法正确的是（）A ．213gB ． g x 在 0, 上的值域为30,2C ． g x 的图像关于点(,0)6对称D ． g x 的图像可由1cos 2y x 的图像向右平移等23个单位长度得到【答案】BD【解析】223sin )sin sin cos 2y x x x x x x11111cos 2sin 2sin 2cos 2sin 22222262x x x x x,所以 1sin 62g x x,所以对于A 选项,2213sin 133622g,故A 选项错误；对于B 选项,当 0,x 时,5,666x,所以 30,2g x,故B 选项正确；对于C 选项, g x 的图像关于点1,62对称,故C 选项错误；对于D 选项,1cos 2y x的图像向右平移等23个单位长度得到2111cos cos sin 3262262y x x x,故D 选项正确.故选BD17．（2021江苏省南通学科基地2021届高三下学期高考全真模拟）已知函数()sin (0)3f x x在 0, 上有且只有三个零点,则下列说法中正确的有（）A ．在 0, 上存在1x ,2x ,使得 122f x f xB ．的取值花围为710,33C ．()f x 在0,4上单调递增D ．()f x 在(0,) 上有且只有一个最大值点【答案】ABC【解析】对于A,由题意可知 f x 的最小正周期T ,所以在(0,) 上既可以取得最大值也可以取得最小值,故A 正确.对于B,函数 f x 图象在y 轴右侧与x 轴交点的横坐标分别为3 ,43 ,73 ,103,要使 f x 在 0, 上有且只有三个零点,只需73103,解得71033 ,故B 正确.对于C,函数 f x 在50,6上单调递增,因为71033,所以55,6414 ,故C 正确.对于D,考虑到710173326的取值范围为1717,2014 ,显然1720 ,所以可能存在两个最大值点,故D 错误.故选ABC.三、填空题18.（2021湖北省部分重点中学高三联考）已知函数()2sin 23f x x在区间173a，上是单调函数,则实数a 的最大值为__________.【答案】7312【解析】sin y x 的单调增区间为2,2,22k k k Z当6k 时,sin y x 的单调增区间为12,1222由于1735212,1233322则要使函数()2sin 23f x x在区间173a，上是单调函数必须732123212a a即实数a 的最大值为7312 ,故答案为731219．（2021河北省唐山市高三模拟）若函数()sin()f x x （0 ,02 ）的图像关于点(,0)6对称,且()f x 在[0,]6上单调递减,则 __________．【答案】3【解析】因为 sin f x x 的图像关于点,06 对称,且 f x 在0,6上单调递减,所以有246T,即ω3 ,又 2k Z 6k，,因为0 ,02 ，所以有26662k,所以312k 612k ,因为03k Z ，,所以k 0,36 ,故ω3 .。

2020届高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.4三角函数的图像和性质练习(含解析)

专题4.4 三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质. 【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )【微点提醒】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2【答案】 A【解析】最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 3.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )【解析】由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2【答案】 C【解析】由题意T ＝2π2＝π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1C.35D.15【答案】 A【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________. 【答案】－π6【解析】由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 【考点聚焦】考点一三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【答案】(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 【规律方法】求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π【解析】 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.考点三三角函数的单调性角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【答案】 A【解析】令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】 A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增 (2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【答案】 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32【解析】 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32. 考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.【规律方法】 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. (2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9. 【规律方法】1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . f (x )＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确. C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】 C【解析】 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π. 2.(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8 【答案】 C【解析】因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 3.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2【答案】 C【解析】依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2. 5.若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x 【答案】 B 【解析】 ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增. 二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 【答案】 5π6【解析】因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 7.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 【解析】由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 8.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.【答案】 23【解析】由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3. 10.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )【答案】 D【解析】因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ).12.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24 【答案】 A【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )，又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 13.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ) 【解析】因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23. 【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.【答案】 π2【解析】因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2.。

