行列式的基本性质
线性代数1.2行列式的性质
如 1 6 7
1 9 7
137
5 7 3 5 1 3 5 6 3
2 3 9 2 4 9 2 1 9
性质5 将行列式的某一行(列)所有元素的 k倍加到另一行
(列)的对应元素上,行列式的值不变,即:
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 ain k
ai1
ai 2
ain
aj 1 aj 2 ajn
例1计算 阶行列式
3
4 1 2
D
15 2
12 0
9 12 1 1
1 20 3 3
解：注意到行列式第2列元素都有因数4，可将其提出来。
3 1 1 2
3 1 1 2
D
4 15 2
3 0
9 1
12 1
4
3 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 5 3 3
将行列式化成上三角型行列式过程中我们希望第1行、第1列
ipj
jpi
npn
p1pi pj pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
p1pj pi pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
D
p1pj pi pn
证毕。
推论1 若行列式的两行(列)的对应元素相同,则行列式为零.
第二节 行列式的性质
一 行列式的性质
在计算行列式的时候,一般都不会直接使用定义,通常会 将行列式进行一些变换,化成容易看出结果的形态,此节就是 讨论行列式的变换遵循什么法则.
行列式的性质
k
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a11 a12 a13 a14
k 0 0
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：
a11 a12 b12 a13 D a21 a22 b22 a23 a31 a32 b32 a33 a11 a12 a13 a11 b12 a13 D a21 a22 a23 a21 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则 行列式可按该行（列）拆成两个行列式的和。 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d a1 a2 0 1 xa a D a a
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
ri krj (ci kc j ).
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 , a31 a32 a33
则 D D1 .
a11 D1 a21 a31
a12 ka13 a22 ka23 a32 ka33
性质1
行列式与它的转置行列式相等,即 D D .
T
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立.
性质2
交换行列式的两行（列）,行列式变号.
注：交换第 i 行（列）和第j 行（列），记作 ri rj (ci c j ) .
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
1.4 行列式的性质
a 1n
则
D b1 a n1
bn c1 ann a n1
一、行列式的性质
注： 性质5可以推广到某一行（列）的元素为几组 数的和的情形. 性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一
个倍数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行
列式的值不变．
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
例5 设 D
ak1 c 11 c n1
a b 11 a 1 k 11 b 1 n D a ,D b , 1 det( ij) 2 det( ij) a b k 1 a kk n 1 b nn
D D . 证明 D 1 2
二、行列式性质的应用
1 1 3 1
1 1 1 3
二、行列式性质的应用
r2 ( 1 ) r1 r3 ( 1 ) r1 r4 ( 1 ) r1
1 0 6 0 0
1 2 0 0
1 0 2 0
1 0 6 8 48. 0 2
二、行列式性质的应用
例4 计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
D 4 1
r1 r2
6 1
0 2
0 1
4 1 1
二、行列式性质的应用
6 0 0 4 1 1 1 2 1
c3 c2
6
0
0
4 1 0 18. 1 2 3
1
（方法二）
2 D 1 4 1 1 200+1 100+2 100+1
第五节--行列式的性质
第 2n 列依次与第 2n – 1 列、···、第 2 列对调，得
ab0
0
cd0
0
00a
b
D2n
,
ab
cd
00c
d
本若请本若请本若请本若请本本若若请请本若节想请单节想本单若节想请单节想本单若节节想想请单单节想内结本单若击内请结节击想内结本单若击内请结节击想内 内结 结本单若击击内请结容束节击想返本容单若束内请返结容束节击想返本容单若束内请返结容 容束 束节击想返返本容单若束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已 已本 本内请返结回回节已击想本结本堂容单若回束按内结请返结本堂若节已击想按本结请本 本堂容单若 若回束按内结请 请返结本堂若节已击想按本结 结请本堂 堂容单若回束按按内结请返结堂束节课已击想按本钮容束单回束节课想内结返结钮堂束单节 节课已击想 想按本钮容束单单回束节课想内结返结钮堂束 束单节课 课已击想按本钮钮容束单回束课内,结返结钮堂.已击按本内,!结容束回束课.击内 内,结!返结 结钮堂.已击击按本内,!结容束回束课.击内,,结!返结钮堂..已击按本,!!容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容 容束回束 束课.结!返返钮堂容束已按本,返容束回束课.结!返钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已按本 本,束回回课.已本结!钮堂回已按本,束回课.结!钮堂按,结堂束课.按结 结!钮堂堂按按,结堂束课.按结!钮堂按,束课.!钮束课,钮束束课课.!钮钮束课,钮束课.!钮,.,!.,,!..,!!.,!.!
