计算天体质量的两条思路
2024年高一物理寒假提升(人教版)第二十天：万有引力理论的成就(解析版)
第二十天：万有引力理论的成就万有引力定律的内容的考点：1、预言彗星的回归，发现未知天体；2、根据已知量计算出天体的质量；3、计算中心天体的质量和密度；4、已知近地表运行周期求密度；5、已知地月/卫系统常识可以求出的物理量；6、不同纬度的重力加速度；7、其他星球表面的重力加速度；8、在地球上空距离地心r=R+h 处的重力加速度；9、天体自转对自身结构及表面g 的影响；10、不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度。
知识点1：万有引力理论的成就一、“称量”地球的质量解决思路：若不考虑地球自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球对物体的引力。
解决方法：mg ＝Gmm 地R 2。
得到的结论：m 地＝gR 2G，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量。
知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。
二、计算天体的质量解决思路：质量为m 的行星绕阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。
解决方法：Gmm 太r 2＝m 4π2T 2r 。
得到的结论：m 太＝4π2r 3GT 2，只要知道引力常量G ，行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 就可以计算出太阳的质量。
已知引力常量G ，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量。
运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。
以地球质量，月球的已知量为例，介绍几种计算天体质量的方法。
已知量求解方法质量的求解公式月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r 根据万有引力等于向心力，得222GM mm rr T月地月2324rMGT地月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v 地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得22M m vG mr r月地月2/M rv G地月球运行的线速度v和运行周期T 地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得2M mG m vr T月地月和22/M mG m v rr月地月两式消去r，解得：3/(2)M v T G地地球的半径R和地球表面的重力加速度g 物体的重力近似等于地球对物体的引力，得2M mmg GR地2R gMG地三、天体密度的计算类型分析方法已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
第七章万有引力与宇宙航行【思维导图+考点通关】(解析版)
第七章万有引力与宇宙航行一、思维导图二、考点通关考点1行星的运动开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置 开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等描述了行星在其轨道上运行时，线速度的大小不断变化。
解决了行星绕太阳运动的速度大小问题 开普勒第三定律(周期定律)所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等⎝⎛⎭⎫a 3T 2＝k表明了行星公转周期与轨道半长轴间的关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短2．行星运动的近似处理实际上，行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们可按圆轨道处理。
这样就可以说：(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。
(3)所有行星轨道半径r 的三次方跟它的公转周期T 的二次方的比值都相等，即r 3T 2＝k 。
注：处理行星绕太阳(恒星)的运动问题时，根据题意判断行星轨道是需要按椭圆轨道处理，还是按圆轨道处理，当题中说法是轨道半径时，则可按圆轨道处理。
【典例1】“墨子号”是由中国自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，标志着中国在量子通信技术方面走在了世界前列；其运行轨道为如图所示的绕地球E 运动的椭圆轨道，地球E 位于椭圆的一个焦点上。
轨道上标记了墨子卫星经过相等时间间隔⎝⎛⎭⎫Δt ＝T 14，T 为轨道周期的位置。
则下列说法正确的是( )A ．面积S 1>S 2B．卫星在轨道A点的速度小于其在B点的速度C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴【答案】C【解析】根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故面积S1＝S2，A错误；根据开普勒第二定律，卫星在A点、B点经过很短的时间Δt，卫星与地球连线扫过的面积S A＝S B，由于时间Δt很短，则这两个图形均可看作扇形，则12v AΔt·r A＝12v BΔt·r B，且知r A<r B，则v A>v B，B错误；根据开普勒第三定律：所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即a3T2＝k，整理可得T2＝1k a3＝Ca3，其中C＝1k，为常数，a为椭圆半长轴，故C正确，D错误。
(粤教版必修2)3.2《万有引力定律的应用》
(3)由 G Mm mg 可以得到：GM=gR2.由于G和M(地球质量) 2 这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住.所以粗略计算
R
时，一般都采用上述代换，这就避开了万有引力常量G值和
地球的质量M值，方便多了.
绕同一中心天体做匀速圆周运动的星体，
距离中心天体越远，星体运行速度越小，运行周期越长，
GMm mv 2 2 m( )2 r ma. r2 r T (2)黄金代换：GMm mg R2
即GM=gR2.
三、人造卫星的特点
1.卫星绕地球的轨道 (1)若是椭圆轨道,地心是椭圆的一个焦点,其运动遵循开普 勒定律. (2)若是圆轨道,卫星所需的向心力由地球对它的万有引力 提供,由于万有引力指向地心,所以卫星圆轨道的圆心必然
4.第一宇宙速度的推导 设地球质量为M,卫星质量为m,卫星到地心的距离为r,卫星
做匀速圆周运动的线速度为v,根据万有引力定律和牛顿第
Mm v2 二定律得: G m , 2 r r GM400 km, M=6×1024 kg,则:
v GM 7.9 km / s. R
轨道半径越大，其运行线速度就越小.
