行列式的性质三
大学数学(三)-概念及答案
大学数学（三）Day1--6概念及答案1.2111a a2.对角线法则：主对角线乘积减去副对角线乘积。
333231232221131211a a a a a a 的行列式。
4.上三角行列式：主对角线以下的元素为零。
5.下三角行列式：主对角线以上的元素为零。
6.上下三角行列式的值：主对角线乘积。
7.逆序数：所有逆序的总数。
8.余子式: 划去元素ij a 所在行和列，由剩余元素按原来顺序所组成的行列式9.代数余子式： ij A =ij j i M +-)1(10.转置行列式：行列式中的行和列互换 11.行列式性质一（转置）：D=T D12.行列式性质二（互换）：任意两行（列）互换，那么行列式的值改变符号。
13.行列式性质二（相同）：如果行列式中两行或两列对应元素全部相同，那么行列式的值为零。
14.行列式性质三（有公因子）：行列式中某行（列）的各元素有公因子时，可将公因子提到行列式外面。
15.行列式性质三推论（一行列为0）：如果行列式中有一行（列）的元素全为0，则行列式的值为0.16.行列式性质三推论（成比例）:如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，行列式的值为0.17.行列式性质四（和）：行列式等于两个相应的行列式的和。
18.行列式性质五（倍乘）：倍行（列）加到另一行（列）上，行列式的值不变。
19.行列式展开定理：n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
20.范德蒙行列式概念：形如 232221321111a a a a a a 的行列式21.范德蒙行列式的值：π（j i a a -）22.N 元线性方程组：含有n 个未知量n 个方程的线性方程组为n 元线性方程组23.线性方程行列式：未知量的系数所组成的行列式。
24.非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组25.齐次线性方程组：常数项全为零的线性方程组。
26.克莱姆法则：0≠D 时， , , , ,2211D D x D D x D D n n ===27.非齐次线性方程组根的判别情况，0≠D ，则方程组有唯一解。
行列式的性质
k
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a11 a12 a13 a14
k 0 0
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：
a11 a12 b12 a13 D a21 a22 b22 a23 a31 a32 b32 a33 a11 a12 a13 a11 b12 a13 D a21 a22 a23 a21 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则 行列式可按该行（列）拆成两个行列式的和。 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d a1 a2 0 1 xa a D a a
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
ri krj (ci kc j ).
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 , a31 a32 a33
则 D D1 .
a11 D1 a21 a31
a12 ka13 a22 ka23 a32 ka33
性质1
行列式与它的转置行列式相等,即 D D .
T
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立.
性质2
交换行列式的两行（列）,行列式变号.
注：交换第 i 行（列）和第j 行（列），记作 ri rj (ci c j ) .
行列式的性质(三)
解：因为第一列和第二列对应元素成比例，根据性质推论得
＝0
例3：计算4阶行列式
解：可以把第二行得元素分别看成：5＝1＋4；6＝2＋4；7＝3＋4；
8＝4＋4，由性质5有：
＝
＝ ＋ ＝0
例4：计算行列式D＝
解：这个行列式可以将第一行与第三行交换
即 － ＝－3×5×6＝－90
或 =四、课时小结（1交换行列式的 两行（列），记为 （ ）；
（2）第 行（列）乘以 ，记作 ，第 行（列）提出公因子 ，记作 ；
（3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行（列）上，记为
3、补充（三角行列式）
定义. 对角线以下（或上）的元素均为零的行列式称为上（或下）三角行列式．
阶上三角行列式
阶下三角行列式
三、例题讲解
1.者行列式的性质；
2. 能够使用行列式的性质对行列式化简。
五、课堂练习和课后作业：
六、板书设计：
§1.3行列式的展开及行列式的性质
行列式性质
例题
课堂练习
七、课后分析
方便下节行列式的计算的讲解
例1：计算4阶行列式
解： - －
－ － ＝－1×（－1）×（－2）×（－2）＝4
小结：计算行列式时，常用行列式性质，把它化为三角形行列式来计算。例如化为上三角行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0，
先将第一行与其它行交换，使第一列的第一个元素不为0；然后将第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；依次作下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。
教授思路及教学方法：
1.引导利用拉普拉斯法则为基础对性质1、2、3进行解释，使前后知识得以有机结合；
行列式的三种定义
行列式的三种定义行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在学习行列式的过程中，需要掌握三种不同的定义方法，包括代数定义、几何定义、和递推定义。
本文将从这三个方面一步一步讲解，帮助读者更好地理解行列式的概念和计算方法。
