六年级奥数蝴蝶模型
六年级数学奥数培优教案(下册)图形问题之蝴蝶模型
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
类型 1：任意四边形中的蝴蝶模型① S 1 ⨯ S 3 = S 2 ⨯ S 4 （上、下两部分面积的积等于左、右两部分面积的积）；② S 1 : S 4 = S 2 : S 3 = (S 1 + S 2 ): (S 4 + S 3 )= AO : OC （左：右 = 左和：右和）类型 2：梯形中的蝴蝶模型① S 2 = S 4 ；② S 1 ⨯ S 3 = S 2 ⨯ S 4 ；③OC AO s s s s s s s s :)(:)(::34213241=++==④)(::::::224231ab ab ab b a s s s s 上下平方，左右=⑤梯形 S 的对应份数为 (a + b )2【例1】如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD ，被对角线 AC 、BD 分成四个部分，△ AOB面积为 1 平方千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6．92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【例2】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，BE=2EC ，CF=FD ，求△AEG 的面积．【例3】梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，已知梯形上底为 2，且△ABO 的面积等于△BOC 面积的32 ，求△AOD 与△BOC 的面积之比． 专题：图形问题之蝴蝶模型【例4】正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， BE =31AB , BF = 21BC ，四边形 BGHF 的面积是多少平方厘米？1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，则△BGC 的面积为 ；AG:GC=2、如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O 若△ABD的面积等于△BCD 的面积的31，且AO=2，DO=3，那么CO 的 长度是DO 的 倍。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的任意四边形、梯形与相似模型面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
小学奥数几何模型 之 蝴蝶模型+沙漏模型 非常完整版讲义 例题+作业 带答案
小学几何模型之蝴蝶模型准备练习梯形中的蝴蝶模型梯形的两个翅膀相等。
左=右例题1如图：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形AOD 与三角形DOC的面积分别是16平方厘米与24平方厘米，求梯形ABCD的面积。
△AOB的面积为24cm2△BOC的面积：24×24÷16=36（cm2）梯形ABCD的面积：16＋24＋24＋36=100（cm2）练习1如图：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形DOC 与三角形BOC的面积分别是35平方厘米与49平方厘米，求三角形AOD的面积。
△AOB的面积为35平方厘米△AOD的面积：35×35÷49=25（cm2）例题2如图：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。
已知三角形ADG的面积是7平方厘米，三角形BCH的面积是9平方厘米，求四边形EGFH的面积。
连接EF四边形EGFH的面积：7＋9=16（cm2）练习2如图：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。
已知三角形ADG的面积是24平方厘米，三角形BHC的面积是17平方厘米，求四边形GEHF的面积。
连接EF四边形EGFH的面积：24＋17=41（cm2）风筝模型例题3如图：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。
已知其中三个小三角形的面积，求三角形CDG的面积。
△CDG的面积：3×8÷4=6（cm2）练习3如图：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。
已知其中三个小三角形的面积，求三角形ABG的面积。
△ABG的面积：8×6÷12=4（cm2）例题4如图：四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米，求三角形BOC的面积。
OC:OA=50:30=5:3△BOC和△AOB是等高模型面积比为5:3△BOC的面积为:48÷（5＋3）×5=30（cm2）练习4如图：一个园林形状如四边形ABCD，现测得三角形BCD的面积是25公顷，三角形ABC 的面积是24公顷，三角形ABD的面积是15公顷。
2019年数学奥数6年级终极培优详解(第4讲)图形问题之蝴蝶模型
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一 方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系； 另一方面， 也可以得到 与面积对应的对角线的比例关系。
类型 1：任意四边形中的蝴蝶模型
① S1 S3 S2 S4 （上、下两部分面积的积等于左、右两部分面积的积）；
是多少平方厘米？
1 AB, BF
3
1 BC ，四边形 BGHF 的面积
2
1、如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，则△ BGC 的
面积为
；AG:GC=
2、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O 若△ ABD
的面积等于△ BCD 的面积的 1 ，且 AO=2， DO=3，那么 CO 的 3
【例 2】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， BE=2EC， CF=FD ，求△ AEG的面积．
【例 3】梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，已知梯形上底为 2 ，且△ ABO的面积 等于△ BOC面积的 2 ，求△ AOD与△ BOC的面积之比．
3
【例 4】正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， BE
长度是 DO 的
倍。
3、梯形的下底是上底的 1.5 倍，△ OBC 的面积是 9cm2 ，
则△ AOD 的面积是
4、正方形 ABCD的面积是 57 平方厘米， E 是 AB的中点， F 是 BC
的中点，则四边形 BGHFABCD是梯形，△ ADE面积是 1.8 ，△ ABF 的面积是 9 ，△ BCF 的面积是 27 ．那么阴影△ AEC面积是多少？
② S1 : S4 S2 : S3
S1 S2 : S4 S3 AO : OC （左：右
六年级奥数蝴蝶模型(供参考)
蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h21h h =∴（两平行线之间高相等）三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ） 推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯四、蝴蝶模型与长方形（一） ①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b 、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。
解：由蝴蝶定理可知：S ∆BOC =S ∆AOD =6∴S ∆DOC =6×6÷4=9∴梯形ABCD 的面积是9+6+4+6=25答：梯形ABCD 的面积是25。
例2：如图，求阴影部分的面积。
（单位cm 2）分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。
解：S 阴影=28×6÷12=14（cm 2）答：阴影部分的面积为14平方厘米。
六年级奥数蝴蝶模型
型蝶模蝴一、蝴蝶模型与任意四边形两组相对三角形面积之积相等。