正弦型三角函数的图像-简单难度-讲义

正弦型三角函数的图像知识讲解一、正弦型三角函数的性质1.函数()sin y A x ωϕ=+的图像与函数sin y x =图像的关系振幅变换：()sin 0,1y A x A A =>≠的图像，可以看成是sin y x =图像上所有点的纵坐标都伸长()1A >或缩短()01A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．周期变换：)1,0(sin ≠>=w w wx y 的图像，可以看成是sin y x =的图像上各点的横坐标都缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原点的1ω倍（纵坐标不变）而得到的，由于sin y x =的图像得到()sin y A x ωϕ=+的图像主要有下列两种方法：()()()sin sin sin sin y x y x y x A x ϕωϕωϕ=−−−−→=+−−−−→=+−−−−→+相位变换周期变换振幅变换()()sin sin sin sin y x y x y x y A x ωωϕωϕ=−−−−→=−−−−→=+−−−−→=+周期变换相位变换振幅变换2.三角函数的性质函数 sin y x =cos y x =tan y x = cot y x =定义域 R R{|,,}2x x R x k k ππ∈≠+∈Z 且{|,,}x x R x k k π∈≠∈Z 且值域 [1,1]-[1,1]-RR奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数3.sin y x=与sin y x=的性质典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•全国）要得到y=cosx，则要将y=sinx（）A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：要将y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）=cosx的图象，故选：C．2．（2018•榆林一模）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2【解答】解：根据曲线=sin（x﹣），把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象；再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin（x﹣）的图象，故选：B．3．（2018•岳阳二模）若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象对应的函数解析式为y=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故所得图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，故选：D．4．（2018•四川模拟）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin（2x++）=2sin（2x+）的图象，令2x+=kπ+，可得x=﹣，k∈Z，则平移后图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z，故选：A．5．（2018•一模拟）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos （4x﹣）．故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，故选：B．6．（2018•通渭县模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．7．（2018•一模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得==+，∴ω=2，根据+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．故选：A．8．（2018•红桥区二模）设函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）A．g（x）在（0，）上单调递增B．g（x）在（，）上单调递减C．g（x）在（0，）上单调递减D．g（x）在（，π）上单调递增【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵T==π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，∴令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可解得：k，k∈Z，当k=0时，x∈[0，]，即g（x）在（0，）上单调递减．故选：C．9．（2018•佛山一模）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x ﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．10．（2018•渭南二模）函数y=Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数y=Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象，可得A=2，•=﹣（﹣），∴=2．再根据当x=﹣时，y=2sin（﹣+φ）=2，可得sin（﹣+φ）=1，故有﹣+φ=2kπ+，求得φ=2kπ+，结合0＜φ＜π，求得φ=，故函数y=Asin（2x+），故选：A．二．填空题（共3小题）11．（2016•淮安一模）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ），图象中AB两点距离为5，设A（x1，2），B（x2，﹣2），∴（x2﹣x1）2+42=52，解得：x2﹣x1=3，∴函数的周期T=2×3=，解得：ω=．故答案为：．12．（2016•海淀区模拟）把函数y=sin（﹣2x）向右平移个单位，然后把横坐标变为原来的2倍，则所得到的函数的解析式为y=cosx．【解答】解：函数向右平移个单位，得，把横坐标变为原来的2倍，得函数的解析式为y=cosx．故答案为：y=cosx．13．（2016春•南通期末）函数y=sin2x图象的振幅为．【解答】解：函数y=sin2x图象的振幅为，故答案为：．三．解答题（共2小题）14．（2018春•双台子区校级期末）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期及图象的对称中心；（2）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x+=sin2x﹣•+=sin2x﹣cos2x=•sin（2x﹣），故它的最小正周期为=π，令2x﹣=kπ，求得x=+，可得函数的图象的对称中心为（+，0）．（2）在闭区间[﹣，]上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为．15．（2010•广州模拟）已知函数，x∈R．（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的简图；（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解答】解：（1）函数的振幅为，周期为π，初相为．（2）列表：x0π2π00画简图：（3）函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的一半得到函数的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的一半得到函数的图象．。

正弦型函数图像高考题

7.3.2 正弦型函数的图像

正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

高考数学：三角函数的图像和性质问题(解析版)

高三数学 正弦型函数y=Asinωx+φ的图象及应用复习 试题

正弦型三角函数的图像-简单难度-讲义

2021年高考数学真题逐题解析：正弦型函数的单调性及应用(解析)

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