性质２ 互换行列式旳两行，行列式变号．
性质２ 互换行列式的两行，行列式变号． 证明 设行列式
b11 b12 b1n
D1
b21
b22
行列式的性质(3)、克莱姆法则和行列式的逆序定义
§3 克莱姆法则 一、齐次与非齐次线性方程组的概念
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 对线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
提示：从第一行起，每一行都减去其下一行。
四、行列式的其他常见计算方法简介： 1.按定义：不同行不同列元素乘积的代数和； (在介绍行列式的逆序定义后介绍） 2.数学归纳法：如范德蒙行列式的计算（课本24 页例5）； 3.递推法：找出n阶行列式与其结构相同的较低阶 行列式的关系再求解； 4.加边法（添加一行一列，变成n+1阶再求解）； 5.折成行列式之积（或和）； 6.作辅助行列式； · · · · · ·
a1 a1 1. a1 a1 a1 a2 a1 a2 x a2 a2 a2 a3 a3 a3 a3 an 1 an 1 an 1 an an an an an 1 an x
a2 a3 x
an 2 an 1 x an 1
1.行列式可按任一行（列）展开。 二、简单行列式的计算：
1.直接判断为零； 2.降阶法：按多零的行（列）展开 （也可以利用性 质把某一行（列）元素尽可能多化为零）；
3.化为三角行列式。
a11 a1k ak1 akk 课后思考： D c11 c1k cn1 cnk
（推论1的逆否命题） 推论2：若齐次线性方程组(1)有非零解，则其系数
行列式 D 0.
x1 x2 2 x3 0 例：若方程组 2 x1 x2 3 x3 0 有非零解，求 . 2x 2x 2x 0 1 2 3
行列式的性质
行列式的性质
性质1把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k，等于以数k乘以该行列式。
推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面。
推论2如果行列式中有一行(列)全为零，那么该行列式等于零。
性质2交换行列式中任意两行(列)的位置，行列式改变符号。
推论3如果行列式中有两行(列)的对应元素完全相同，那么该行列式等于零。
推论4如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例，那么该行列式等于零。
性质3如果行列式的某一行(列)的元素为两组数的和，那么该行列式可以分为两个行列式之和。
而且这两个行列式除这一行(列)以外的其他元素与原行列式的对应元素一样。
性质4如果以数k乘以行列式中的某一行(列)的所有元素然后加到另一行(列)的对应元素上去，所
得行列式的值不变。
111
222
333
a b c
D a b c
a b c
=将D的第1，2，3行依次变为第1，2，3列，得到的新行列式
称为D的转置行列式，记为T D，即T D=
123 123 123
a a a
b b b
c c c
性质5行列式与它的转置行列式相等即T D D
=。
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第二章
行列式
利用性质4和推论4即知。 a + x1 例2.4.1 计算行列式 D3 = a + x2 a + x3
b + x1 b + x2 b + x3
c + x1 c + x2 c + x3
a + x1 解: D3 = a + x2 a + x3
b−a c−a b−a c−a b−a c−a
=0
§2.4 行列式的基本性质
直接用定义计算行列式是很麻烦的事，本节要导出行列 式运算的一些性质，利用这些性质，将使行列式的计算大为 简化。
a11 a21 转置行列式：把n阶行列式 D = L an1
a21 L an1 a22 L an 2 L L L a2 n L ann
a12 L a1n a22 L a2 n L L L an 2 L ann
第二章
行列式
a11 L
a12 L
L L
a1n L
D = ai1 + bi1 ai 2 + bi 2 L ain + bin L L L L an1 an 2 L ann
a11 a12 L L = ai1 ai 2 L L an1 an 2
L L L L L
a1n a11 a12 L L L ain + bi1 bi 2 L L L ann an1 an 2
L L
b 0
L 0 L L L a −b
a + ( n − 1) b = 0 0 L 0
b
b
L
b
a −b 0 0 a −b L L 0 0
L 0 n −1 L 0 = [ a + (n − 1)b ] (a − b) L L L a −b
第二章
行列式
在一个n阶行列式 Dn 中，若有 aij = a ji , i, j = 1, 2,L , n ， 则称 Dn 为n阶对称行列式；若有 aij = − a ji , i, j = 1, 2,L , n 则称 Dn 为反对称行列式。 例2.4.4 奇数阶的反对称行列式等于0。 证明：设 Dn 为奇数阶的反对称行列式。 由于aij = − a ji , 得 aii = 0, i = 1, 2,L , n
0 −a12 于是 D = −a n 13 L −a1n a12 0 −a23 L −a 2 n a13 a23 0 L −a3n
0 L a1n L a 2 n 转置 a12 L a3n = a13 L L L a1n L 0 −a12 0 a23 L a 2n −a13 L −a1n
−a23 L −a 2 n 0 L −a3n L a3n L L L 0
1 −1 = 0 0 0 1 0 0
1 −1 0 0 0 1 0 0
−2 −20
−2 −20
= −22
第二章 行列式
定理2.4.1： 任一个n阶行列式都可以利用性质5中的行或列变 换化为一个与其相等的上（下）三角行列式。
a11 a D = 21 L an1 a12 a22 L an 2 L L L L a1n a2 n L ann
第二章
行列式
0
性质 2 推论1
a12 0 − a23 L −a 2 n
a13 a23 0 L
L
a1n
n为奇数
