行列式及其性质
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。
对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。
若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。
例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。
五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。
行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。
通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。
线性代数行列式的性质与计算
下页
2 1 3 1
例1. 计算行列式 D = 3 1 0 7 1 2 4 2 1 0 1 5
解：
1 0 1 5 r2 3r1 1 0 1 5
r3 +r1
r1r4 3 1 0 7 0 1 r4 2r1 3 8
D =
=
1 2 4 2
02 3 3
2 1 3 1
0 1 1 11
令Aij=(1)i+jMij， Aij称为元素aij的代数余子式.
例如，求4阶行列式中a32的代数余子式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
M32=
A32= (1)3+2M32 = M32
a11 a13 a14 a21 a23 a24 a41 a43 a44
下页
范得蒙（Vandermonde）行列式
1
a1 a12 Dn = a1n3 a1n2 a1n1
下页
1
1
0
Dn
=
0
0
0
a2 a1 a22 a1a2
a2n2 a1a2n3
a2n1 a1a2n2
1
a3 a1 a32 a1a3
a3n2 a1a3n3 a3n1 a1a3n2
1
an a1
an2 a1an
ann2 a1ann3
ann1 a1ann2
a2 a1 a22 a1a2
按第二列展开
D=a12A12 +a22A22 +a32A32
=0 (1)1+2 1 3 +1 (1)2+2 1 2 +3 (1)3+2 1 2
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
行列式_克莱姆法则
是一算式.当n=1时,定义D1 a11 a11 ;当n 2时, 定义 a22 Dn (1)11 a11 an 2 a23 a2 n a21
1+n + +(-1) a1n
a23 a2 n an 3 ann (2.5)
(1)1 2 a12 a22 a2, n 1 an 2 an ,n 1
即：
b1 d1 b2 d 2
b3 d3 b1
b3 d1 d 2
注：行列式加法与矩阵加法不同。
性质5：将行列式某一行（列）的每个元素同 乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素 上，行列式不变。
例如：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 c3
性5
a1 c1 a1 c1 a2 b2 c2 a3 c3
0
推论 2
性2
c1 c2
性质4：如果行列式D中的某一行（列）的每一 个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写 成两个行列式的和，这两个行列式分别为这两 个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位 置元素与D相同。
a1 c1 a2 c2 a3 c3 a1 a2 b2 c2 c1 a3 c3 a1 c1 a2 c2 a3 d3 c3
1 0 0 0 1 0 E3 0 0 1
等……
1 0...... 0 0 1......0 E n ...... 0 0......1
●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的
元素不全为0的方阵。如：
D
a11 a12 a1n
a21 an1 a22 an 2 a2 n ann
行列式的运算法则公式
行列式的运算法则公式1.行列式的性质：(1)交换定理：对于n阶行列式，将其行与列调换，则行列式的值不变。
(2)对角线法则：对于n阶行列式，行标和列标的和为偶数，则行列式的值为主对角线上各元素的乘积之和；行标和列标的和为奇数，则行列式的值为主对角线上各元素的乘积之差。
2.行列式的递推公式：(1)二阶行列式：对于2阶行列式，行列式的值等于左上角元素乘以右下角元素，减去右上角元素乘以左下角元素。
(2)三阶行列式：对于3阶行列式，行列式的值等于三个主对角线上元素的乘积之和，减去三个副对角线上元素的乘积之和。
3.行列式的初等变换：(1)行(列)交换：交换两行(列)，行列式的值不变。
(2)行(列)倍乘：将其中一行(列)的元素乘以k，行列式的值乘以k。
(3)行(列)倍加：将其中一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。
4.行列式的倍数的性质：(1)行(列)成比例：若有两行(列)是成比例的，则行列式的值为0。
(2)带公因子：若行(列)中存在公因子，可提出公因子，行列式的值等于公因子乘以去掉公因子的行列式的值。
5.行列式的秩：(1)非零行列式：对于非零行列式，如果有r行(列)成线性相关，则行列式的值为0。
(2)对角行列式：对于对角行列式，主对角线上的元素均不为0，则行列式的值等于主对角线上各元素的乘积。
6.行列式的乘改定义：(1) 行列式的乘积定义：两个行列式A和B的乘积定义为C=AB，其中C的元素为C_ij = ∑(A_i1*B_1j)，即A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
