行列式的定义及其性质证明
行列式定义间的等价性及某些性质的证明
行列式定义间的等价性及某些性质的证明在数学中，行列式是由一组数字组成的方阵，它可以用于表示向量之间的线性关系和线性方程组的解。
这些方阵能够揭示许多有用的性质，并且有许多定义，它们之间存在着等价性。
本文旨在讨论行列式定义间的等价性及其某些性质的证明。
定义一：行列式是由矩阵的每一行的元素的乘积的累积的积，以及每一列元素的乘积的累积的积组成的。
记作D，则D=[a11a12...a1n|a21a22...a2n|...|an1an2...ann]，其中a11、a12…an1、an2…ann分别表示方阵中的每一个元素。
定义二：行列式是由矩阵的每一行的元素的代数和，以及每一列元素的代数和组成的。
记作D，则D=[a11+a12+...+a1n|a21+a22+...+a2n|...|an1+an2+...+ann]，其中a11、a12…an1、an2…ann分别表示方阵中的每一个元素。
义一和定义二是行列式的另外两种定义，它们之间存在着等价性，也就是说，相同的行列式拥有相同的值。
实际上，它们之间的关系可以表示成如下形式：D=D1=D2下面我们将详细说明一下它们之间的联系：首先，考虑定义一和定义二之间的关系。
由定义一可以看出，行列式的值实际上是每一行元素乘积的累积积以及每一列元素乘积的累积积的总和。
而定义二表明，行列式的值是每一行元素的代数和以及每一列元素的代数和的总和。
两者之间的等价性可以从另一层角度来看：由定义一可知，每一行乘积的累积积和每一列乘积的累积积之和正是每一行元素的代数和以及每一列元素的代数和的总和，这正是定义二的内容。
接下来，我们将证明行列式的一些重要性质。
首先我们来证明变换性质。
假设有一个任意维数n的行列式D，那么D的值通过行交换或者列交换都不会变化，仍然保持不变。
给出下式：D=D1=D2，其中D1是行交换后的行列式，而D2则是列交换后的行列式，因此可以认为D1=D2，这也就证明了变换性质。
我们还可以证明行列式的总和性质。
行列式的认识
行列式的认识在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它是一个方阵的一个标量量度。
它在许多领域中都有着广泛的应用，包括物理，工程学，统计学和计算机图形学等。
1. 行列式的定义行列式通常表示为$det(A)$或$|A|$。
它是一个方阵的数字值，如果它是正的，则表示该矩阵是“正定”的，否则表示它是“负定”的。
一个矩阵的行列式的计算方式如下：$$ det(A)=\sum_{\sigma\in S_{n}}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma_i},$$其中，$n$是矩阵的阶数，$a_{i,j}$是矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素，$S_n$是$n$个元素的置换群，$\sigma$是$S_n$中一个置换。
$\tau(\sigma)$表示置换$\sigma$的逆序数，即该置换可以通过多少次交换相邻的元素变为单位置换。
$(-1)^{\tau(\sigma)}$表示符号，当逆序数是偶数时取值为正，当逆序数是奇数时取值为负。
因此，行列式的值可以通过先列出所有可能的$n!$种置换，然后计算每个置换的贡献来得到。
2. 行列式的性质行列式有许多令人惊讶的性质。
以下是一些重要性质的概述：2.1 行列式的性质1：任意交换矩阵的两行或两列，行列式的值会发生反转。
根据上述公式，当交换两行时，置换的符号改变了，因为逆序数的奇偶性改变了。
当交换两列时，置换的奇偶性也改变了，因此结果符号仍然改变。
例如，对于一个3x3的矩阵A，如果我们交换第1行和第2行，那么行列式的值将由$det(A)$变为$-det(A)$。
2.2 行列式的性质2：如果矩阵的两行或两列成比例，那么该行列式的值为零。
如果两行成比例，那么矩阵的行列式为零，因为对于任何置换$\sigma$，这两行的元素始终被映射到了同一列。
结果是，对于每个乘积$a_{i,\sigma_i}$，该乘积乘以一个相同的因子$a_{j,\sigma_j}=ka_{i,\sigma_j}$，其中$k$是一个常数。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
行列式运算法则
• 利用几何法，通过图形直观地证明性质
行列式的特殊类型
对角行列式
• 对角线上的元素相乘后求和，即det(A) = Σ(-1)^(i+j) * aij * det(I_(ij))，其中I是
单位矩阵
上三角行列式和下三角行列式
• 上三角行列式：主对角线以下的元素全为0的行列式
det(I)
• 伴随矩阵可以用来计算行列式的导数
03
逆矩阵和伴随矩阵的计算方法
• 利用高斯消元法计算逆矩阵
• 利用行列式的性质和公式计算伴随矩阵
05
行列式运算的误差分析与优化
行列式运算的误差来源
误差来源分析
误差控制方法
• 舍入误差：由于计算机的浮点数表示和运算，可能导致
• 提高计算机的浮点数精度
• 对角线求和性：det(A) = Σ(-1)^(i+j) * aij * det(A(ij))，其中A(ij)是去掉第i行和第
j列后的矩阵
• 交换律：det(AB) = det(BA)
• 多行（列）展开性：可以将行列式的一行（列）展开，得到一个新的行列式
行列式性质的证明方法
• 利用定义法，通过计算证明性质
行列式运算法则
CREATE TOGETHER
DOCS
01
行列式的定义与性质
行列式的定义及其意义
行列式是线性代数中的一个重要概念
• 定义：一个n阶方阵A的元素aij（i, j = 1, 2, ..., n）按照一定的规则
相乘后求和，记作det(A)
• 意义：行列式反映了矩阵的一些重要性质，如线性无关向量组的体