(2)由 G Mm mr2 得 GM , 即ω ∝ 1 ，说明卫星的 2 3 3 运动轨道半径越大，角速度越小.
r
r
r
r 3 即T∝ Mm 4 2 得 (3)由 G T 2 , m 2 r 2 GM r T
r3
，说明卫星
运动的轨道半径越大，其运行周期越长.
一、天体质量和密度的计算
1.求天体质量的思路
绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动,做圆周
运动的天体(或卫星)的向心力由中心天体对它的万有引力 提供,利用此关系建立方程求中心天体的质量.
2020高考备考物理重难点《天体运动与人造航天器》(附答案解析版)
重难点05 天体运动与人造航天器【知识梳理】考点一 天体质量和密度的计算1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2R MmG mg =（g 表示天体表面的重力加速度）．（2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：2R Mm Gmg =，所以2R MG g = 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：2)(h R Mm G g m +='，得2)(h R MG g +=' 2．天体质量和密度的计算（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于2R Mm G mg =，故天体质量GgR M 2=天体密度：GRgV M πρ43==（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即r T m rMm G 22)2(π=，得出中心天体质量2324GT r M π=；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度3233RGT r V M πρ== ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度23GTV M πρ==.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 【重点归纳】 1.黄金代换公式（1）在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 时，常运用GM ＝gR 2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式． 2. 估算天体问题应注意三点（1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h ，公转周期为365天等． （2）注意黄金代换式GM ＝gR 2的应用． （3）注意密度公式23GTπρ=的理解和应用． 考点二 卫星运行参量的比较与运算 1．卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律r GM v =；3r GM =ω；GMr T 32π=；2r GM a = （1）卫星的a 、v 、ω、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其它量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定．（2）卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．3．极地卫星和近地卫星（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． （2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. （3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 【重点归纳】1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路 （1）一个模型天体（包括卫星）的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． （2）两组公式卫星运动的向心力来源于万有引力：ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即：2R MmGmg = （g 为星体表面处的重2．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫====减小增大减小减小增大时当半径a T v r r GM a GM r T r GM r GM v ωπω2332 考点三 宇宙速度 卫星变轨问题的分析1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的两种求法：（1）r mv r Mm G 212=，所以r GMv =1 （2）rmv mg 21=，所以gR v =1.3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．4.当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：（1）当卫星的速度突然增加时，r mv rMm G 22<，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时减小．（2）当卫星的速度突然减小时，r mv rMm G 22>，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时增大．卫星的发射和回收就是利用这一原理．1.处理卫星变轨问题的思路和方法（1）要增大卫星的轨道半径，必须加速；（2）当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大．2.卫星变轨问题的判断：（1）卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大．（2）卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．（3）圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同.3.特别提醒:“三个不同”（1）两种周期——自转周期和公转周期的不同（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同【限时检测】（建议用时：30分钟）1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。