(2)顺序可交换：行列式的乘法满足顺序可交换，即AB=BA。
7.行列式的乘积规则：(1)两个行列式的乘积的维数：如果A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，则AB的维数为m×p。
(2)AB的行列式的值：如果AB的行列式的值存在，且A的行行列式的值不为0，B的列行列式的值不为0，则AB的行列式的值等于A的行列式的值乘以B的行列式的值。
行列式及其性质
行列式及其性质行列式是线性代数中的重要概念，它是一个正方形矩阵所具有的一个标量值。
在实际应用中，行列式有着广泛的用途，可以用来求解线性方程组、判断矩阵的可逆性以及描述线性变换的性质等。
本文将从定义、性质和应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解行列式及其相关概念。
一、行列式的定义行列式的定义涉及到矩阵元素的排列和正负号的组合。
对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则A的行列式记作|A|或det(A)，即：|A| = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_11 * a_23 * ... * a_n(n-1) + a_12 *a_23 * ... * a_n(n-1) - ... + (-1)^(n-1) * a_1n * a_2(n-1) * ... * a_nn二、行列式的性质1. 行列式的性质1：行列式与转置若A是一个n阶方阵，则有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。
2. 行列式的性质2：行列式的倍数若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以同一个数k，得到矩阵B，则有det(B) = k * det(A)。
3. 行列式的性质3：交换行（列）若交换矩阵A的两行（列），得到矩阵B，则有det(B) = -det(A)。
4. 行列式的性质4：行列式的线性性质对于矩阵A的两行（列），如果将其中一行（列）的元素乘以一个数k后，加到另一行（列）对应位置上，则行列式的值不变。
5. 行列式的性质5：行列式的性质与矩阵的性质之间的关系如果矩阵A中存在一行（列）全为0，则行列式det(A) = 0；如果矩阵A的某一行（列）成比例，则行列式det(A) = 0。
三、行列式的应用1. 行列式在线性方程组求解中的应用行列式可以用来判断线性方程组的解的唯一性以及是否有解。
对于一个n阶齐次线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该方程组只有零解；如果行列式为零，则该方程组有非零解。
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交换i, j两行 数K乘第 i 行 数K乘第 j 行后 加到第 i 行上去 交换i, j两列 数K乘第 i 列
ri rj k ri ri krj ci c j k ci
数K乘第 j 列后 加到第 i 列上去
ci kc j
行变 row
列变换 column
b2 a11
a22 a12
D1 D
a21 a22
x2
a11 a21 a11 a21
b1 b2 a12 a22
D2 D
●二阶行列式 定义
determinant
ab ad bc
cd
a
b
c
d
例 根据定义计算行列式的值
6 2 6(3) 2(5) 8
5 3
cos sin cos2 (sin2 ) 1
第六章 行 列 式 与 矩 阵
n阶行列式的概念
行列式的性质与计算 Cramer法则 矩阵及其计算 逆矩阵与矩阵的秩 分块矩阵 矩阵的初等变换
第 一 节 n 阶行列式
学习重点
余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念
●行列式的引入
引例：用加减消元法求解
二元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12x2 a22 x2
后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式
的值不变。
a1 a2 a3
a1
a2
a3
即 b1 b2 b3 b1 ka1 b2 ka2 b3 ka3
c1 c2 c3
c1
c2
c3
1、转置变换 2、换法变换 3、倍法变换 4、消法变换
换法变换 倍法变换
消法变换
行与列对调 交换i, j两行
ri ci
an1 an2
ann
a11 A11 a12 A12 L a1n A1n
n
a1 j A1 j j 1
按第一行展开
例 根据定义计算行列式的值
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
a13
a21 a31
a22 a32
a11 A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
元素 a12 的余子式 元素 a12 的代数余子式
a21 a31
a23 a33
M12
(1)12 M12 A12
●余子式
习
a a n1
n 1
1
2
a n 1 n
答 1、（1） 3 13
（2） 0
案 2、提示：用数学归纳法，后一行
a 减去前一行的 1 倍
行列式的计算方法：一般是先利用性质，用 小 消法变换将行列式中某一行（或列）的元素
尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不 结 为零，然后按该行（或列）展开，使行列式
a21 a22
a23
a31 a32 a33
例 根据定义计算行列式的值
514 3 2 1 2 0 2
对角线 法则
522 1(1)(2) 430