= ( −1)
n
−a12 −a13 L − a1n
L a 2n L a3n L L 0
= − Dn
−a3n L
∴ Dn = 0
0
1
1
L
1
例2.4.5(思考题) 计算n阶行列式
1 0 1 L 1 Dn = 1 1 0 L 1 L L L L L 1 1 1 L 0
b b a
L L L
b b b
解
法一： Dn = b
L L L L L b b b L a
a + ( n − 1) b a + ( n − 1) b a + ( n − 1) b L a + ( n − 1) b b = b L b a b L b b a L b L L L L b b L a
1 b = a + ( n − 1) b b b
a11 a12 L a1n
a11
a12
L
a1n
即
L ai1 L a j1 L an1
L L L L ai 2 L ain ai1 + ka j1 L L L = L a j 2 L a jn a j1 L L L L an 2 L ann an1
L L L ai 2 + ka j 2 L ain + ka jn L a j2 L an 2 L L L L L a jn L ann
a11 L ai1 D L a j1 L an1
a12 L ai 2 L a j2 L an 2
L L L L L L L
a1n L ain L, a jn L ann
a11 L a j1 L ai1
a12 L a1n L L L a j 2 L a jn L L L D1 ai 2 L ain
第二章 行列式
1、先设D中第一列元素不全为零，若 a11 = 0, ai1 ≠ 0,
若D中第一列元素全为零，则D已经是（1）的形式。 现对（1）中第二列的 b22 ,L , bn 2 进行考虑，同上类似， 先设它们不全为零，不妨设 b22 ≠ 0 ，
a11 0 a12 b22 0 M 0
b b a b L L L L
性质1表明，在行列式中，行与列的地位是相同的。凡是对行 成立的性质，对列也同样成立。
第二章
行列式
性质2 ： 把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常数k， 相当于用数k乘这个行列式，即 a11 a12 L a1n L L L L kai1 kai 2 L kain = kD （倍法变换） L L L L an1 an 2 L ann 证明： a11 a12 L L kai1 kai 2 L L an1 an 2
第二章
L L
a1n L
L kain L L L ann
= ∑ ( −1)
τ ( j1L jn )
a1 j1 a2 j2 L kaiji L anjn
(
)
行列式
= k ∑ ( −1)
a11 L = k ai1 L
τ ( j1L jn )
a1 j1 a2 j2 L aiji L anjn
a12 L a1n L L L ai 2 L ain L L L
第二章
行列式
an1 an 2 L ann
推论1：一个行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提 到行列式的符号外面。 推论2：如果行列式中某一行（列）所有元素都为零，则这个 行列式等于零。 在性质2中，取k=0，即知结论成立。 性质3：交换行列式D中的某两行（列），行列式变号。 （换法变换）
第二章 行列式
即设
a1 j1 L biji L anjn
行列式
a11 L
a12 L a1n L L L
a11 L
a12 L a1n L L L
= ai1 ai 2 L ain + bi1 bi 2 L bin L L L L L L L L an1 an 2 L ann an1 an 2 L ann
性质5： 把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一个数k 再加到另一行（列）的对应元素上，所得行列式与原 行列式相等。（消法变换）
第二章
行列式
1 −1
3
4
例2.4.2 计算行列式 D4 =
0 1 3
1 2 0
−1 3 0 2 4 1
1 −1 0 解: D4 = 1 3 1 2 0
3
4
1 −1 1 3 3
3 −1 −3
4 3 −2
0 −1 3 = 0 0 2 0 4 1
3 −1 0 4 3 −11
=−
−5 −11
3 −1 0 4 3 −11
的第i行
变为第i列（i=1，2，…，n）所得的行列式
a11 a12Biblioteka L a1n称为D的转置行列式，用 D′ 表示。
第二章
行列式
性质1：行列式D与它的转置行列式相等。（转置变换） 证：考察D的任意项 a1 j1 a2 j2 L anjn —（1） 它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积，因而 也是取自 D′ 的第 j1 , j2 ,L , jn 行，1，2，…，n列的 n个元素的乘积，因而也是 D′ 中的一项: a j11a j2 2 L a jn n —（2）。
第二章 行列式
它所带符号为：( −1)
τ ( k1Lk j Lki Lkn )
。由于对换改变排列的奇
偶性，故D中的任一项与 D1 中对应项刚好相差一个符号， 故 D = − D1 推论3： 如果行列式中有两行（列）的元素对应相同，则这 个行列式等于零。 （交换这两行（列）即知 D = − D ） 推论4： 如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则 这个行列式等于零。 （利用性质2和推论3） 性质4：如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成 两项之和，则该行列式可拆成两个行列式之和，即 （拆法变换）
τ (12Ln ) +τ ( j1 j2 L jn )
（1）项所带的符号是 ( −1) , (2)项所带 τ ( j1L jn ) +τ (12Ln ) 的符号也是 ( −1) 。因而D中的任一项均为 D′ 中的项而且所带的符号也相同。同理可知 D′ 中的 任一项也是D中的项且所带的符号相同。因此D= D′.
a13 L a1n b23 L b2 n c33 L c3n M M cn 3 L cnn