• 行展开式：将第i行展开，得到一个新的(n-1)阶行列式
线性代数行列式
行列式一、 行列式的定义对于n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nin n a a a a a a a a a A 22222111211， （11—2—1）与之相联系的一个数，表示成nnn ninna a a a a a a a a22222111211， （11—2—2）称为一个n 阶行列式或A 的行列式，记为A 或A det 。
在行列式中，ij a 也称为元素。
为了规定行列式的值，我们引入下面的概念。
定义 1 在方阵（11—2—1）中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的()21-n 个元素按原来的排法构成的一个1-n 阶行列式nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-，称为元素ij a 的余子式，记为ij M 。
()ij ji M +-1称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A 。
例1 在四阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----132********33112 中，第2行第3列的元素5的余子式是12420131223--=M 。
而其代数余子式为()321+-乘它的余子式M ，即12420131223---=A 。
定义2 一阶行列式只有一个元素，其值就规定为这个元素的值。
n 阶行列式（2≥n ）的值规定为它任意一行的各元素与对应的代数余子式的乘积之和。
用符号表示，就是()∑∑=+=-==nj ij ij ji nj ij ij M a A a A 111。
上式称为行列式按第i 行展开。
可以证明，这个值与展开时所用的行是没有关系的（见例3）。
例2 用定义展开二阶行列式22211211a a a a 。
解 按第1行展开。
因为()222211111a a A =-=+，()212121121a a A -=-=+，于是得这个行列式的值为2112221112121111a a a a A a A a -=+。
行列式
行列式1.性质 1行列式与它的转置行列式相等.即DnDn .2.性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.3.性质 3行列式Dn 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积的和.推论行列式任意一行(列)的元素与另一行(列)的代数余子式乘积的和为零.4.性质 4行列式某行(列)元素的公因子可提到行列式符号之外.也即行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.推论若行列式有两行(列)成比例，则其值为0．eg. 奇数阶反对称行列式的值必为0．5.性质 5若行列式的某行(列)的元素均为两项之和，则行列式可按此行(列)拆成两个行列式之和．6.性质 6行列式某行(列)的倍数加于另一行(列)，行列式的值不变．7.行列式的计算（1）范德蒙德(Vandermonde)行列式等于x1, x2, , xn这n个数的所有可能的差xi xj 1 j i n 的乘积.（2）行列式主对角线上方和下方元素完全相同,且主对角线上元素相同的行列式. 解法:所有行(列)都加到第一行(列),然后化成三角形行列式（3）主对角线上方和下方元素分别相同,且主对角线上元素相同的行列式. 解法:可用拆分法.（4）三对角线型行列式:指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上元素不全为0而其余元素全为0的行列式.三对角线型及其变形行列式通常可用数学归纳法、递推法、化成三角形行列式等方法.8.行列式的乘法即行乘列规则，An的第i 行与Bn的第j列对应元素乘积之和为9.克拉默法则(1)用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零(2)定理若方程组的系数行列式 ,那么线性方程组有解，并且解是唯一的(3)推论若齐次线性方程组的系数行列式,则方程组只有惟一零解推论的等价叙述：齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行列式必等于零。
行列式的定义及其性质证明
行列式的定义及其性质证明(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--行列式的定义及其性质证明摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。
关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数1 基本定理与性质的证明引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。
证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。
定理1 n阶行列式也可定义为证明由定义1和引理即可证得。
性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。
(根据性质1知对行成立的性质对列也成立)性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。
性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。