万有引力定律的应用1
例4.两颗靠的很近的恒星成为双星， 这两颗星必须各自以一定的速率绕 某一中心转动。已知双星的质量分 别为m1和m2，相距为L，求： （1）双星转动中心的位置 （2）双星的转动周期
1、重力等于万有引力
两 条 2 黄金代换：GM＝gR 基 本 2、万有引力提供向心力 思 G Mm ma m v mr mr ( 2 ) r r T 路 2 3 4 r
例2.假如做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来 的2倍，仍做圆周运动，则（CD ）
二、天体密度的计算
gR M G
2
4 3 v R 3 M V
3g 4 RG
二、天体密度的计算
M
4 r
2 3 2
GT
3 r
2
3 3
GT R
4 3 v R 3 M V
当r=R时
2 2 2 向
Mm mg G 2 R
gR2 M G
2
M
GT 2
明确各个物理量
转动天体m
轨道半经r
中心天体M 天体半经R
三、发现未知天体
海王星的轨道由 英国的剑桥大学的学 生亚当斯和法国年轻 的天文爱好者勒维耶 各自独立计算出来。 1846年9月23日晚， 由德国的伽勒在勒维 耶预言的位置附近发 现了这颗行星,人们 称其为“笔尖下发现 的行星” 。
海王星
三、发现未知天体
科学史上的一段佳话 当时有两个青年——英国的亚当斯和法 国的勒威耶在互不知晓的情况下分别进行 了整整两年的工作。1845年亚当斯先算出 结果，但格林尼治天文台却把他的论文束 之高阁。1846年9月18日，勒威耶把结果寄 到了柏林，却受到了重视。柏林天文台的 伽勒于1846年9月23日晚就进行了搜索，并 且在离勒威耶预报位置不远的地方发现了 这颗新行星。 海王星的发现使哥白尼学说 和牛顿力学得到了最好的证明。
天体质量的计算方法(万有引力理论的成就)
万有引力理论的成就之天体的计算方法一、计算天体的质量基本思路1．地球质量的计算利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m 的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ＝GMm R 2，则M ＝gR 2G ，由于g 、R 已经测出，因此可计算出地球的质量．2．太阳质量的计算利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G Mm r 2＝m ω2r ，而ω＝2πT ，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道半径，得到太阳质量M ＝4π2r 3GT 2.3．其他行星质量的计算利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量．二、计算天体的质量具体方法1．“称量”地球的质量如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力．由万有引力定律mg ＝GMm R 2得M ＝gR 2G ，其中g 为地球表面的重力加速度，R 为地球半径，G 为万有引力常量． 从而得到地球质量M ＝5.96×1024 kg .通过上面的过程我们可以计算地球的质量，通过其它的方法，或者说已知另外的一些条件能否测出地球质量．2．天体质量计算的几种方法(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力，即GM 地·m 月r 2＝m 月r ⎝⎛⎭⎫2πT 2，可求得地球质量M 地＝4π2r 3GT 2.(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运动的线速度v ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r .解得地球的质量为M 地＝rv 2/G.(3)若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地·m 月r 2＝m 月·v ·2πT .G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r .以上两式消去r ，解得M 地＝v 3T/(2πG)．(4)若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg ＝G M 地·m R 2，解得地球质量为M 地＝R 2g G .由以上论述可知，在万有引力定律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g ＝G M R 2，则M ＝gR 2G ，另一种方法是根据天体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程：G Mm r 2＝m 4π2T 2r ＝m v 2r ＝m ω2r 来求得质量M ＝4π2r 3GT 2＝v 2r G ＝ω2r 3G用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体)．3．天体密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．由mg ＝GMm R 2和M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3g 4πGR .其中g 为天体表面重力加速度，R 为天体半径．(2)利用天体的卫星来求天体的密度．设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程：G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝M43πR 3＝4π2r 3/GT 243πR 3＝3πr 3GT 2R 3.当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度为：ρ＝3πGT 2.名师点拨：在已知重力加速度求天体质量或密度时，通常可以利用重力等于万有引力，重力就是环绕天体运动的向心力以及圆周运动的规律求解．名师点拨：在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力，在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力．。
万有引力理论的成就(原卷版)-高一物理同步精品讲义(人教版)
②
③
天体密度的计算
ρ＝ ＝
①ρ＝ (gR2＝GM)
②ρ＝
③ρ＝
r＝R时：ρ＝
④ρ＝
r＝R时：ρ＝
4.