1. 代数定义行列式的代数定义是最基本也是最常用的定义方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记为|A|或det(A)，代数定义为：|A| = Σ(-1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中i和j分别表示矩阵A中的第i行和第j列，a_ij表示A中第i行第j列的元素值，M_ij表示去掉矩阵A中第i行和第j列的子矩阵的行列式值。
这个定义可能看起来比较复杂，但是实际上非常好理解。
它的基本思路是将n阶矩阵A转化为n个n-1阶矩阵的运算，然后不断地递归计算，最终得出行列式的值。
这种方法的优点在于，它不仅适用于方阵，也适用于非方阵，所以可以广泛地应用到各种各样的问题中。
2. 几何定义几何定义是行列式另一种常用的定义方法。
它的基本思路是将矩阵A对应的线性变换视为对n维空间中一个向量的拉伸，从而将行列式的值解释为拉伸的比例因子。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的几何定义为：|A| = S*B/S*A其中S*A和S*B分别表示矩阵A和B对应线性变换后向量的长度，也就是表示空间中一个体积的大小。
这个定义方法非常直观，可以帮助我们更好地理解行列式的含义，也适用于二维和三维空间中的向量计算。
3. 递推定义递推定义是行列式的另一种常见定义方法。
它的基本思路是不断地删减矩阵的行和列，直至得到一个常数值。
这个定义方法虽然比较抽象，但是它有着较高的计算效率和便利性。
对于一个n阶矩阵A，其行列式的递推定义为：|A| = a_11 * |A'|其中A'是去掉A中的第一行和第一列所得的(n-1)阶矩阵。
这个定义方法可以方便地使用递归或循环算法实现，对于大规模矩阵的计算尤其有效。
2.3行列式的性质
D’=D
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡 是对行成立的对列也同样成立.今后我们只暂时研究有关行 的性质。
1
性质2（可提性或可乘性）行列式的某一行(列)中所有元素 若有公因子k, 可以提到行列式符号的外面．行列式的某一 行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列 式, 即
b1 b1 c1 b2 c2 b3 c3
证
由性质4，
a1
上式左边
b1 c1 b2 c2 b3 c3
c1 a1
c1 a1 c2 a2 c3 a3
a2 a3
c2 a 2 b2 c3 a 3 b3
a1 b1 c1 c1
a1 b1 c1 a1
b1 b1 c1 a1
1、行列式的性质
记
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
a11 a21 an1
，
a12 a22 an 2 D a1n a2 n ann
'
行列式 D ' 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1（可转性）行列式与它的转置行列式相等，即行列互 换，行列式的值不变。
12
r2 r3
1
1
1
1
1
1
100 0 1 2 100 0 1 2 100*1*(1) *(5) 500 0 4 3 0 0 5
x r4 r3 0 r3 r2 D 0 r2 r1 0 y z w x x y x y z r4 r3 x 2 x y 3x 2 y z r3 r2 x 3x y 8 x 3 y z x y 0 x 0 0 0 0 z x y x x w x yz 2x y 5x y
第三节行列式的性质.ppt
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn的逆序数.
证 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记 D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于D中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
,
bn1 bn2 bnn
是由行列式D det aij 变换i, j(i j)两行得到的,
即当 k i, j 时, bkp akp;
当 k i, j 时, bip a jp , bjp aip,
于是
D1
1 b b b b t( p1 pi pj pn )
ri krj (ci kc j ).
6.利用行列式性质化行列式为上(下)三角行列 式,可以方便地求出行列式的值.要使计算顺畅,首先 应将首行首列元素化为1．
例5 计算4阶行列式
1 2 1 0
2 4 12
D
.
1 0 2 1
3 4 2 3
解
1 2 1 0
1 2 1 0
2 4 1 2 r2 2r1 0 0 3 2
(a 3)2 (b 3)2
0. (c 3)2 (d 3)2
证 先把 D的 第一列的(1)倍分别加到后面各列,再将得到
的行列式的第二列的 (2) 倍加到第三列,第二列的
(3) 倍加到第四列,得
a2 2a 1 4a 4 6a 9 a2 2a 1 2 6
b2 D
行列式的性质
a 11 c i + kc a 21
j
a 12 a 22 an2
a 1 i + ka 1 j a 2 i + ka 2 j a ni + ka nj
3
4
r3 r2
2 1 3 5
2 1 0 0
3 1 11 9
3 1 4 8
4 4 14 10
4 4 10 2
r3 × ( 1) 0 r2 × ( 1) 0
0
r3 3r2
1 0 0 0
0 0 0
2 1 0 0
2 1 0 0
3 1 8 4
3 1 4 0
4 4 2 10
4 4 10 22
r4 r3 1
(-1) a1 p1 a2 p2 aipi a jp j anpn = (-1) a1 p1 a2 p2 a jp j aipi anpn
t' t ''