4 2 (2) 132 5 (1) 0 32
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
元素 a的ij 余子式 M就i是j 在行列式中划掉元素 a所ij
在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成 的行列式
●代数余子式 Aij
Aij (1)i j Mij
三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各 自的代数余子式的乘积之和
●n 阶行列式的定义（P222定义1）
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n M
ri rj
数K乘第 i 行
数K乘第 j 行后 加到第 i 行上 去
k ri ri krj
交换i, j两列
ci c j
数K乘第 i 列 k ci
数K乘第 j 列 后加到第 i 列 上去
ci kc j
等值 变号 翻倍 等值
变号 翻倍 等值
利用行列式的性质计算行列式的值
3 1 1 2
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n M
an1 an2
ann
n
ai1 Ai1 ai2 Ai2 L ain Ain aij Aij j 1
n
a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj aij Aij i 1
(i 1, 2,L , n） ( j 1, 2,L , n）
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 (1)11 0 0 1 3 (1)31 0 1 0
1 0 2
1 0 2
134 11
第 二 节 行列式的性质及计算
学习重点
行列式的性质 行列式的按行按列展开定理
ann
a11 A11 a21 A21 L an1 An1
n
ai1 Ai1 i 1
按第一列展开
上三角形行列式
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44
逐次按第一列 展开
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
0 8 4 2 r4 8r2
0 16 2 7
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 10 15
1 28 25 2
200
r4
5 4
r3
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 0 25
2
●行列式的展开与计算
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的的代数余子式乘积之和。
a11
a22 a32
a23 a33
a21
a12 a32
a13 a33
a31
a12 a22
a13 a23
a11 A11 a21 A21 a31 A31
三阶行列式等于 第一列所有元素与其代数余子式乘积之和
●定理
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n M
an1 an2
3 6
按第一列展开
(1) (1)11 1 4
4 0
c2 4c1 3 18 4 100
1 0 3
1 4 3
按第二行展开 1 (1)21 18 4 4 3
1(18)(3) (4)4 70
解答 1、（2）
原式 r2 2r3
0
3 (13 2) 45
1、计算下列行列式
111
ab c d
（1） 1 1 1 111
（2） a b d c bad c
111
bacd
2、证明：Vandermonde行列式
1 1L 1
a1 a2
a12
a22
an
课 堂
an2
(xj xi )
练
MM
M n ji1
sin cos
主对角线元素之积减去副对角线元素之积 ——对角线法则
●三 阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11 a12 a13
a11a22a33a44
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11(a22a33 a23a32 ) a21(a12a33 a13a32 ) a31(a12a23 a13a22 )
符号的外面。 推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0
推论3：如果行列式D有两行（列）的元素对应成比例，则D=0
4. 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，
则可以把该行列式拆成两个行列式之和。
如 a a
b b a
b a
b
c d cd c d
5. 把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数k
1 3 1 2
5 1 3 4 c1 c2
2 0 1 1
1 5 3 4 0 2 1 1
1 5 3 3
5 1 3 3
r2 r1
r4 5r1
1 3 1 2 0 8 4 2 0 2 1 1 0 16 2 7
r2 r3
1 3 1 2 r3 4r2
0 2 1 1
A11、A12、A13、A14分别是D的 第一行元素的代数余子式，试求 3A11-A12+3A13-A14的值。
解答 1、（1）
1 2 3 2
1 2 3 2
原式
C1 C2 3
3
3
2
1 3 1 2
1 3 3 1
r2 3r1 0
rr43
rr11
0 0
3 6 4 1 4 0 1 0 3
●行列式的几种变换
1、转置变换 a11 a12 L a1n
Transpose D a21 a22 L a2n M
an1 an2