五年级奥数.几何.蝴蝶模型(A级).学生版

四边形模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
O D
C
B
A s 4
s 3
s 2
s 1
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2
a b +．
A B
C D
O b
a S 3
S 2
S 1S 4
一、任意四边形
例题精讲
知识框架
蝴蝶模型
【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角
形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
7
6
E
D
C
B
A
7
6
【巩固】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次
是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．
O
G
F E
D
C B
A
【例 2】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平
方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
O
C
D
B
A
【巩固】一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？
【例3】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:
AG GC=？
C
B
【巩固】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD
的面积的1
3
，且2
AO=，3
DO=，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．
O
A D
C
B
【例 4】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．
【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．
【例 5】 如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积．
A
B
C
D
E
F G
A
B
C
D
E
F G
【巩固】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求
长方形ABCD 的面积．
A
B
C
D E
F G
【例 6】 正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那
么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．
4
B A 6
5
4
3
A A
【巩固】 如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果△ASM 、△MTB 与△DSN 的面
积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为 ．
N
M S
T
D
C
B
A
【例 7】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形ODE 的面积为6平方厘米。

则阴影部分的面
积是 平方厘米。

E
【巩固】 正方形ABCD 边长为6厘米，AE ＝13AC ，CF ＝1
3
BC 。

三角形DEF 的面积为 平方厘米。

C
A
二、梯形模型
【例 8】 如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积
分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．
35
25O
A
B
C
D
【巩固】 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。

已知AB =5，CD =3，且梯
形ABCD 的面积为4，求三角形OAB 的面积。

A B
C
D
O
【例 9】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形
BOC 面积的
2
3
，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比． O
A
B C
D
【巩固】 如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35
ABD CBD =三角形的面积三角形的面积
，
那么OC 的长是多少？
A
B
C
D
O
【随练1】 如图4，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89、
28、26，那么三角形DBE 的面积是 。

课堂检测
【随练2】 右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴
影部分的面积是 平方厘米．
B
【作业1】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，
求三角形BDG 的面积．
【作业2】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO
∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是 ．
O
M N
C
B
A
【作业3】 在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=∆BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面
家庭作业
积是 平方厘米。

【作业4】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形
BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．
H
G F
E
D
C
B A
【作业5】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，,E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．
【作业6】 如图，在长方形ABCD 中，6AB =厘米，2AD =厘米，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．
D
教学反馈。