证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即(mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这2行对应元素相等，根据二阶行列式的定义可知D i=0，所以M i+s=0，因此D=0，证毕。
性质4 行列式的某行(列)的每个元素与另一行(或列)的对应元素的代数余子式乘积之和为零。
§2 行列式的性质与计算
j (1) ( j j j ) a1 j (aij j j
1 2 n 1 1 2 n
i
biji ) anjn
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ( 1) ( j j j ) a1 j aij anj j j j ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin ( j j j ) ( 1) a1 j bij anj j j j an1 an 2 ann an1 an 2 ann
a1 p1 aip j a jpi anpn
p p (1) p p
( p1 p j pi pn )
D
§2 行列式的性质与计算
推论1 如果行列式中有两行（列）相同，那么
该行列式为零． 比如：
1 2 3 1 2 3 4 5 6
r1 r2
1 2 3 1 2 3 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 6
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下 的低一阶行列式； 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式， 这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
§2 行列式的性质与计算
二、应用举例
例1. 计算行列式
0 1 D 1 2 2 2 0 0
1 1 2 1
1 0 1 1
2 2 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 2 2 2 4
§2 行列式的性质与计算
a b c d a ab abc abcd r3 r2 ( 1) 0 a 2a b 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c
a 0 r2 r1 ( 1) 0 0
a r4 r3 ( 1) 0 0 0
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行列式的定义及其性质证明
摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。
关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数
1基本定理与性质的证明
引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。
证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。
定理1n阶行列式也可定义为
证明由定义1和引理即可证得。
性质1行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。
(根据性质1知对行成立的性质对列也成立)
性质2行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。
性质3如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。
证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知
又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即
(mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这
2行对应元素相等，根据二阶行列式的定义可知D i=0，所以M i+s=0，因此D=0，证毕。
性质4行列式的某行(列)的每个元素与另一行(或列)的对应元素的代数余子式乘积之和为零。
证明设D1= 有性质2可知
=0
性质5行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一数K，等于用数K乘以此行列式。
证明设D= 的第行的所有元素都乘以数K，得
行列式A，根据定理1，
A=
证毕。
性质6行列式中如果有两行(列)对应元素成比例，则此行列式等于零。
证明利用性质5和性质3即可证得。
性质7行列式的某一列(行)的元素都是2数之和，设
D= ，则D等于下列2
个行列式之和:
证明由定理1知:
=D1+D2 ，证毕。
性质8把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变。
由性质5可知=0，所以D′
=D，证毕。
性质9互换行列式的两行(列)，行列式变号。
证明由性质8、性质7，根据性质3可证。
2结论
n阶行列式的性质1、2、5、7只运用定理1证明，化繁为简。
以往教材，性质3和性质9必有一个性质用逆序数的有关概念来证，非常抽象，本文改进了行列式的定义后，性质3运用性质2证得，性质9运用性质3、7、8证得，化难为易;同时，也提升了我们学习的逻辑思维能力、推理能力、创新能力。
充分体现了非数学专业的大学数学除了具有为专业课提供使用工具的功能，还应该有训练科学思维，激发学生创新热情的素质教育的功能。
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