在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，由等积变形模型可知：推导：二、蝴蝶模型与梯形SS??S?S①4123SS?②21同上推导：①h DABC的高作，过点②过点A作三角形1h的高△BCD2hh??相等）（两平行线之间高21三、蝴蝶模型与平行四边形S?S?S?S（一）①4321S?SS??S②4213：①同上推导SS? S?S②（同底等高）ACD?BCDBCD?ABC??SS?S?S?即：对角平行四边形面积乘积相等（二）4231）内作两条分别平行于两组相对边的线段GH、EF（在平行四边形ABCD M垂直于GH于点HF、FG，过点E作EMGE推导：连接、EH、111SS???S?SSS同理可得：4EOH?OGF?OFH?32222S??S?SS由蝴蝶定理可知：SS??SS?①（一）4213 EOH?OFHOGE??OGF?四、蝴蝶模型与长方形S?S?SS?②4132?S?S?SS即：对角长方形面积（二）4123乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？分析：梯形ABCD是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD的面积。
解：由蝴蝶定理可知：6BA O 4CD的面积是梯形答：梯形ABCD的面积是25。
2cm）2：如图，求阴影部分的面积。
（单位例，可直接求出阴影部分的分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”面积。
12 28cm（2）解：阴影6答：阴影部分的面积为14平方厘米。
求图中阴影部分的面积。
六年级奥数蝴蝶模型
蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：OC AOS S BOC AOB =∆∆ OC AOS S COD AOD =∆∆ COD AODBOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h BC AD //21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆221h BC S BDC ⨯⨯=∆BDC ABC S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB = OC OA = 31S S =∴ 42S S =即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21EM OG S S ⨯==∴1平行四边形 121S S OGE =∴∆同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形（一）①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
小学数学中的蝴蝶模型
小学数学中的蝴蝶模型
蝴蝶模型，又称梯形蝴蝶定理，是指在一个梯形中连接对角线后形成四个三角形。
梯形蝴蝶定理是平面几何中的重要定理，由于该定理的几何图形形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。
具体解释为：如上图所示，AC和BD是梯形ABCD的两条对角线，由于AD∥BC，△ABC和△DBC同底等高，则它们的面积相等。
而△BOC是上述两个三角形的公共部分，此时△AOB和△DOC的面积也相等。
从图上可以看出，△AOB和△DOC形似蝴蝶的两个翅膀，则此关系称为蝴蝶定理。
应用举例如图所示，为并列摆放的两个正方形，求图中阴影面积。
解：为方便描述图形间的关系，标注字母如下
因此，在梯形GBCF中，GC和BF为两条对角线，△BOG和△FOC满足蝴蝶定理关系，则它们面积相等，那么就可以将△FOC的阴影部分面积转化为△BOG的空白部分面积，此时两块阴影图形的面积之和就是△BCD的面积，因此
S△BCD=6×6÷2=18（cm2）。
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蝴蝶模型
一、蝴蝶模型与任意四边形
在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：
OC
AO S S BOC AOB =∆∆ OC
AO S S COD AOD =∆∆ COD
AOD BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴ 2431S S S S =即
4321S S S S ⨯=⨯∴
蝴蝶模型与梯形
①
②
推导：① 同上
② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点
D 作
△BCD 的高2h
BC AD //Θ
21h h =∴（两平行线之间高相等）
12
1h BC S ABC ⨯⨯=∆Θ 22
1h BC S BDC ⨯⨯=∆ BDC ABC S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴
蝴蝶模型与平行四边形
（一） ①
②
推导：① 同上
② BCD ABC S S ∆∆=Θ
ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）
4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+
21S S =∴ 43S S =
OD OB =Θ OC OA =
31S S =∴ 42S S =
即：对角平行四边形面积乘积相等
（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）
推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M
EM OG S OGE ⨯⨯=∴∆2
1 EM OG S S ⨯==∴1平行四边形
121S S OGE =∴∆
同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 42
1S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯
43212
1212121S S S S ⨯=⨯∴ 4321S S S S ⨯=⨯∴
蝴蝶模型与长方形
①
②
即：对角长方形面积乘积相等
蝴蝶模型与正方形
“子母图”——两共线相邻的正方形
在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少
分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。
解：由蝴蝶定理可知：
答：梯形ABCD 的面积是25。
例2：如图，求阴影部分的面积。
（单位cm 2）
分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。
解：（cm 2） 答：阴影部分的面积为14平方厘米。
例3：下图是两个正方形，大正方形边长是8，小正方形边长是6，求图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）
分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为容易算的部分。
由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知，连接AC ，所以AC 平行于GE ，由梯形的蝴蝶定理可知，三角形AOG 和三角形COE 面积相等，因此，阴影部分的面积就等于三角形GCE 的面积，即小正方形面积的一半。
解：连接AC ∵AC ∥GE ∴由梯形的蝴蝶定理可知： ∴（cm 2）
答：阴影部分的面积为18平方厘米。
练习题
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC ，BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米。
公园由平方千米的陆地和人工湖组成，则人工湖的面积是多少平方千米
如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块
的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC
的面积。
28 12 6 A B D C
4 6 O A B C D E F G O
如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为30 cm2，△CDQ的面积为80 cm2，求阴影部分的面积。
如图，四边形ABCG和CDEF都是正方形，DC等于12
厘米，CB等于10厘米，求阴影部分的面积。