六年级奥数蝴蝶模型讲解学习
六年级数学奥数培优教案(下册)图形问题之蝴蝶模型
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
类型 1：任意四边形中的蝴蝶模型① S 1 ⨯ S 3 = S 2 ⨯ S 4 （上、下两部分面积的积等于左、右两部分面积的积）；② S 1 : S 4 = S 2 : S 3 = (S 1 + S 2 ): (S 4 + S 3 )= AO : OC （左：右 = 左和：右和）类型 2：梯形中的蝴蝶模型① S 2 = S 4 ；② S 1 ⨯ S 3 = S 2 ⨯ S 4 ；③OC AO s s s s s s s s :)(:)(::34213241=++==④)(::::::224231ab ab ab b a s s s s 上下平方，左右=⑤梯形 S 的对应份数为 (a + b )2【例1】如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD ，被对角线 AC 、BD 分成四个部分，△ AOB面积为 1 平方千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6．92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【例2】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，BE=2EC ，CF=FD ，求△AEG 的面积．【例3】梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，已知梯形上底为 2，且△ABO 的面积等于△BOC 面积的32 ，求△AOD 与△BOC 的面积之比． 专题：图形问题之蝴蝶模型【例4】正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， BE =31AB , BF = 21BC ，四边形 BGHF 的面积是多少平方厘米？1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，则△BGC 的面积为 ；AG:GC=2、如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O 若△ABD的面积等于△BCD 的面积的31，且AO=2，DO=3，那么CO 的 长度是DO 的 倍。
蝴蝶模型(基础)(知识讲解)(学生版)
蝴蝶模型（基础）知识讲解（学生版）蝴蝶模型是一种用于描述和理解复杂系统中非线性关系的模型。
它基于混沌理论和蝴蝶效应，通过简单的数学方程，展示了微小的初始差异如何随着时间的推移导致巨大的系统变化。
这个模型不仅在数学和物理学中有重要应用，还可以帮助我们理解自然界和日常生活中的许多现象。
一、什么是蝴蝶模型？蝴蝶模型，也称为洛伦兹系统，是由美国气象学家爱德华·洛伦兹在1960年代提出的。
洛伦兹在研究天气预报时发现，即使是微小的初始条件变化，也会导致长期天气预报的巨大差异。
这个发现后来被称为“蝴蝶效应”，即“蝴蝶在巴西扇动翅膀，可能会在美国的德克萨斯州引发龙卷风”。
二、蝴蝶模型的方程dx/dt = σ(y x)dy/dt = x(ρ z) ydz/dt = xy βz其中，x、y、z是系统的状态变量，而σ、ρ、β是参数，通常取σ = 10, ρ = 28, β = 8/3。
这些参数的取值对于系统的行为有着重要影响。
三、蝴蝶模型的特性蝴蝶模型具有几个显著特性，使其成为一个有趣的研究对象：1. 混沌性：蝴蝶模型的解表现出混沌行为，这意味着即使初始条件非常接近，随着时间的推移，解也会迅速分离。
2. 敏感性：蝴蝶模型对初始条件非常敏感，微小的变化会导致长期行为的巨大差异。
3. 吸引子：蝴蝶模型的解趋向于一个复杂的几何形状，称为“洛伦兹吸引子”。
这个吸引子是混沌系统的典型特征。
四、蝴蝶模型的应用蝴蝶模型不仅在理论研究中有着重要地位，它在实际应用中也展现出广泛的价值。
例如：1. 气象学：蝴蝶模型有助于理解天气预报的不确定性，以及为什么长期天气预报难以准确。
2. 经济学：蝴蝶模型可以用来模拟经济系统的复杂动态，如股市波动和宏观经济预测。
3. 生态学：蝴蝶模型可以用来研究生态系统中的种群动态和生物多样性。
通过学习蝴蝶模型，我们可以更好地理解复杂系统的行为，以及如何在不同领域中应用这些知识。
希望这个基础讲解能够帮助你入门，激发你对混沌理论和非线性动力学的兴趣。
2019年数学奥数6年级终极培优详解(第4讲)图形问题之蝴蝶模型
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一 方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系； 另一方面， 也可以得到 与面积对应的对角线的比例关系。
类型 1：任意四边形中的蝴蝶模型
① S1 S3 S2 S4 （上、下两部分面积的积等于左、右两部分面积的积）；
是多少平方厘米？
1 AB, BF
3
1 BC ，四边形 BGHF 的面积
2
1、如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，则△ BGC 的
面积为
；AG:GC=
2、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O 若△ ABD
的面积等于△ BCD 的面积的 1 ，且 AO=2， DO=3，那么 CO 的 3
【例 2】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， BE=2EC， CF=FD ，求△ AEG的面积．
【例 3】梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，已知梯形上底为 2 ，且△ ABO的面积 等于△ BOC面积的 2 ，求△ AOD与△ BOC的面积之比．
3
【例 4】正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， BE
长度是 DO 的
倍。
3、梯形的下底是上底的 1.5 倍，△ OBC 的面积是 9cm2 ，
则△ AOD 的面积是
4、正方形 ABCD的面积是 57 平方厘米， E 是 AB的中点， F 是 BC
的中点，则四边形 BGHFABCD是梯形，△ ADE面积是 1.8 ，△ ABF 的面积是 9 ，△ BCF 的面积是 27 ．那么阴影△ AEC面积是多少？
② S1 : S4 S2 : S3
S1 S2 : S4 S3 AO : OC （左：右
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)知识讲解
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
六年级奥数蝴蝶模型(供参考)
蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h21h h =∴（两平行线之间高相等）三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ） 推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯四、蝴蝶模型与长方形（一） ①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b 、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。
解：由蝴蝶定理可知：S ∆BOC =S ∆AOD =6∴S ∆DOC =6×6÷4=9∴梯形ABCD 的面积是9+6+4+6=25答：梯形ABCD 的面积是25。
例2：如图，求阴影部分的面积。
（单位cm 2）分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。
解：S 阴影=28×6÷12=14（cm 2）答：阴影部分的面积为14平方厘米。
六年级奥数蝴蝶模型
蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：OC AOS S BOC AOB =∆∆ OC AOS S COD AOD =∆∆ COD AODBOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h BC AD //21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆221h BC S BDC ⨯⨯=∆BDC ABC S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB = OC OA = 31S S =∴ 42S S =即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21EM OG S S ⨯==∴1平行四边形 121S S OGE =∴∆同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形（一）①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
小学六年级奥数 五大模型——蝴蝶模型、燕尾模型
1
【例2】(★★★)
如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别 为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 ___________平方厘米。
【例3】 (★★★)
如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB的长是9。那么四边形OECD的面积是多少？
五大模型——蝴蝶模型、燕尾模型
1．蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系：
①
S :S =S :S
12
43
或者S1
S 3
=
S 2
S 4
② AO:OC = S +S : S +S
1
2
4
3
BO:OD= S +S : S +S
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
Aa D S1
S2 O S4
S3
B
C
b
二、本讲经典例题 例1，例4，例6，例7，例8
3．燕尾模型 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么 SABO : SACO BD : DC 。
4
1
4
3．燕尾模型
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那 么SABO : SACO BD : DC 。
2．梯形蝴蝶模型 梯形中比例关系： ① S2＝S4 ② S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab
六年级奥数蝴蝶模型
蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：OC AOS S BOC AOB =∆∆ OC AOS S COD AOD =∆∆ COD AODBOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h BC AD //Θ21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆Θ221h BC S BDC ⨯⨯=∆BDC ABC S S ∆∆=∴3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆=Θ ACD BCD S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB =Θ OC OA = 31S S =∴ 42S S =即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21EM OG S S ⨯==∴1平行四边形121S S OGE =∴∆同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形（一） ①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
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蝴蝶模型
一、蝴蝶模型与任意四边形
在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：
OC AO
S S BOC AOB =∆∆ OC AO
S S COD AOD =∆∆ COD AOD
BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴
2
4
31S S S S =即
4321S S S S ⨯=⨯∴
二、蝴蝶模型与梯形
①
②
推导：① 同上
② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作
△BCD 的高2h BC AD //Θ
21h h =∴（两平行线之间高相等）
121
h BC S ABC ⨯⨯=∆Θ
22
1
h BC S BDC ⨯⨯=∆
BDC ABC S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴
三、蝴蝶模型与平行四边形
（一） ①
②
推导：① 同上
② BCD ABC S S ∆∆=Θ ACD BCD S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB =Θ OC OA = 31S S =∴ 42S S =
即：对角平行四边形面积乘积相等
（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）
推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M
EM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21
EM OG S S ⨯==∴1平行四边形 12
1S S OGE =
∴∆
同理可得：321S S OGF =
∴∆ 221S S OFH =∆ 42
1S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯
432121
212121S S S S ⨯=⨯∴
4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形
（一）①
②
即：对角长方形面积乘积相等
五、蝴蝶模型与正方形
“子母图”——两共线相邻的正方形
在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？
分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。
解：由蝴蝶定理可知：
答：梯形ABCD 的面积是25。
例2：如图，求阴影部分的面积。
（单位cm 2）
分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。
解：
（cm 2）
答：阴影部分的面积为14平方厘米。
例3：下图是两个正方形，大正方形边长是8，小正方形边长是6，求图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）
分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为容易算的部分。
由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知，连接AC ，所以AC 平行于GE ，由梯形的蝴蝶定理可知，三角形AOG 和三角形COE 面积相等，因此，阴影部分的面积就等于三角形GCE 的面积，即小正方形面积的一半。
解：连接AC
∵AC ∥GE
∴由梯形的蝴蝶定理可知：
∴
（cm 2）
答：阴影部分的面积为18平方厘米。
28 12 6
A
B
D
C
4 6
O
D F
G O
练习题
1.如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC，BD分成四
个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米。
公园由6.92平方千米的陆地和人工湖组成，则人工湖的面积是多少平方千米？
2.如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分
别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的
面积。
3.如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为30cm2，△CDQ的面积
为80 cm2，求阴影部分的面积。
4.如图，四边形ABCG和CDEF都是正方形，DC等于12厘米，CB等
于10厘米，求阴影部分的面积。