经过一次对换结果如此, 经过一次对换结果如此,经过多次对换结果当然 还是如此.于是,经过若干次对换,使得: 还是如此.于是,经过若干次对换,使得:列标排列 p1 p2 pi p j pn 逆序数为 )变为标准排列(逆序数为 (逆序数为t)变为标准排列( 0);行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列 );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, q1q2,其逆序数为 ,则有 其逆序数为s, qn (-1) a 设此排列为 a a
D = 3 4 1 5 0 1 2 2 2 1 3 2 5 3 4 4
行列式的性质(3)、克莱姆法则和行列式的逆序定义
§3 克莱姆法则 一、齐次与非齐次线性方程组的概念
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 对线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
提示：从第一行起，每一行都减去其下一行。
四、行列式的其他常见计算方法简介： 1.按定义：不同行不同列元素乘积的代数和； (在介绍行列式的逆序定义后介绍） 2.数学归纳法：如范德蒙行列式的计算（课本24 页例5）； 3.递推法：找出n阶行列式与其结构相同的较低阶 行列式的关系再求解； 4.加边法（添加一行一列，变成n+1阶再求解）； 5.折成行列式之积（或和）； 6.作辅助行列式； · · · · · ·
a1 a1 1. a1 a1 a1 a2 a1 a2 x a2 a2 a2 a3 a3 a3 a3 an 1 an 1 an 1 an an an an an 1 an x
a2 a3 x
an 2 an 1 x an 1
1.行列式可按任一行（列）展开。 二、简单行列式的计算：
1.直接判断为零； 2.降阶法：按多零的行（列）展开 （也可以利用性 质把某一行（列）元素尽可能多化为零）；
3.化为三角行列式。
a11 a1k ak1 akk 课后思考： D c11 c1k cn1 cnk
（推论1的逆否命题） 推论2：若齐次线性方程组(1)有非零解，则其系数
行列式 D 0.
x1 x2 2 x3 0 例：若方程组 2 x1 x2 3 x3 0 有非零解，求 . 2x 2x 2x 0 1 2 3
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性质6.将行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变．即第 行乘 加到第 行上，有
性质7. 阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
3、为叙述方便，引进以下记号：
推论行列式有两行（列）相同，则此行列式为零。
性质3行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式。
推论1.行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
推论2.行列式的某一行（列）中所有元素为零，则此行列式为零．
性质4.行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零．
1.者行列式的性质；
2.能够使用行列式的性质对行列式化简。
五、课堂练习和课后作业：
六、板书设计：
§1.3行列式的展开及行列式的性质
行列式性质
例题
课堂练习
七、课后分析
方便下节行列式的计算的讲解
（1）交换行列式的 两行（列），记为 （ ）；
（2）第 行（列）乘以 ，记作 ，第 行（列）提出公因子 ，记作 ；
（3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行（列）上，记为
3、补充（三角行列式）
定义. 对角线以下（或上）的元素均为零的行列式称为上（或下）三角行列式．
阶上三角行列式
阶下三角行列式
三、例题讲解
教案编号:NO3
课 题: 第三节行列式的性质
教学时间:
教学班级:
授课类型:讲授新课
教学目的的要求：
1. 理解行列式的性质；
2. 能够使用行列式的性质对行列式化简。
教学重点：
1. 理解行列式的性质；
2. 会用行列式的性质对行列进行化简计算。
教学难点：
1. 理解行列式的性质；
2.能够使用行列式的性质对行列式化简。；
例1：计算4阶行列式
解： - －
－ － ＝－1×（－1）×（－2）×（－2）＝4
小结：计算行列式时，常用行列式性质，把它化为三角形行列式来计算。例如化为上三角行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0，
先将第一行与其它行交换，使第一列的第一个元素不为0；然后将第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；依次作下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。
教学过程：
一、教学引入:
1、复习回顾
（1）二阶、三阶行列式的计算；
（2）余子式、代数余子式及拉普拉期法则。
二、讲授新课
1.行列式的性质
（1）转置行列式
设
将 的行与列互换（顺序不变），得到的新行列式，记为 或 ，
称 为 的转置行列式．显然 也是 的转置行列式，即
性质1行列式与其转置行列式相等，即 。
性质2行列式的两行（列）互换，行列式变号。
教授思路及教学方法：
1.引导利用拉普拉斯法则为基础对性质1、2、3进行解释，使前后知识得以有机结合；
2.在证明性质7应把两个行列式同时写出来加以对比，把i、k行用彩色粉笔写出，指
出这两个行列式的异同，便于学生理解。
3.讲解三角形行列式的求法时，可引导学生探索解法，培的简单计算。
例2：计算行列式
解：因为第一列和第二列对应元素成比例，根据性质推论得
＝0
例3：计算4阶行列式
解：可以把第二行得元素分别看成：5＝1＋4；6＝2＋4；7＝3＋4；
8＝4＋4，由性质5有：
＝
＝ ＋ ＝0
例4：计算行列式D＝
解：这个行列式可以将第一行与第三行交换
即 － ＝－3×5×6＝－90
或 =
四、课时小结