(1)掌握一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
(2)记住两组公式
G ＝m ＝mω2r＝m r＝ma
mg＝ (g为星体表面处的重力加速度)
即GM＝R2g，该公式通常被称黄金代换。
A.m1、m2做圆周运动的线速度之比为3:2
B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为3:2
C.m1做圆周运动的半径为 L
D.m2做圆周运动的半径为 L
二、多项选择题
9.已知某星球半径为R，表面处的重力加速度为g，一探测器在距该星球表面高度为3R处绕其做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A.探测器的周期为4π
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 ＝m1ω2r1＝m2ω2r2。
（4）双星问题的两个结论
①运动半径：m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
②质量之和：由于ω＝ ，r1＋r2＝L，因此两恒星的质量之和m1＋m2＝ 。
1．判断下列说法的正误．
(1)地球表面的物体的重力一定等于地球对它的万有引力．(×)
A.木卫2的周期大于木卫1的周期
B.木卫2的线速度大于木卫1的线速度
C.木卫2的角速度大于木卫1的角速度
D.木卫2的向心加速度大于木卫1的向心加速度
6.如图所示，实线圆表示地球，竖直虚线a表示地轴，虚线圆b、c、d、e表示地球卫星可能的轨道，对于此图，下列说法正确的是（ ）
A.b、c、d、e都可能是地球卫星的轨道
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
教育部参赛-万有引力理论的成就-尹香君
6.4《万有引力理论的成就》教案【教学背景】本节教材简要介绍了万有引力理论在天文学上的重要应用，是对万有引力定律的一个具体理解和应用。
通过这一节课的学习，一方面要使学生了解运用万有引力定律解决问题的思路和方法，另一方面还要能体会到科学定律对人类探索未知世界的作用，激发学习兴趣和对科学的热爱之情。
【教材分析】本节教材简要介绍了万有引力理论在天文学上的重要应用，即“计算天体的质量”，“发现未知天体”。
教材首先通过“科学真是迷人”，在不考虑地球自转影响的情况下，认为地面上的物体所受重力和引力相等，进而得到只要知道了地球表面的重力加速度和引力常量G，即可计算出地球的质量。
最后从科学史的角度，简要介绍了亚当斯和勒维耶发现海王星的过程，都显示了万有引力理论的巨大成就。
本节内容是这一章的重点，是万有引力定律在实际中的具体应用．利用万有引力定律除了可求出中心天体的质量外还可发现未知天体．【学情分析】学生在学习本节内容之前，已经学习了匀速圆周运动的相关知识，知道匀速圆周运动的向心力由合外力提供，初步掌握了利用牛顿第二定律和向心力表达式处理匀速圆周运动的方法。
在前一节又学习了万有引力定律，但不熟悉运用万有引力定律解决实际问题的思路和方法。
学生对天文学的研究方法相对比较陌生，不了解万有引力理论所取得的成就。
【教学目标】知识与技能方面：（1）通过“称量地球质量”、“计算天体质量”的学习，学会运用万有引力定律计算天体的质量；（2）通过“发现未知天体”，“成功预测彗星的回归”等内容的学习，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
过程与方法方面：运用万有引力定律计算天体质量，体验运用万有引力解决问题的基本思路和方法。
情感态度与价值观方面：（1）.通过“发现未知天体”、“成功预测彗星的回归”的学习，体会科学定律在人类探索未知世界的作用；（2）.通过了解我国天文观测技术的发展，激发学习的兴趣，养成热爱科学的情感。
【重难点】重点：计算天体的质量难点：运用万有引力定律解决问题的思路和方法【教学方法】为更好地完成教学目标，突破重难点，结合本节课的要求和特点我采用的教学方法为目标导学法、教师引领学生自主探究法、发现法、多媒体演示法等多种方法综合运用。
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第16点 计算天体质量的两条思路
1．根据重力加速度求天体质量
忽略天体自转的影响，物体的重力近似等于物体所受的万有引力，即mg ＝G Mm R 2
，得M ＝R 2g G
.(式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径)． 2．根据天体的圆周运动求中心天体的质量
选绕天体运动的另一星体(或人造星体)为研究对象．
将星体的运动视为匀速圆周运动，星体绕天体做匀速圆周运动所需的向心力由天体对星体的万有引力提供，利用牛顿第二定律得
G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T 2 若已知星体的轨道半径r 和星体的运行线速度v 、角速度ω或周期T ，可求得中心天体的质
量为M ＝r v 2G ＝ω2r 3G ＝4π2r 3
GT 2
对点例题 已知太阳光从太阳射到地球需500s ，光的传播速度为3×108m /s ，地球公转轨道可近似看成圆轨道，一年有365天，地球半径约为6.4×106 m ，地球表面重力加速度g 取10 m/s 2，试估算太阳质量M 与地球质量m 之比为多少？(取一位有效数字) 解题指导 设日地距离为r ，则r ＝ct ＝3×108×500m ＝1.5×1011m.
设地球公转周期为T ，则T ＝365×24×60×60s ≈3.15×107s.
太阳对地球的引力提供地球公转所需的向心力：
GMm r 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r . 已知地球半径R ＝6.4×106m ．设地球表面上物体的质量为m ′，忽略地球的自转，则：m ′g
＝Gmm ′R 2，两式联立并代入数据得：M m ＝4π2r 3R 2gT 2≈3×105. 答案 3×105
宇航员在某星球表面的某一高度处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t 落到星球表面，测出抛出点与落地点距离为L ，若抛出的初速度变为原来的2倍，测出抛出点与落地点间距离为3L ，已知两落地点在同一平面，该星球半径为R ，引力常数为G ，求星球质量．
答案 23LR 2
3Gt 2
解析 设星球的质量为M ，物体平抛的高度为h ，平抛的初速度为v 0.根据位移关系： L 2＝(v 0t )2＋h 2
(3L )2＝(2v 0t )2＋h 2
根据运动学公式：h ＝12
gt 2 根据牛顿第二定律有：
GMm R 2
＝mg 代入数据解得
M ＝23LR 2
3Gt 2
.。