行列式概念与性质

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路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例设 解
, 计算 det A 的值. def
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
若写出计算3 阶行列式值的公式为
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
以下表的形式记 3 阶行列式值的计算公式
说明 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列 的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负. 结论 n 阶行列式的值是 n！个不同项的代数和，其中的每 一项都是处于行列式不同行又不同列的n 个元之乘积.
利用行列式按行按列展开定理, 并结合行列式性质 ,可简化行列式计算：
方法 计算行列式时, 可先用行列式的性质将某一行(列) 化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行 列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.
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例 计算行列式
解
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
如果将行列式中的aij换成akj，那么自然有
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
综上所述,得公式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
行列式含有两个 相同的行, 值为 0 .
注 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并 不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1) 阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一 行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义， 但展开定理在理论上是重要的．
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定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和, 即
或表达为 若行列式按列展开，有
行列式的展开定理
定理 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素 的代数余子式乘积之和等于零, 即
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证 将行列式按第 i 行展开,有
一、 概念
对任一n阶矩阵
用式子
表示一个与 A 相联系的数，
常把上述表达式称为 A 的行列式 (determinant), 记作det A 或用大写字母 D 表示,而把相联系的那个数称为行列式的值.
今后，称上述具有n 行n 列的表达式为n 阶行列式.
定义 对一n阶矩阵
把删去第i 行及第j 列后Leabharlann Baidu得的(n–1)阶子矩阵称为对应于元 aij 的余子矩阵，并以Sij 记之.
，把 化为下三角形行列式
设为
对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 设为
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证明：对 作运算 ，把 化为下三角形行列式
对 D 的前 k 行作运算
，则
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对 作运算 ，把 化为下三角形行列式
对 D 的后 n 列作运算
，则
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定义 一阶矩阵 [a11 ]的行列式之值定义为数a11 ，即
def
det [ a11 ]
a11
对 n = 2, 3, … , 用以下公式递归地定义 n 阶行列式之值：
def
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def
例设
，计算该行列式的值
解 因有 S11 = [ a22 ], S12 = [ a21 ], 故
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相当于把行列式按第一行展开
2、性质
定理1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质
凡是对行成立的对列也同样成立. 定理 对n 阶矩阵 A ，有
行列式的值 也可按第1列 展开计算.
定理2 互换行列式的两行(列),行列式值反号.
例如
推论 若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零. 定理3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数 k 乘此行列式.
请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同 一数k，等于用 乘以此行列式.
推论1 对 n 阶行列式A ，有 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零．
定理 设 L 是有如下分块形式的 ( n +p ) 阶矩阵
其中 A 是 n 阶矩阵， B 是 p 阶矩阵，则有
注意 公式中C 的元之具体值对结果无影响. 在 A、B 是方阵时也成立
定理 若A、B是两个同阶矩阵，则
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例设
证明
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证明 对 作运算
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定义 对 n 阶行列式 det A，称 det Sij 为元 aij 的余子式 ,
称
为元 aij 的代数余子式.
例如
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注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个 代数余子式. 根据该定义，可重新表达行列式的值
def
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
对 D 的前 k 行作运算
，再对后 n 列作运算
，
把 D 化为下三角形行列式
故
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例：设
, D的(i, j)元的余子式和
代数余子式依次记作 Mij 和Aij ，求 及
分析：利用
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解：
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证
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推论3 一行(或列) 元素全为0的行列式值等于零． 定理4 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和
例如 则 D 等于下列两个行列式之和
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推论 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式的值不变．
例如
行列式等值 变形法则
行列式概念与性质
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月11日星期六
本章的主要内容
§3.1 行列式的概念 §3.2 行列式值的和性质、记算 §3.3 若干应用(逆阵公式、克拉默法则等) 重点内容 行列式的计算
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§3.1 行列式的概念和性质
1、概念 2、性质
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